Hàm số phân thức và lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng... Xét tính liên tục của các hàm số sau tại các điểm được chỉ ra:.[r]
(1)Page
1
CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN
BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Hàm số liên tục điểm
– Giả sử hàm số f x( ) xác định khoảng ( )a b; x0( )a b; Hàm số y= f x( ) gọi liên tục điểm x0 ( ) ( )
0
0
lim
x→x f x = f x
– Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn x0
2 Hàm số liên tục khoảng, đoạn
– Giả sử hàm số f x( ) liên tục khoảng ( )a b; Ta nói hàm số y= f x( ) liên tục khoảng ( )a b; liên tục điểm khoảng
– Hàm số y= f x( ) gọi liên tục đoạn a b; liên tục khoảng ( )a b;
( ) ( ) ( ) ( )
lim , lim
x→a+ f x = f a x→b− f x = f b
Nhận xét:
– Nếu hai hàm f x( ) g x( ) liên tục điểm x0 hàm số f x( )g x( ), f x g x( ) ( ) , ( )
c f x (với c số) liên tục điểm x0
– Hàm số đa thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng xác định chúng
3 Tính chất hàm số liên tục
– Định lý giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục đoạn a b; Nếu f a( ) f b( ) với số thực M nằm f a( ) ( ), f b tồn điểm c( )a b; thoả mãn f c( )=M
–Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục đoạn a b; M số thực nằm f a( ) ( ), f b
thì đường thẳng y=M cắt đồ thị hàm số y= f x( ) điểm có hồnh độ c( )a b;
– Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn a b; f a( ) ( ).f b 0 tồn điểm
( );
c a b cho f c( )=0 Ta thường vận dụng theo hai hướng sai:
+ Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b;
( ) ( )
(2)Page
2
+ Vận dụng tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y= f x( ) liên tục đoạn a b;
( ) ( )
f a f b đồ thị hàm số y= f x( ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c( )a b;
”
B.DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP
_DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
Phương pháp giải:
Hàm số liên tục điểm x=x0 ( ) ( )
0 xlimx
f x f x
→
= ( ) ( ) ( )
0
0 lim lim
x x x x
f x − f x + f x
→ →
= =
VÍ DỤ
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
2
3
2
( ) 2
4
x x
khi x
f x x
x khi x
− +
= −
− =
điểm x0 =2
ĐS: Liên tục
Lời giải
Ta có f x( )0 = f(2)=4.2 1− =
2 2
3 ( 2)( 1)
lim ( ) lim lim
2
x x x
x x x x
f x
x x
→ → →
− + − −
= = =
− −
Suy
2 (2) lim ( )
x
f f x
→
= nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =2
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
3
1
( )
1
x
khi x x
f x
khi x
+ −
−
=
=
điểm x0 =1
ĐS: Không liên tục
Lời giải
Ta có ( )0 (1)
f x = f =
1 1
3 1
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)( 2)
x x x x
x x
f x
x x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
− − + + + +
Suy
1 (1) lim ( )
x
f f x
→
(3)Page
3
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
2
3
( ) 1 2 3
2
x x khi x
f x x
khi x x
− +
= − −
−
tại điểm x0 =2
ĐS: Liên tục
Lời giải
Ta có f x( )0 = f(2)=22−3.2 1+ =
2
2
2 2
lim ( ) lim ( 3)
1 3
lim ( ) lim lim lim
2 (2 )(1 3)
x x
x x x x
f x x x
x x
f x
x x x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
= − + =
− − − +
= = = =
− − + − + −
Suy
2
(2) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =2
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
2
9
3
( ) 1 2
2 12
x
khi x
f x x
x khi x
−
= + −
+
điểm x0 =3
ĐS: Khơng liên tục
Lời giải
Ta có f x( )0 = f(3) 18=
3
lim ( ) lim (2 12) 18
x x
f x x
− −
→ = → + =
2
3 3
9 ( 3)( 3)( 2) lim ( ) lim lim
3
x x x
x x x x
f x
x x
+ + +
→ → →
− − + + +
= =
− + −
3
lim( 3)( 2) 24
x
x x
+
→
= + + + =
Suy
3
(3) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= nên hàm số f x( ) khơng liên tục điểm x0 =3
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
3
2
1
1
3
( )
4
3 6
1
3 14 11
x x
khi x x
f x khi x
x x x
khi x
x x
+ − +
−
= =
− − +
− +
điểm x0 =1
ĐS: Liên tục
Lời giải
Ta có ( )0 (1)
f x = f =
3 2
2
1 1
3 6 ( 1)(3 6) 3
lim ( ) lim lim lim
3 14 11 ( 1)(3 11) 11
x x x x
x x x x x x x x
f x
x x x x x
− − − −
→ → → →
− − + − − − − −
= = = =
(4)Page
4
2
1 1
1 ( 1) ( 3)
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)( 3)
x x x x
x x x x x
f x
x x x x x x
+ + + +
→ → → →
+ − + − − + +
= = = =
− − + + + + + +
Suy
1
(1) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =1
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số
2 cos cos cos
0 ( )
2
x x x
khi x
f x x x
khi x
− −
= +
=
điểm x0 =0
ĐS: Khơng liên tục
Lời giải
Ta có f x( )0 = f(0)=2
4
0 0
2cos cos cos8 cos8 cos cos8
lim ( ) lim lim
x x x
x x x x x x
f x
x x x x
→ → →
− − + − −
= =
+ +
2
4 2 2
0 0
cos 2sin
lim lim lim
( 1)
x x x
x x sinx
x x x x x x
→ → →
− − −
= = = = −
+ + +
Suy
0 (0) lim ( )
x
f f x
→
nên hàm số f x( ) không liên tục điểm x0 =0 (hay gián đoạn điểm x0 =0 )
Ví dụ Tìm a để hàm số
3
3
2
2
( )
( )
8
x x x
khi x
x x
f x
a x khi x
+ − −
−
=
+ =
liên tục điểm x0 =2
ĐS: a=13
Lời giải
Ta có (2) 1( 2)
f = a+
3 2
3
2 2
2 ( 2)( 3) 15
lim ( ) lim lim lim
4 ( 2)( 2) ( 2)
x x x x
x x x x x x x x
f x
x x x x x x x
→ → → →
+ − − − + + + +
= = = =
− − + +
Hàm số liên tục điểm 0
2
1 15
2 (2) lim ( ) (a 2) 13
8
x
x f f x a
→
= = + = =
Ví dụ Tìm m để hàm số
2
2( 4)
2
( )
2 10
x
khi x
f x x x
m m x khi x
−
= + −
+ + −
liên tục điểm x0 =2
ĐS: m=2
Lời giải Ta có f(2)= m+ + −2 m 20
2
2
2 2
3( 4) 3( 2)( 2)( )
lim lim lim
2
x x x
x x x x x
x x
x x
+ + +
→ → →
− − + + +
= =
(5)Page
5
2
3( 2)( 2)( ) 3( 2)( )
lim lim 16
( 1)( 2) ( 1)
x x
x x x x x x x
x x x
+ +
→ →
− + + + + + +
= = = −
− + − − +
2
lim lim( 10 ) 20
x x
m m x m m
− −
→ = → + + − = + + −
Hàm số f x( ) liên tục điểm
2
2 lim ( ) lim ( ) (2) 20 16
x x
x + f x − f x f m m
→ →
= = = + + − = −
2
4
2
2
9 14
m m
m m m
m m
m m
+ = − = = =
− + =
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra:
1
2
3
2
( ) 2
2 2
x
khi x
f x x
x khi x
− −
= −
− =
điểm x0 =2 Đs: Liên tục
2
2
2
2
( ) 3 2
1
x x x
khi x
f x x x
khi x
− + −
= − +
=
điểm x0 =2 Đs: Liên tục
3
2
2
3
1
( )
2
x x
khi x
f x x
x x khi x
+ + −
= − −
+ = −
điểm x0 = −1 Đs: Liên tục
Bài 2. Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra:
1
2
3
1
( ) 1
2
x x
khi x
f x x
x khi x
− −
= −
+
điểm x0 =1 Đs: Liên tục
2
2
2
1
( )
1
1
x x
khi x
x x
y f x
x
khi x
+ −
+ −
= =
+ +
điểm x0 =1 Đs: Không liên tục
3
3
3
4
( ) 5 3
4 46
x x
khi x
f x x
x khi x
− −
= + −
− +
điểm x0 =4 Đs: Liên tục
Bài Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra:
1
3
2
5
1
( ) 1
2 1
x x x
khi x
f x x
m khi x
− + −
= −
+ =
điểm x0 =1 Đs:
2
(6)Page
6
2 ( )
1
0
4
5
2 x x khi x x f x x
m khi x
x + − − = − − + = +
liên tục điểm x0 =0 Đs:
5
m=
3 ( )
3
6
2
2
x
khi x
f x x
x m khi x
+ − = − − =
liên tục điểm x0 =2 Đs: 47
12
m=
4 ( )
3
2
12
1
8
x
khi x
f x x
m x mx khi x
− − = − + + =
liên tục điểm x0 =1 Đs: m= −1
Bài Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra:
1
3
8
2
( ) 2 6
10
x
khi x
f x x x
mx khi x
− = − − +
điểm x0 =2 Đs:
29
m= −
2 ( )
2 1
1
x
khi x
f x x x
x m khi x
− − = + − +
liên tục điểm x0 =1 Đs:
m= −
3 m để ( )
2
2
2 2 x x khi x x f x x
m khi x
x − + − = − + +
liên tục điểm x0 =2 Đs:
m= −
4 ( )
2
2
2
3
1
1
3
x x x
khi x
x x
f x
m x m khi x
− + − + − + = + −
liên tục điểm x0 =1 Đs: m=1 m=2
5 ( )
2
7
2
3
2
2
x
khi x x
f x
m mx khi x
− − − − − = − − −
liên tục điểm x0 = −3 Đs: m=0 m=6
6 ( )
( )
2
3
5 16
1
3 x khi x x f x m
x m khi x
− − + = + +
liên tục điểm x0 =3 Đs: m= −5 m=1
7 ( )
( )
3
2
2 10
x
khi x
f x x x
m m x x
−
= + −
+ + −
(7)Page
7
LỜI GIẢI
Bài 1 Xét tính liên tục hàm số
2
3
2
( ) 2
2 2
x
khi x
f x x
x khi x
− −
= −
− =
điểm x0 =2
Ta có f x( )0 = f(2)=2
2
2
2 2
3
lim ( ) lim lim lim
2 ( 2)( 3 1) 3 1
x x x x
x x x
f x
x x x x
→ → → →
− − − +
= = = =
− − − + − +
Suy
2 (2) lim ( )
x
f f x
→
= nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =2
2 Xét tinh liên tục hàm số
2
2
2
( ) 3 2
1
x x x
khi x
f x x x
khi x
− + −
= − +
=
điểm x0 =2
Ta có f x( )0 = f(2) 1=
2 2
2
2 2
2 ( 2)( 1)
lim ( ) lim lim lim
3 ( 2)( 1)
x x x x
x x x x x x x x
f x
x x x x x
→ → → →
− + − − − + − − + −
= = = =
− + − − −
Suy
2 (2) lim ( )
x
f f x
→
= nên hàm số f x( )liên tục điểm x0 =2
3.Xét tinh liên tục hàm số
2
2
3
1
( )
2
x x
khi x
f x x
x x khi x
+ +
−
= − −
+ = −
điểm x0 = −1
Ta có f x( )0 = f( 1)− = −1
1 1
3 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)
x x x x
x x x x x
f x
x x
→− →− →− →−
+ + + + +
= = = = −
− − − + −
Suy
1 ( 1) lim ( )
x
f f x
→−
− = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 = −1
Bài 1 Xét tính liên tục hàm số
3
3
4
( )
4 46
x x
khi x
f x x
x khi x
− −
= + −
− +
điểm x0 =4
Ta có f x( )0 = f(4)=30
4
2
4 4
lim ( ) lim ( 46) 30
3 ( 4)( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim ( 1)( 3) 30
4
x x
x x x x
f x x
x x x x x
f x x x
x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
= − + =
− − − + + +
= = = + + + =
− + −
Suy
4
(4) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =4
2.Xét tính liên tục hàm số
2
3
1
( )
2
x x
khi x
f x x
x khi x
− −
= −
+
(8)Page
8
Ta có f x( )0 = f(1)=4
1
lim ( ) lim(2 2)
x x
f x x
+ +
→ = → + =
2
1 1
3 ( 1)(3 1)
lim ( ) lim lim lim(3 1)
1
x x x x
x x x x
f x x
x x
− − − −
→ → → →
− − − +
= = = + =
− −
Suy
1
(1) lim ( ) lim ( )
x x
f + f x − f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =1
3.Xét tính liên tục hàm số
2
2
1
( )
1
1
x x
khi x
x x
y f x
x
khi x
+ −
+ −
= =
+ +
điểm x0 =1
Ta có ( 0) (1)
f x = f = +
1
2
1 1
1 7
lim ( ) lim
3
2 ( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim
2 ( 1)( 2)
x x
x x x x
x f x
x x x x x
f x
x x x x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
+ + +
= =
+ − − + +
= = = =
+ − − + +
Suy
1
(1) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= nên hàm số f x( ) không liên tục điểm x0 =1
4 Xét tính liên tục hàm số
3
3
4
( )
4 46
x x
khi x
f x x
x khi x
− −
= + −
− +
điểm x0 =4
Ta có f x( )0 = f(4)=30
4
2
4 4
lim ( ) lim ( 46) 30
3 ( 4)( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim ( 1)( 3) 30
4
x x
x x x x
f x x
x x x x x
f x x x
x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
= − + =
− − − + + +
= = = + + + =
− + −
Suy
4
(4) lim ( ) lim ( )
x x
f − f x + f x
→ →
= = nên hàm số f x( ) liên tục điểm x0 =4
Bài 1.Tìm m để hàm số
3
2
5
1
( ) 1
2 1
x x x
khi x
f x x
m khi x
− + −
= −
+ =
điểm x0 =1
Ta có f x( )0 = f(1)=2m+1
3 2
2
1 1
5 ( 1) (x 3) ( 1)( 3)
lim ( ) lim lim lim
1 ( 1)(x 1)
x x x x
x x x x x x
f x
x x x
→ → → →
− + − − − − +
= = = =
− − + +
Hàm số f x( ) liên tục điểm 0
1
1 lim ( ) (1)
2
x
x f x f m m
→
(9)Page
9
2 Tìm m để hàm số ( )
1
4
5
x x
x x
f x
x
m x
x
+ − −
=
−
− + =
+
liên tục điểm x0 =0
Ta có: f ( )0 = −5m+2
( ) ( )
0 0
1 2
lim lim lim lim
1
1
x x x x
x x x
f x
x x x x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
+ + − + + −
Hàm số liên tục điểm x0 =0 ( ) ( )
0
1
lim
5
x→ f x = f − m+ = =m
Vậy
5
m=
3 Tìm m để hàm số ( )
3
6
2
2
x
x
f x x
x m x
+ −
= −
− =
liên tục điểm x0 =2
Ta có f ( )2 = −4 m
( )
( ) (( ) ) ( )
3
2
2 2 3 3 3 3
6 2 1
lim lim lim lim
2 2 6 2 6 4 6 2 6 4 12
x x x x
x x
f x
x x x x x x
→ → → →
+ − −
= = = =
− − + + + + + + + +
Hàm số liên tục điểm x0 =2 ( ) ( )
1 47
lim
12 12
x→ f x = f − =m =m
Vậy 47 12
m=
4 Tìm m để ( )
3
2
12
1
8
x
x
f x x
m x mx x
− −
= −
+ + =
liên tục điểm x0 =1
Ta có f ( )1 = m2+ +8 2m
( ) ( )
( ) (( ) )
3
1 1 3 3
12 12
lim lim lim
1 1 12 4 2 12 4 4
x x x
x x
f x
x x x x
→ → →
− − −
= =
− − − + − +
( )2
1 3 3
12
lim
12 12 4
x
x x
→
= =
− + − +
Hàm số liên tục điểm x0 =1 ( ) ( )
lim
(10)Page
10
( )2
2
2
1
1
1
1
2
3 7
3
m
m m
m m
m m
m m
m
−
= − = −
+ = −
− + + =
=
Vậy m= −1
Bài Tìm m để hàm số
3
8
2
( )
10
x
khi x
f x x x
mx khi x
−
= − −
+
điểm x0 =2
Ta có f x( )0 = f(2)=2m+10
2
3 2
2
2 2
lim ( ) lim (m 10) 10
8 ( 2)(x 4) 12
lim ( ) lim lim lim
2 ( 2)(2 x 3)
x x
x x x x
f x x m
x x x x x
f x
x x x x
− −
+ + + +
→ →
→ → → →
= + = +
− − + + + +
= = = =
− − − + +
Hàm số f x( ) liên tục điểm
0
2
12 29
2 lim ( ) lim ( ) (2) 10
7
x x
x + f x − f x f m m
→ →
= = = + = = −
2.Tìm m để ( )
2 1
x
x
f x x x
x m x
− −
= + −
+
liên tục điểm x0 =1
Ta có f ( )1 = +1 m
( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
2
1 1
2
2 1
lim lim lim lim
2 1 3 2 1 1 3 2 1 1
x x x x
x x
f x
x x x x x x x
+ + + +
→ → → →
− − −
= = = =
+ − − + − + + − +
( ) ( )
1
lim lim
x x
f x x m m
− −
→ = → + = +
Hàm số liên tục điểm x0 =1
( ) ( ) ( )
1
1
lim lim 1
4
x x
f x f x f m m
+ −
→ = → = + = = −
Vậy
4
m= −
3.Tìm m để ( )
2
2
2
1
2
x x
x x
f x
x
m x
x
− +
−
=
−
+
+
liên tục điểm x0 =2
Ta có ( )2
f = −m
( )
2
1
lim lim
2
x x
x
f x m m
x
+ +
→ →
−
= + = − +
(11)Page
11
( ) ( )( ) ( )( )
( )
2
2 2
2
2 2 2
lim lim lim lim
2 2
lim
x x x x
x
x x x x x x
f x
x x x
x
− − − −
−
→ → → →
→
− + − − − − −
= = =
− − −
= − + = −
Hàm số liên tục điểm x0 = −3
( ) ( ) ( )
2
1
lim lim
4
x x
f x f x f m m
+ −
→ = → = − = − = −
Vậy
4
m= −
4 Tìm m để ( )
2
2
2
3
1
1
3
x x x
khi x
x x
f x
m x m khi x
− + − +
− +
=
+ −
liên tục điểm x0 =1
Ta có ( )1 3
f =m + − m
( ) 2
1
1
lim lim 3
3
x x
f x m x m m m
+ +
→ →
= + − = + −
( ) ( )( )
( )
2
2
1 1
1
3
lim lim lim
2 1
x x x
x x
x x x
f x
x x x
− − −
→ → →
− − +
− + − +
= =
− + −
( )( )
( )
2
2
1
1 3 5 4
lim lim
1
x x
x x x
x x
− −
→ →
− − + − +
= =
− −
( )( )
( )( )
( )
2
1
5 1 5
lim lim
3
3
1
x x
x x x
x
x x
− −
→ →
− − + − +
= = = −
+ +
− + +
Hàm số liên tục điểm x0 =1
( ) ( ) ( ) 2
1
1
1
lim lim 3
2
3
x x
m
f x f x f m m m m
m
+ −
→ →
= = = + − = − − + = =
Vậy m=1 m=2
5 Tìm m để ( )
2
7
2
3
2
2
x
khi x x
f x
m mx khi x
− −
− − −
=
− − −
liên tục điểm x0 = −3
Ta có ( )3
f − =m + m−
( ) 2
3
3
lim lim
2
x→−− f x x→−− m mx m m
= − − = + −
(12)Page
12
( ) ( )( )
( )( )
( )
3 3
3 3
7
lim lim lim lim
2
2 7
x x x x
x x x
x f x
x x x x
+ + + + →− →− →− →− − + + − − + − − − = = = = − − − + − + − +
Hàm số liên tục điểm x0 = −3
( ) ( ) ( ) 2
3
0 3
lim lim 6
6 2
x x
m
f x f x f m m m m
m + − →− →− = = = − + − = − + = = −
Vậy m=0 m= −6
6.Tìm m để ( )
( )
2
3
5 16
1
3 x khi x x f x m
x m khi x
− − + = + +
liên tục điểm x0=3
Ta có ( )3 (4 )
m
f = +m
( ) ( ) ( )
3
lim lim
3
x x
m m
f x x m m
− − → = → + + = + ( ) ( ( )( )( ) ) 2
3 3
3 16
3 16
lim lim lim lim
3 3
5 16
x x x x
x x
x x
f x
x x x
x + + + + → → → → − + + − + + = = = = − + + − +
Hàm số liên tục điểm x0 =3
( ) ( ) ( )
3
lim lim
x x
f x f x f
+ −
→ = → = ( )
2
5
4
5
3
m m
m m m
m = + = + − = = −
Vậy m= −5 m=1
7 Tìm m để ( )
( )
3
2
2 10
x
khi x
f x x x
m m x x
−
= + −
+ + −
liên tục điểm x0 =2
Ta có f ( )2 = m+ + −2 m 20
( ) ( )
2
lim lim 10 20
x x
f x m m x m m
− −
→ = → + + − = + + −
( ) ( ) ( )(( )()( ) )
2 2
3 2
3
lim lim lim
2
2
x x x
x x x x
x f x x x x x + + + → → → − + + + − = = − − + + − ( )( ) ( )
3 2
lim 16
1
x
x x x
x + → + + + = = − − +
Hàm số liên tục điểm x0 =2
( ) ( ) ( ) ( )2
2
4
lim lim 2
2
x x
m
f x f x f m m
(13)Page 13 4 2
9 14
7 m m m m m m m = = − + = =
Vậy m=2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
3
27
3
2
4 x khi x x x f x x khi x + − + − = + = −
điểm x0 = −3 ĐS: K liên tục
Bài 2. Xét tính liên tục hàm số ( )
2
2
2
5 2
x
khi x
f x x
x khi x
− + −
= − −
− −
điểm x0 = −2 ĐS: Liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
2
9
3
2 12
x
khi x
f x x
x khi x
−
= + −
+
điểm x0 =3 ĐS: Không liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
2 10 x khi x x x f x x hi x − − − = − =
điểm x0 =2 ĐS: Liên tục
Bài 5. Xét tính liên tục hàm số ( )
( )2
5
5
5
x khi x
f x x
khi x x − + = − − −
điểm x0 =5 ĐS: Liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
2 12 3 x x khi x x f x x khi x x + − − = + = −
điểm x0 =3 ĐS: Liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
4 5
5 5 25 x khi x x f x x khi x + − − =
điểm x0 =5 ĐS: Liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
3
1
2
2 1
x x
khi x
f x x x x
x khi x
+ − − = − + − − +
điểm x0 =1 ĐS: Liên tục
Bài 9. Xét tính liên tục hàm số ( )
2
2
5
2 2
4
x x khi x
x x
f x khi x
x khi x − − − + = + − − =
(14)Page
14
Bài 10 Xét tính liên tục hàm số ( )
2
3
1
1
x x
khi x
f x x
x x khi x
− +
= + −
− −
điểm x0 =1 ĐS: Liên tục
Bài 11 Tìm m để hàm số ( )
( )
3
2
2
1
1
1
x x
khi x x
f x
m x
khi x x
+ −
−
=
− +
+
liên tục điểm x0 =1 ĐS: m= 2
Bài 12 Tìm m để hàm số ( )
4
3
6 27
3
3
3
x x
khi x
f x x x x
mx khi x
− −
−
= + + +
+ = −
liên tục điểm x0 = −3 ĐS:
10
m=
Bài 13 Tìm m để hàm số ( )
3
27
3
2
8
x
khi x
f x x x
mx khi x
−
= − −
+
liên tục điểm x0 =3 ĐS: 37 24
m= −
Bài 14 Tìm m để hàm số ( )
2
2 2
2
x
khi x
f x x
x m khi x
−
= + −
+ =
liên tục điểm x0 =2 ĐS: m=2
Bài 15 Tìm m để hàm số ( )
( )
2
2 2
25
5
5
x
khi x
x x
f x
x m khi x
−
− −
=
− +
liên tục điểm x0 =5 ĐS: 15
3
m=
_DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ
Phương pháp giải:
Hàm số liên tục điểm x=x0 ( ) ( )
0 xlimx
f x f x
→
= ( ) ( ) ( )
0
0 lim lim
x x x x
f x − f x + f x
→ →
= =
VÍ DỤ
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số ( )
3
2
1
7
1
x x
khi x x
f x
khi x
+ + −
+
=
= −
trên
ĐS: Liên tục
Lời giải
(15)Page
15
+ Xét x −1 ( )
3
2
1
x x
f x
x + + =
+ hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng (− −; 1) (− + 1; ) mà xác định
+ Xét tính liên tục hàm số f x( ) x= −1
Ta có ( ) ( )( )
( )( )
2
3
3 2
1 1
1 2
2 2
lim lim lim lim
1 1
x x x x
x x x
x x x x
f x
x x x x x x
→− →− →− →−
+ − +
+ + − +
= = = =
+ + − + − +
( )
1
f − =
Suy ( ) ( )
1
lim
x→− f x = f − nên hàm số cho liên tục x0 = −1
+ Vậy hàm số cho liên tục
Ví dụ Xét tính liên tục hàm số ( )
2
4
1
5
x x
khi x
f x x
x khi x
− +
= −
− −
trên
ĐS: Liên tục
Lời giải
+ Tập xác định hàm số D=
+ Với x0(1;+ ), ( ) ( )
0
2
0
4
lim lim
1
x x x x
x x
f x f x
x
→ →
− +
= =
− Suy hàm số cho liên tục khoảng (1;+ )
+ Với x0 −( ;1), ta có ( ) ( ) ( )
0
0
lim lim 5
x→x f x =x→x − −x = − −x = f x . Suy hàm số
cho liên tục khoảng (−;1) + Xét tính liên tục hàm số x=1
( )1
f = − − =
- ( ) ( )
1
lim lim
x→− f x =x→− − − −x = −
- ( ) ( )( ) ( )
1 1
1
lim lim lim
1
x x x
x x
f x x
x
+ + +
→ → →
− −
= = − = −
−
Suy ( ) ( ) ( )
1
lim lim
x x
f x f x f
− +
→ = → = nên hàm số cho liên tục x=1
Vậy hàm số cho liên tục
Ví dụ Tìm a để hàm số ( )
( )
2
2
6
2
2
2
x x
khi x
x x
f x
x a khi x
+ −
+ − −
=
− +
(16)Page
16
Lời giải
Với −x ( ; 2) ta có:
- ( )
2 0
0
6
2
x x
f x
x x
+ − =
+ − −
- ( ) ( ) ( )
0
2
0
lim lim 3
x→x f x x→x x a x a
= − + = − + Suy ( ) ( )
0
0
lim
x→x f x = f x nên hàm số liên tục khoảng (−; 2)
Với x (2;+ )ta có
- f x( ) (0 = 2x0−3)2+a
- ( ) ( ) ( )
0
2
0
lim lim 3
x→x f x x→x x a x a
= − + = − + Suy ( ) ( )
0
0
lim
x→x f x = f x nên hàm số liên tục khoảng (2;+ )
Lại có:
- f ( )2 = +1 a
- ( )
2
2
6
lim lim 10
2
x x
x x
f x
x x
+ +
→ →
+ −
= = −
+ − −
- ( ) ( )2
2
lim lim
x x
f x x a a
− −
→ →
= − + = +
Khi hàm số liên tục liên tục x=2
( ) ( ) ( )
2
lim lim 10
x x
f x f x f a
+ −
→ = → = − = +
Suy a= −11 giá trị cần tìm
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
3
2
3
19
x x x
khi x
f x x
khi x
+ + +
−
= +
= −
Lời giải
Tập xác định hàm số D= - Xét x −3 ( )
3
2
3
x x x
f x
x
+ + +
=
+ hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng (− −; 3) (− + 3; ) mà xác định
(17)Page
17
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
3
2
3 3
3
2
lim lim lim lim 19
3
x x x x
x x
x x x
f x x
x x
→ − → − → − → −
+ +
+ + +
= = = + =
− +
Suy
( )3 ( ) ( )
lim
x→ − f x = f − nên hàm số cho liên tục x= −3
Vậy hàm số cho liên tục
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
2
5
2 16
2
x x
khi x
f x x
x khi x
− +
= −
−
Lời giải
Tập xác định D=
- Với ( ) ( ) ( )
0
2
0
5 ; , lim lim
2 16
x x x x
x x
x f x f x
x
→ →
− +
− = =
−
Suy hàm số cho liên tục khoảng (−; 2)
- Với ( ) ( ) ( ) ( )
0
0 2; , lim lim 2 0
x x x x
x f x x x f x
→ →
+ = − = − =
Suy hàm số cho liên tục khoảng (2;+ ) - Xét tính liên tục hàm số x=2
( )2
f =
( ) ( )( )
( )( ) ( )
2
3 2
2 2
2
5
lim lim lim lim
2 16 2 2 24
x x x x
x x
x x x
f x
x x x x x x
− − − −
→ → → →
− −
− + −
= = = = −
− − + + + +
( ) ( )
2
lim lim
x x
f x x
+ +
→ = → − =
Suy hàm số không liên tục x=2
Bài Tìm a để ( )
2 3
2
1
1
x x
khi x
f x x x x
a khi x
− −
−
= + + +
= −
liên tục
Lời giải
Ta có với x1 thif ( )
2
2
1
x x
f x
x x x
− − =
+ + + hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục
khoảng mà xác định Lại có
- ( )
f − =a
- ( ) ( )( )
( )( )
2
3 2
1 1
1
2 3
lim lim lim lim
1 1
x x x x
x x
x x x
f x
x x x x x x
→− →− →− →−
+ −
− − −
= = = = −
+ + + + + + +
(18)Page
18
( ) ( )
1
5
lim
2
x→− f x = f − a == −
Suy
2
a= − giá trị cần tìm
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài Xét tính liên tục hàm số ( )
3
1
1
1
1
x
khi x x
f x
x
khi x x
−
−
=
− +
+
liên tục
Bài Tìm m để ( )
2
5
0 1
2
x x
khi x
f x x
m khi x
+
= − −
+
liên tục
Bài Tìm m để ( )
2
1
1
cos
x
khi x
f x x x x
m khi x
−
−
= + + +
= −
liên tục
Bài Tìm m để ( )
3
2
1
3
x x
khi x
f x x
m khi x
− + −
= −
− =
liên tục
Bài Tìm m để ( )
2
1
0
2
x
khi x
f x x
x m khi x
+ −
=
+ +
liên tục
_DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM
Phương pháp giải:
- Để chứng minh phương trình f x( )=0 có nghiệm D, ta chứng minh hàm số
( )
f x liên tục D có hai số a b, D cho f a( ) ( ).f b 0
- Để chứng minh phương trình f x( )=0 có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số f x( ) liên tục D tồn k khoảng rời (a ai; i+1) với i=1; 2; ;k nằm D cho
( ) ( )i i
f a f a+
Chú ý: Hàm số thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục
từng khoảng xác định chúng
Khi hàm số liên tục rồi, lieent ục khoảng (a ai; i+1) mà ta cần tìm
VÍ DỤ
Ví dụ Chứng minh phương trình
(19)Page
19
Lời giải
- Đặt ( )
4
f x = x − x + f x( ) hàm đa thức nên liên tục , suy liên tục
−1; 2
- Ta có ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
1 11
1 11 1; :
2
f
f f x f x
f
− = −
− = − − =
=
,
Nghĩa phương trnhf f x( )=4x3−8x2+ =1 có nghiệm khoảng (−1; 2)
Ví dụ Chứng minh phương trình x3−3x+1 có ba nghiệm phân biệt
Lời giải
Đặt ( )
3
f x =x − x+ f x( ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục đoạn −2; ; 0;1 ; 1; 2
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
2 0
f
f f
f
− = −
− = −
=
phương trình ( )
3
3
f x =x − x+ = có nghiệm thuộc khoảng (−2; 0) (1)
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
0
0 1
1
f
f f
f =
= −
= −
phương trình ( )
3
3
f x =x − x+ = có nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 (2)
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
1 3
f
f f
f
= −
= −
=
phương trình ( )
3
3
f x =x − x+ = có nghiệm thuộc khoảng ( )1; (3)
Từ ( ) ( ) ( )1 , , suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng (−2; 0),
( )0 ;1 , ( )1; Mà f x( )là đa thức bậc ba nên phương trình f x( )=0 có tối đa ba nghiệm Suy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt
Chú ý: Với hỗ trợ chức mode 7trong casio, ta dễ dàng tìm khoảng
(−2; 0), ( )0 ;1 , ( )1; Cơng việc cịn lại trình bày cho ngơn ngữ. Ví dụ Chứng minh phương trình
1
x + + =x có nghiệm âm lớn 1−
Lời giải
Đặt ( )
f x =x + +x , f x( ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục đoạn −1; 0
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
1 0
f
f f
f
− = −
− = −
=
phương trình f x( )=0 có nghiệm
(20)Page
20
Suy phương trình f x( )=0 có nghiệm âm lớn 1−
Ví dụ Chứng minh phương trình
5
x + x − = có hai nghiệm
Lời giải
Đặt ( )
f x =x + x − , f x( ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn −1; 0
; 0;1
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
1
0
f
f f
f
− =
− = −
= −
phương trình f x( )=0 có nghiệm
thuộc khoảng (−1; 0) (1)
- Tương tự ( )
( ) ( ) ( )
0
1
f
f f
f
= −
− = −
=
phương trình f x( )=0 có
nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 (2)
Từ ( )1 ( )2 ta suy phương trình f x( )=0 có hai nghiệm
Ví dụ Chứng minh phương trình
4x +2x − − =x có hai nghiệm
Lời giải
Đặt ( )
4
f x = x + x − −x , f x( ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn
−1; 0, 0;1
- Ta có ( )
( ) ( ) ( )
1
1 12
0
f
f f
f
− =
− = −
= −
phương trình f x( )=0 có nghiệm
thuộc khoảng (−1; 0) (1)
- Tương tự ( )
( ) ( ) ( )
0
1
f
f f
f
= −
− = −
=
phương trình f x( )=0 có
nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1 (2)
Từ ( )1 ( )2 ta suy phương trình f x( )=0 có hai nghiệm
Ví dụ Chứng minh phương trình (1−m2)x5−3x− =1 ln có nghiệm với m
Lời giải
Đặt ( ) ( 2)
1
f x = −m x − x− f x( ) hàm đa thức liên tục f x( ) liên tục đoạn −1; 0
Ta có ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
0
1
1 0 1;0 :
0
f m
f f x f x
f
− = +
− − =
= −
(21)Page
21
Chú ý: Đối với toán chứa tham số m , ta chọn khoảng (a b; )sao cho vị trí a btriệt
tiêu m biểu thức dương âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức
2
0,
0 a ax +bx c+ x
2
0,
0 a ax +bx c+ x
Ví dụ Chứng minh phương trình x4+mx2−2mx− =1 có nghiệm với m
Lời giải
Đặt ( )
2
f x =x +mx − mx− f x( ) hàm đa thức liên tục f x( ) liên tục đoạn 0;
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
0
1 15 15
f
f f
f
= −
− = −
=
phương trình f x( )=0ln có nghiệm với m Ví dụ Chứng minh phương trình m x( −2)(x− +3) 2m− =5 có nghiệm với m
Lời giải
Đặt f x( )=m x( −2)(x−3 2) x−5 f x( ) hàm đa thức liên tục f x( ) liên tục đoạn 2 ;3
Ta có ( )
( ) ( ) ( )
2
2 3
f
f f
f
= −
= −
=
phương trình f x( )=0ln có nghiệm với m Ví dụ Chứng minh phương trình (x−a)(x b− +) (x b− )(x− +c) (x−c)(x−a)=0 có
nghiệm với số thực a, b, c
Lời giải
Đặt f x( ) (= x−a)(x b− ) (+ x b− )(x− +c) (x−c)(x−a) Vì f x( ) hàm đa thức nên liên tục Khơng tính tổng qt, giả sử a b c
- Nếu a=b b=c f b( ) (= b−a)(b c− ), suy phương trình có nghiệm x=b
- Nếu a b c ( ) ( )( )
( ) ( )( )
0
f a a b a c
f b b a b c
= − −
= − −
f a( ) ( ).f b 0 Do phương trình có
nhất nghiệm khoảng (a b; )
Suy phương trình có nghiệm (đpcm)
Ví dụ 10 Cho ba số a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a+3b+6c=0 Chứng minh phương trình
2
0
ax +bx+ =c có nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1
(22)Page
22
Đặt ( )
f x =ax +bx+c f x( ) hàm đa thức nên liên tục
- Ta có f ( )0 =c có
( )
2
2 2
2
3 3 3
a b c
c c
f a b c a b c
+ + =
= + + = + + − = −
- Nếu c=0 f =
, suy phương trình có nghiệm ( )
2 0;1
x=
- Nếu c0 ta có ( )
2
2
0
3
c f f = −
( )
f x
= có nghiệm 0;2 ( )0;1
x= a
Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1
Ví dụ 11 Cho hàm số f x( )=x3−3x2−1 Chứng minh phương trình có nghiệm x0(3; 4) Khơng tính f ( )536 f (1+536), chứng minh
0 36
x +
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
3
3
3 3.3 1
3 15 4 3.4 15
f
f f
f
= − − = −
= −
= − − =
Suy phương trình có nghiệm x0(3; 4)
Ta có f x( )=x3−3x2− =1 (x−1)3−3(x− −1)
Vì x0 nghiệm phương trình f x( )=0 nên ta có f x( )0 =0
( )3 ( )
0 3
x x
− − − − =
Đặt =x0−1 x0( )3; ( )2;3 Khi đó, ta có
3
3 3
− − = = + = 5
36 36 36
Dấu “=” xảy 3 = = 3 ( )2;3
Do đó, dấu “=” khơng xảy ra, tức ta ln có 5
0
36 x 36 x 36
− +
Suy điều phải chứng minh
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài Chứng minh phương trình (m2+1)x3−2m x2 2−4x+m2+ =1 có ba nghiệm phân biệt
Bài Chứng minh phương trình (1−m x) 5+9mx2−16x− =m có hai nghiệm phân biệt
Bài Chứng minh phương trình (m2− +m 3)x2n−2x− =4 có nghiệm âm với m
Bài Chứng minh phương trình (4m+1)x3−(m+1)x+ =m có nghiệm với m
Bài Chứng minh phương trình (m3−1)(x2001−1)(x+2)2002+2x+ =3 có nghiệm với m
(23)Page
23
Bài Chứng minh phương trình ( )( )
1
m x− x − x +x − x+ = có ba nghiệm
Bài Cho thỏa mãn 0 Chứng minh phương trình sau có nghiệm
2 10 2
10 sin sin
sin x x
+ − −
− =
+
Bài Chứng minh a b c
k + +n m = , (k n m 0)
2
kmn phương trình
2
0
ax +bx+ =c có nghiệm thuộc khoảng ( )0 ;1
LỜI GIẢI
Bài Đặt f x( )=(m2 +1)x3−2m x2 2−4x+m2+1, f x( ) liên tục với x Có:
( ) ( 2 ) ( )3 2 ( )2 ( ) 2 2
3 44 14
f − = m + − − m − − − +m + = − m − ;
( ) ( ) 2 2
0 4.0 1
f = m + − m − +m + =m + ;
( ) ( ) 2
1 1 4.1 f = m + − m − +m + = − ;
( ) ( ) 2 2
2 2 4.2 1
f = m + − m − +m + =m +
Ta thấy f( ) ( )−3 f 0; f ( ) ( )0 f 0; f ( ) ( )1 f 0 nên phương trình
( ) 2
1
m + x − m x − x+m + = có nghiệm khoảng (−3; 0), nghiệm khoảng ( )0 ;1 , nghiệm khoảng ( )1;
Vậy phương trình (m2+1)x3−2m x2 2−4x+m2+ =1 có nghiệm phân biệt
Bài Đặt f x( ) (= −1 m x) 5+9mx2−16x−m, f x( ) liên tục
Trường hợp 1: m=0, ta có phương trình x5−16x=0 có nghiệm x0; 2
Vậy với m=0 phương trình (1−m x) 5+9mx2−16x− =m có hai nghiệm phân biệt Trường hợp 2: m0, ta có:
( ) ( )( )5 ( )2 ( )
2 16 67
f − = −m − + m − − − − =m m;
( ) ( ) 16.0
f = −m + m − − = −m m;
( ) ( )
2 16.2 f = −m + m − − = −m m Ta thấy ( ) ( )
2 67
f − f = − m , ( ) ( )
f f = − m với m0
Suy phương trình (1−m x) 5+9mx2−16x− =m có nghiệm khoảng (−2; 0), nghiệm khoảng (0; 2)
Vậy phương trình ( )
1−m x +9mx −16x− =m có hai nghiệm phân biệt
Bài Đặt f x( )=(m2− +m 3)x2n−2x−4, f x( ) liên tục Xét f ( )− =2 (m2− +m 3)( )−2 2n−2.( )− − =2 (m2− +m 4) n 0 Xét ( ) ( )
(24)Page
24
Suy phương trình ( )
3 n
m − +m x − x− = có nghiệm khoảng (−2; 0) Vậy phương trình (m2− +m 3)x2n−2x− =4 có nghiệm âm
Bài Trường hợp 1: m=0, ta có phương trình x3− =x ln có nghiệm x=0; x= 1 Trường hợp 2: m0
Đặt ( ) ( ) ( )
4 1
f x = m+ x − m+ x+m, f x( ) liên tục với x Có:
( ) ( )( ) (3 )( )
1 1 1
f − = m+ − − m+ − + = −m m;
( ) ( ) ( ) 1
f = m+ − m+ + =m m
Ta thấy ( ) ( )
f − f = − m nên phương trình ( ) ( )
4m+1 x − m+1 x+ =m có nghiệm khoảng (−1; 0)
Vậy phương trình (4m+1)x3−(m+1)x+ =m có nghiệm với m
Bài Đặt f x( )=(m3−1)(x2001−1)(x+2)2002+2x+3, f x( ) liên tục với x Xét f ( )− =2 (m3−1)( )−2 2001−1( )− +2 22002+2.( )− + = −2
Xét f ( )1 =(m3−1 1)( 2001−1 2)( + )2002+2.1 3+ =5 Ta thấy f ( ) ( )−2 f = −1.5= − 5 với m
Suy phương trình (m3−1)(x2001−1)(x+2)2002+2x+ =3 có nghiệm khoảng
(−2;1)
Vậy phương trình (m3−1)(x2001−1)(x+2)2002+2x+ =3 có nghiệm với m
Bài Đặt f x( )=(m2+1)x3−2m x2 2−4x+m2+1, f x( ) liên tục với x Có:
( ) ( 2 ) ( )3 2 ( )2 ( ) 2 2
3 44 14
f − = m + − − m − − − +m + = − m − ;
( ) ( ) 2 2
0 4.0 1
f = m + − m − +m + =m + ;
( ) ( ) 2
1 1 4.1 f = m + − m − +m + = − ;
( ) ( ) 2 2
2 2 4.2 1
f = m + − m − +m + =m +
Ta thấy f ( ) ( )−3 f 0, f ( ) ( )0 f 0, f ( ) ( )1 f 0 Suy phương trình
( ) 2
1
m + x − m x − x+m + = có nghiệm khoảng (−3; 0), nghiệm khoảng ( )0 ;1 , nghiệm khoảng ( )1;
Vậy phương trình ( ) 2
1
m + x − m x − x+m + = có ba nghiệm phân biệt
Bài Đặt f x( )=m x( −1)(x3−4x)+x3−3x+1, f x( ) liên tục với x Có:
( ) ( ) ( )3 ( ) ( )3 ( )
2 2 2 1
f − =m − − − − − + − − − + = − ;
( ) ( )( )
0 4.0 3.0 1
(25)Page
25
( ) ( )( )
1 1 4.1 3.1 1 f =m − − + − + = − ;
( ) ( )( )
2 2 4.2 3.2 1
f =m − − + − + =
Ta thấy f ( ) ( )−2 f 0, f ( ) ( )0 f 0, f ( ) ( )1 f 0 nên phương trình
( )( )
1
m x− x − x +x − x+ = có nghiệm khoảng (−2; 0), nghiệm khoảng ( )0 ;1 , nghiệm khoảng ( )1;
Vậy phương trình m x( −1)(x3−4x)+x3−3x+ =1 có ba nghiệm
Bài Đặt ( )
2 10 2
10 sin sin
sin
f x x x
+ − −
= − −
+ , hàm số f x( ) liên tục
Ta có lim ( )
x→− f x = + nên tồn m0 cho f m( )0
Mà lim ( )
x→+ f x = − nên tồn M 0 cho f M( )0
Do đó, hàm số f x( ) liên tục m M; f m f M( ) ( ) 0 nên phương trình f x( )=0 có nghiệm
Bài Xét phương trình
0
ax +bx+ =c ( )1
Đặt ( )
f x =ax +bx+c f x( ) liên tục Ta có f ( )0 =c;
2
n n n
f a b c
k k k
= + +
Suy ( )
2 2
2
0 n n a b c n n
f f c c c
k k k n m km km
= + + + − = −
(do
a b c
k + +n m = )
Vì
c ;
0
n km
2
1
n km
, ( )
2
0 n n
f f c
k km
= −
- Với c=0 phương trình cho trở thành ax2+bx=0 Suy x=0 ax b+ =0 ( )2 + Nếu a=0 từ c= =a điều kiện a b c
k + +n m = suy b=0 Khi phương trình ( )2
có nghiệm x , suy phương trình ( )1 có nghiệm x( )0;1 + Nếu a0 b0 (vì b=0, c=0 từ điều kiện a b c
k + +n m= suy a=0), suy
phương trình ( )2 có nghiệm x b a
= − Khi từ điều kiện a b c
k+ +n m= ; k n m
c= suy x b n ( )0;1
a k
= − = Do phương trình ( )1 có nghiệm x( )0;1 - Với
2
1 n
km
− = f n n
k k
=
nghiệm thuộc ( )0 ;1
- Với c0 ( )
2
1 n f f n
km k
−
f x( ) có nghiệm thuộc 0; n k Mà
( )
0;n 0;1 k
(vì
n k
(26)Page
26
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài Chứng minh phương trình
2 15 25
x −x − x − x− = có nghiệm âm nghiệm dương
ĐS: (−1; 0); (3; 4)
Bài Chứng minh phương trình
4
x + x − = có ba nghiệm khoảng (−4;1)
ĐS: 4; − −
;
1 1;
2 − −
;
;1 Bài Chứng minh phương trình
5
x − x + x− = có năm nghiệm
ĐS: 2; − −
;
; − −
; 1;
2 − ;
1 ;1
(27)Page