Góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi thông qua dạy học giải bài tập về chủ đề phương trình hàm

Mở đầu I Lý chọn đề tài Xà hội cần ngời lao động động, sáng tạo, có khả giải vấn đề Vì vậy, luật giáo dục 1998 đà quy định "Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo ngời học, bồi dỡng lực tự học, say mê học tập ý chí vơn lên" Năm 2001 Bộ Giáo dục Đào tạo đà có quy định 11 chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán thống toàn quốc, có chuyên đề Phơng trình hàm Nh việc dạy học giải toán phơng trình hàm cho học sinh giỏi nhu cầu thực tế Tuy nhiên việc triển khai dạy học chủ đề có khó khăn nhiều lý nh thiÕu tµi liƯu, sù míi mÏ vµ độc đáo dạng toán này, Đối với học sinh, hoạt động giải tập toán hoạt động thờng xuyên Hoạt động có tác dụng phát triển trí tuệ cần đợc quan tâm nhiều dạy học Chủ đề phơng trình hàm mẽ học sinh, nhng để giải phơng trình hàm ta không cần dùng đến kiến thức vợt giới hạn chơng trình PTTH mà chủ yếu đòi hỏi phải có t sáng tạo.Vì chủ đề chứa đựng tiềm phát triển trí tuệ cho học sinh biết khai thác dạy học Từ lý định chọn đề tài " Góp phần bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải tập chủ đề phơng trình hàm" II Mục đích nghiên cứu Mục đích khoá luận nghiên cứu, tìm hiểu số phơng pháp giải phơng trình hàm định hớng sử dụng dạy học nhằm góp phần bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải tập chủ đề phơng trình hàm III giả thuyết khoa học Có thể bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh khá, giỏi qua việc xây dựng khai thác hệ thống tập chủ đề phơng trình hàm IV nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm cấu trúc t sáng tạo Xây dựng định hớng khai thác hệ thống tập phơng trình hàm nhằm phát triển t sáng tạo cho học sinh giỏi Tiến hành thực nghiệm s phạm nhằm đánh giá tính khả thi hiệu việc dạy học giải tập phơng trình hàm việc bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh giỏi V Phơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu tài liệu giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán - Các sách tập toán, viết chuyên đề Phơng trình hàm Quan sát Quan sát khó khăn thờng gặp phải học sinh giải toán phơng trình hàm tìm biện pháp khắc phục Thực nghiệm s phạm Tiến hành thực nghiệm s phạm để đánh giá tính khả thi đề tài VI Cấu trúc khoá luận Mở đầu Chơng Cơ sở lý luận thực tiễn Chơng Một số phơng pháp giải phơng trình hàm dạy học giải toán PTH Chơng Thực nghiệm s phạm Kết luận Tài liệu tham khảo Chơng Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 Các đặc trng t sáng tạo Theo Lecne t sáng tạo gồm đặc trng sau: Có lực chuyển tri thức kỹ sang tình tình sáng tạo Nhìn thấy vấn đề điều kiện, đối tợng quen biết "đúng quy cách" Nhìn thấy chức đối tợng quen biết Nhìn thấy đối tợng nghiên cứu Kỹ nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn việc tìm kiếm lời giải (khả xem xét đối tợng khía cạnh khác nhau, mâu thuẫn nhau) Kỹ kết hợp kiến thức giải đà biết thành phơng thức Kỹ sáng tạo phơng thức giải độc đáo đà biết phơng thức khác 1.2 Quan hệ t sáng tạo, t độc lập t tích cực Khi bàn quan hệ khái niệm "t tích cực", "t độc lập" "t sáng tạo", V.A.Krutexki cho r»ng cã thĨ biĨu diƠn quan hƯ ®ã dới dạng vòng tròn đồng tâm (Xem hình biểu diễn dới) Đó mức độ t khác mà mức độ t trớc tiỊn ®Ị cho møc ®é t ®i sau Trong t sáng tạo có t tích cực t độc lập, nhng t tích cực t độc lập, t độc lập t sáng tạo - Một học sinh chăm nghe T tích cực thầy giảng chứng minh định lý , T độc lập cố gắng để hiểu đợc tài liệu, T sáng tạo nói ®Õn t tÝch cùc - TÝnh ®éc lËp thÓ khả tự phát vấn đề, tự xác định phơng hớng, tìm cách giải quyết, tự kiểm tra hoàn thiện kết đạt đợc 1.3 Một số biện pháp bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh Ngày nay, nhà khoa học cho ngời có khả sáng tạo, nhng mức độ sáng tạo khác có biện pháp để bồi dỡng trí sáng tạo Theo tác giả Isen Barron việc bồi dỡng trí sáng tạo cần: Phát triĨn mét c¸i nỊn phong phó réng r·i Båi dỡng tính độc lập Khuyến khích việc dùng tơng tự hay phép loại suy Khuyến khích tò mò, ham hiểu biết Tăng cờng xúc động dơng tính Tác giả Trần Thúc Trình, "T hoạt động học toán", đà nêu biện pháp sau để phát triển lực sáng tạo cho học sinh: Bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh cần kết hợp hữu với hoạt động trí tuệ khác Bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc bồi dỡng lực phát vấn đề mới, khơi dậy ý tởng Chú trọng båi dìng tõng u tè thĨ cđa t sáng tạo trang bị cho học sinh phơng tiện, thủ pháp hoạt động nhận thức Quá trình bồi dỡng t sáng tạo trình lâu dài, cần tiến hành qua lớp tất khâu trình dạy học Vận dụng tối đa phơng pháp dạy học giải vấn đề qua lên lớp Tác giả Trần Luận lại cho r»ng cã thĨ sư dơng c¸c biƯn ph¸p sau để bồi dỡng, phát triển lực sáng tạo cho häc sinh: RÌn lun vµ båi dìng häc sinh theo biểu đặc trng hoạt động sáng tạo Bồi dỡng số yếu tố t sáng tạo Bồi dỡng tham số có ý nghĩa lớn sáng tạo theo mô hình J.Guilford Dựa vào phân loại t tích cực, t độc lập, t sáng tạo Krutecxki Dạy học giải vấn đề Thông qua hệ thống tập Tác giả Phạm Văn Hoàn, "Rèn luyện trí thông minh qua môn toán bồi dỡng học sinh có khiếu toán cấp I, đà trình bày biện pháp để rèn luyện t sáng tạo cho học sinh cấp I qua môn toán là: Giúp học sinh khắc phục "tính ỳ" t cách cho làm toán thuộc loại khác Khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải toán chọn cách giải hay Cho học sinh giải toán vui để tập suy luận khác với nếp nghĩ thông thờng Sử dụng phép tính toán không giải theo lèi rËp khu«n Chó ý rÌn lun trÝ tëng tỵng cho häc sinh TËp cho häc sinh xem xét vấn đề dới nhiều khía cạnh khác Cần tiến hành rèn luyện t sáng tạo cho học sinh tất lớp song phải có phơng pháp thích hợp 1.4 Tiềm phát triển t sáng tạo thông qua việc giải toán phơng trình hàm Phơng trình hàm chủ đề bồi dỡng học sinh giỏi Tuy phơng trình hàm không đợc đa vào học phổ thông nhng giải phơng trình hàm không cần sử dụng đến kiến thức vợt giới hạn chơng trình phổ thông, nhng đòi hỏi tập trung ý định (đôi cao) khả suy luận tốt Chủ đề có tiềm lớn việc phát triển t sáng tạo cho học sinh Sau số khía cạnh đợc đề cập đến khoá luận này: -Giải toán phơng trình hàm giúp học sinh hiểu đắn, sâu sắc kiến thức làm tảng vững cho hoạt động toán học; -Giải toán phơng trình hàm giúp học sinh rèn luyện lực thực thao tác t nh phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tơng tự hoá, trừu tợng hoá -Giải toán phơng trình hàm giúp học sinh sáng tạo toán mới, phơng pháp giải toán mới; -Giải toán phơng trình hàm giúp học sinh có đợc hứng thú học tập toán, sở bồi dìng t tÝch cùc, u tè kh«ng thĨ thiÕu t sáng tạo; -Giải toán phơng trình hàm gióp häc sinh rÌn lun t ®éc lËp, rÌn luyện tính linh hoạt, tính phê phán t duy; -Giải toán phơng trình hàm góp phần quan trọng bồi dỡng t lôgic cho học sinh, đặc biệt t hình thức, t dựa vào cú pháp dạng cao t logic Ngoài tiềm kể chắn biết khai thác làm đợc nhiều điều bổ ích cho học sinh thông qua dạy học giải toán chủ đề phơng trình hàm Để minh hoạ tiềm nói xin trích dẫn ví dụ Ví dụ: Tìm hàm số f: Z  Z cho f(x+y) = f(x) + f(y) (i) f(xy) = f(x).f(y), với x, yZ (ii) Để giải toán thực cần đến kiến thức tập hợp số nguyên hiểu biết đơn giản định nghĩa hàm số Tuy nhiên kiến thức phải có phân tích nhìn nhận cách hợp lý Sau trình bày cách tiếp cận toán để đến lời giải, qua phần làm rõ tiềm bồi dỡng t sáng tạo qua toán -Đặc biệt hoá điều kiện (i) cách cho x = y = vµ sư dơng tÝnh chÊt cđa phép cộng số ta nhận đợc f(0) = -Đặc biệt hoá điều kiện (ii) cách cho x = y = vµ sư dơng tÝnh chÊt cđa phép nhân số ta có f(1) = f(1) = -Xem tổng vµ -1, sư dơng (i) vµ (ii), víi chó ý f(0) = 0, ta cã f(-1) = -1 -XÐt trêng hợp f(1) = Kết hợp với điều kiện (ii) vµ tÝnh chÊt cđa sè vµ sè phép nhân số nguyên ta có : nZ, f(n) = f(1.n) = f(1).f(n) = 0.f(n) = VËy trêng hợp ta có f(n) = 0, nZ (a) -Xét trờng hợp f(1) = Xem số nguyên dơng tổng hạng tử đơn vị 1, sư dơng ®iỊu kiƯn (i) ta cã f(n) = n, nN (b) Xem số nguyên âm tích -1 với số nguyên dơng áp dụng (ii), víi chó ý f(-1) = -1, f(n) = n, nN, ta cã f(n) = n, f(n) = n, n nguyên âm (c) -Tổng hợp kết (b) (c) ta cã f(n) = n, nZ (d) -Tỉng hỵp kÕt (a) (d), sau thử lại, ta có hàm số cần tìm hàm hàm đồng Z -Tổng hợp bớc suy luận trên, phân tích kỹ giả thiết toán, kết hợp với cách nhìn biểu diễn số hữu tỷ d¬ng - m = (-1) n m n m n = n + + + số hữu tỷ âm n n đa toán: Tìm hàm số f: Q Q cho f(x+y) = f(x) + f(y) (i’) vµ f(xy) = f(x).f(y), víi mäi x, yQ (ii’) Lêi gi¶i nàynhận đợc cách suy luận tơng tự nh ví dụ Qua việc phân tích để đến ta thấy biết khai thác tập phơng trình hàm chắn góp phần phát triển trí tuệ cho học sinh Chơng Một số phơng pháp giải phơng trình hàm dạy học giải toán phơng trình hàm 2.1 Một số phơng pháp giải phơng trình hàm Phơng trình hàm phơng trình mà ẩn hàm số Giải phơng trình hàm tức tìm hàm số cha biết Sau số phơng pháp giải phơng trình hàm thờng gặp 2.1.1 Phơng pháp đặt ẩn phụ Xét phơng trình hàm số dạng: f( (x)) = g(x), (x), g(x) hàm số biến số thực đà biết Trong số trờng hợp đặt (x) = t, ta cã thĨ gi¶i x =  (t) Khi vào phơng trình đà cho ta có f(t) = g ( (t)), từ ta có hàm sè f(x) = g ( (x)) Tuy nhiªn nhiỊu vấn đề không hoàn toàn đơn giản trờng hợp cần sử dụng phép biến đổi thích hợp, cố gắng đa phơng trình đà cho dạng: f( (x)) = h( (x)) Khi hàm số cần tìm có dạng: f (x) = h(x) Hàm f(x) sau tìm đợc cần ta phải tiến hành thử lại đa kết luận nghiệm phơng trình Ví dụ Tìm hàm số f (x) biết rằng: f(x+1) = x +2x +3 , x  R Gi¶i (x) = x + , g (x) = x2 + 2x + Đặt t = x + Gi¶i x = t - vào phơng trình đà cho ta đợc: f (t) = g (t - 1) = (t -1)2 + 2(t -1) + = t2 + Thö lại ta thấy hàm số vừa tìm đợc thoả mÃn yêu cầu toán Ví dụ Tìm hàm số f (x) biết: f Giải Đặt t = x  x = x Tõ (1) suy f(t) = t 1 t t 1 t +3=  x 1    x  1  x  ,    x  (1) , t  4t  t Hay f(x) = 4x  x (x 1) Thử lại ta thấy vừa tìm đợc thoả mÃn yêu cầu toán Ví dụ Tìm hàm f(x) biết: f(cosx) = sin x + (1) Giải Nếu đặt t = cosx giải phơng trình với ẩn x cho ta nghiệm phức tạp ta biến đổi : sin2x = 1- cos2x Ta đa (1) dạng f (cosx) = cos2x VËy f (x) =  - x2 , x [-1; 1] Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm đợc thoả mÃn yêu cầu toán Ví dơ T×m f(x) biÕt: f(x + ) = x3 + ,  x  x x Giải Ta biến đổi giả thiết dạng: f(x + ) = (x + )3 - (x + ) (*) x x x Tõ (*) suy f(x) = x3 - 3x, |x|  Thö lại ta thấy f(x) = x3 - 3x thoả mÃn ®Ị VÝ dơ T×m f(x) biÕt: f ( x  ) + 2f ( ) = x , x 0,1 x Giải Đặt t = , ta cã x = x t x (1) ( t 0 ,1) , t Th× (1)  f (t) + 2f (1 - t) = t 0,1 Dễ thấy toán có dạng quen thuộc vận dụng quy trình giải 3x  x (1  x ) đợc tìm đợc nghiệm f(x) = Ví dụ Cho hàm số f(x) thoả mÃn điều kiện : f( x  ) + f(  x ) = x x 1 Víi mäi x mµ x Tìm tất hàm f(x) nh 3t t Giải Đặt t = x , ta cã x= x 1 thµnh: f(x) + f f  3t   1 t  t 3 3 t   t 1   1  t    t   f  t   t 1  f(t) + f x Khi phơng trình đà cho viết lại Tơng tự, đặt t = t t ta đợc: Cộng theo vế hai phơng trình ta có: t t     f    t 1   1 t  = 8t 1 t Suy f(t) = 4t  2 t Dễ dàng kiểm tra đợc hàm thoả mÃn điều kiện toán áp dụng phơng pháp giải đợc phơng trình sau: 3x  ) x = x + , x 1 Tìm hàm f(x) biết: f( Tìm hàm f(x) biết: f(cosx) = cos3x, Tìm hàm f(x) biết: f ( x ) = x3 - , 2.1.2 Phơng pháp thÕ x x  R x  x  Xét phơng tình hàm dạng 10 a(x) f(x) + b(x) f (g(x)) = c(x) (*) Trong ®ã a(x), b(x), c(x), g(x) hàm số đà biết Giả sử miền xác định hàm số f(x) Df , với xDf ta xét dÃy xác định x1 = x, xn+1 = g(xn), nN* Định nghĩa : DÃy xn đợc gọi dÃy tuần hoàn tồn số nguyên dơng k cho xn + k = xn, nN* (1) Số nguyên dơng k nhỏ để dÃy xn thoả mÃn (1) đợc gọi chu kỳ sở (còn gọi tắt chu kỳ) dÃy Nếu dÃy xn đợc xác định nh tuần hoàn với chu kỳ k, ta đa (*) hệ k phơng trình với k ẩn hàm, giải hệ ta tìm đợc f(x) Ví dụ Giả sử a số thực, (x) hàm số cho trớc xác định với x1 Tìm hàm số f(x) xác định với x thoả mÃn điều kiện: x f ( x  ) = a f(x) + (x) Gi¶i: Cho x = ta cã f(0) = a f(0) + (0) Tõ ®ã f(0) =  ( 0) 1 a (1) Víi x  0, x  1, Xét dÃy đợc xác định x1 = x, xn+1 = g(xn), nN, ®ã g(x) = x x Ta cã x1 = x, x2 = x , x x3 = x, dÃy xn tuần hoàn víi chu kú B»ng phÐp thay thÕ x lÇn lợc x1, x2 ta nhận đợc hệ f ( x2 )  af ( x1 )   ( x1 )   f ( x1 )  af ( x2 )   ( x2 ) Gi¶i hệ phơng trình với ẩn f (x1) ta đợc: f(x1) = a2 f(x1) + a (x1) + (x2)  hay f(x1) = f(x) a ( x1 )   ( x2 )  a2 x a ( x )  ( )  x = 1 a (*) Từ (1) (*) ta đợc: 11 ... phơng trình hàm chắn góp phần phát triển trÝ t cho häc sinh Ch¬ng Mét sè phơng pháp giải phơng trình hàm dạy học giải toán phơng trình hàm 2.1 Một số phơng pháp giải phơng trình hàm Phơng trình hàm. .. khác Cần tiến hành rèn luyện t sáng tạo cho học sinh tất lớp song phải có phơng pháp thích hợp 1.4 Tiềm phát triển t sáng tạo thông qua việc giải toán phơng trình hàm Phơng trình hàm chủ đề bồi. .. Thúc Trình, "T hoạt động học toán", đà nêu biện pháp sau để phát triển lực sáng tạo cho học sinh: Bồi dỡng t sáng tạo cho học sinh cần kết hợp hữu với hoạt động trí tuệ khác Bồi dỡng t sáng tạo cho