Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC GIỚI HẠN BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số liên tục điểm – Giả sử hàm số f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) x0 ( a; b ) Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục điểm x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 – Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn – Giả sử hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) Ta nói hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) liên tục điểm khoảng – Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục đoạn a; b liên tục khoảng ( a; b ) lim f ( x ) = f ( a ) , lim− f ( x ) = f ( b ) x →a + x →b Nhận xét: – Nếu hai hàm f ( x ) g ( x ) liên tục điểm x0 hàm số f ( x ) g ( x ) , f ( x ) g ( x ) , c f ( x ) (với c số) liên tục điểm x0 – Hàm số đa thức liên tục xác định chúng Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng Tính chất hàm số liên tục – Định lý giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục đoạn a; b Nếu f ( a ) f ( b ) với số thực M nằm f ( a ) , f ( b ) tồn điểm c ( a; b ) thoả mãn f ( c ) = M – Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục đoạn a; b M số thực nằm f ( a ) , f ( b ) đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ c ( a; b ) – Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn a; b f ( a ) f ( b ) tồn điểm c ( a; b ) cho f ( c ) = Ta thường vận dụng theo hai hướng sai: + Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn a; b Page f ( a ) f ( b ) phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) ” Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC a; b f ( x ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c ( a; b ) + Vận dụng tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn f ( a ) f ( b ) đồ thị hàm số y = ” B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP _DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp giải: Hàm số liên tục điểm x = x0 f ( x0 ) = lim f ( x ) f ( x0 ) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 VÍ DỤ x − 3x + x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x − điểm x0 = 4 x − x = ĐS: Liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (2) = 4.2 − = x − 3x + ( x − 2)( x − 1) lim f ( x) = lim = lim =1 x →2 x →2 x → x−2 x−2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 x+3 −2 x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x − điểm x0 = x = ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (1) = lim f ( x) = lim x →1 x →1 x+3 −2 x −1 1 = lim = lim = x → x → x −1 ( x − 1)( x + + 2) x+3 +2 Suy f (1) lim f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = (hay gián đoạn x →1 Page điểm x0 = ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x − 3x + x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = 1 − x − điểm x0 = x 2− x ĐS: Liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (2) = 22 − 3.2 + = lim f ( x) = lim− ( x − 3x + 3) = x → 2− x →2 lim f ( x) = lim+ x → 2+ x →2 1− 2x − 1− 2x + = lim+ = lim+ =1 x → x → 2− x (2 − x)(1 + x − 3) + 2x − Suy f (2) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 x→2 x2 − Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x + − 2 x + 12 x điểm x0 = x ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (3) = 18 lim f ( x) = lim− (2 x + 12) = 18 lim+ f ( x) = lim+ x →3− x →3 x →3 x →3 x2 − ( x − 3)( x + 3)( x + + 2) = lim+ x → x −3 x +1 − = lim( x + 3)( x + + 2) = 24 + x →3 Suy f (3) = lim− f ( x) lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = x →3 x →3 x +1− x + x −1 3 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = 4 3x3 − x − 3x + 3x − 14 x + 11 x x = điểm x0 = x ĐS: Liên tục Lời giải lim− f ( x) = lim− x →1 3x3 − x − 3x + ( x − 1)(3x − 3x − 6) 3x − 3x − = lim = lim = x →1− x →1− 3x − 14 x + 11 ( x − 1)(3x − 11) 3x − 11 Page x →1 Ta có f ( x0 ) = f (1) = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 lim+ f ( x) = lim+ x →1 x →1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x +1− x + ( x − 1)2 − ( x + 3) x+2 = lim+ = lim+ = x →1 ( x − 1)( x + + x −1 x + 3) x→1 x + + x + Suy f (1) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x →1 x →1 cos x.cos x − cos8 x − Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x4 + x2 2 x x = điểm x0 = ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (0) = 2cos5x.cos3x − cos8 x −1 cos8 x + cos x − cos8 x −1 = lim x →0 x →0 x →0 x +x x4 + x2 sinx 2 −2 cos x − −2sin x = lim = lim 2 = lim = −2 x →0 x + x x →0 x ( x + 1) x →0 x x + 1 lim f ( x) = lim Suy f (0) lim f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = (hay gián đoạn x →0 điểm x = ) x3 + x − x − x3 − x Ví dụ Tìm a để hàm số f ( x) = (a + x) x liên tục điểm x0 = x = ĐS: a = 13 Lời giải Ta có f (2) = (a + 2) x3 + x − x − ( x − 2)( x + x + 3) x + x + 15 lim f ( x) = lim = lim = lim = x →2 x →2 x →2 x →2 x( x + 2) x3 − x x( x − 2)( x + 2) 15 Hàm số liên tục điểm x0 = f (2) = lim f ( x) (a + 2) = a = 13 x →2 8 2( x − 4) Ví dụ Tìm m để hàm số f ( x) = x + − x m + + m − 10 x x liên tục điểm x0 = x ĐS: m = Lời giải x →2 x →2 Fb: ThayTrongDGL 3( x − 4) 3( x − 2)( x + 2)( x + + x) = lim+ x + − x2 x + − x x →2 Tài liệu biên soạn sưu tầm Page lim+ = lim+ Ta có f (2) = m + + m − 20 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 = lim+ x →2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3( x − 2)( x + 2)( x + + x) 3( x + 2)( x + + x) = lim+ = −16 x →2 −( x + 1)( x − 2) −( x + 1) lim = lim( m + + m −10 x) = m + + m − 20 − x →2− x →2 Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2) m + + m − 20 = −16 x →2 x →2 m m m+2 = 4−m m=2 m = m = m − 9m + 14 = BÀI TẬP ÁP DỤNG Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra: x2 − −1 f ( x) = x − 2 x − x điểm x0 = Đs: Liên tục x = x −1 điểm x0 = −1 Đs: Liên tục x = −1 Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra: 3x − x − f ( x) = x −1 2 x + Bài x x điểm x0 = Đs: Liên tục x x2 + x − x + x − x y = f ( x) = điểm x0 = x + + x Đs: Không liên tục x3 − 3x − f ( x) = x + − −4 x + 46 Đs: Liên tục x điểm x0 = x Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra: x3 − x + x − f ( x) = x2 −1 2m + Fb: ThayTrongDGL x điểm x0 = x = Tài liệu biên soạn sưu tầm Đs: m = − Chúc em học tốt ! Bài Đs: Liên tục x = − x + x − x3 f ( x) = x − 3x + 1 x + 3x + f ( x) = − x − x2 + x điểm x0 = Page Bài Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 1+ x − 1− x x x f ( x ) = liên tục điểm x0 = −5m + − x x = x+2 Đs: m = 3 6+ x −2 x f ( x ) = x − liên tục điểm x0 = 2 x − m x = Đs: m = 47 12 12 x − − x f ( x ) = liên tục điểm x0 = x −1 2 m x + + 2mx x = Đs: m = −1 Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra: x3 − f ( x) = x − x − mx + 10 x Đs: m = − 29 2x −1 −1 x f ( x ) = x + x − liên tục điểm x0 = x + m x Đs: m = − x2 − x + x x−2 m để f ( x ) = liên tục điểm x0 = m + − x x x+2 Đs: m = − 3x − + x − x + x x2 − x + f ( x ) = liên tục điểm x0 = m2 + x − 3m x Đs: m = m = − 3x − x −3 − − x f ( x ) = liên tục điểm x0 = −3 m2 − 2mx − x −3 Đs: m = m = 3− x x − x + 16 f ( x ) = liên tục điểm x0 = m ( x + m + 1) x Đs: m = −5 m = điểm x0 = x Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Đs: m = ( x2 − 4) x f ( x ) = x + − x liên tục điểm x0 = m + + m − 10 x x Page Bài GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC LỜI GIẢI Bài x2 − −1 Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x − 2 x − Ta có f ( x0 ) = f (2) = điểm x0 = x = x2 − −1 x2 − x+2 = lim = lim =2 x →2 x−2 ( x − 2)( x − + 1) x→2 x − + lim f ( x) = lim x →2 x x →2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 − x + x − x3 Xét tinh liên tục hàm số f ( x) = x − 3x + 1 x điểm x0 = x = Ta có f ( x0 ) = f (2) = − x + x − x3 ( x − 2)(− x + 3x − 1) − x + 3x − = lim = lim =1 x →2 x →2 x →2 x − 3x + ( x − 2)( x − 1) x −1 lim f ( x) = lim x →2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 x + 3x + x −1 Xét tinh liên tục hàm số f ( x) = − x − điểm x0 = −1 x2 + x x = −1 Ta có f ( x0 ) = f (−1) = −1 x + 3x + ( x + 1)( x + 2) x+2 = lim = lim = −1 x →−1 x →−1 x →−1 −1 − x −1 −( x + 1) lim f ( x) = lim x →−1 Suy f (−1) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = −1 x →−1 Bài x3 − 3x − Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x + − −4 x + 46 x điểm x0 = x Ta có f ( x0 ) = f (4) = 30 lim f ( x) = lim− (−4 x + 46) = 30 x → 4− x →4 lim+ f ( x) = lim+ x →4 x →4 x − 3x − ( x − 4)( x + 1)( x + + 3) = lim+ = lim+ ( x + 1)( x + + 3) = 30 x →4 x−4 x + − x →4 Suy f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = 3x − x − Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x −1 2 x + Fb: ThayTrongDGL x điểm x0 = x Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! x→4 Page x→4 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Ta có f ( x0 ) = f (1) = lim+ f ( x) = lim(2 x + 2) = lim− f ( x) = lim− + x →1 x →1 x →1 x →1 3x − x − ( x − 1)(3x + 1) = lim− = lim(3 x + 1) = x →1 x →1− x −1 x −1 Suy f (1) = lim+ f ( x) = lim− f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x →1 x →1 x2 + x − x + x − x Xét tính liên tục hàm số y = f ( x) = điểm x0 = x + + x Ta có f ( x0 ) = f (1) = +7 x +1 + +7 = x →1 x →1 3 x + 2x − ( x − 1)( x + 3) x+3 lim+ f ( x) = lim+ = lim+ = lim+ = x →1 x →1 x + x − x →1 ( x − 1)( x + 2) x →1 x + lim− f ( x) = lim− Suy f (1) = lim− f ( x) lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = x →1 x →1 x3 − 3x − Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x + − −4 x + 46 x điểm x0 = x Ta có f ( x0 ) = f (4) = 30 lim f ( x) = lim− (−4 x + 46) = 30 x → 4− x →4 x − 3x − ( x − 4)( x + 1)( x + + 3) lim+ f ( x) = lim+ = lim+ = lim+ ( x + 1)( x + + 3) = 30 x →4 x →4 x →4 x−4 x + − x →4 Suy f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→4 Bài x→4 x3 − x + x − Tìm m để hàm số f ( x) = x2 −1 2m + x điểm x0 = x = Ta có f ( x0 ) = f (1) = 2m + lim f ( x) = lim x →1 x →1 x3 − x + x − ( x − 1)2 (x − 3) ( x − 1)( x + 3) = lim = lim =0 x → x → x −1 ( x − 1)(x + 1) x +1 Page Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = lim f ( x) = f (1) 2m + = m = − x →1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1+ x − 1− x x x Tìm m để hàm số f ( x ) = liên tục điểm x0 = −5m + − x x = x+2 Ta có: f ( ) = −5m + 1+ x − 1− x = lim x →0 x x lim f ( x ) = lim x →0 x →0 2x ( 1+ x + 1− x ) = lim x →0 =1 1+ x + 1− x Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f ( ) −5m + = m = x →0 Vậy m = 3 6+ x −2 x Tìm m để hàm số f ( x ) = x − liên tục điểm x0 = 2 x − m x = Ta có f ( ) = − m lim f ( x ) = lim x →2 x →2 6+ x −2 = lim x →2 x−2 ( x − 2) ( x−2 (6 + x) + 23 + x + ) = lim x →2 (6 + x) Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f ( ) − m = x →2 Vậy m = + 23 + x + = 12 47 m= 12 12 47 12 12 x − − x Tìm m để f ( x ) = liên tục điểm x0 = x −1 2 m x + + 2mx x = Ta có f (1) = m2 + + 2m lim f ( x ) = lim x →1 = lim x →1 3 x →1 12 x − − = lim x →1 x −1 ( x − 1) 12 (12 x − 4) + 12 x − + 12 ( x − 1) ( (12x − 4) + 12x − + 4) 3 =1 Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f (1) m2 + + 2m = Page x →1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 1 − 2m 2 m + = (1 − 2m ) GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC m m m = −1 m = −1 −3m2 + 4m + = m = Vậy m = −1 Bài x3 − Tìm m để hàm số f ( x) = x − x − mx + 10 Ta có f ( x0 ) = f (2) = 2m + 10 x điểm x0 = x lim f ( x) = lim− (m x + 10) = 2m + 10 x → 2− x →2 lim+ f ( x) = lim+ x →2 x →2 x3 − ( x − 2)(x + x + 4) x + x + 12 = lim = lim = x → 2+ x − x − x→2+ ( x − 2)(2 x + 3) 2x + Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2) 2m + 10 = x →2 x →2 12 29 m=− 7 2x −1 −1 x Tìm m để f ( x ) = x + x − liên tục điểm x0 = x + m x Ta có f (1) = + m lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x →1 ( x − 1) 2x −1 −1 = lim+ = lim+ = x + x − x →1 ( x − 1)( x + 3) x − + x →1 ( x + 3) x − + ( ) ( ) lim f ( x ) = lim− ( x + m ) = + m x →1− x →1 Hàm số liên tục điểm x0 = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1) + m = x →1 x →1 m=− 4 x2 − x + x x−2 Tìm m để f ( x ) = liên tục điểm x0 = m + − x x x+2 Ta có f ( ) = m − Page 1− x lim f ( x ) = lim+ m + = m− x →2 x+2 x → 2+ Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 10 Vậy m = − Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC m m m = m = m − 9m + 14 = m = Vậy m = BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài x3 + 27 x + x − x −3 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = điểm x0 = −3 ĐS: K liên tục 4 + x x = −3 Bài −2 x + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = − x − 5 x − x −2 điểm x0 = −2 ĐS: Liên tục x −2 Bài x2 − x Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x + − điểm x0 = ĐS: Không liên tục 2 x + 12 x Bài x2 − x x − x − 10 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = điểm x0 = ĐS: Liên tục − x hi x = Bài ( x − 5)2 + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − 2x −1 − Bài x + x − 12 x − Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x +5 x − x điểm x0 = ĐS: Liên tục x điểm x0 = ĐS: Liên tục x = x điểm x0 = ĐS: Liên tục Bài 3x + − − x x Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = −2 x3 + 3x − x điểm x0 = ĐS: Liên tục −2 x + x Bài x − x − x x − 5x + x điểm x0 = ĐS: Liên tục Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x + − −4 x = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! 13 x Page Bài 4x + − f x = Xét tính liên tục hàm số ( ) x − 2x 25 x Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x − 3x + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x + − x 1− x − Bài 10 x điểm x0 = ĐS: Liên tục x Bài 11 x3 + x − x x3 − Tìm m để hàm số f ( x ) = liên tục điểm x0 = ĐS: m = 2 ( m − 1) x + x x+2 Bài 12 x − x − 27 x −3 10 Tìm m để hàm số f ( x ) = x + x + x + liên tục điểm x0 = −3 ĐS: m = mx + x = −3 Bài 13 x − 27 Tìm m để hàm số f ( x ) = x − x − mx + x−2 Tìm m để hàm số f ( x ) = x + − x + 2m Bài 14 x liên tục điểm x0 = ĐS: m = − x x 37 24 liên tục điểm x0 = ĐS: m = x = x − 25 x 15 Tìm m để hàm số f ( x ) = x − x − liên tục điểm x0 = ĐS: m = 2 ( x − 5) + m x Bài 15 _DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ Phương pháp giải: Hàm số liên tục điểm x = x0 f ( x0 ) = lim f ( x ) f ( x0 ) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 VÍ DỤ x3 + x + Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x + 7 x −1 x = −1 ĐS: Liên tục Lời giải 14 Page + Tập xác định hàm số D = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 + x + hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng x3 + mà xác định + Xét x −1 f ( x ) = ( − ; − 1) ( −1; + ) + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) x = −1 ( x + 1) ( x2 − x + 3) x3 + x + 2x2 − 2x + Ta có lim f ( x ) = lim = lim = lim = x →−1 x →−1 x →−1 x3 + ( x + 1) ( x − x + 1) x→−1 x − x + f ( −1) = Suy lim f ( x ) = f ( −1) nên hàm số cho liên tục x0 = −1 x →−1 + Vậy hàm số cho liên tục x2 − x + x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − − − x x ĐS: Liên tục Lời giải + Tập xác định hàm số D = + Với x0 (1; + ) , lim f ( x ) = lim x → x0 x → x0 x2 − x + = f ( x0 ) Suy hàm số cho liên tục x −1 khoảng (1; + ) ( ) + Với x0 ( − ;1) , ta có lim f ( x ) = lim − − x = − − x0 = f ( x0 ) Suy hàm số x → x0 x → x0 cho liên tục khoảng ( − ;1) + Xét tính liên tục hàm số x = f (1) = − − = ( ) - lim− f ( x ) = lim− − −5 − x = −2 x →1 x →1 - lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x →1 ( x − 1)( x − 3) = lim x −1 x →1+ ( x − 3) = −2 Suy lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) nên hàm số cho liên tục x = x →1 x2 + x − Ví dụ Tìm a để hàm số f ( x ) = x + − 3x − 2x − + a ) ( Fb: ThayTrongDGL x liên tục ĐS: a = −11 x Tài liệu biên soạn sưu tầm 15 Vậy hàm số cho liên tục Page x →1 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải Với x ( − ; ) ta có: - f ( x0 ) = x02 + x0 − x0 + − x0 − 2 - lim f ( x ) = lim ( x − 3) + a = ( x0 − 3) + a x → x0 x → x0 Suy lim f ( x ) = f ( x0 ) nên hàm số liên tục khoảng ( − ; ) x → x0 Với x ( 2; + ) ta có - f ( x0 ) = ( x0 − 3) + a 2 - lim f ( x ) = lim ( x − 3) + a = ( x0 − 3) + a x → x0 x → x0 Suy lim f ( x ) = f ( x0 ) nên hàm số liên tục khoảng ( 2; + ) x → x0 Lại có: - f ( 2) = + a - lim+ f ( x ) = lim+ x →2 x →2 x2 + x − = −10 x + − 3x − 2 - lim− f ( x ) = lim− ( x − 3) + a = + a x →2 x →2 Khi hàm số liên tục liên tục x = lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) −10 = + a x → 2+ x →2 Suy a = −11 giá trị cần tìm BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài x3 + x + x + x −3 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x+3 19 x = −3 Lời giải Tập xác định hàm số D = x3 + x + x + hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng x+3 ( − ; − 3) ( −3; + ) mà xác định 16 - Xét x −3 f ( x ) = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page - Xét tính liên tục hàm số f ( x ) x = −3 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( x + 3) ( x + 1) x3 + x + x + lim f ( x ) = lim = lim = lim ( x + 1) = 19 x →( −3) x →( −3) x → − x → ( −3 ) ( ) x −3 x+3 Suy lim f ( x ) = f ( −3) nên hàm số cho liên tục x = −3 x →( −3) Vậy hàm số cho liên tục Bài x2 − 5x + x Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − 16 2 − x x Lời giải Tập xác định D = - Với x0 ( −; ) , lim f ( x ) = lim x → x0 x → x0 x2 − 5x + = f ( x0 ) x3 − 16 Suy hàm số cho liên tục khoảng ( − ; ) - Với x0 ( 2; + ) , lim f ( x ) = lim ( − x ) = − x0 = f ( x0 ) x → x0 x → x0 Suy hàm số cho liên tục khoảng ( 2; + ) - Xét tính liên tục hàm số x = f ( 2) = lim− f ( x ) = lim− x →2 x →2 ( x − )( x − 3) = lim x2 − 5x + x −3 = lim− =− − 2 x →2 ( x − ) x + x + x − 16 ( ) x→2 ( x + x + ) 24 lim f ( x ) = lim+ ( − x ) = x → 2+ x →2 Suy hàm số không liên tục x = Bài x2 − x − x −1 Tìm a để f ( x ) = x3 + x + x + liên tục a x = −1 Lời giải x2 − x − hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục x3 + x + x + khoảng mà xác định Lại có Ta có với x thif f ( x ) = ( x + 1)( x − 3) = lim x − = − x2 − x − = lim x →−1 x + x + x + x →−1 x + x + ( )( ) x→−1 x2 + +1 x →−1 Khi hàm số liên tục Fb: ThayTrongDGL Page - lim f ( x ) = lim liên tục x = −1 Tài liệu biên soạn sưu tầm 17 - f ( −1) = a Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC lim f ( x ) = f ( −1) a3 == − x →−1 Suy a = − giá trị cần tìm BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài x −1 x x −1 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = liên tục 1− x + x + x Bài x2 + 5x x Tìm m để f ( x ) = x − − liên tục m + x Bài x2 − x −1 Tìm m để f ( x ) = x + x + x + liên tục cos m x = −1 Bài x − + 2x −1 x Tìm m để f ( x ) = liên tục x −1 3m − x = Bài x +1 −1 x Tìm m để f ( x ) = liên tục x 2 x + 3m + x _DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Phương pháp giải: - Để chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm D , ta chứng minh hàm số f ( x ) liên tục D có hai số a , b D cho f ( a ) f ( b ) - Để chứng minh phương trình f ( x ) = có k nghiệm D , ta chứng minh hàm số f ( x ) liên tục D tồn k khoảng rời ( ; +1 ) với i = 1;2; ; k nằm D cho f ( ) f ( +1 ) Ví dụ Chứng minh phương trình x3 − x + = có nghiệm khoảng ( −1; ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page VÍ DỤ 18 Chú ý: Hàm số thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Khi hàm số liên tục rồi, lieent ục khoảng ( ; +1 ) mà ta cần tìm Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải - Đặt f ( x ) = x3 − x + f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy liên tục −1; 2 f ( −1) = −11 - Ta có f ( −1) f ( ) = −11 x0 ( −1; ) : f ( x0 ) = , f ( 2) = Nghĩa phương trnhf f ( x ) = x3 − x + = có nghiệm khoảng ( −1; ) Ví dụ Chứng minh phương trình x3 − 3x + có ba nghiệm phân biệt Lời giải Đặt f ( x ) = x3 − 3x + f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục đoạn −2;0 ; 0;1 ; 1; 2 f ( −1) = −1 - Ta có f ( −2 ) f ( ) = −1 phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có f ( 0) = nghiệm thuộc khoảng ( −2;0 ) (1) f ( 0) = - Ta có f ( ) f (1) = −1 phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có f (1) = −1 nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2) f (1) = −1 - Ta có f (1) f ( ) = −3 phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có f ( 2) = nghiệm thuộc khoảng (1; ) (3) Từ (1) , ( ) , ( 3) suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −2; ) , ( 0;1) , (1; ) Mà f ( x ) đa thức bậc ba nên phương trình f ( x ) = có tối đa ba nghiệm Suy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt Chú ý: Với hỗ trợ chức mode casio, ta dễ dàng tìm khoảng ( −2; ) , ( 0;1) , (1; ) Công việc lại trình bày cho ngơn ngữ Ví dụ Chứng minh phương trình x3 + x + = có nghiệm âm lớn −1 Lời giải Đặt f ( x ) = x3 + x + , f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục f ( −1) = −1 Ta có f ( −1) f ( ) = −1 phương trình f ( x ) = có nghiệm f = ( ) Fb: ThayTrongDGL Page thuộc khoảng ( −1;0 ) 19 đoạn −1; 0 Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Suy phương trình f ( x ) = có nghiệm âm lớn −1 Ví dụ Chứng minh phương trình x3 + x − = có hai nghiệm Lời giải Đặt f ( x ) = x3 + x − , f ( x ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn −1; 0 ; 0;1 f ( −1) = - Ta có f ( −1) f ( ) = −4 phương trình f ( x ) = có nghiệm f = − ( ) thuộc khoảng ( −1;0 ) (1) f ( ) = −2 - Tương tự f ( −1) f ( ) = −8 phương trình f ( x ) = có f = ( ) nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2) Từ (1) ( ) ta suy phương trình f ( x ) = có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình x + x3 − x − = có hai nghiệm Lời giải Đặt f ( x ) = x + x − x − , f ( x ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn −1; 0 , 0;1 f ( −1) = - Ta có f ( −1) f ( ) = −12 phương trình f ( x ) = có nghiệm f = − ( ) thuộc khoảng ( −1;0 ) (1) f ( ) = −3 - Tương tự f ( −1) f ( ) = −6 phương trình f ( x ) = có f (1) = nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2) Từ (1) ( ) ta suy phương trình f ( x ) = có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình (1 − m ) x5 − 3x − = ln có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = (1 − m ) x − 3x − f ( x ) hàm đa thức liên tục f ( x ) liên tục đoạn −1; 0 20 f ( −1) = m + Ta có f ( −1) f ( ) x0 ( −1;0 ) : f ( x0 ) = f = − ( ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Do phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m (đpcm) Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Chú ý: Đối với toán chứa tham số m , ta chọn khoảng ( a ; b ) cho vị trí a b triệt tiêu m biểu thức dương âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức ax + bx + c 0, x a ax + bx + c 0, x a Ví dụ Chứng minh phương trình x + mx − 2mx − = có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = x + mx − 2mx − f ( x ) hàm đa thức liên tục f ( x ) liên tục đoạn 0; 2 f ( ) = −1 Ta có f ( −1) f ( ) = −15 phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m f = 15 ( ) Ví dụ Chứng minh phương trình m ( x − )( x − 3) + 2m − = có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = m ( x − )( x − 3) x − f ( x ) hàm đa thức liên tục f ( x ) liên tục đoạn 2;3 f ( ) = −1 Ta có f ( ) f ( 3) = −1 phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m f = ( ) Ví dụ Chứng minh phương trình ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = có nghiệm với số thực a , b , c Lời giải Đặt f ( x ) = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) Vì f ( x ) hàm đa thức nên liên tục Không tính tổng qt, giả sử a b c - Nếu a = b b = c f ( b ) = ( b − a )( b − c ) , suy phương trình có nghiệm x = b f ( a ) = ( a − b )( a − c ) - Nếu a b c f ( a ) f ( b ) Do phương trình có f b = b − a b − c ( ) ( )( ) nghiệm khoảng ( a ; b ) Ví dụ 10 Cho ba số a , b , c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Lời giải 21 Suy phương trình có nghiệm (đpcm) Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Đặt f ( x ) = ax + bx + c f ( x ) hàm đa thức nên liên tục 2a + 3b + 6c = - Ta có f ( ) = c có 2 c c f = a + b + c = ( 2a + 3b + 6c ) − = − 2 - Nếu c = f = , suy phương trình có nghiệm x = ( 0;1) 3 c 2 - Nếu c ta có f ( ) f = − 3 2 f ( x ) = có nghiệm x = a 0; ( 0;1) 3 Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Ví dụ 11 Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x − Chứng minh phương trình có nghiệm x0 ( 3; ) Khơng tính f ( ) ( ) 36 f + 36 , chứng minh x0 + 36 Lời giải Ta có: f ( 3) = 33 − 3.32 − = −1 f ( 3) f ( ) = −15 f ( ) = − 3.4 − = 15 Suy phương trình có nghiệm x0 ( 3; ) Ta có f ( x ) = x3 − 3x − = ( x − 1) − ( x − 1) − Vì x0 nghiệm phương trình f ( x ) = nên ta có f ( x0 ) = ( x0 − 1) − ( x0 − 1) − = Đặt = x0 − x0 ( 3; ) ( 2;3) Khi đó, ta có − 3 − = = 3 + 9 = 36 36 36 Dấu “ = ” xảy 3 = = 1 ( 2;3) Do đó, dấu “ = ” khơng xảy ra, tức ta ln có 36 x0 − 36 x0 + 36 Suy điều phải chứng minh BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Chứng minh phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm âm với m Bài Chứng minh phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm với m Bài Chứng minh phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) Bài Chứng minh phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Fb: ThayTrongDGL ) 2002 + x + = có nghiệm với m Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! 22 )( Page ( Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài Chứng minh phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có ba nghiệm Bài Cho thỏa mãn Chứng minh phương trình sau có nghiệm sin10 x − x = Bài sin + sin10 − − + a b c + + = , ( k n m ) km n2 phương trình k n m ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Chứng minh LỜI GIẢI Bài Đặt f ( x ) = ( m + 1) x − 2m x − x + m + , f ( x ) liên tục với x Có: f ( −3) = ( m2 + 1) ( −3) − 2m2 ( −3) − ( −3) + m2 + = −44m2 − 14 ; f ( ) = ( m + 1) 03 − 2m 02 − 4.0 + m2 + = m2 + ; f (1) = ( m + 1) 13 − 2m 12 − 4.1 + m + = −2 ; f ( ) = ( m + 1) 23 − 2m 22 − 4.2 + m + = m + Ta (m f ( −3) f ( ) ; thấy f ( ) f (1) ; f (1) f ( ) nên phương trình + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm khoảng ( −3; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m , f ( x ) liên tục Trường hợp 1: m = , ta có phương trình x5 − 16 x = có nghiệm x 0; 2 Vậy với m = phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Trường hợp 2: m , ta có: f ( −2 ) = (1 − m )( −2 ) + 9m ( −2 ) − 16 ( −2 ) − m = 67m ; f ( ) = (1 − m ) 05 + 9m.02 − 16.0 − m = −m ; f ( ) = (1 − m ) 25 + 9m.22 − 16.2 − m = −3m Ta thấy f ( −2 ) f ( ) = −67m , f ( ) f ( ) = −3m2 với m Suy phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có nghiệm khoảng ( −2; ) , nghiệm khoảng ( 0; ) Vậy phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = ( m − m + 3) x n − x − , f ( x ) liên tục ( ) ( ) Xét f ( −2 ) = m2 − m + ( −2 ) − ( −2 ) − = m2 − m + 4n 2n 23 Xét f ( ) = ( m − m + 3) 02 n − 2.0 − = −4 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Ta thấy f ( −2 ) f ( ) với m Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Suy phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm khoảng ( −2; ) Vậy phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm âm Bài Trường hợp 1: m = , ta có phương trình x3 − x = ln có nghiệm x = ; x = 1 Trường hợp 2: m Đặt f ( x ) = ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m , f ( x ) liên tục với x Có: f ( −1) = ( 4m + 1)( −1) − ( m + 1)( −1) + m = −2m ; f ( ) = ( 4m + 1) 03 − ( m + 1) + m = m Ta thấy f ( −1) f ( ) = −2m nên phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm khoảng ( −1;0 ) Vậy phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm với m Bài ( + x + , f ( x ) liên tục với x )( ) f ( −2 ) = ( m − 1) ( −2 ) − 1 ( −2 ) + 2 + ( −2 ) + = −1 f (1) = ( m − 1)(1 − 1) (1 + ) + 2.1 + = Đặt f ( x ) = m3 − x 2001 − ( x + ) Xét Xét 2002 2002 2001 3 2002 2001 Ta thấy f ( −2 ) f (1) = −1.5 = −5 với m ( )( ) Suy phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) 2002 + x + = có nghiệm khoảng ( −2;1) ( )( ) Vậy phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) Bài 2002 + x + = có nghiệm với m Đặt f ( x ) = ( m + 1) x − 2m x − x + m + , f ( x ) liên tục với x Có: f ( −3) = ( m2 + 1) ( −3) − 2m2 ( −3) − ( −3) + m2 + = −44m2 − 14 ; f ( ) = ( m + 1) 03 − 2m 02 − 4.0 + m2 + = m2 + ; f (1) = ( m + 1) 13 − 2m 12 − 4.1 + m + = −2 ; f ( ) = ( m + 1) 23 − 2m 22 − 4.2 + m + = m + Ta (m thấy f ( −3) f ( ) , f ( ) f (1) , f (1) f ( ) Suy phương trình + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm khoảng ( −3; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = m ( x − 1) ( x3 − x ) + x3 − 3x + , f ( x ) liên tục với x Có: 24 3 f ( −2 ) = m ( −2 − 1) ( −2 ) − ( −2 ) + ( −2 ) − ( −2 ) + = −1 ; Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page f ( ) = m ( − 1) ( 03 − 4.0 ) + 03 − 3.0 + = ; Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC f (1) = m (1 − 1) (13 − 4.1) + 13 − 3.1 + = −1 ; f ( ) = m ( − 1) ( 23 − 4.2 ) + 23 − 3.2 + = Ta f ( −2 ) f ( ) , thấy f ( ) f (1) , f (1) f ( ) nên phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có nghiệm khoảng ( −2; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có ba nghiệm Bài Đặt f ( x ) = sin10 x − x − sin + sin10 − − , hàm số f ( x ) liên tục + Ta có lim f ( x ) = + nên tồn m cho f ( m ) x →− Mà lim f ( x ) = − nên tồn M cho f ( M ) x →+ Do đó, hàm số f ( x ) liên tục m ; M f ( m ) f ( M ) nên phương trình f ( x ) = có nghiệm Bài Xét phương trình ax + bx + c = (1) Đặt f ( x ) = ax + bx + c f ( x ) liên tục n2 n n Ta có f ( ) = c ; f = a + b + c k k k n2 a b c n2 n2 a b c n Suy f ( ) f = c + + + c 1 − = c 1 − (do + + = ) k n m k km k k n m km n2 n2 n 2 Vì c ; n km , f ( ) f = c 1 − 0 km k km 2 - Với c = phương trình cho trở thành ax + bx = Suy x = ax + b = ( ) a b c + + = suy b = Khi phương trình ( ) k n m , suy phương trình (1) có nghiệm x ( 0;1) + Nếu a = từ c = a = điều kiện có nghiệm x a b c + + = suy a = ), suy k n m b a b c phương trình ( ) có nghiệm x = − Khi từ điều kiện + + = ; k n m a k n m b n c = suy x = − = ( 0;1) Do phương trình (1) có nghiệm x ( 0;1) a k n n n - Với − = f = nghiệm thuộc ( 0;1) k km k n2 n n f ( ) f f ( x ) có nghiệm thuộc 0; Mà - Với c − km k k n n 0; ( 0;1) (vì ) nên phương trình (1) có nghiệm x ( 0;1) k k Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Vậy phương trình (1) ln có nghiệm x ( 0;1) 25 + Nếu a b (vì b = , c = từ điều kiện Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Bài Chứng minh phương trình x − x3 − x − 15x − 25 = có nghiệm âm nghiệm dương ĐS: ( −1;0 ) ; ( 3; ) Chứng minh phương trình x3 + x − = có ba nghiệm khoảng ( −4;1) 7 ĐS: −4; − ; 2 Chứng minh phương trình x5 − 5x3 + x − = có năm nghiệm 3 1 ĐS: −2; − ; − ; −1 ; −1; ; 2 2 1 ;1 2 1 ;1 ; (1;3 ) 2 Page 26 Bài 1 −1; − ; 2 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Page 27 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ... nên hàm số cho liên tục x0 = −1 x →−1 + Vậy hàm số cho liên tục x2 − x + x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − − − x x ĐS: Liên tục Lời giải + Tập xác định hàm số D... Khi hàm số liên tục Fb: ThayTrongDGL Page - lim f ( x ) = lim liên tục x = −1 Tài liệu biên soạn sưu tầm 17 - f ( −1) = a Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC... ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page VÍ DỤ 18 Chú ý: Hàm số thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Khi hàm số liên tục rồi, lieent