Luận văn thạc sĩ: Ma trận đơn Modula và các đa diện nguyên

luận văn thạc sĩ toán ứng dụng về ma trận đơn modula: tổng hợp và giới thiệu có chọn lọc có kết quả về ma trận đơn modula, modula tuyệt đối, về tập đa diện nguyên và một số bài toán tối ưu nguyên hay gặp trong lý thuyết và ứng dụng

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC V S DNG MA TRN N MễULA V CC A DIN NGUYấN LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC V S DNG MA TRN N MễULA V CC A DIN NGUYấN Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC GS.TS TRN V THIU Thỏi Nguyờn - 2015 i Mc lc M u 1 Kin thc chun b 1.1 TP LI V TP LI A DIN 1.1.1 Tp afin 1.1.2 Tp li QUY HOCH TUYN TNH 1.2.1 1.2.2 Thut toỏn n hỡnh (gc v i ngu) 1.2 1.3 QUY HOCH TUYN TNH NGUYấN 11 1.3.1 Qui hoch tuyn tớnh nguyờn l bi toỏn tỡm cc tiu (cc i) ca mt hm tuyn tớnh trờn mt im ri rc, thng l im nguyờn: 11 1.3.2 Sau õy l hai vớ d v bi toỏn nguyờn phi tuyn ( m rng ILP) 13 MA TRN N MễULA V N MễULA TUYT I Chng 2: MA TRN N MễULA V N MễULA TUYT I 16 16 2.1 MA TRN N MễULA 16 2.2 MA TRN N MễULA TUYT I 22 A DIN NGUYấN V GN NGUYấN 28 ii Chng 3: A DIN NGUYấN V GN NGUYấN 3.1 3.2 28 IU KIN NGUYấN 28 3.1.1 C s n mụula v ma trn n mụula tuyt i 29 3.1.2 Vớ d v a din nguyờn 31 3.1.3 Ma trn cõn i, ma trn hon ho v ma trn lý tng 32 A DIN GN NGUYấN 35 Kt lun 41 Ti liu tham kho 42 M u Trong lnh vc ti u húa, cỏc ma trn gi mt vai trũ quan trng v thng cú liờn quan ti cỏc lp bi toỏn ti u khỏc Chng hn, cỏc ma trn (na) xỏc nh dng (õm) gn vi cỏc bi toỏn ti u li hay lừm, ma trn khụng xỏc nh gn vi cỏc bi toỏn ti u ton cc (ti u phi tuyn khụng li)v.v Trong cỏc ma trn thc, cỏc ma trn n mụula (vuụng cp n, nguyờn, nh thc 1) v cỏc ma trn n mụula tuyt i (cp mxn, mi nh thc ca nú bng hay 1) cú cỏc tớnh cht c bit, rt c chỳ ý ti u nguyờn Cỏc ma trn n mụula tuyờt i v cỏc m rng (ma trn cõn i, hon ho v lý tng) liờn quan cht ch vi a din nguyờn (mi nh ca nú cú cỏc ta nguyờn) v gn nguyờn (cỏc im nguyờn ca nú l nh) Chng hn, a din ca bi toỏn ti, bi toỏn ghộp cp, bi toỏn ph cnh th hai phn, bi toỏn phõn hoch tp, cú mi nh l nguyờn Nhiu thc t cú th din t di dng bi toỏn qui hoch tuyn tớnh nguyờn trờn cỏc a din nguyờn hay gn nguyờn Vỡ th cú th s dng cỏc thut toỏn n hỡnh quen thuc tỡm nghim nguyờn ca bi toỏn Cỏc tỏc gi sỏch tham kho [2] - [6] cp ti cỏc ma trn n mụula, n mụula tuyt i v cỏc a din nguyờn (gn nguyờn), cựng nhiu bi toỏn ti u tuyn tớnh nguyờn cú liờn quan Cỏc ti liu [2] - [6] bao gm nhiu kt qu hay v cú ý ngha khoa hc, c nhiu ngi quan tõm hc tp, nghiờn cu Sau c hc cỏc chuyờn v gii tớch li, ti u húa v cỏc kin thc cú liờn quan, vi mong mun tỡm hiu sõu hn v nhng kin thc ó hc, cỏc kin thc m rng v ng dng ca nhng kin thc ny, chỳng tụi chn ti lun "Ma trn n mụula v cỏc a din nguyờn" Mc ớch chớnh ca ti: Tỡm hiu v trỡnh by cỏc kt qu chớnh ó cú v cỏc a din nguyờn v gn nguyờn, da trờn cỏc ma trn n mụula tuyt i v cp ti mt s bi toỏn ti u nguyờn, thng gp lý thuyt v ng dng Lun c vit da ch yu trờn cỏc ti liu tham kho [1] - [6] i tng v phm vi nghiờn cu: Ma trn n mụula, phộp bin i n mụula v ma trn n mụula tuyt i, a din nguyờn v gn nguyờn, v mt s bi toỏn ti u nguyờn hay gp lý thuyt v ng dng Phng phỏp nghiờn cu: Tng hp cỏc kin thc thu nhn c t cỏc ti liu tham kho liờn quan n ti lun vn, dng cỏc phng phỏp nghiờn cu ca gii tớch, gii tớch li v ti u húa D kin úng gúp mi ca lun vn: Tng hp v gii thiu cú chn lc cỏc kt qu v ma trn n mụula, n mụula tuyt i, v a din nguyờn v gn nguyờn, v mt s bi toỏn ti u nguyờn hay gp Ni dung ca lun gm ba chng: Chng "Kin thc chun b" nhc li tt cỏc khỏi nim, nh ngha v kt qu c bn v li v li a din (nh, cnh, din), v bi toỏn qui hoch tuyn tớnh v bi toỏn i ngu (iu kin ti u, thut toỏn n hỡnh gc v i ngu), v bi toỏn qui hoch tuyn tớnh nguyờn v phi tuyn nguyờn Chng "Ma trn n mụula v n mụula tuyt i" trỡnh by khỏi nim ma trn n mụula, phộp bin i n mụula v mt s kt qu liờn quan n tỡm nghim nguyờn ca h phng trỡnh tuyn tớnh Tip theo trỡnh by khỏi nim ma trn n mụula tuyt i: cỏc tớnh cht, vớ d v mt s tiờu chun nhn bit ma trn n mụula tuyt i Chng "Tp a din nguyờn v gn nguyờn" cp ti cỏc a din nguyờn v gn nguyờn, mụ t iu kin cú cỏc a din nguyờn v xột mt s bi toỏn ti u trờn a din nguyờn, gn nguyờn (bi toỏn ti, bi toỏn sp xp tp, ph v phõn hoch tp) a din nguyờn v gn nguyờn liờn quan cht ch vi cỏc ma trn n mụula tuyt i v cỏc m rng (ma trn cõn i, ma trn hon ho v ma trn lý tng) Do thi gian cú hn nờn lun ny ch yu ch dng li vic tỡm hiu, hp ti liu, sp xp v trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu ó cú theo ch t Trong quỏ trỡnh vit lun cng nh x lý bn chc chn khụng trỏnh cú nhng sai sút nht nh Tỏc gi lun rt mong nhn c s gúp ý ca cỏc thy cụ v cỏc bn ng nghip lun c hon thin hn Nhõn dp ny, tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n thy hng dn GS.TS Trn V Thiu ó tn tỡnh giỳp sut quỏ trỡnh lm lun Tỏc gi xin chõn thnh cm n cỏc GS, PGS, TS ca Khoa Toỏn - Tin, Trng i hc Khoa hc Thỏi Nguyờn v ca Vin Toỏn hc ó ging dy v to mi iu kin thun li quỏ trỡnh tỏc gi hc v nghiờn cu Thỏi Nguyờn, ngy 01 thỏng 11 nm 2015 Tỏc gi lun V S Dng Chng KIN THC CHUN B Chng ny gii thiu tt mt s kin thc c bn cn thit v gii tớch li (tp li v li a din), bi toỏn qui hoch tuyn tớnh (nghim c s, iu kin ti u, phng phỏp n hỡnh ) v v bi toỏn qui hoch tuyn tớnh nguyờn Ni dung trỡnh by chng ny ch yu da trờn cỏc ti liu [1], [3] 1.1 TP LI V TP LI A DIN 1.1.1 Tp afin Trc ht l nhng khỏi nim liờn quan ti afin nh ngha 1.1 Mt M Rn c gi l afin nu a, b M, R b + (1 )a M , tc l h M cha hai im no ú thỡ M cha c ng thng qua hai im y Mt s tớnh cht c bn ca cỏc afin: Nu M l afin thỡ a+M = {a + x : x M } cng l afin a Rn M l afin cha gc v ch M l mt khụng gian ca Rn Giao ca mt h bt k afin cng l mt afin Nu x1 , , xk thuc afin M thỡ mi t hp afin ca chỳng cng thuc M, tc l xi M (i = 1, , k), + + k = x1 + + k xk M Mt afin bt k cú dng M = {x : Ax = b} vi A Rmìn , b Rm Ngc li, mi cú dng trờn u l afin (ú l nghim ca mt h phng trỡnh tuyn tớnh Bao afin ca mt E l giao ca tt c cỏc afin cha E, ký hiu aff(E) ú l afin nh nht cha E T cỏc tớnh cht ca afin suy ra: x af f (E) x = k k i xi , xi E, i=1 i = i=1 Cú th thy: Mt M = l afin v ch M = x0 + L vi x0 M v L l mt khụng gian L c xỏc nh mt cỏch nht v c coi l khụng gian song song vi M (M nhn c bng cỏch tnh tin L ti x0 ) nh ngha 1.2 Th nguyờn (s chiu) ca mt afin M l s chiu ca khụng gian song song vi nú nh ngha 1.3 Mt afin Rn cú th nguyờn n-1 c gi l mt siờu phng Cú th thy siờu phng l cú dng H = {x : aT x = } vi a Rn (a = 0), R (ú l nghim ca mt phng trỡnh tuyn tớnh Rn ) Mt cú dng H = {x : aT x ( )} (hay H = {x : aT x < (>)}) c gi l mt na khụng gian úng (hay m) (tp nghim ca mt h bt phng trỡnh) nh ngha 1.4 Mt k im x1 , x2 , , xk gi l c lp afin nu k - vộct x2 x1 , , xk x1 c lp tuyn tớnh Tn ti nht mt siờu phng i qua n im c lp afin cho Rn 1.1.2 Tp li Sau õy l mt s khỏi nim liờn quan n li nh ngha 1.5 Tp hp C Rn c gi l li nu a, b C, b + (1 )a C, tc l h C cha hai im no ú thỡ nú cha c on thng ni hai im y Cú th thy hp rng, hp gm mt im, hon ton khụng gian Rn , mi afin, siờu phng, na khụng gian (úng, m), hỡnh cu, u l nhng li Trong R2 , cỏc hỡnh tam giỏc, hỡnh vuụng, hỡnh trũn, hỡnh elip u l cỏc hp li Tuy nhiờn, ng trũn hay hỡnh vnh khn khụng phi l hp li Th nguyờn hay s chiu ca mt li C l th nguyờn ca bao afin ca C Trong Rn mt li th nguyờn n c gi l li th nguyờn y Sau õy l mt s tớnh cht c bn ca cỏc li: Giao ca mt h bt k cỏc li cng l mt li Nu C, D l li thỡ C + D = {x + y : x C, y D}, C = {x : x C} v C - D = C + (-1)D cng l li Nu C Rn , D Rm l li thỡ tớch C ì D = {(x + y) : x C, y D} Rn ì Rm cng l li Nu x1 , , xk thuc li C thỡ mi t hp li ca chỳng cng thuc C, tc l xi C, i 0(i = 1, , k), + + k = x1 + + k xk C Nu li C Rn khụng gii ni thỡ cú vộct d Rn (d = 0) cho vi mi x C tia x+d, nm trn C Mt vộct d nh th gi l mt phng vụ hn ca li C Cho mt bt k E Rn Giao ca tt c cỏc li cha E c gi l bao li ca E, ký hiu conv(E) ú l li nh nht cha E Cú th thy: conv(E) trựng vi tt c cỏc t hp li ca cỏc phn t thuc E Bao úng v phn ca mt li cng l cỏc li Cho C Rn l mt li im x C gi l im cc biờn ca C nu x khụng th biu din di dng mt t hp li ca hai im phõn bit bt k khỏc thuc C, ngha l khụng tn ti hai im y, z C, y = z cho x = y + (1 )z vi < < 28 Chng A DIN NGUYấN V GN NGUYấN Chng ny cp ti cỏc a din nguyờn v gn nguyờn: mụ t iu kin cú cỏc a din nguyờn, xột mt s lp a din nguyờn v gn nguyờn thng gp Ni dung ca chng ch yu da trờn cỏc ti liu [2], [4] - [6] 3.1 IU KIN NGUYấN Theo lý thuyt qui hoch tuyn tớnh, cc tr (cc tiu hay cc i) ca hm tuyn tớnh trờn mt li a din (nu cú) t c ti mt nh (nghim c s) ca ú (gi thit a din cú nh) Vỡ th, nu mi nh ca li a din cú cỏc ta nguyờn thỡ sau gii bi toỏn qui hoch tuyn tớnh bng thut toỏn n hỡnh, ta s nhn c nghim ti u Nghim ú cng l nghim ti u ca bi toỏn qui hoch tuyn tớnh nguyờn tng ng Trong cỏc trng hp nh th bi toỏn qui hoch tuyn tớnh nguyờn (ILP) cú th gii nh bi toỏn qui hoch tuyn tớnh (LP) nh ngha 3.1 Mt li a din (hay mt a din li) c gi l a din nguyờn (integral polyhedron) nu ú rng hoc mi nh ca nú cú cỏc ta nguyờn Vn t l tỡm iu kin t lờn ma trn A = [aij ]mìn v vộct m -chiu b cho M (A, b) {Ax = b, x 0} l a din nguyờn Vi cỏch t ny thỡ cho ti bi toỏn v tớnh nguyờn ca a din cha c gii quyt Tuy nhiờn, bi toỏn miờu t mt s lp ma trn nguyờn A cho M(A,b) l a din nguyờn i vi bt k vộct nguyờn b thỡ n gin, d gii quyt hn 29 3.1.1 C s n mụula v ma trn n mụula tuyt i nh ngha 3.2 Gi s ma trn A cú hng m v B l ma trn cp m ì m ca A Khi ú, ta gi B l mt c s (basic) ca A nu B cú hng bng m v gi B l c s n mụula (unimodular basic) nu detB = nh lý sau cho mt tiờu chun nhn bit a din nguyờn nh lớ 3.1 ([6], tr 58) M(A,b) l a din nguyờn vi bt k vộct nguyờn b v ch mi c s ca ma trn nguyờn A l n mụula Chng minh Mi nh (nghim c s) x = (x1 , , xn )T ca M(A,b) c xỏc nh nht bi ch s bin c s j1 , , jm C s B gm cỏc ct j1 , , jm l c s chp nhn c Khi ú, cỏc thnh phn xB = (xj1 , , xjm )T ca nghim c s chp nhn c x liờn h vi c s B bi h thc BxB = b Theo gi thit ca nh lý thỡ detB = v l vộct nguyờn Vỡ th theo qui tc Cramer (tỡm nghim ca h phng trỡnh tuyn tớnh) ta nhn c xB l vộct nguyờn Do cỏc thnh phn cũn li ca x bng nờn nh (vộct) x l nguyờn Cn Ta s chng minh rng nu B l c s v xB l vộct nguyờn thỡ detB = Gi s y l vộct nguyờn m- chiu tựy ý cho y + B ei 0, ei = (0, 0, 1, , 0)T (3.1) i Xột h phng trỡnh Ax = b, (3.2) ú b = By+ei Do B l c s ca ma trn A nờn h (3.2) tng thớch Nghim c s z ca h (3.2) vi cỏc thnh phn khỏc khụng zB = B (By+ei ) = y+B ei theo (3.1) v ú, l nh ca li a din M(A,b) Theo gi thit a din M(A,b) nguyờn vi bt k b nguyờn, núi riờng vi b = b Do ú ZB l vộct nguyờn Do v phi ng thc ZB y = B ei l vộct nguyờn nờn vộct B ei - ct th i ca ma trn B - l vộct nguyờn Vy ma trn B nguyờn Vỡ B v B l cỏc ma trn nguyờn nờn nh thc ca chỳng l nhng s nguyờn 30 Theo gi thit B l c s nờn cỏc nh thc ny khỏc khụng T h thc quen thuc detB ì detB = suy detB = detB = Ta cng cú cỏc kt qu tng i vi a din M (A, b) = {x |Ax b, x 0} Ta nhc li (xem nh ngha 2.3), ma trn A gi l n mụula tuyt i nu nh thc ca mi ma trn vuụng ca nú bng hay (núi riờng aij = 1, 1i, j nh lớ 3.2 ([6], tr 59) M (A, b) l a din nguyờn vi bt k vộc t nguyờn b v ch ma trn A l n mụula tuyt i Chng minh Thờm vo bờn phi ca A ma trn n v E c m ì m v ỏp dng nh lý 3.1 vo a din M (A , b), A = [A, E] Theo nh lý 3.1, tớnh nguyờn ca M (A , b) ú ca M (A , b) vi b nguyờn bt k tng ng vi mi c s B ca ma trn A l n mụula, nhiờn (sau hoỏn v cỏc hng) cú th biu din c s ny di dng B= C O D Ek ú Ek l ma trn n v cp k ì k(0 k m) Rừ rng, detB = detC v ú detB = v ch detC = nh lý c chng minh Bng cỏch ỏp dng nh lý 3.1, cú th chng minh tớnh n mụula tuyt i ca ma trn A l iu kin cn v cho tớnh nguyờn ca a din M (A, b, b , d, d ) = { x| b Ax b, d x d} vi mi vộct nguyờn b,b,d,d cú s chiu thớch hp (b, b Rm , d, d Rn ) Tht vy, nu t y=x-d thỡ d x d y d d Vỡ th, { x| b Ax b, d x d} = {Ax b, Ay b , y d d , y 0}, Vi A = (A, A, E)T (E l ma trn n v cp n) v b = (b, b , d d )T thỡ M (A, b, b , d, d ) = M (A , b ) = { x| A x b , x 0} 31 v cú th thy mi c s ca A l n mụula v ch A n mụula tuyt i nh lý sau cng th hin rừ s tng ng gia tớnh nguyờn ca a din vi tớnh n mụula tuyt i ca ma trn nh lớ 3.3 (Hoffman v Kruskal, 1956 [2], tr 335) Gi s A = (A1 , A2 , A3 )T l ma trn gm cỏc phn t 0, v b = (b1 , b2 , b3 )T l vộc t vi s chiu thớch hp Khi ú, A l n mụula tuyt i v ch P (A, b) = {x :A1 x b1 ; A2 x b2 ; A3 x b3 ; x 0} l a din nguyờn vi mi vộct nguyờn b1 , b2 , b3 nh lớ 3.4 (Edmonds v Giles, 1977, [2], tr 336) Nu P (A) = {x : Ax b} l nguyờn i ngu tuyt i v b nguyờn thỡ P(A) l a din nguyờn Thc ra, Hoffman v Kruskal (1956) ó ch rng a din P(A,b) xỏc nh nh nh lý 3.3 l nguyờn i ngu tuyt i (TDI) Cho nờn nh lý 3.4 c suy t nh lý 3.3 v t s kin: A n mụula tuyt di v ch AT n mụula tuyt i 3.1.2 Vớ d v a din nguyờn Vớ d 3.1 Chng ta ó thy rng ma trn A ca bi toỏn ti l n mụula tuyt i Do ú theo nh lý 3.3, n M (A, b) = {(x11 , x12 , , xmn )| m xij =ai , j=1 xij =bj , i=1 xij 0, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n} l a din nguyờn Vớ d 3.2 Cho a din M (A, e) = { x Rn | Ax = em , x 0}, 32 Vi A l ma trn cỏc phn t 0,1 cp m ì n, em - vộc t m -chiu vi mi phn t Ta s ch rng nu tỡm c hai vộct nguyờn x v y M (A, e) cho xj + yj = vi mi j = 1, 2, , n (3.3) thỡ M(A,e) l a din nguyờn Tht vy, rừ rng z = (x + y)/2 M (A, e) Do n 1= aij zj = j=1 n aij (xj + yj ) = j=1 n n aij nờn j=1 aij = 2, i = 1, , m j=1 ngha l mi hng ca A cú hai phn t Ta a vo R1 cỏc ct j ca ma trn A cú xj = v a vo R2 cỏc ct j cú xj = Vỡ th ma trn A tha (sai khỏc mt phộp chuyn v) cỏc iu kin ca nh lý 2.6, ngha l A l ma trn n mụula tuyt i Vy, nu a din M(A,e) cha hai vộct nguyờn x,y tha iu kin (3.3) thỡ a din ú l nguyờn 3.1.3 Ma trn cõn i, ma trn hon ho v ma trn lý tng Sau õy ta cp ti mt s m rng ca lp ma trn n mụula tuyt i nh ngha 3.3 Ma trn gm cỏc phn t 0,1 gi l cõn i (balanced matrix) nu nú khụng cha cỏc ma trn vuụng bc l vi hai phn t trờn mi hng v mi ct nh ngha ny cho thy ma trn cõn i khụng cha ma trn ì dng 1 1 1 Khỏi nim ma trn cõn i Berge nờu ln ln u tiờn [1962] cú nhng gi ý quan trng cho cỏc bi toỏn sp xp v ph nh lớ 3.5 (Berge 1972 v Fulkerson et al 1974, [2], tr 336) Cho A l ma trn gm cỏc phn t 0, v cõn i Khi ú, a din ca bi toỏn sp xp tp, ph v 33 phõn hoch tng ng vi ma trn A l cỏc a din nguyờn, tc l cỏc a din sau nguyờn P (A) = {x : x 0, Ax 1}, Q(A) = {x : x 1, Ax 1}, R(A) = {x : x 0, Ax = 1} Gi s A = (A1 , A2 , A3 )T l ma trn cỏc phn t 0, v cõn i Fulkerson et al (1974) ó chng minh rng a din P (A) = {x : A1 x 1, A2 x 1, A3 x = 1, x 0} l nguyờn i ngu tuyt i (TDI) v t nh lý 3.4 (Edmonds & Giles, 1977) suy P(A) l a din nguyờn Truemper (1992) ó m rng nh ngha ma trn cõn i cho nhng ma trn bao gm cỏc phn t 0, nh ngha 3.4 Ma trn 0, l cõn i nu vi mi ma trn vuụng cú ỳng phn t khỏc trờn mi hng mi ct thỡ tng cỏc phn t ca ma trn l bi ca nh lớ 3.6 (Conforti & Cornuejols, 1992, [2], tr 336) Gi s A l ma trn 0, v cõn i Ký hiu n(A) l vộct ct m thnh phn th i l s phn t - trờn hng i ca A Khi ú cỏc a din sau l nguyờn P (A) = {x : Ax n(A), x 1}, Q(A) = {x : Ax n(A), x 1}, R(A) = {x : Ax = n(A), x 1} Cỏc ma trn n mụula tuyt i to thnh mt lp ma trn cõn i, tc l mi ma trn 0, n mụula tuyt i cng l mt ma trn cõn i iu ny suy t nh lý Camion (1965) núi rng ma trn 0, l n mụula tuyt i v ch vi mi ma trn vuụng cú mt s chn (núi riờng cú 2) phn t khỏc trờn mi hng v mi ct ca nú thỡ tng cỏc phn t ca ma trn ú l bi ca 34 1 1 A= 0 1 1 A= 1 Hỡnh 3.1 Ma trn cõn i v ma trn hon ho Ma trn ì Hỡnh 3.1 cho thy ma trn cõn i khụng nht thit l ma trn n mụula tuyt i (vỡ nh thc cp = 2!) Nhn xột 3.1.1 Ma trn A cỏc phn t 0, l cõn i v ch AT cõn i Hn na, A cõn i (hay n mụula tuyt i) v ch mi ma trn ca A cõn i (hay n mụula tuyt i) Vỡ th nu A cõn i (n mụula tuyt i) thỡ nh lý 3.6 (nh lý 3.3) ỳng i vi mi ma trn ca A Cỏc ma trn 0, cõn i cho nhng gi ý v cỏch gii bi toỏn ỏp ng hay bi toỏn lm tha (satisfiability problem) v bi toỏn MAX-SAT nh ngha 3.5 Ma trn A cỏc phn t 0, gi l hon ho (perfect) nu P (A) = {x : Ax 1, x 0} l a din nguyờn Ta ó bit sc s (chromatic number) ca mt th l s mu nh nht cn dựng tụ cỏc nh ca th cho hai nh k cú mu khỏc (gi l tụ ỳng) th G gi l hon ho (perfect graph) nu mi th H cm sinh bi mt s nh ca G cú sc s bng s nh ca clique cc i H Liờn h gia tớnh nguyờn ca a din P(A) v khỏi nim th hon ho Berge nờu c cho nh lý sau nh lớ 3.7 (Fulkerson 1970, Lovasz 1972, Chvỏtal 1975 [2], tr 337) Gi s A l ma trn cỏc phn t 0, cú cỏc ct tng ng vi cỏc nh ca mt th G v cỏc hng l cỏc vộct liờn thuc ca clique cc i G Khi ú, th G l hon ho v ch ma trn A l hon ho 35 Ma trn cõn i vi cỏc phn t 0, to thnh lp ma trn hon ho vi cỏc phn t 0, 1, tc l nu ma trn A cỏc phn t 0, l ma trn cõn i thỡ A l ma trn hon ho Ma trn ì Hỡnh 3.1 l mt vớ d v ma trn hon ho nhng khụng cõn i nh ngha 3.6 Ma trn A cỏc phn t 0, gi l lý tng (ideal) nu a din ca bi toỏn ph Q = {x : Ax 1, x 1} l nguyờn Cỏc tớnh cht ca ma trn lý tng c miờu t bi Lehman (1979), Padberg (1993) v Cornuejols & Novick (1994) Khỏi nim ma trn cỏc phn t 0, hon ho (hay lý tng) c m rng t nhiờn cho cỏc ma trn 0, hon ho (hay lý tng) Mt s kt qu liờn quan n cỏc ma trn 0, lý tng c nờu Hooker (1992) v mt s kt qu liờn quan n cỏc ma trn 0, hon ho c nờu Conforti et al (1993) 3.2 A DIN GN NGUYấN nh ngha 3.7 a din M c gi l gn nguyờn nu 1) Tt c cỏc im nguyờn ca a din M u l cỏc nh ca M 2) Nu gi S l cỏc nh nguyờn ca M thỡ mi cnh ca a din M = { x| x = y = 1, y 0} y y, yS yS (bao li ca S cỏc nh nguyờn ca M) cng l cnh ca a din M gii qui hoch tuyn tớnh nguyờn trờn cỏc im nguyờn ca mt a din gn nguyờn M, ta cú th dựng phng phỏp n hỡnh, vi ụi chỳt sa i Tht th, M l a din nguyờn nờn ta xut phỏt t mt nh nguyờn tu ý ca nú t ti nh ti u ta di chuyn t nh ny ti nh theo cỏc cnh ca M Theo iu kin 1) v 2) ng nh th tn ti trờn a din M Vỡ vy, mi bc ta cn kim tra xem nh k vi tr mc tiờu tt hn cú l nh nguyờn khụng Nu cú thỡ di chuyn, nu khụng thỡ tỡm nh k khỏc, v.v 36 Nhn xột 3.2.1 Nu a din M suy bin thỡ hai c s k cú th tng ng vi cựng mt nh v hai nh k cú th cú hai c s khụng k Vỡ vy, kim tra tớnh nguyờn ca cỏc nh k vi nh ang xột cú th phi kim tra khỏ nhiu c s Xột i din mt lp a din gn nguyờn Gi s M (A, e) = { x| Ax = em , x 0}, ú A = [aij ]mìn l ma trn cỏc phn t 0, cho trc khụng cha ct khụng; em l vộct m-chiu cỏc phn t Tp cỏc im nguyờn ca a din M(A, e) l nghim chp nhn c ca cỏc bi toỏn phõn hoch v ph hay gp lý thuyt v thc tin Trc ch rừ M(A, b) l a din gn nguyờn, ta nhc li bi toỏn phõn hoch tp, ph v mt s bi toỏn thc t cú liờn quan Bi toỏn phõn hoch Xột hp I = {1, 2, , m} Gi s nú c chia tỏch thnh n I1 , I2 , , In Tp Ij (j = 1, , n) c c trng bi vộct aj = (a1j , a2j , , amj )T vi aij = nu i Ij v aij = nu i / Ij nh ngha 3.8 Tp J J = {1, 2, , n} c gi l mt phõn hoch (partition) ca I nu Ij , Ij Ik = , j, k J , j = k jJ Gi s mi Ij (j = 1, , n) c gn vi mt trng s cj Cn tỡm phõn hoch J cú tng trng s nh nht, ngha l ta cú bi toỏn ti u: n cj xj min, (3.4) aij xj = 1, i = 1, 2, , m, (3.5) xj = hay , j = 1, 2, , n, (3.6) j=1 n j=1 37 õy xj = cú ngha ch s j cú mt phõn hoch J*, trỏi li thỡ xj = Bi toỏn phõn hoch liờn quan cht ch vi bi toỏn ph m nú ch khỏc bi toỏn (3.4) (3.6) ch iu kin (3.5) c thay bng bt ng thc: n (3.5) aij xj 1, i = 1, 2, , m, j=1 Vớ d 3.3 Cho I = {1, 2, 3, 4, 5} v 10 ca I: I1 = {1, 2, 3} c1 = 0, I2 = {2, 5} c2 = 0, c3 = 0, I4 = {1, 2, 5} c4 = 0, I5 = {2, 4, 5} c5 = 0, I6 = {2, 3, 5} c6 = 0, I7 = {3, 4, 5} c7 = 0, I8 = {1, 2, 3, 4} c8 = 0, I3 = {3, 4} I9 = {4, 5} c9 = 0, I10 = {2, 3, 4, 5} c10 = 0, Bi toỏn phõn hoch cú dng: min{cT x Ax = 2.xj {0, 1}, j = 10} vi c = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 7)T , x = (x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 )T 0 1 A= 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 v e = 1 1 Tỡm s n nh ca th Cho th G (n nh, m cnh), hóy tỡm nh J* ca G cho hai nh bt k J* khụng k v J* cú nhiu nh nht Khi ú, nu A = [aij ]mìn l ma trn liờn thuc cnh - nh ca th G v t nu nh j J , xj = nu trỏi li thỡ cú th phỏt biu bi toỏn tỡm s n nh ca th nh mt bi toỏn ph tp: n max n aij xj 1, i = 1, , m, xj = 0, hay 1, j = 1, , n xj j=1 j=1 38 Bi toỏn tụ mu bn Mi phộp gỏn mu cho cỏc ca mt bn phng G cho hai k cú nhng mu khỏc c gi l mt cỏch tụ mu (colouring) ca G Gi s I l hp cỏc Tp Ij I xp vo phõn hoch J* nu nú khụng cha cỏc phn t tng ng vi cỏc k Nu mi cj = thỡ phõn hoch ti u s cho s mu ti thiu cn tụ Nh vy, nu tỡm c bn m giỏ tr ti u ca bi toỏn phõn hoch ln hn thỡ chớnh l s bỏc b c gi thuyt bn mu ni ting lý thuyt th Tỡm kim thụng tin trờn mỏy tớnh Ny sinh sau õy i vi cỏc d liu thuc m nhúm c trng khỏc Mi thụng tin cn thit c ghi n mng Bit rng mt s d liu cn thit c ghi nhiu mng khỏc t aij = nu d liu mang c trng i c ghi mng j v aij = nu trỏi li Nu cj l thi gian tỡm trờn mỏy tớnh thụng tin cn ghi mng j thỡ bi toỏn tỡm kim tt c cỏc d liu thi gian ngn nht qui v bi toỏn ph (3.4), (3.5), (3.6) nh lớ 3.8 ([6], tr 64) M (A, e) = {x|Ax = em , x 0} l a din gn nguyờn Chng minh Do xj 1(j = 1, , n) i vi mi x = (x1 , , xn ) M (A, e) nờn nu x nguyờn thỡ xj = hay j v ú tt c cỏc im nguyờn ca M (A, e) u l cỏc nh ca nú Gi s x, y (x = y) l hai nh nguyờn ca M (A, e) c ni vi bi cnh l thuc bao li ca cỏc nh nguyờn ca M (A, e) Xột din F ca M (A, e) s chiu nh nht cha x v y (nh rng F ca a din M c gi l mt din q - chiu ca M nu: a) s chiu ca F bng q; b) t iu kin (1 l)u + lv F, < l < v u, v M suy u, v F ) Gi s xj = yj vi j J0 J = {1, , n} Khi ú cú th thy zj = xj = yj j J0 i vi mi z thuc din F ang xột xỏc nh F ta thy giỏ tr cỏc bin xj vi j J0 vo phng trỡnh Ax = e, ri loi A cỏc ct j J0 v cỏc hng tr x = e m cỏc nghim chp nhn c thnh ng nht thc, ta nhn c h A. ca nú sau b sung tr li cỏc thnh phn xj , j J0 , s to nờn din F Do xj = yj v xj , yj = hay vi mi j J \ J0 nờn xj + yj = j J \ J0 ý l J \ J0 = x = y Do ú, cỏc nh ca din F c xột l nguyờn (xem Vớ d 3.2) Vỡ vy, cnh l thuc din F l mt cnh ca a din M(A,e) 39 Trc ỏp dng cỏch tip cn mụ t u mc ny gii bi toỏn phõn hoch tp, ta cú th lm gim s chiu ca bi toỏn nh dng cỏc qui tc khỏ rừ rng sau õy Cỏc ký hiu hi v cj ln lt ch hng i v ct j ca ma trn A Quy tc 3.2.1 Nu hi l vộct khụng i vi i no ú thỡ khụng tn ti nghim chp nhn c ( hin nhiờn, vỡ i / Ij j) Quy tc 3.2.2 Nu hi l vộct n v vi phn t n v ct k thỡ xk = mt nghim bt k; ng thi ct ck v cỏc hng hq cho aqk = u b xoỏ; ta cng xoỏ cỏc ct cp , p = k, m ú aqk = aqp = (xp = 0) Quy tc 3.2.3 Nu hi hp vi cỏc ch s i, p no ú thỡ cú th xoỏ hng hi cng nh xoỏ ct bt k ck cho aik = v apk = (xk = 0) Quy tc 3.2.4 Nu vi no ú S {1, 2, , n} m ck jS cj thỡ bi toỏn tỡm cc tiu cT x cú th xoỏ ct ck (xk = 0) Vớ d 3.4 Cho I = {1, 2, 3, 4} v ca I : I1 = {1}, I2 = {1, 3, 4}, I3 = {2, 3}, I4 = {2} Theo qui tc 2, ta thy h4 l vộct n v vi phn t n v ct nờn x2 = Xúa ct v cỏc hng 1, 3, vỡ hng ny cú phn t ct Ta cng xúa cỏc ct 1, vỡ ct ny cú phn t trờn cỏc hng 1, ó b xúa (x1 = x3 = 0) Cng cú th dng qui tc nh sau Ta thy h1 h4 nờn hng b xúa v ct b xúa vỡ ct ny cú phn t hng (b xúa) v phn t hng (khụng b xúa) Tng t, h3 h4 nờn hng b xúa v ct cng b xúa Cui cựng, cũn li hng v ct (khụng b xúa) T ú x4 = Kt qu bi toỏn phõn hoch cú nghim nht (do ú l nghim ti u) x* = (0, 1, 0, 1) 40 Túm li, chng ny ó cp ti cỏc a din nguyờn v a din gn nguyờn Nhiu thc t cú th din t di dng bi toỏn ti u trờn cỏc a din nguyờn (gn nguyờn) v ú cú th gii bng thut toỏn n hỡnh Vớ d in hỡnh l bi toỏn phõn hoch a din nguyờn v gn nguyờn liờn quan cht ch vi ma trn n mụula tuyt i v cỏc m rng ca nú: ma trn cõn i, ma trn hon ho v ma trn lý tng (ma trn c m rng thỡ lp a din nguyờn tng ng b thu hp) 41 KT LUN Trong ti u húa, cỏc ma trn gi mt vai trũ quan trng, c bit l cỏc ma trn n mụula v n mụula tuyt i Cỏc ma trn ny cú nhng tớnh cht c bit, rt c chỳ ý nghiờn cu v ng dng Cỏc ma trn n mụula tuyt i v cỏc m rng cú liờn quan cht ch vi cỏc a din (gn nguyờn) v vi nhiu bi toỏn ti u nguyờn Lun ó trỡnh by mt s ni dung chớnh sau õy Cỏc kin thc c bn v li, li a din, v bi toỏn qui hoch tuyn tớnh v thut toỏn n hỡnh (dng gc v i ngu), v bi toỏn qui hoch nguyờn (tuyn tớnh v phi tuyn) Ma trn n mụula, phộp bin i n mụula v ma trn n mụula tuyt i Nờu cỏc tớnh cht ỏng chỳ ý ca chỳng v mt s tiờu chun nhn bit ma trn n mụula tuyt i Khỏi nim a din nguyờn v a din gn nguyờn, liờn quan cht ch vi cỏc ma trn n mụula tuyt i Nờu iu kin cú a din nguyờn v xột mt s bi toỏn ti u trờn cỏc a din nguyờn hay gn nguyờn: bi toỏn sp xp tp, ph v phõn hoch Trong lun ny tỏc gi ó c gng sp xp v trỡnh by theo mt cỏch hiu rừ rng nht cú th, tỡm v a mt s vớ d c th minh ho cho cỏc s kin cp ti lun Tỏc gi lun mong mun s cú dp c tỡm hiu sõu hn ch hp dn v cỏc a din nguyờn v gn nguyờn 42 TI LIU THAM KHO Ting vit [1] Trn V Thiu (2004), Giỏo trỡnh ti u tuyn tớnh, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni Ting Anh [2] Chandru V.and Rao M R (1997) Combinatorial Optimization, Ch 13 (pp 316 - 354) in The Computer Science & Engineerring Handbook ed by Allen B and Tucker Jr by CRC Press, Inc [3] Jongen H T., Meer K and Triesch E (2004), Optimization Theory, Kluwer Academic Publishers New York, Boston, Dordrecht, London, Moscow [4] Korte B., and Vygen J., (2006), Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms, Third Edition, Springer - Verlag Berlin [5] Schrijver A., (1986), Theory of Linear and Integer Programming, John Wiley & Sons Ting Nga [6] ợõởồõ ùũốỡốỗửố ỗọớốồ õũợợồ ỗọ ọốũợốở ểéẹẹ ợủờõ [...]... hai ma trận đơn môđula là một ma trận đơn môđula Có 18 thể chỉ ra rằng một ma trận vuông là đơn môđula khi và chỉ khi ma trận đó được suy ra từ ma trận đơn vị bằng một dãy phép biến đổi đơn môđula (hay tương đương, nó bằng tích các ma trận thuộc ba dạng kể trên) Định lí 2.1 ([4], tr 96) Nghịch đảo của ma trận đơn môđula cũng là ma trận đơn môđula Với mỗi ma trận đơn môđula U, các ánh xạ x U x và x... Chương 2 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI Chương này đề cập tới khái niệm ma trận đơn môdula, phép biến đổi đơn môdula và ma trận đơn môdula tuyệt đối, cùng một số tính chất đáng chú ý của các ma trận này Nội dung của chương tham khảo từ các tài liệu [3], [4] và [6] 2.1 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA Định nghĩa 2.1 Cho U là một ma trận vuông không suy biến Khi đó, U được gọi là ma trận đơn môđula (unimodular... đó trình bày khái niệm ma trận đơn môđula tuyệt đối: các tính chất, ví dụ và một số tiêu chuẩn nhận biết 28 Chương 3 ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN Chương này đề cập tới các đa diện nguyên và gần nguyên: mô tả điều kiện để có các đa diện nguyên, xét một số lớp đa diện nguyên và gần nguyên thường gặp Nội dung của chương chủ yếu dựa trên các tài liệu [2], [4] - [6] 3.1 ĐIỀU KIỆN NGUYÊN Theo lý thuyết qui... A có hai phần tử 1 Ta đưa vào R1 các cột j của ma trận A có xj = 1 và đưa vào R2 các cột j có xj = 0 Vì thế ma trận A thỏa mãn (sai khác một phép chuyển vị) các điều kiện của Định lý 2.6, nghĩa là A là ma trận đơn môđula tuyệt đối Vậy, nếu đa diện M(A,e) chứa hai véctơ nguyên x,y thỏa mãn điều kiện (3.3) thì đa diện đó là nguyên 3.1.3 Ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo và ma trận lý tưởng Sau đây ta... hiểu các nội dung tiếp theo của luận văn Đó là những khái niệm quen thuộc về tập lồi, tập lồi đa diện, về bài toán qui hoạch tuyến tính và thuật toán đơn hình giải qui hoạch tuyến tính (dạng gốc và đối ngẫu) và về bài toán qui hoạch nguyên tuyến tính và phi tuyến Trong hai chương tiếp theo chúng tôi sẽ đề cập tới các ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối và các đa diện nguyên, đa diện gần nguyên. .. n (không gian các véctơ nguyên n chiều) Chứng minh Giả sử U là ma trận đơn môđula Theo qui tắc Cramer, ma trận nghịch đảo của ma trận đơn môđula là ma trận nguyên Do (det U) (det U −1 ) = det(U U −1 ) = detI = 1, nên U −1 cũng là ma trận đơn môđula Phát biểu sau suy trực tiếp từ kết quả này Bổ đề 2.1 ([4], tr 96) Với mỗi ma trận hữu tỉ A có các hàng độc lập tuyến tính, tồn tại ma trận đơn môđula U sao... cách đặt này thì cho tới nay bài toán về tính nguyên của tập đa diện chưa được giải quyết Tuy nhiên, bài toán miêu tả một số lớp ma trận nguyên A sao cho M(A,b) là tập đa diện nguyên đối với bất kỳ véctơ nguyên b thì đơn giản, dễ giải quyết hơn 29 3.1.1 Cơ sở đơn môđula và ma trận đơn môđula tuyệt đối Định nghĩa 3.2 Giả sử ma trận A có hạng m và B là ma trận con cấp m × m của A Khi đó, ta gọi B là... đó, U được gọi là ma trận đơn môđula (unimodular matrix) nếu U nguyên và có định thức bằng 1 hay 1 Các ví dụ về ma trận đơn môđula: a) Ma trận đơn vị In (vuông cấp n) b) Ma trận nhận được từ In bằng cách đổi dấu cột j, j ∈ {1, , n} c) Ma trận nhận được từ In bằng cách đổi chỗ hai cột j và k với j, k ∈ {1, , n}, j = k d) Ma trận nhận được từ In bằng cách lấy cột j trừ cột k với j, k ∈ {1, , n}, j =... tập đa diện M ∗ (A, b) = {x |Ax ≤ b, x ≥ 0} Ta nhắc lại (xem Định nghĩa 2.3), ma trận A gọi là đơn môđula tuyệt đối nếu định thức của mọi ma trận con vuông của nó bằng 0 hay ±1 (nói riêng aij = 1, ±1∀i, j Định lí 3.2 ([6], tr 59) M ∗ (A, b) là tập đa diện nguyên với bất kỳ véc tơ nguyên b khi và chỉ khi ma trận A là đơn môđula tuyệt đối Chứng minh Thêm vào bên phải của A ma trận đơn vị E cỡ m × m và áp... nguyên c, bài toán min{y T b : AT y ≥ c, y ≥ 0} có nghiệm tối ưu nguyên y, mỗi khi giá trị cực tiểu là hữu hạn Một câu hỏi đặt ra là: có chăng các ma trận A sao cho hệ Ax ≤ b, x ≥ 0 là nguyên đối ngẫu tuyệt đối (TDI), đối với mọi véctơ nguyên b hay không? Câu trả lời liên quan tới các ma trận đơn môđula tuyệt đối 2.2 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI Định nghĩa 2.3 Ma trận A (cấp m × n) được gọi là ma trận