Tr-ờng đại học vinh Khoa toán - - Góp phần bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải tập hình học tổ hợp khóa luận tốt nghiệp đại học ngành s- phạm toán Cán h-ớng dÉn: TS Chu träng Sinh viªn thùc hiƯn: ngun thị thu thủy Lớp: 46A - Toán Vinh - 2009 Trang Mở đầu Ch-ơng Cơ sở lý ln vµ thùc tiƠn 1.1 T- 1.2 T- toán học 1.3 T- sáng tạo 1.4 Tiềm hình học tổ hợp việc bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh giỏi Kết luận ch-ơng Ch-ơng Khai thác số nội dung hình học tổ hợp vào việc phát triển t- sáng tạo cho học sinh giỏi 2.1 Sơ l-ợc chuyên đề bồi d-ỡng häc sinh giái THPT 2.2 Mét sè néi dung h×nh học tổ hợp liên quan đến chuyên đề bồi d-ỡng häc sinh giái THPT 10 11 11 11 2.2.1 Hình lồi, định lí Helly số ứng dụng 12 2.2.2 Phủ hình số vấn đề toán phủ hình 20 2.2.3 L-ới điểm mặt phẳng 24 2.3 Một số ph-ơng pháp suy luận áp dụng vào giải tập 30 Hình học tổ hợp 2.4 Một số định h-ớng bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh 39 giỏi Kết luận ch-ơng 49 Ch-ơng Thử nghiệm s- phạm 50 3.1 Mơc ®Ých thư nghiƯm 50 3.2 Néi dung thư nghiƯm 50 3.4 KÕt ln chung vỊ thư nghiƯm 53 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 Mở đầu Lý chọn đề tài Đất n-ớc ta b-ớc vào giai đoạn công nghiệp hoá, đại hoá với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam từ n-ớc nông nghiệp trở thành n-ớc công nghiệp, hội nhập với cộng đồng quốc tế Nhân tố định thắng lợi công công nghiệp hoá, đại hoá hội nhập qc tÕ lµ ng-êi, lµ ngn lùc cđa ng-êi Việt Nam Nghị hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung -ơng Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải h-ớng vào việc đào tạo ng-ời tự chủ sáng tạo, có lực giải vấn đề th-ờng gặp, qua mà góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất n-ớc Luật giáo dục n-ớc Cộng Hoà Xà hội Chủ Nghĩa Việt Nam (năm2005) quy định: ph-ơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh” VÊn ®Ị båi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh đà đ-ợc nhiều tác giả n-ớc quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đà nghiên cứu chất trình giải toán, trình sáng tạo toán học Đồng thời tác phẩm "Tâm lý lực toán học học sinh", nhà tâm lí học Krutecxiki đà nghiên cứu cấu trúc lực to¸n häc cđa häc sinh ë n-íc ta, c¸c t¸c giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ D-ơng Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức, đà có nhiều công trình giải vấn đề lý luận thực tiễn việc phát triển tduy sáng tạo cho học sinh Việc bồi d-ỡng phát triển t- sáng tạo hoạt động dạy học toán đ-ợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm nhu cầu cần thiết hoạt động dạy học Năm 2001 Bộ Giáo dục Đào tạo đà có quy định 11 chuyên ®Ị båi d-ìng häc sinh giái to¸n thèng nhÊt toàn quốc, có chuyên đề hình học tổ hợp Nh- việc dạy học giải toán hình học tổ hợp cho học sinh giỏi nhu cầu thực tế Tuy nhiên việc triển khai dạy học chủ đề có khó khăn nhiều lí tính mẻ độc đáo dạng toán tài liệu loại toán hạn chế Vì vậy, chọn Góp phần bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh khá, giỏi thông qua dạy học giải tập hình học tổ hợp làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích khoá luận tìm hiểu chuyên đề hình học tổ hợp nhằm góp phần bồi d-ỡng số yếu tố t- sáng tạo cho học sinh giái, chn bÞ cho viƯc thùc hiƯn nhiƯm vơ båi d-ỡng học sinh giỏi toán Giả thuyết khoa học Nếu dạy học hình học tổ hợp theo định h-ớng bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh giỏi góp phần phát triển số yếu tố t- sáng tạo cho học sinh góp phần hoàn thành tốt nhiệm vụ dạy học toán tr-ờng phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu -Làm sáng tỏ khái niệm t- duy, t- sáng tạo -Trình bày số nội dung hình học tổ hợp bồi d-ỡng cho học sinh giỏi -Nghiên cứu số ph-ơng pháp giúp học sinh giải toán hình học tổ hợp số định h-ớng bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh giỏi -Tiến hành thực nghiệm s- phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính thực tính hiệu đề tài Ph-ơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu tài liệu giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán, sách báo, tài liệu toán rời rạc có liên quan đến đề tài Quan sát Dự giờ, quan sát việc dạy học giáo viên việc học học sinh trình dạy học giải toán hình học tổ hợp Thử nghiệm s- phạm Tiến hành dạy thử số nội dung Hình học tổ hợp cho học sinh giỏi toán khối 11 buổi bồi d-ỡng Cấu trúc luận văn A Phần mở đầu - Lý chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Nhiệm vụ nghiên cứu - Giả thiết khoa học - Ph-ơng pháp nghiên cứu B Phần nội dung Ch-ơng Cơ sở lý luận thực tiễn Ch-ơng Khai thác số nội dung hình học tổ hợp vào việc phát triển tduy sáng tạo cho học sinh giỏi Ch-ơng Thử nghiệm s- phạm Kết luận Tài liệu tham khảo Ch-ơng1 Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1 T- Hoạt động thực tiễn đòi hỏi ng-ời ta phải nhận thức đ-ợc đắn xác vật, t-ợng tự nhiên xà hội quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức gọi t- T- trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất, mối quan hƯ,cã tÝnh quy lt cđa c¸c sù vËt hiƯn t-ợng, sản phẩm t- khái niệm, phán đoán, suy luận đ-ợc biểu đạt ngôn ngữ Các giai đoạn t- duy: + Xác định vấn đề, biểu đạt vấn đề + Huy động tri thức kinh nghiệm + Sàng lọc liên t-ởng, hình thành giả thuyết + Kiểm tra giả thuyết + Giải nhiệm vụ Xét mặt chất trình cá nhân thực thao tác trí tuệ định để giải vấn đề hay nhiệm vụ đ-ợc đặt nhờ trình phân tích tổng hợp, so sánh, trừu t-ợng hoá, khái quát hoá Nh- t- giúp ng-ời nắm đ-ợc chất quy luật vận động tự nhiên, xà hội ng-ời 1.2 T- toán học T- toán học đ-ợc hiểu trình nhận thức, phản ánh thuộc tính chất phát mèi quan hƯ bªn cã tÝnh quy lt cđa đối t-ợng toán học mà tr-ớc ta ch-a biết Sản phẩm t- toán học khái niệm, định lí, quy tắc, ph-ơng phápmang tính khái quát tính trừu t-ợng cao, có tính lôgic chặt chẽ Các tri thức có quan hệ thiết với nhau, đ-ợc biểu đạt chủ yếu ngôn ngữ viết Trong Ph-ơng pháp dạy học toán tác giả Nguyễn Bá Kim cho rằng: việc dạy toán không dừng lại chỗ để ng-ời học lĩnh hội đ-ợc tri thức toán học, rèn luyện kĩ năng, kỹ xảo mà đòi hỏi không ngừng nâng cao yêu cầu ®Ĩ thóc ®Èy sù ph¸t triĨn cđa ng-êi häc, bc học sinh phải tích cực suy nghĩ phấn đấu nhằm đạt đ-ợc mục tiêu, đồng thời qua hình thành rèn luyện cho ng-ời học ph-ơng pháp suy nghĩ, ph-ơng pháp t- ph-ơng pháp làm viƯc khoa häc Ph¸t triĨn t- to¸n häc cho ng-êi häc lµ mét lÜnh vùc võa réng lín, võa khó khăn, ng-ời giáo viên dạy toán cần phải biết tÝch l kiÕn thøc, rót kinh nghiƯm mét c¸ch th-êng xuyên lâu dài, để từ vững vàng chuyên môn nghiệp vụ, có biện pháp rèn luyện phát triển t- toán học thích hợp cho loại học sinh trình giảng dạy Việc hiểu, nắm vững hệ thống kiến thức đà học thực hành vận dụng chúng th-ờng xuyên học tập hội để rèn luyện t- duy, tạo dựng đ-ợc kĩ tduy t- đ-ợc phát triển.Tuy nhiên, dừng lại viêc thực hành vận dụng kiến thức đà học theo khuôn mẫu đà định mà phân tích, đánh giá để loại bỏ bất hợp lí đúc rút kinh nghiệm sau giải vấn đề, toán t- thiếu linh hoạt, đúc rút kinh nghiệm sau giải vấn đề không hội rèn luyện hoàn thiện thao tác t- mà giúp ng-ời học t- sâu sắc hơn, phát triển 1.3 T- sáng tạo Sáng tạo tìm mới, cách giải vấn đề không bị gò bó phụ thuộc vào đà có, sáng tạo cần thiết cho hoạt động ng-ời có giá trị cũ Sáng tạo th-ờng đ-ợc nghiên cứu nhiều ph-ơng diện nh- trình phát sinh tảng cũ, nh- kiểu t- duy, lực ng-ời Theo tác giả Tôn Thân [5] quan niệm: Tư sáng tạo dạng tư độc lập tạo ý t-ởng mới, độc đáo, có hiệu giải vấn đề cao Tduy sáng tạo t- độc lập không bị gò bó phụ thuộc vào đà cã TÝnh ®éc lËp cđa nã béc lé võa việc đặt mục đích vừa việc tìm giải pháp, sản phẩm t- sáng tạo mang đâm dấu ấn cá nhân tao Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", Nhà toán học G.Polya cho rằng: "Một tduy gọi có hiệu t- dẫn đến lời giải toán cụ thể Có thể coi sáng tạo t- tạo t- liệu, ph-ơng tiện giải toán sau Các toán vận dụng t- liệu ph-ơng tiện có số l-ợng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, mức độ sáng tạo tư cao Đối với học sinh t- sáng tạo học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh ch-a biết đến Bắt đầu từ tình gợi vấn đề, t- sáng tạo giải mâu thuẫn cách hợp lí tồn tình với hiệu cao Một tập đ-ợc xem nh- mang yếu tố sáng tạo thao tác giải không bị mệnh lệnh chi phối, tức ng-ời giải ch-a biết tr-ớc thuật toán để giải phải tiến hành tự tìm hiểu b-ớc ch-a biết tr-ớc Khi dạy học cần cho học sinh hoạt động theo néi dung trªn Nh- vËy viƯc båi d-ìng t- sáng tạo cho học sinh cần thiết đặc biệt bồi d-ỡng cho học sinh giỏi Khi bàn quan hệ khái niệm tư tích cực, tư độc lập tư sáng tạo, nhà tâm lí học V.A.Krutexki cho biểu diễn quan hệ d-ới dạng đ-ờng tròn đồng tâm (xem hình biểu diễn) Đó mức độ t- khác mà mức độ t- ®i tr-íc lµ tiỊn ®Ị cho møc ®é t- sau Trong t- sáng tạo có t- tích cực t- độc lập nh-ng t- tích cực tduy độc lập, t- độc lập t- sáng tạo T- tích cực T- độc lập T- sáng tạo Tính tích cực thể mức độ say mê, gắng sức tìm hiểu vấn đề Tính độc lập thể khả tự phát vấn đề, tự xác định ph-ơng h-ớng, tìm cách giải quyết, tự kiểm tra hoàn thiện kết đạt đ-ợc 1.4 Tiềm hình học tổ hợp việc bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh Hình học tổ hợp nhánh hình học Tuy ch-a đ-ợc phổ cập trình bày đầy đủ sách chuyên môn mang tính phổ thông nh-ng đà có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu hình học tổ hợp thu hút nhiỊu häc sinh kh¸ giái ham hiĨu biÕt Cã thĨ kể số tài liệu đ-ợc xuất gần nh- :Một số chuyên đề hình học tổ hợp tác giả Nguyễn Hữu Điển, Các toán hình học tổ hợpcủa tác giả Vũ Hữu Bình, Một số kiến thức hình học tổ hợp tác giả Vũ Đình Hoà Tuy ch-a có định nghĩa cho khái niệm Hình học tổ hợp nh-ng tác giả đà có nhiều nhận xét mang tính mô tả loại toán Trong Một số chuyên đề hình học tổ hợp tác giả Nguyễn Hữu Điển cho rằng: Hình học tổ hợp phận hình học nói chung, nh-ng ng-ời ta xét toán có liên quan đến tìm đặc tr-ng hoá tối -u theo nghĩa số l-ợng điểm số dạng hình Ví dụ nh- cho đa giác đ-ợc phủ đa giác khác, l-ới mặt phẳng đ-ợc ghép hình bình hành nhau.Tất toán liên quan đến việc nghiên cứu so sánh tổ hợp khác phần tử mà chúng thoả mÃn điều kiện đà cho Để giải toán ng-ời ta cần sử dụng kiến thức toán học có tính chất tổ hợp cho hình học Hình học tổ hợp dạng toán khó th-ờng xuất kì thi chọn học sinh giỏi toán n-ớc Nó ph-ơng pháp giải tổng quát cho Chính giải toán hình học tổ hợp đòi hỏi học sinh phải tduy sáng tạo Tuy nhiên phân chia theo dạng toán để dễ tiếp thu Còn theo tác giả Vũ Hữu Bình [6]Các toán hình học tổ hợp th-ờng không đòi hỏi nhiều kĩ kiến thức kĩ tính toán, chúng chủ yếu đòi hỏi chặt chẽ việc xét khả năng, sáng tạo việc đ-a mô hình cụ thể linh hoạt việc vận dụng ph-ơng pháp Nhiều toán nội dung, khác số nh-ng lại yêu cầu cách giải khác nhau, đòi hỏi ng-ời giải toán rập khuôn, máy móc Chỗ khó mạnh hình học tổ hợp chỗ Trên giới nhiều n-ớc nh- Mỹ, Tây Âu đà đ-a lọai toán vào giảng dạy nhà tr-ờng n-ớc ta ch-a có giáo trình chuyên môn giảng dạy ch-ơng trình học phổ thông đại học nh-ng đà có số nội dung dạng toán đ-ợc dạy lớp bồi d-ỡng học sinh giỏi, trình bày sách 10 tập nâng cao đề thi học sinh giỏi Một số sách tác giả nêu hấp dẫn lí thú thu hút bạn đọc tìm hiểu nghiên cứu Để minh hoạ số tiềm nói xin trích dẫn số ví dụ nh- sau: Ví dụ1: Trong mặt phẳng cho 25 ®iĨm BiÕt r»ng gi÷a ®iĨm bÊt kú chóng chọn đ-ợc điểm mà khoảng cách chúng nhỏ chứng minh điểm chọn đ-ợc 13 điểm phủ đ-ờng tròn bán kính Để giải toán thực cần đến kiến thức tổ hợp.Tuy nhiên kiến thức đ-ợc vận dụng vào toán nh- cần có phân tích nhìn nhận cách hợp lí Nhận xét: Nếu khoảng cách A điểm 25 điểm đà cho nhỏ X khẳng định toán hiển nhiên Chúng ta vẽ đ-ờng tròn bán kính với tâm điểm phủ điểm đà cho Y B Nếu tồn cặp điểm A, B, cho AB >1 Ta lấy điêm X bất kú mµ X A, X B Víi ®iÓm A, B, X, ®ã AB >1 suy AX < BX < 1(theo giả thiết) Vậy điểm lại chia thành lớp: Lớp điểm X cho AX < Lớp ®iĨm Y cho BY < C¸c ®iĨm thc lớp thứ đ-ợc phủ hình tròn tâm A bán kinh 1, c ác điểm thuộc lớp thứ đ-ợc phủ hình tròn tâm B bán kinh Mỗi điểm đà cho rơi vào lớp Tổng số điểm lớp 25 nên lớp phải có không 13 điểm Suy chọn đ-ợc 13 điểm phủ đ-ờng tròn bán kính Ví dô 2: Cho ABC nhän, cã S ABC = Chứng minh tồn tam giác vuông có diện tích không v-ợt phủ kín ABC 42 Ta thu đ-ợc tứ giác lồi A4A5A2A3 Bài toán 2: Chứng minh đa giác lồi bốn đỉnh chúng tạo thành tứ giác lồi Chứng minh : Nếu đa giác lồi bốn đỉnh tạo thành tứ giác lồi ( hiển nhiên theo định nghĩa) Ng-ợc lại ta cần chứng minh: Nếu đa giác F thoả mÃn bốn đỉnh tạo thành tứ giác lồi đa giác ®ã låi ThËt vËy gäi G lµ bao låi cđa F Ta chøng minh mäi ®iĨm thc F ®Ịu thc G Giả sử tồn đỉnh A F nh-ng A1 A không đỉnh G, chia G A6 thành tam giác đ-ờng chéo A5 tồn tam giác chứa A, giả sử tam giác AiAjAk Chứng tỏ tứ giác AiAjAkA không tứ giác lồi, suy A A2 vô lý Vậy đỉnh đa giác F nằm bao lồi G Suy F ®a gi¸c A3 A4 låi Häc sinh míi chØ biÕt khái niệm hình lồi mà ch-a có điều kiện hiểu thêm tính chất Vì toán góp phần mở rộng thêm kiến thức hình lồi, gây tò mò tạo hứng thú cho học sinh 2.4.2 Bồi d-ỡng phẩm chất trí tuệ nh- t- linh hoạt, t- độc lập trình dạy học kiến thức phổ thông, tiếp tục củng cố phát triển trình h-ớng dẫn giải toán hình học tổ hợp Bồi d-ỡng t- linh hoạt, độc lập cần thực suốt trình dạy học môn toán Việc giải toán hình học tổ hợp đòi hỏi mức độ t- linh hoạt độc lập cao Do xem việc bồi d-ỡng t- linh hoạt, t- độc lập cho học sinh trình dạy học toán vừa mục đích vừa điều kiện để khai thác kiến thức hình học tổ hợp nhằm phát triển t- sáng tạo cho học 43 sinh Sử dụng kiến thức hình học tổ hợp bồi d-ỡng häc sinh giái võa cã t¸c dơng cđng cè kiÕn thức hình học phổ thông vừa có tác dụng củng cố kết đạt đ-ợc bồi d-ỡng t- cho häc sinh ®ã cã t- linh hoạt, t- độc lập t- sáng tạo Chóng t«i xin trÝch dÉn mét sè vÝ dơ minh họa: Khi dạy kiến thức khối đa diện cho học sinh giải toán: Bài toán: Chứng minh không tồn khối đa diện có số lẻ mặt mà mặt có số lẻ cạnh Giải: Ta sử dụng ph-ơng pháp phản chứng: Giả sử tồn khối đa diện có 2k+1 mặt là: S1,S2, S2k+1 mặt có số lẻ cạnh lần l-ợt là: 2m1+1, 2m2+1, 2m2k+1+1 Tổng số cạnh tất mặt là: T= 2m1+1 + 2m2+1 + + 2m2k+1+1=2(m1+m2+ m2k+1)+2k+1 số lẻ Nh-ng cạnh khối đa diện giao mặt kề nên cạnh đ-ợc tính lần suy tổng T phải số chẵn Vậy giả thiết tồn khối đa diện nh- mâu thuẫn Do không tồn khối đa diện có số lẻ mặt mà mặt có số lẻ cạnh Khi dạy học đ-ờng tròn mặt phẳng ta nêu toán: Bài toán: Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt (n 2) qua điểm ta vẽ đ-ờng tròn Chứng minh dù trình vẽ đà thực xong hay thực sau vẽ xong đ-ờng tròn ta thấy tồn điểm có số đ-ờng tròn qua Giải: Với cách vẽ nh- điểm đà cho nối với không n-1 điểm lại Xét tr-ờng hợp xảy ra: TH1: Nếu có điểm x0 ch-a đ-ợc nối với điểm số đ-ờng tròn qua điểm nhỏ n-1 (vì đỉnh ch-a đ-ợc nối với x0 ) suy số đ-ờng tròn qua điểm thuộc tập 0,1, ,n nên có điểm có số đ-ờng tròn qua Mà ta có tất n điểm 44 TH2: Nếu tất n điểm đ-ợc nối với điểm lại số đ-ờng tròn qua điểm nhỏ n-1 Suy số đ-ờng tròn qua ®iÓm chØ thuéc tËp 1,2 ,n Có tất n điểm nên có ®iĨm cã sè ®-êng trßn ®i qua b»ng VËy suy điều phải chứng minh 2.4.3 Rèn luyện khả xem xét kiến thức hình học phổ thông theo cách nhìn khác nhau, tạo sở cho việc tiếp cận nội dung hình học tổ hợp giải toán hình học tổ hợp Vấn đề đ-ợc xây dựng dựa sở vấn đề Toán học có nhiều cách nhìn nhận theo góc độ khác Vì cần rèn luyện cho em chịu khó đào sâu suy nghĩ sau giải xong cách toán tự đặt vấn đề : Liệu toán có cách giải khác hay không?" hay có lời giải tốt khôngTrả lời câu hỏi dẫn đến nhu cầu nhìn toán, xem xét liệu theo cách khác Nhờ mµ chóng ta cã thĨ rÌn lun cho häc sinh nhìn toán cách toàn diện, đa dạng, khai thác đ-ợc nhiều thuộc tính, nhiều mối liên hệ dự kiện Mỗi học sinh có khả liên t-ởng, huy động kiến thức khác tuỳ vào khả t- giải vấn đề em Đó yếu tố cần thiết để phát triển t- sáng tạo cho học sinh Để làm đ-ợc điều nên chọn toán không khó có nhiều lời giải khác khuyến khích em tìm nhiều lời giải, phân tích đánh giá lời giải, chọn lời giải hay Trong toán hình học tổ hợp toán giải đ-ợc theo nhiều ph-ơng pháp giải khác nhau, song lựa chọn số toán đơn giản để học sinh đ-a nhiều h-ớng giải cho toán Sau số ví dụ minh họa: Ví dụ1: Cho đa giác lồi có diện tích 24cm2 Chứng minh ta vẽ đ-ợc đa giác tam giác có diện tích không nhỏ 6cm2 Giải: 45 Cách 1: Đa giác lồi ch-a có dạng cụ thể nên để tam giác thoả mÃn điều kiện khó Vì để giải đ-ợc toán ta phải bao đa giác đà cho hình xác định phần ph-ơng pháp tạo dải song song đà sử dụng ph-ơng pháp để tạo hình bình hành bao đa giác lồi đà cho (mục 2.3.3, ví dụ trang 35) Nếu sử dụng kết ta đ-ợc hình bình hành MNPQ chứa đa giác c Q Do SMNPQ ≥ 24cm2 Ta cã SACD + SACE = d b C P SMNPQ D SACD + SACE ≥ 12cm2 N M VËy tån t¹i tam giác B A a ACD ACE có diện tích lớn Cách 2: Nếu không sử dụng ph-ơng pháp tạo dải song song để tạo hình bình hành bao đa giác ta h-ớng cho học sinh giải theo ph-ơng pháp khác Dự đoán tam giác đà cho tam giác cã diƯn tÝch lín nhÊt c¸c tam gi¸c cã đỉnh đỉnh đa giác Ta sử dụng ph-ơng pháp nguyên lí cực hạn Gọi tam giác ABC tam giác có diện tích lớn tam giác có đỉnh đỉnh đa giác Qua A,B,C kẻ đ-ờng thẳng song song với cạnh đối diện tam giác ABC ta thu đ-ợc tam giác DEF Nhận xét: Không có đỉnh M A F E đa giác nằm tam giác DEF Thật đỉnh M đa giác nằm tam giác DEF Chẳng hạn M B C nằm khác phía với D EF D 46 SMBC ≥ SABC, tr¸i víi c¸ch chän tam gi¸c ABC Do đó: SDEF Sđa giác = 24cm2 4SABC ≥ 24cm2 => SABC ≥ 6cm2 VËy ABC tam giác phải tìm Ví dụ 2: Cho ngũ giác lồi có tất góc tù Chứng minh tồn đ-ờng chéo có ngũ giác cho hình tròn có đ-ờng kính đ-ờng chéo phủ kín ngũ giác Chứng minh: Kẻ DH AB TH1: H thuộc đoạn AB Do E, C lµ gãc tï Suy E, C thuộc phần hình tròn ( O1, AD BD ) vµ ( O2, ) 2 D E C phđ tứ giác AHDE DHBC chúng O1 O2 phủ kín ngũ giác TH2: H AB T-ơng tự từ giả thiết toán ta có kết qu¶ nh- sau: AH (O1 ) BH (O ) A H B => AB (O1)U (O2) Suy hình tròn (O1) (O2) phủ kín ngũ giác Cách 2: Ta giải toán ph-ơng pháp phân giải song song đà đ-ợc trình bày phần số ph-ơng pháp giải toán hình học tổ hợp Mục 2.3.3 trang 35 2.4.4 Dạy học số kiến thức hình học tổ hợp cho học sinh giỏi theo h-ớng phối hợp hình thành kiến thøc víi rÌn lun c¸c thao t¸c t- ViƯc đ-a hình học tổ hợp vào ch-ơng trình bồi d-ỡng học sinh giỏi nhằm mục đích rèn luyện thao t¸c t- cho häc sinh Cã thĨ võa phối hợp hình thành kiến thức vừa rèn luyện thao tác t- qua hệ thống tập t-ơng ứng Từ góp phần củng cố kiến thức phát triển t- cho học sinh Ví dụ sau dạy khái niệm l-ới nguyên đa giác l-ới nguyên, học sinh đà biết đến định lí tồn đa giác l-ới nêu tập sau: 47 Ví dụ: Chứng minh n giác có đỉnh nút l-ới nguyên hình vuông Dựa vào định lý tồn n giác trªn l-íi víi n = 3, 4, ta chØ cần chứng minh không tồn tam giác lục giác có đỉnh nút l-ới nguyên Ta sử dụng ph-ơng pháp phản chứng Chứng minh: Giả sử tồn tai ABC có đỉnh nút l-ới nguyên Giả sử: B ( ma, na ); C ( pa, qa ); m, n, p, q Z => BC2 = [ ( m - p )2 + ( n - q )2 ] a2 => S ABC = [ ( m-p )2 + ( n-q )2 ] Ta cÇn đ-ợc mâu thuẫn kết Ta sÏ tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC theo mét c¸ch khác M B N so sánh kết với Có cách tính diện tích tam giác ABC l-ới A không? HÃy sử dụng ph-ơng pháp bao hình để P Q giải vấn đề ®ã NhËn xÐt: nÕu bao O ABC bëi h×nh vuông MNPQ có đỉnh nút l-ới => SAMB,BNP,APQ a2 cã d¹ng : no S MNPQ cã d¹ng : n.a2 => S ABC cã d¹ng: ( 2n - n0 ) a2 Q §Õn dễ thấy kết thu đ-ợc m©u thuÉn Do: S ABC = [ ( m-p )2 + ( n-q )2 ] Q 48 Và: S ABC có dạng ( 2n - n0 ) a2 Q B Vậy không tồn tam giác có đỉnh thuộc nút l-ới nguyên A C Thật vậy: Giả sử tồn lục giác ABCDEF có đỉnh nút l-ới nguyªn Ta cã: T AF B' (B) = B/ N => ABB/ đều, mâu thuẫn không tồn tam giác F D l-ới Vậy đa giác l-ới nguyên hình vuông E 2.4.5 Rèn luyện mềm dẻo suy nghĩ giải vấn đề việc bồi d-ỡng học sinh giỏi qua toán hình học tổ hợp Tính mềm dẻo t- lực dễ dàng từ thao tác t- sang thao tác t- khác, vận dụng linh hoạt hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu t-ợng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá ph-ơng pháp suy luận nhquy nạp, suy diễn, t-ơng tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời h-ớng suy nghĩ gặp trở ngại Tính mềm dẻo t- lực thay đổi dễ dàng gạt bỏ sơ đồ tduy có sẵn xây dựng ph-ơng pháp t- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng cách máy móc kiến thức kỹ đà có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện Đó nhận vấn ®Ị míi ®iỊu kiƯn quen thc, nh×n thÊy chøc đối t-ợng quen biết Khi giải toán hình học tổ hợp cần đặt yêu cầu rèn luyện tính mềm dẻo cho học sinh toán dạng có ph-ơng pháp giải định Ví dụ 1: a, Bên đ-ờng tròn có bán kính 5, cho điểm, chứng minh tồn điểm điểm có khoảng cách nhỏ b,Chứng minh kết ta thay điểm điểm Giải: a, Chia hình tròn tâm O hình quạt Theo nguyên lý Đirichlê, tồn điểm đà cho thuộc hình quạt, giả sử A B thuộc hình quạt COD ( A, B không thuộc cung hình quạt ) 49 Nếu điểm A B trùng với O toán đ-ợc chứng minh Giả sử điểm A B không trùng với O Trên OC lấy A/ cho OA/ = OA, trªn OB lÊy B/ cho OB/ = OB XÐt hai tam gi¸c: AOB A/OB/ có OA = OA/ C Nên AB ≤ A/B/ OB = OB/ A' A AOB A / OB/ B Mặt khác: OA B có O = 600 nªn / / B' D gãc A / B/ lớn 600 Chẳng hạn góc A / 600 Thế O A / suy ra: A/B/ ≤ OB/ < OD = Nh- vËy AB < b, NhËn xÐt: NÕu giải t-ơng tự nh- câu a, chia hình tròn thành hình quạt để tồn hình quạt chứa điểm ch-a giải đ-ợc toán hình quạt có cung 3600 : = 720, cung tồn điểm có khoảng cách lớn bán kính Vì h-ớng suy nghĩ nh- câu a không giải đựơc toán Ta giải câu b theo cách khác Xét tr-ờng hợp: -TH1: điểm đà cho tồn điểm tâm đ-ờng tròn điểm điểm lại cách tâm khoảng cách nhỏ 5, toán đ-ợc chứng minh -TH2: điểm đà cho, điểm tâm đ-ờng tròn Nếu có điểm thuộc bán kính khoảng cách điểm nhỏ Bài toán đ-ợc chứng minh Nếu điểm thuộc bán kính Y ta vẽ bán kính qua điểm đà cho Có bán kính nên tồn bán kính tạo với góc không 600 Nh- ta đà đ-a h-ớng giải nh- câu a Giả sử bán kính OC, OD theo thứ tự qua ®iÓm ®· cho A, B A O D B 50 OAB cã O 600 nªn gãc A , B 600, thÕ th× O A Do ®ã AB OB < OD = Nh- AB < T-ơng tự nh- toán ta có toán sau: Bên đ-ờng tròn có bán kính 6, cho điểm Chứng minh điểm tồn điểm có khoảng cách nhỏ hÃy giải toán tr-ờng hợp thay điểm điểm 2.5 Kết luận Trong Ch-ơng đà đề cập đến vấn đề: - Tìm hiểu hình học tổ hợp số ph-ơng pháp giải toán hình học tổ hợp - Đ-a số định h-ớng bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh giỏi thông qua dạy học giải tập hình học tổ hợp 51 Ch-ơng3: Thử nghiệm s- phạm 3.1 Mục đích thử nghiệm Thử nghiệm s- phạm đ-ợc tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi tính hiệu vấn đề đà đ-ợc đề xuất 3.2 Néi dung thư nghiƯm Thư nghiƯm d¹y båi d-ìng häc sinh giỏi toán lớp 11 tr-ờng PTTH Lê Hồng Phong chủ đề Hình học tổ hợp Nội dung bao gồm : Tìm hiểu số dạng toán Hình học tổ hợp ph-ơng pháp giải toán 3.3 Đối t-ợng thử nghiệm Các em đội tuyển thi häc sinh giái khèi 11, Tr-êng THPT Lª Hång Phong 3.4 Tỉ chøc thư nghiƯm 3.3.1 Chän líp thư nghiƯm Các em đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh toán lớp 11 3.3.2 Tiến trình thử nghiệm Đầu tiên trình bày số kiến thức hình học tổ hợp Bao gồm: +Hình lồi +Khái niệm phủ hình +Luới điểm mặt phẳng Trình bày số ph-ơng pháp suy luận sử dụng để giải tập hình học tổ hợp Bao gồm: +Ph-ơng pháp phản chứng +Ph-ơng pháp tạo đa giác bao +Ph-ơng pháp tạo dải song song +Ph-ơng pháp nguyên lí cực hạn +Ph-ơng pháp quy nạp toán học Một số tập áp dụng : Ví dụ1: Tồn hay không điểm mặt phẳng cho ®iĨm nµo chóng cịng lµ ®Ønh cđa mét tam giác nhọn? 52 Giải: a, Xét đa giác bao điểm đà cho TH1: Đa gíác bao tam giác Suy tồn điểm thứ nằm tam giác Giả sử D nằm tam giác ABC Dẫn đến góc ADB, ADC, BDC phải góc tù Do có ®Ønh nµo chóng cịng lµ ®Ønh cđa mét tam giác nhọn TH2: Đa giác bao tứ giác hiển nhiên phải tồn góc đỉnh góc tù Vậy không tồn điểm mặt phẳng cho điểm chúng đỉnh tam giác nhọn Nhận xét: Hầu hết em nghĩ dến ph-ơng pháp bao hình để giải toán dễ dàng không tồn hình thoà mÃn yêu cầu Tõ vÝ dơ 1, thay ®iĨm bëi ®iĨm việc giải nh- không gặp mâu thuẫn ta nhận xét đỉnh chúng đỉnh tam giác tù Phải tồn điểm mặt phẳng cho điểm chúng đỉnh cđa mét tam gi¸c tï? H·y chØ sù tån Ta điểm nh- sau: Trên nửa đ-ờng tròn có đ-ờng kính AB, lấy A2 liên tiếp điểm theo thứ tự A1, A2 ,A3, A4, A5 Năm điểm đà cho điểm phải tìm A1 A4 A5 Thật vậy, với i BPA DPC DAP BPC < 3600 O2 => v« lÝ Suy điều phải chứng minh C Bài toán quen thuộc nên hầu hết em làm Ví dụ3: Cho đ-ờng tròn tâm O, bán kính Chứng minh phủ kín hình tròn hình tròn có bán kính , phủ kín hình hình tròn bán kính r , r > Chứng minh: Xét tam giác ABC nội tiếp đ-ờng tròn tâmO Suy ra: AC = => AC = AOC = 1200 => O n»m ( O1, Ta nhận đ-ợc (O1, M AC ) AC ) phủ tam giác AOC T-ơng tù ta cã (O2, A O B C BC AB ), (O3, ) phủ tam giác 2 BOC AOB Vậy hình tròn phủ kín ABC Ta cần chứng minh chúng phủ cung AC, AB, BC đ-ờng tròn (O) Không tính tổng quát ta chøng minh (O1, AC ) phñ cung AC Lấy M cung AC => AMCB tứ giác néi tiÕp (O) => AMC tï (v× B = 600) => AM (O1) => (O1) phđ cung AC T-¬ng tự ta suy đ-ờng tròn phủ hình tròn đà cho 54 Để chứng minh phủ kín hình tròn hình tròn cã b¸n kÝnh r < ta xÐt (O/, r) ®i qua C, r < víi ABC ®Ịu néi A tiÕp (O) D Gi¶ sư (O/, r) (O) = D Ta cã CD < 2r < => CD < AC O Suy xÐt đ-ờng tròn (O) cung CD phủ kín cung CA B O'' C Nếu xét đ-ờng tròn có tâm lần l-ợt nằm cạnh tam giác ABC, bán bính nhỏ lần l-ợt qua đỉnh tam giác phủ hình tròn đà cho Nhận xét: Đây toán phủ hình Việc dựng tam giác nội tiếp hình tròn để hình tròn t-ơng ứng phủ hình tròn đà cho khó khăn với em Tôi đà h-ớng dẫn em sau xét tam giác nội tiếp đ-ờng tròn hầu nh- em chứng minh đ-ợc Qua tiết dạy, em đà phần làm quen cách học tập cách sáng tạo, rèn luyện cho thân thói quen suy nghĩ linh hoạt, không rập khuôn, biết phân chia tr-ờng hợp cụ thể đầy đủ xác giải toán Mỗi toán có cách giải đặc biệt thú vị nên gây đ-ợc hứng thú học tập em.Tuy nhiên cần rèn luyện nhiều loại toán hình học tổ hợp cho học sinh giỏi để em thành thạo có suy nghĩ linh hoạt gặp phải toán mà ch-a có ph-ơng pháp giải cụ thể 55 Kết luận Trong khoá luận đà làm sáng tỏ vấn đề sau: Tìm hiểu khái niệm t- duy, t- sáng tạo Tiềm phát triển t- sáng tạo cho học sinh thông qua giải toán hình học tổ hợp Tìm hiểu số ph-ơng pháp suy luận giải toán hình học tổ hợp Đ-a số định h-ớng khai thác, sử dụng toán hình học tổ hợp nhằm phát triển t- sáng tạo cho học sinh Một số nội dung khoá luận đà đ-ợc thử nghiệm tr×nh tham gia båi d-ìng häc sinh giái khèi 11 tr-ờng THPT Lê Hồng Phong đà đ-ợc học sinh tiếp thu cách hứng thú B-ớc đầu cho thấy sử dụng toán khoá luận làm t- liệu bồi d-ỡng học sinh giỏi ngoại khoá nhóm toán tr-ờng THPT 56 Tài liệu tham khảo [ 1] Vũ Hữu Bình, Các toán Hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Công Chuẩn, Góp phần bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh giỏi thông qua dạy học giải tập chủ đề ph-ơng trình hàm, Khóa luận tốt nghiệp đại họcVinh, 2004 [3] Crutexki V.A, Những sở Tâm lý học s- phạm, NXB Giáo dục,1980 [4] Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề Hình học tổ hợp, NXB Giáo dục, 2005 [5] G Polya , Toán học suy luận có lý, NXB Giáo dục, 1968 [6] G Polya , Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục, 1978 [7] Phạm Minh Hạc, Tâm lí học, NXB Giáo dục, 1998 [8] Vũ Đình Hoà, Một số kién thức sở Hình học tổ hợp, NXB Giáo dục, 2000 [9] Nguyễn Bá Kim, Ph-ơng pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học s- phạm,2002 [10] Trần Luận, Dạy học sáng tạo môn toán tr-ờng phổ thông, Nghiên cứu giáo dục, 1995 [11] GS.TS Đào Tam, Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Đại học s- phạm, 2005 [12] Tôn Thân, Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi d-ỡng số yếu tố t- sáng tạo cho học sinh giỏi tr-ờng THCS Việt Nam, Viện Khoa học giáo dục1995 [13] Vũ D-ơng Thụy, Vũ Quốc Chung, Phát triển t- sáng tạo cho học sinh Tiểu học trình dạy yếu tố hình học, Nghiên cứu giáo dục, 1999 [14] Trần Trọng Thủy, Sáng tạo, chức quan trọng trí tuệ, Thông tin khoa học,2000 [15] Trần Thúc Trình, T- hoạt động Toán học, Viện Khoa học, 1998 [16] Nguyễn Văn Thuận, Góp phần phát triển lực t- lôgic sử dụng xác ngôn ngữ Toán học cho học sinh đầu cấp THPT dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ giáo dục học, Vinh, 2004 [17] Đức Uy, Tâm lý học sáng tạo, NXB Gi¸o dơc ... học sinh giỏi thông qua dạy học giải tập hình học tổ hợp 2.2 Một số nội dung hình học tổ hợp liên quan đến chuyên đề bồi d-ỡng học sinh giỏi THPT Nội dung chuyên đề số yếu tố hình học tổ hợp, đ-ợc... bày số nội dung hình học tổ hợp bồi d-ỡng cho học sinh giỏi -Nghiên cứu số ph-ơng pháp giúp học sinh giải toán hình học tổ hợp số định h-ớng bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh giỏi -Tiến hành... t- sáng tạo cho học sinh giỏi, chn bÞ cho viƯc thùc hiƯn nhiƯm vơ båi d-ìng học sinh giỏi toán Giả thuyết khoa học Nếu dạy học hình học tổ hợp theo định h-ớng bồi d-ỡng t- sáng tạo cho học sinh