8. Nâng cao dần mức độ khó khăn và phức tạp.
4.3.2. Tiến trình thực nghiệm.
Đầu tiên nhắc lại một số tính chất cơ bản của đa thức. Giả sử f (x), g (x) là hai đa thức biến x.
1. f(x) ≡ g(x) khi và chỉ khi các hệ số tơng ứng của chúng bằng nhau. 2. f(a) = 0, a ∈ Q suy ra phơng trình f(x) =0 có nghiệm x = a.
3. D khi f(x) chia cho x - a là f(a).
Hệ quả: f(x) (x - a) khi và chỉ khi f(a) = 0. 4. f(x) f(x), deg f(x) < deg g(x) suy ra f(x) ≡ 0. 5. Số nghiệm của đa thức bậc n không quá n.
6. Đa thức f(x) có vô số nghiệm khi và chỉ khi f(x) ≡ 0.
7. Đa thức bậc n có n + 1 nghiệm phân biệt thì đa thức đó là đa thức không.
8. Hai đa thức bậc n bằng nhau tại n + 1 điểm nguyên phân biệt thì hai đa thức đó bằng nhau.
Một số bài tập áp dụng:
Bài toán 1. Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) sao cho thoả mãn:
P (x) = P(x + 1) , ∀x∈R. (i)
Hớng 1: P(x) ≡ const là một nghiệm bài toán. Trờng hợp: P(x) ≠ const. Giả sử: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x+ a0. (an≠ 0) Từ (i) ta có: anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x +a a= an(x +1)n + an- 1(x + 1)n-1 + ... + a1(x +1) + a0. áp dụng tính chất (1) ta so sánh hệ số trớc xn-1 ta đợc nan + a1 = a1 suy ra an = 0 >< an ≠ 0
Vậy P(x) = const là nghiệm cần tìm Hớng 2:Ta sẽ chứng minh P(x) = C.
Thật vậy : Giả sử degP(x) = n, xét Q(x) = P(x) - P (0), ta có degQ(x) = n và Q(0) = 0, Q (x + 1) = Q(x) .
Từ đây: Q( 0) = Q(1) = Q(2) = ... = Q (n) = 0
áp dụng tính chất (6) suy ra Q (x) = C , vậy P (x) = Const.
Nhận xét: + Hầu hết các các em đều làm theo cách thứ nhất, tuy nhiên các
em quên xét trờng hợp vì vậy một số em kết luận không tồn tại đa thức thoả mãn bài ra.
Bài toán tổng quát: Hãy tìm tất cả những đa thức P (x) sao cho: P (x+a) = P(x) , ∀x . ( a ∈ R tuỳ ý) Cách giải bài toán tơng tự + a =0 , ∀ P (x) đều thoả mãn
+ a ≠ 0 , P (x) = C (C = const)
Với bài toán trên tôi đã giúp cho các em biết nhìn bài toán dới nhiều khía cạnh sau đó lựa chọn cách giải tốt nhất cho trờng hợp tổng quát. Các em đều thích thú với việc làm này.
Bài toán 2. Tìm đa thức P(x) biết:
x P (x - 1) = (x - 3) P (x), ∀x∈R.
Giải. Cho x = 0 ta đợc P (0) = 0 x = 1 ta đợc P (1) = 0
x = 2 ta đợc P (2) = 0
Theo tính chất (3) suy ra P(x) = x (x -1 ) (x - 2) Q(x)
P (x - 1) = (x - 1) (x - 2) (x - 3) Q (x - 1)
Từ giả thiết: Q (x - 1) = Q(x), áp dụng bài toán tổng quát bài toán 1 ta đợc Q (x) = C
Vậy P (x) = C x (x - 1) (x - 2). (C = const)
Đến đây tôi yêu cầu các em nêu bài toán tổng quát, hầu hết các em đã nêu đợc bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát: Cho a, b, ∈ R. Tìm đa thức P(x) biết: x P(x - a) = (x - b) P(x), ∀ x.
Nhng không có một em nào giải đợc bài toán này. Bằng những định h- ớng s phạm tôi đã giúp các em mò mẫm và dự đoán trên những trờng hợp riêng sau đó quay về trờng hợp tổng quát.
Bài toán 2.1. Tìm đa thức P(x) biết : xP(x) = (x - 2)P (x), ∀ x ∈ R. Hầu hết các em đã giải đợc P(x) ≡ 0.
Bài toán 2.2. Tìm đa thức P(x) biết : x P (x) = x P (x) , ∀ x. Các em chỉ đợc ∀ P(x) đều thoả mãn.
Bài toán 2.3. Tìm đa thức P(x) biết: x P (x - 2) = (x - 3) P(x) , ∀x. Với định hớng s phạm của tôi các em giải nh sau:
Thay x = 3 vào ta đợc x = 3 - 2 là nghiệm P (x). Thay x = 3 - 2 từ giả thiết ta đợc x = 3 - 2.2 là nghiệm của P (x) , ..., thay x = 3 - 2n ta đợc x = 3 - 2(n + 1) là nghiệm của P(x) suy ra P(x) có vô số nghiệm. Vậy P (x) ≡ 0.
Từ những trờng hợp riêng trên các em đã giải đợc bài toán tổng quát: i) Khi a = 0, b = 0 thì P (x) tuỳ ý .
ii) Khi a = 0, b ≠ 0 thì P (x) ≡ 0.
iii) Khi a ≠ 0, b = 0 thì P(x) = const tuỳ ý. iv) khi a ≠ 0, b ≠ 0 thì:
a) Nếu ab ∉ N, thì khi thay x = b vào ta đợc x = b - a là nghiệm, tơng tự khi thay x = b - a thì sẽ có x = b - 2a là nghiệm, ...., suy ra P (x) ≡ 0.
b) Nếu
a b
∈ N, thì P(x) có x = a, x = 2a, ..., x = (n -1)a là nghiệm.
Suy ra P (x) = (x - a) (x - 2a) ... (x - (n - 1)a)P (x).
Thế vào ta đựơc Q (x - a) = Q (x) , ∀ x. Sử dụng bài toán tổng quát của bài toán 1 suy ra Q (x) = C. (C = const)
Vậy (P (x) = C (x - a) (x - 2a) ... (x - (n - 1) a).
Bài toán 3. Tìm đa thức P(x) biết: P (x + 1) = P( x) + 2 x + 1 , ∀x.
Các em có nhận xét nếu bỏ đi 2x + 1 thì sẽ trở thành bài toán 1.Vậy ta có thể quy về bài toán 1 đợc hay không ?
Giải. Đặt Q(x) = P (x) - x2, ta đa về bài toán 1.
Tìm đa thức Q (x) biết: Q (x) = Q (x + 1), sử dụng bài toán 1 cho kết quả Q(x) ≡ C (C = const).
Vậy P(x) = x2 + C.
Tôi đã yêu cầu các em nêu bài toán tổng quát cho bài toán trên, các em đa ra hai bài toán sau, bằng cách dựa vào hai hằng đẳng thức sau
(x+a)2=x2 +2ax+a2,b(x+1)2 =bx2+b(2x+1)
Bài toán tổng quát 1. Tìm đa thức P(x) biết: P(x + a) = P(x) + a(2x+a), ∀ x. Cách giải hoàn toàn tơng tự.
Bài toán tổng quát 2: Tìm đa thức P (x) biết: P(x+1) = P (x) + b(2x+1), ∀ x. Cách giải hoàn toàn tơng tự.
Qua tiết giảng dạy, các em phần nào đã làm quen đợc cách học tập một cách sáng tạo, rèn luyện cho bản thân thói quen: phân tích các khía cạnh khác nhau của bài toán, nghĩ tới bài toán tơng tự, bài toán tổng quát, mò mẫm và dự đoán trên những trờng hợp riêng sau đó quay về trờng hợp tổng quát
...Nhìn chung các em ở trờng phổ thông đang còn thiếu phơng pháp học tập, các em chỉ biết su tầm các bài tập ở các SGK khác nhau để giải chứ cha biết cách tự mình sáng tạo ra các bài toán mới, tự mình đặt vấn đề và tự mình giải quyết nó. Vì vậy tôi thiết nghĩ công tác bồi dỡng t duy sáng tạo cho các em học sinh ở nhà trờng phổ thông hiện nay rất cần thiết, đó công việc thờng xuyên của ngời giáo viên, để nâng chất lợng chất lợng học tập hiện nay.
Kết luận
Trong Khoá luận này chúng tôi đề cập đến các vấn đề
1. Tìm hiểu cấu trúc và các cách bồi dỡng t duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học toán đã đựơc nhiều tác giả nghiên cứu.
2. Tiềm năng phát triển t duy sáng tạo cho học sinh của loại toán giải ph- ơng trình hàm.
3. Tìm hiểu một số phơng pháp giải phơng trình hàm thông thờng cùng với các ví dụ minh hoạ.
4. Đa ra một số định hớng khai thác, sử dụng các bài toán về phơng trình hàm trong dạy học nhằm phát triển t duy sáng tạo cho học sinh.
Một số nội dung trong khoá luận đã đợc thử nghiệm trong quá trình tham gia bồi dỡng học sinh giỏi toán lớp 10 trờng PTTH Nguyễn Văn Trỗi (Hà Tĩnh) và đã đợc học sinh khá giỏi đón nhận một cách hứng thú. Bớc đầu cho thấy có thể sử dụng các bài toán trong khoá luận này làm t liệu bồi dỡng học sinh giỏi hoặc ngoại khoá trong các nhóm Toán của các trờng PTTH.