Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN -------------- XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOÁ LUẬN: TS. Chu Trọng Thanh Sinh viên thực hiện: Lê Thị Hiền Lớp: 47A Toán Vinh - 2010 Mục lục Trang Mở đầu I. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………………3 II. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………….5 III. Nội dung nghiên cứu………………………………………………………… .5 IV. Phương pháp nghiên cứu………………………………… .5 V. Giả thuyết khoa học……………………………………… . 6 VI. Đóng góp của khoá luận…………………………………… 6 VII. Cấu trúc của đề tài………………………………………… 6 Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn………………………… 7 1. Năng lực, năng lực toán học………………………………… 7 1.1. Năng lực ………………………………………………… 7 1.2. Năng lực toán học……………………………………… …8 2. Cấu trúc năng lực toán học………………………………… 11 3. Năng lực giải bài tập toán của học sinh THPT…………… 14 3.1. Bài toán…………………………………………………… .14 3.2. Chức năng của bài tập toán học…………………………… 16 3.3. Vai trò của giải bài tập toán……………………………… 18 3.4. Năng lực giải toán ở trường phổ thông…………………… .19 4. Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, gỏi……… ….21 4.1. Vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi…………………………… 21 4.2. Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi……… .23 5. Vị trí chủ đề kiến thức dãy số, hàm số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số…… 24 6. Thực trạng dạy học chủ đề giới hạn ở trường PT…………… 25 Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi……………….26 2 2.1. Giới hạn dãy số…………………………………………… .…26 2.1.1. Một số bài tập điển hình về giới hạn dãy số SGK Đại số và giải tích 11… 26 2.1.2. Hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số …… .32 2.2. Giới hạn hàm số …………………………………………… .56 Kết luận………………………………………………………… 82 Tài liệu tham khảo .83 3 MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn khoa học có tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng lớn. Nó đang phát triển như vũ bão và ngày càng thâm nhập vào các lĩnh vực khoa học, công nghệ và đời sống. Vì vậy việc dạy và học môn toán ở trường phổ thông phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nước ta, từ đặc điểm và vị trí môn toán. Trong thư gửi bạn trẻ yêu toán tháng 10 năm 1967 thủ tướng Phạm Văn Đồng đã chỉ rõ: “Trong các môn khoa học và kĩ thuật Toán học giữ vị trí nổi bật. Nó có tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác nhau, đối với kĩ thuật, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh, sáng tạo, nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu như: cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, ham chuộng chân lí. Dù bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và các phương pháp toán học cũng rất cần cho các bạn” . Luật giáo dục nước ta quy định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ, và nghề nghiệp, trung thành với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ tổ quốc” . Mục tiêu của giáo dục phổ thông là là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc. 4 Do vậy việc dạy và học môn toán ở trường phổ thông càng có ý nghĩa quan trọng. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay là hướng vào tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động. Việc áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để phát huy năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, đặc biệt là đối với hoạt động bồi dưỡng học sinh có năng khiếu toán cần phải được quan tâm trong suốt quá trình dạy học. Trong cuốn “Giáo dục học môn toán” của tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc có viết: “Đảm bảo cho học sinh đạt yêu cầu chất lượng phổ cập về toán học, đồng thời chú trọng phát hiện bồi dưỡng được một số học sinh có tài năng về toán học là rất cần thiết”. Như vậy việc bồi dưỡng học sinh giỏi là việc cần được quan tâm thường xuyên và liên tục ở mọi cấp học, bậc học. Nhất là ở trường phổ thông, việc “gõ vào trí thông minh” của học sinh đã được cố thủ tướng Phạm Văn Đồng nhiều lần tha thiết kêu gọi: “Phải nhắc lại nghìn lần ý muốn lớn của chúng ta trong giáo dục là đào tạo những thế hệ trẻ thông minh, sáng tạo”. Trong dạy học toán ở trường phổ thông, bài tập toán là phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp người học nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo. Bài tập nhằm đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập hoạt động toán học và đánh giá trình độ phát triển của học sinh.Việc giải bài tập toán có tầm quan trọng để thực hiện tốt mục tiêu của giáo dục toán học. Theo A. A. Stôliar: “dạy toán là dạy hoạt động toán học”. Trong dạy toán có nhiều tình huống điển hình nhưng có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc dạy học giải bài tập toán không có nghĩa giáo viên chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán. Để tăng hứng thú học tập cho học sinh phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng hoạt động độc lập sáng tạo cho học sinh thầy cần hình thành cho học sinh quy trình chung, các phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán. Mỗi bài toán mà học sinh đã giải cần dạy cho họ kĩ 5 năng khai thác những tình huống có vấn đề khác nhau, xây dựng những bài toán mới phù hợp với nhiệm vụ của nghề dạy học. “Nghề dạy học là nghề cao quý vì nó sáng tạo ra những con người sáng tạo”. Vì vậy trên thực tế đã có nhiều tài liệu nghiên cứu về giải toán chẳng hạn: Sáng tạo toán học, Giải bài toán như thế nào, Toán học và những suy luận có lý của tác giả G. Pôlia, Tâm lý năng lực toán học của học sinh của tác giả Krutexki, . . . Chủ đề giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là một chủ đề quan trọng của toán học nói chung và toán học phổ thông nói riêng. Chủ đề này có nhiều ứng dụng về mặt lí thuyết cũng như thực tiễn. Đây cũng là một chủ đề gây nhiều khó khăn cho học sinh vì trước nội dung này chưa có nội dung nào có tính chất trừu tượng đến như vậy và các định lý lại được thừa nhận nhiều. Tuy nhiên đây cũng là chủ đề có nhiều tiềm năng bồi dưỡng tư duy cho học sinh. Do đó trong dạy học nếu giáo viên quan tâm đúng mức việc trang bị tri thức phương pháp và rèn luyện các kỹ năng cho học sinh thì sẽ góp phần phát triển tư duy, bồi dưỡng năng lực toán học và gây hứng thú học tập. Vì các lí do trên tôi quyết định chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi” II. Mục đích nghiên cứu Mục đích của khoá luận là đưa ra hệ thống bài tập nâng cao về các dạng giới hạn và định hướng khai thác một số bài tập trong hệ thống đó nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi. III. Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận gồm các vấn đề: Năng lực, năng lực giải toán, việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi và thực trạng dạy học chủ đề giới hạn ở trường phổ thông. - Nghiên cứu nội dung chủ đề giới hạn dãy số và giới hạn hàm số trong chương trình môn toán trung học phổ thông. 6 - Xây dựng hệ thống bài tập về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và đề xuất hướng khai thác các bài tập đó vào việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi. IV. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Các tài liệu có liên quan đến tâm lí học, giáo dục học, lí luận dạy học môn toán; nghiên cứu hệ thống bài tập sách giáo khoa đại số giải tích 11, các tài liệu tham khảo, các bài viết về chuyên đề giới hạn. Nghiên cứu thực tiễn: Phương pháp dự giờ, quan sát việc dạy và việc học của học sinh. Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử trong các tiết lên lớp và rút kinh nghiệm. V. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở chương trình sách giáo khoa hiện hành, nếu trong dạy học giáo viên quan tâm đến việc xây dựng và khai thác hệ thống bài tập về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số một cách hợp lí thì có thể góp phần bồi dưỡng năng lưc toán học và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy học. VI. Đóng góp của khoá luận - Hệ thống hóa được một số kiến thức về lí luận dạy học làm tư liệu tham khảo về chuyên môn. - Bước đầu xây dựng được nguồn tư liệu về bài tập toán phục vụ công tác dạy học và bồi dưỡng học sinh khá giỏi. - Tìm tòi một số phương pháp giải các bài tập về giới hạn, có hướng dẫn hợp lí và khai thác một số bài toán điển hình sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh. VII. Cấu trúc đề tài PHẦN 1. MỞ ĐẦU PHẦN 2. NỘI DUNG CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ ĐỊNH HƯỚNG KHAI THÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN PHẦN 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Năng lực, năng lực toán học 1.1. Năng lực Quá trình hình thành đến phát triển nhân rộng để khẳng định mô hình “giáo dục mũi nhọn” là cả một chặng đường dài và hết sức khó khăn. Trong văn kiện Đại hội lần thứ VII Đảng Cộng Sản Việt Nam ghi rõ: “Giáo dục và đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài”. Đó cũng là nhiệm vụ ngành giáo dục trong thực tiễn xã hội hiện nay: đào tạo ra những con người mới, những chủ nhân tương lai của đất nước năng động, sáng tạo góp phần đưa đất nước đi lên giàu mạnh, sánh vai với các cường quốc năm châu. Do vậy việc phát hiện ra năng lực của mỗi người, nghiên cứu và phát triển năng lực ấy càng có ý nghĩa quan trọng. Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực. Định nghĩa 1: Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả. Năng lực gắn liền với tính sáng tạo.[13] Định nghĩa 2: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người hoàn thành một loại hoạt động với chất lượng cao.[13] Định nghĩa 3: Năng lực là tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó.[13] 8 Theo từ điển Tiếng Việt: Năng lực được hiểu là khả năng, điều kiện tự nhiên hoặc sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó. Như vậy dù là định nghĩa nào thì năng lực chỉ nảy sinh, phát triển và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ. Năng lực không chỉ là bẩm sinh mà phát triển trong đời sống, trong hoạt động. Nó gắn liền với tính sáng tạo, tư duy khác nhau về mức độ và biểu thị ở con người qua những tiêu chí: tính dễ dàng, linh hoạt, thông minh. Một trong những công trình toán học nghiên cứu đầy đủ nhất về năng lực toán học là công trình: “Tâm lý năng lực toán học của học sinh” của Crutchetxki. Theo ông vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Mỗi cá nhân đều có năng lực nhiều hơn về một mặt nào đó tức năng lực chuyên biệt hoạt động trong một lĩnh vực chuyên biệt chẳng hạn: năng lực toán học, năng lực âm nhạc…nhưng lại có năng lực ít hơn về một mặt khác. Khi năng lực phát triển tới mức cao nhất, biểu thị ở mức hoàn chỉnh nhất, kiệt xuất thì người có năng lực được gọi là thiên tài. Năng lực toán học chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy được biểu hiện của năng lực toán học. 1.2. Năng lực toán học. Theo V.A.Cruchetxki năng lực toán học được hiểu theo hai nghĩa: Một là: theo nghĩa năng lực học tập tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở phổ thông, nắm được một cách nhanh chóng và có hiệu quả những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng. Đó là trường hợp những học sinh giỏi toán mà hằng năm các cơ sở giáo dục thường xuyên chọn bồi dưỡng học sinh giỏi. Hai là, theo nghĩa năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán học với tư cách là khoa học, người có năng lực sáng tạo ra những công trình toán học, tạo ra những kết quả mới có giá trị đối với xã hội loài người. 9 Theo ông, năng lực toán học cũng được hiểu là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán học và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì đó là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học. Về bản chất của năng lực toán học: Năng lực toán học không phải là những thuộc tính toán học bẩm sinh mà được hình thành trong cuộc sống, trong hoạt động, sự hình thành này trên cơ sở mầm mống xác định. Việc rèn luyện và phát triển năng lực toán học ở học sinh là là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của người thầy giáo vì: - Toán học có vai trò to lớn trong sự nghiệp phát triển khoa học kĩ thuật, sự nghiệp cách mạng cần phải có đội ngũ những người có năng lực toán học. - Nhà trường là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của toán học và thầy giáo chính là những người hoặc vun trồng, vun xới đầu tiên cho những mầm mống toán hoặc làm thui chột những mầm mống đó. Nghiên cứu của ông về năng lực toán học cho thấy một số vấn đề quan trọng: Về mặt lí luận: - Theo ông nói đến một học sinh có năng lực toán học là nói đến trí thông minh trong việc giải toán. - Trong cùng một điều kiện dạy - học toán như nhau có những học sinh tiếp thu nhanh hơn, vận dụng tốt hơn so với một số em khác. Tuy nhiên các khả năng đó được hình thành và phát triển thông qua hoạt động giải toán là chủ yếu. Do đó cần thiết phải nghiên cứu được bản chất năng lực và con đường hình thành, phát triển năng lực. 10