Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có nhiều tác dụng trong việc bồi dỡng năng lực phát hiện vấn đề, năng lực đề xuất cách giải quyết vấn đề, năng lực ứng xử trong các tình huống có vấn đề. Giải toán phơng trình hàm luôn đặt học sinh trớc những vấn đề. Việc làm cho họ bị hấp dẫn bởi vấn đề (bài toán) là cần thiết. Chỉ khi học sinh cảm nhận đợc vấn đề bài toán đặt ra họ mới có t duy tích cực, t duy sáng tạo.
Xin lấy vài ví dụ để minh hoạ:
Ví dụ 1. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện:
f(2x - y) = 2 f(x) - f(y), ∀ x,y ∈ R.
Nhận xét và lời giải. ở đây có một vấn đề : g(x) = f(x) - f(0), ta thấy g(x) cũng thoả mãn điều kiện g(2x-y) = 2g(x) - g(y) và ngoài ra g(0) = 0. Việc phát hiện ra điều này là mấu chốt để giải bài toán.
Cho y = 0 ta đợc g(2x) = 2 g (x) ,∀ x ∈ R. (1) Cho x = 0 ta đợc g (-y) = - g(y) ,∀ y ∈ R. (2) Suy ra g(2x - y) = g (2x) + g(-y).
áp dụng bài toán đã biết, ta đợc g(x) = a x suy ra f(x) = ax+b (b = f(0)).
Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm đợc thoả mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Xác định hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện:
f(x) + f(y) - f(x + y) = xy , ∀ x, y ∈ R. (1)
Nhận xét. Vấn đề ở đây là thấy đợc mối liên hệ giữa bài toán đã cho với hằng đẳng thức quen thuộc xy = 2 ) (x+y 2 - 2 2 x - 2 2 y (*) (1) ⇔ f (x) + 2 2 x + f (y) + 2 2 y = f(x + y) + 2 ) (x+y 2 Giải. Đặt: g(x) = f(x) + 2 2 x
, ta sẽ đa về bài toán quen thuộc tìm g(x) biết g(x) liên tục trên R và thoả mãn điều kiện : g(x) + g(y) = g(x + y), ∀x,y∈R.
áp dụng bài toán đã biết, ta đợc g(x) = a suy ra f(x) = -
2
2
x + ax. Thử lại ta thấy hàm số vừa tìm đợc thoả mãn yêu cầu bài toán.
Nếu không liên hệ đến hằng đẳng thức quen thuộc (*) thì bài toán này rất khó giải. Vì vậy tôi muốn nhấn mạnh rằng rèn luyện sự linh hoạt trong cách suy nghĩ giải quyết bài toán là một yếu tố rất quan trọng là một quá trình phải thờng xuyên phấn đấu. Tuy nhiên ngoài sự linh hoạt trong cách giải quyết vấn đề ta nên rèn luyện sự linh hoạt trong cách tạo bài toán mới. Điều này chỉ thực hiện đợc khi học sinh biết cách phát hiện ra “vấn đề”. Đối với ví dụ trên ta thấy: axy = 2 ) (x y 2 a + - 2 2 ax - 2 2
ay . Vì vậy ta tăng mức độ khó khăn của bài toán bằng bài toán bài toán tổng quát: Tìm hàm số f(x) liên tục trên R và thoả mãn điều kiện: f(x) + f(y) - f(x + y) = axy, ∀x,y∈R.
Ngoài ra ta phải linh hoạt trong cách giải những bài toán dạng tơng tự.
Ví dụ 3. Xác định hàm số f(x) liên tục trên R thoả mãn điều kiện:
f(x+y) - f(x) - f(y) = sinx sin y cos(x + y) ∀x, y, ∈ R.
Giải. Đặt g( x) = f(x) + 2 sin2 x và lý luận tơng tự ⇒ f(x) =- 2 sin2 x + ax.
Ví dụ 4. tìm hàm f: R → R liên tục và thoả mãn điều kiện: 3 f(3x) = f(x) + x , ∀x∈R.
Giải. Thay x bằng
3
x
sau đó áp dụng phơng pháp chuyển qua giới hạn ta sẽ tìm đợc hàm f(x) (xem lời giải ví dụ 2,chơng II,mục 2.3) đây củng thể hiện một sự linh hoạt trong suy nghĩ.