Tài liệu gồm có 27 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán liên quan đến chuyên đề hàm số liên tục trong chương trình Đại số và Giải tích 11.
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC GIỚI HẠN BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số liên tục điểm – Giả sử hàm số f ( x ) xác định khoảng ( a; b ) x0 ( a; b ) Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục điểm x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 – Hàm số không liên tục điểm x0 gọi gián đoạn x0 Hàm số liên tục khoảng, đoạn – Giả sử hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) Ta nói hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng ( a; b ) liên tục điểm khoảng – Hàm số y = f ( x ) gọi liên tục đoạn a; b liên tục khoảng ( a; b ) lim f ( x ) = f ( a ) , lim− f ( x ) = f ( b ) x →a + x →b Nhận xét: – Nếu hai hàm f ( x ) g ( x ) liên tục điểm x0 hàm số f ( x ) g ( x ) , f ( x ) g ( x ) , c f ( x ) (với c số) liên tục điểm x0 – Hàm số đa thức liên tục xác định chúng Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng Tính chất hàm số liên tục – Định lý giá trị trung gian: Giả sử hàm số f liên tục đoạn a; b Nếu f ( a ) f ( b ) với số thực M nằm f ( a ) , f ( b ) tồn điểm c ( a; b ) thoả mãn f ( c ) = M – Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f liên tục đoạn a; b M số thực nằm f ( a ) , f ( b ) đường thẳng y = M cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ c ( a; b ) – Hệ quả: Nếu hàm số f liên tục đoạn a; b f ( a ) f ( b ) tồn điểm c ( a; b ) cho f ( c ) = Ta thường vận dụng theo hai hướng sai: + Vận dụng chứng minh phương trình có nghiệm: “Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn a; b Page f ( a ) f ( b ) phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng ( a; b ) ” Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC a; b f ( x ) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c ( a; b ) + Vận dụng tương giao đồ thị: “Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn f ( a ) f ( b ) đồ thị hàm số y = ” B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP _DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Phương pháp giải: Hàm số liên tục điểm x = x0 f ( x0 ) = lim f ( x ) f ( x0 ) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 VÍ DỤ x − 3x + x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x − điểm x0 = 4 x − x = ĐS: Liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (2) = 4.2 − = x − 3x + ( x − 2)( x − 1) lim f ( x) = lim = lim =1 x →2 x →2 x → x−2 x−2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 x+3 −2 x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x − điểm x0 = x = ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (1) = lim f ( x) = lim x →1 x →1 x+3 −2 x −1 1 = lim = lim = x → x → x −1 ( x − 1)( x + + 2) x+3 +2 Suy f (1) lim f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = (hay gián đoạn x →1 Page điểm x0 = ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x − 3x + x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = 1 − x − điểm x0 = x 2− x ĐS: Liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (2) = 22 − 3.2 + = lim f ( x) = lim− ( x − 3x + 3) = x → 2− x →2 lim f ( x) = lim+ x → 2+ x →2 1− 2x − 1− 2x + = lim+ = lim+ =1 x → x → 2− x (2 − x)(1 + x − 3) + 2x − Suy f (2) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 x→2 x2 − Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x + − 2 x + 12 x điểm x0 = x ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (3) = 18 lim f ( x) = lim− (2 x + 12) = 18 lim+ f ( x) = lim+ x →3− x →3 x →3 x →3 x2 − ( x − 3)( x + 3)( x + + 2) = lim+ x → x −3 x +1 − = lim( x + 3)( x + + 2) = 24 + x →3 Suy f (3) = lim− f ( x) lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = x →3 x →3 x +1− x + x −1 3 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = 4 3x3 − x − 3x + 3x − 14 x + 11 x x = điểm x0 = x ĐS: Liên tục Lời giải lim− f ( x) = lim− x →1 3x3 − x − 3x + ( x − 1)(3x − 3x − 6) 3x − 3x − = lim = lim = x →1− x →1− 3x − 14 x + 11 ( x − 1)(3x − 11) 3x − 11 Page x →1 Ta có f ( x0 ) = f (1) = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 lim+ f ( x) = lim+ x →1 x →1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x +1− x + ( x − 1)2 − ( x + 3) x+2 = lim+ = lim+ = x →1 ( x − 1)( x + + x −1 x + 3) x→1 x + + x + Suy f (1) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x →1 x →1 cos x.cos x − cos8 x − Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x4 + x2 2 x x = điểm x0 = ĐS: Không liên tục Lời giải Ta có f ( x0 ) = f (0) = 2cos5x.cos3x − cos8 x −1 cos8 x + cos x − cos8 x −1 = lim x →0 x →0 x →0 x +x x4 + x2 sinx 2 −2 cos x − −2sin x = lim = lim 2 = lim = −2 x →0 x + x x →0 x ( x + 1) x →0 x x + 1 lim f ( x) = lim Suy f (0) lim f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = (hay gián đoạn x →0 điểm x = ) x3 + x − x − x3 − x Ví dụ Tìm a để hàm số f ( x) = (a + x) x liên tục điểm x0 = x = ĐS: a = 13 Lời giải Ta có f (2) = (a + 2) x3 + x − x − ( x − 2)( x + x + 3) x + x + 15 lim f ( x) = lim = lim = lim = x →2 x →2 x →2 x →2 x( x + 2) x3 − x x( x − 2)( x + 2) 15 Hàm số liên tục điểm x0 = f (2) = lim f ( x) (a + 2) = a = 13 x →2 8 2( x − 4) Ví dụ Tìm m để hàm số f ( x) = x + − x m + + m − 10 x x liên tục điểm x0 = x ĐS: m = Lời giải x →2 x →2 Fb: ThayTrongDGL 3( x − 4) 3( x − 2)( x + 2)( x + + x) = lim+ x + − x2 x + − x x →2 Tài liệu biên soạn sưu tầm Page lim+ = lim+ Ta có f (2) = m + + m − 20 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 = lim+ x →2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3( x − 2)( x + 2)( x + + x) 3( x + 2)( x + + x) = lim+ = −16 x →2 −( x + 1)( x − 2) −( x + 1) lim = lim( m + + m −10 x) = m + + m − 20 − x →2− x →2 Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2) m + + m − 20 = −16 x →2 x →2 m m m+2 = 4−m m=2 m = m = m − 9m + 14 = BÀI TẬP ÁP DỤNG Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra: x2 − −1 f ( x) = x − 2 x − x điểm x0 = Đs: Liên tục x = x −1 điểm x0 = −1 Đs: Liên tục x = −1 Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra: 3x − x − f ( x) = x −1 2 x + Bài x x điểm x0 = Đs: Liên tục x x2 + x − x + x − x y = f ( x) = điểm x0 = x + + x Đs: Không liên tục x3 − 3x − f ( x) = x + − −4 x + 46 Đs: Liên tục x điểm x0 = x Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra: x3 − x + x − f ( x) = x2 −1 2m + Fb: ThayTrongDGL x điểm x0 = x = Tài liệu biên soạn sưu tầm Đs: m = − Chúc em học tốt ! Bài Đs: Liên tục x = − x + x − x3 f ( x) = x − 3x + 1 x + 3x + f ( x) = − x − x2 + x điểm x0 = Page Bài Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 1+ x − 1− x x x f ( x ) = liên tục điểm x0 = −5m + − x x = x+2 Đs: m = 3 6+ x −2 x f ( x ) = x − liên tục điểm x0 = 2 x − m x = Đs: m = 47 12 12 x − − x f ( x ) = liên tục điểm x0 = x −1 2 m x + + 2mx x = Đs: m = −1 Tìm giá trị thực tham số m để hàm hàm số sau liên tục điểm ra: x3 − f ( x) = x − x − mx + 10 x Đs: m = − 29 2x −1 −1 x f ( x ) = x + x − liên tục điểm x0 = x + m x Đs: m = − x2 − x + x x−2 m để f ( x ) = liên tục điểm x0 = m + − x x x+2 Đs: m = − 3x − + x − x + x x2 − x + f ( x ) = liên tục điểm x0 = m2 + x − 3m x Đs: m = m = − 3x − x −3 − − x f ( x ) = liên tục điểm x0 = −3 m2 − 2mx − x −3 Đs: m = m = 3− x x − x + 16 f ( x ) = liên tục điểm x0 = m ( x + m + 1) x Đs: m = −5 m = điểm x0 = x Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Đs: m = ( x2 − 4) x f ( x ) = x + − x liên tục điểm x0 = m + + m − 10 x x Page Bài GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC LỜI GIẢI Bài x2 − −1 Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x − 2 x − Ta có f ( x0 ) = f (2) = điểm x0 = x = x2 − −1 x2 − x+2 = lim = lim =2 x →2 x−2 ( x − 2)( x − + 1) x→2 x − + lim f ( x) = lim x →2 x x →2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 − x + x − x3 Xét tinh liên tục hàm số f ( x) = x − 3x + 1 x điểm x0 = x = Ta có f ( x0 ) = f (2) = − x + x − x3 ( x − 2)(− x + 3x − 1) − x + 3x − = lim = lim =1 x →2 x →2 x →2 x − 3x + ( x − 2)( x − 1) x −1 lim f ( x) = lim x →2 Suy f (2) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→2 x + 3x + x −1 Xét tinh liên tục hàm số f ( x) = − x − điểm x0 = −1 x2 + x x = −1 Ta có f ( x0 ) = f (−1) = −1 x + 3x + ( x + 1)( x + 2) x+2 = lim = lim = −1 x →−1 x →−1 x →−1 −1 − x −1 −( x + 1) lim f ( x) = lim x →−1 Suy f (−1) = lim f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = −1 x →−1 Bài x3 − 3x − Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x + − −4 x + 46 x điểm x0 = x Ta có f ( x0 ) = f (4) = 30 lim f ( x) = lim− (−4 x + 46) = 30 x → 4− x →4 lim+ f ( x) = lim+ x →4 x →4 x − 3x − ( x − 4)( x + 1)( x + + 3) = lim+ = lim+ ( x + 1)( x + + 3) = 30 x →4 x−4 x + − x →4 Suy f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = 3x − x − Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x −1 2 x + Fb: ThayTrongDGL x điểm x0 = x Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! x→4 Page x→4 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Ta có f ( x0 ) = f (1) = lim+ f ( x) = lim(2 x + 2) = lim− f ( x) = lim− + x →1 x →1 x →1 x →1 3x − x − ( x − 1)(3x + 1) = lim− = lim(3 x + 1) = x →1 x →1− x −1 x −1 Suy f (1) = lim+ f ( x) = lim− f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x →1 x →1 x2 + x − x + x − x Xét tính liên tục hàm số y = f ( x) = điểm x0 = x + + x Ta có f ( x0 ) = f (1) = +7 x +1 + +7 = x →1 x →1 3 x + 2x − ( x − 1)( x + 3) x+3 lim+ f ( x) = lim+ = lim+ = lim+ = x →1 x →1 x + x − x →1 ( x − 1)( x + 2) x →1 x + lim− f ( x) = lim− Suy f (1) = lim− f ( x) lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) không liên tục điểm x0 = x →1 x →1 x3 − 3x − Xét tính liên tục hàm số f ( x) = x + − −4 x + 46 x điểm x0 = x Ta có f ( x0 ) = f (4) = 30 lim f ( x) = lim− (−4 x + 46) = 30 x → 4− x →4 x − 3x − ( x − 4)( x + 1)( x + + 3) lim+ f ( x) = lim+ = lim+ = lim+ ( x + 1)( x + + 3) = 30 x →4 x →4 x →4 x−4 x + − x →4 Suy f (4) = lim− f ( x) = lim+ f ( x) nên hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = x→4 Bài x→4 x3 − x + x − Tìm m để hàm số f ( x) = x2 −1 2m + x điểm x0 = x = Ta có f ( x0 ) = f (1) = 2m + lim f ( x) = lim x →1 x →1 x3 − x + x − ( x − 1)2 (x − 3) ( x − 1)( x + 3) = lim = lim =0 x → x → x −1 ( x − 1)(x + 1) x +1 Page Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = lim f ( x) = f (1) 2m + = m = − x →1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1+ x − 1− x x x Tìm m để hàm số f ( x ) = liên tục điểm x0 = −5m + − x x = x+2 Ta có: f ( ) = −5m + 1+ x − 1− x = lim x →0 x x lim f ( x ) = lim x →0 x →0 2x ( 1+ x + 1− x ) = lim x →0 =1 1+ x + 1− x Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f ( ) −5m + = m = x →0 Vậy m = 3 6+ x −2 x Tìm m để hàm số f ( x ) = x − liên tục điểm x0 = 2 x − m x = Ta có f ( ) = − m lim f ( x ) = lim x →2 x →2 6+ x −2 = lim x →2 x−2 ( x − 2) ( x−2 (6 + x) + 23 + x + ) = lim x →2 (6 + x) Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f ( ) − m = x →2 Vậy m = + 23 + x + = 12 47 m= 12 12 47 12 12 x − − x Tìm m để f ( x ) = liên tục điểm x0 = x −1 2 m x + + 2mx x = Ta có f (1) = m2 + + 2m lim f ( x ) = lim x →1 = lim x →1 3 x →1 12 x − − = lim x →1 x −1 ( x − 1) 12 (12 x − 4) + 12 x − + 12 ( x − 1) ( (12x − 4) + 12x − + 4) 3 =1 Hàm số liên tục điểm x0 = lim f ( x ) = f (1) m2 + + 2m = Page x →1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 1 − 2m 2 m + = (1 − 2m ) GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC m m m = −1 m = −1 −3m2 + 4m + = m = Vậy m = −1 Bài x3 − Tìm m để hàm số f ( x) = x − x − mx + 10 Ta có f ( x0 ) = f (2) = 2m + 10 x điểm x0 = x lim f ( x) = lim− (m x + 10) = 2m + 10 x → 2− x →2 lim+ f ( x) = lim+ x →2 x →2 x3 − ( x − 2)(x + x + 4) x + x + 12 = lim = lim = x → 2+ x − x − x→2+ ( x − 2)(2 x + 3) 2x + Hàm số f ( x) liên tục điểm x0 = lim+ f ( x) = lim− f ( x) = f (2) 2m + 10 = x →2 x →2 12 29 m=− 7 2x −1 −1 x Tìm m để f ( x ) = x + x − liên tục điểm x0 = x + m x Ta có f (1) = + m lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x →1 ( x − 1) 2x −1 −1 = lim+ = lim+ = x + x − x →1 ( x − 1)( x + 3) x − + x →1 ( x + 3) x − + ( ) ( ) lim f ( x ) = lim− ( x + m ) = + m x →1− x →1 Hàm số liên tục điểm x0 = lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = f (1) + m = x →1 x →1 m=− 4 x2 − x + x x−2 Tìm m để f ( x ) = liên tục điểm x0 = m + − x x x+2 Ta có f ( ) = m − Page 1− x lim f ( x ) = lim+ m + = m− x →2 x+2 x → 2+ Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm 10 Vậy m = − Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC m m m = m = m − 9m + 14 = m = Vậy m = BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài x3 + 27 x + x − x −3 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = điểm x0 = −3 ĐS: K liên tục 4 + x x = −3 Bài −2 x + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = − x − 5 x − x −2 điểm x0 = −2 ĐS: Liên tục x −2 Bài x2 − x Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x + − điểm x0 = ĐS: Không liên tục 2 x + 12 x Bài x2 − x x − x − 10 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = điểm x0 = ĐS: Liên tục − x hi x = Bài ( x − 5)2 + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − 2x −1 − Bài x + x − 12 x − Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x +5 x − x điểm x0 = ĐS: Liên tục x điểm x0 = ĐS: Liên tục x = x điểm x0 = ĐS: Liên tục Bài 3x + − − x x Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = −2 x3 + 3x − x điểm x0 = ĐS: Liên tục −2 x + x Bài x − x − x x − 5x + x điểm x0 = ĐS: Liên tục Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x + − −4 x = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! 13 x Page Bài 4x + − f x = Xét tính liên tục hàm số ( ) x − 2x 25 x Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x − 3x + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x + − x 1− x − Bài 10 x điểm x0 = ĐS: Liên tục x Bài 11 x3 + x − x x3 − Tìm m để hàm số f ( x ) = liên tục điểm x0 = ĐS: m = 2 ( m − 1) x + x x+2 Bài 12 x − x − 27 x −3 10 Tìm m để hàm số f ( x ) = x + x + x + liên tục điểm x0 = −3 ĐS: m = mx + x = −3 Bài 13 x − 27 Tìm m để hàm số f ( x ) = x − x − mx + x−2 Tìm m để hàm số f ( x ) = x + − x + 2m Bài 14 x liên tục điểm x0 = ĐS: m = − x x 37 24 liên tục điểm x0 = ĐS: m = x = x − 25 x 15 Tìm m để hàm số f ( x ) = x − x − liên tục điểm x0 = ĐS: m = 2 ( x − 5) + m x Bài 15 _DẠNG XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TXĐ Phương pháp giải: Hàm số liên tục điểm x = x0 f ( x0 ) = lim f ( x ) f ( x0 ) = lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0 VÍ DỤ x3 + x + Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x + 7 x −1 x = −1 ĐS: Liên tục Lời giải 14 Page + Tập xác định hàm số D = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 + x + hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng x3 + mà xác định + Xét x −1 f ( x ) = ( − ; − 1) ( −1; + ) + Xét tính liên tục hàm số f ( x ) x = −1 ( x + 1) ( x2 − x + 3) x3 + x + 2x2 − 2x + Ta có lim f ( x ) = lim = lim = lim = x →−1 x →−1 x →−1 x3 + ( x + 1) ( x − x + 1) x→−1 x − x + f ( −1) = Suy lim f ( x ) = f ( −1) nên hàm số cho liên tục x0 = −1 x →−1 + Vậy hàm số cho liên tục x2 − x + x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − − − x x ĐS: Liên tục Lời giải + Tập xác định hàm số D = + Với x0 (1; + ) , lim f ( x ) = lim x → x0 x → x0 x2 − x + = f ( x0 ) Suy hàm số cho liên tục x −1 khoảng (1; + ) ( ) + Với x0 ( − ;1) , ta có lim f ( x ) = lim − − x = − − x0 = f ( x0 ) Suy hàm số x → x0 x → x0 cho liên tục khoảng ( − ;1) + Xét tính liên tục hàm số x = f (1) = − − = ( ) - lim− f ( x ) = lim− − −5 − x = −2 x →1 x →1 - lim+ f ( x ) = lim+ x →1 x →1 ( x − 1)( x − 3) = lim x −1 x →1+ ( x − 3) = −2 Suy lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (1) nên hàm số cho liên tục x = x →1 x2 + x − Ví dụ Tìm a để hàm số f ( x ) = x + − 3x − 2x − + a ) ( Fb: ThayTrongDGL x liên tục ĐS: a = −11 x Tài liệu biên soạn sưu tầm 15 Vậy hàm số cho liên tục Page x →1 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải Với x ( − ; ) ta có: - f ( x0 ) = x02 + x0 − x0 + − x0 − 2 - lim f ( x ) = lim ( x − 3) + a = ( x0 − 3) + a x → x0 x → x0 Suy lim f ( x ) = f ( x0 ) nên hàm số liên tục khoảng ( − ; ) x → x0 Với x ( 2; + ) ta có - f ( x0 ) = ( x0 − 3) + a 2 - lim f ( x ) = lim ( x − 3) + a = ( x0 − 3) + a x → x0 x → x0 Suy lim f ( x ) = f ( x0 ) nên hàm số liên tục khoảng ( 2; + ) x → x0 Lại có: - f ( 2) = + a - lim+ f ( x ) = lim+ x →2 x →2 x2 + x − = −10 x + − 3x − 2 - lim− f ( x ) = lim− ( x − 3) + a = + a x →2 x →2 Khi hàm số liên tục liên tục x = lim f ( x ) = lim− f ( x ) = f ( ) −10 = + a x → 2+ x →2 Suy a = −11 giá trị cần tìm BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài x3 + x + x + x −3 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x+3 19 x = −3 Lời giải Tập xác định hàm số D = x3 + x + x + hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục khoảng x+3 ( − ; − 3) ( −3; + ) mà xác định 16 - Xét x −3 f ( x ) = Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page - Xét tính liên tục hàm số f ( x ) x = −3 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( x + 3) ( x + 1) x3 + x + x + lim f ( x ) = lim = lim = lim ( x + 1) = 19 x →( −3) x →( −3) x → − x → ( −3 ) ( ) x −3 x+3 Suy lim f ( x ) = f ( −3) nên hàm số cho liên tục x = −3 x →( −3) Vậy hàm số cho liên tục Bài x2 − 5x + x Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − 16 2 − x x Lời giải Tập xác định D = - Với x0 ( −; ) , lim f ( x ) = lim x → x0 x → x0 x2 − 5x + = f ( x0 ) x3 − 16 Suy hàm số cho liên tục khoảng ( − ; ) - Với x0 ( 2; + ) , lim f ( x ) = lim ( − x ) = − x0 = f ( x0 ) x → x0 x → x0 Suy hàm số cho liên tục khoảng ( 2; + ) - Xét tính liên tục hàm số x = f ( 2) = lim− f ( x ) = lim− x →2 x →2 ( x − )( x − 3) = lim x2 − 5x + x −3 = lim− =− − 2 x →2 ( x − ) x + x + x − 16 ( ) x→2 ( x + x + ) 24 lim f ( x ) = lim+ ( − x ) = x → 2+ x →2 Suy hàm số không liên tục x = Bài x2 − x − x −1 Tìm a để f ( x ) = x3 + x + x + liên tục a x = −1 Lời giải x2 − x − hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục x3 + x + x + khoảng mà xác định Lại có Ta có với x thif f ( x ) = ( x + 1)( x − 3) = lim x − = − x2 − x − = lim x →−1 x + x + x + x →−1 x + x + ( )( ) x→−1 x2 + +1 x →−1 Khi hàm số liên tục Fb: ThayTrongDGL Page - lim f ( x ) = lim liên tục x = −1 Tài liệu biên soạn sưu tầm 17 - f ( −1) = a Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC lim f ( x ) = f ( −1) a3 == − x →−1 Suy a = − giá trị cần tìm BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài x −1 x x −1 Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = liên tục 1− x + x + x Bài x2 + 5x x Tìm m để f ( x ) = x − − liên tục m + x Bài x2 − x −1 Tìm m để f ( x ) = x + x + x + liên tục cos m x = −1 Bài x − + 2x −1 x Tìm m để f ( x ) = liên tục x −1 3m − x = Bài x +1 −1 x Tìm m để f ( x ) = liên tục x 2 x + 3m + x _DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Phương pháp giải: - Để chứng minh phương trình f ( x ) = có nghiệm D , ta chứng minh hàm số f ( x ) liên tục D có hai số a , b D cho f ( a ) f ( b ) - Để chứng minh phương trình f ( x ) = có k nghiệm D , ta chứng minh hàm số f ( x ) liên tục D tồn k khoảng rời ( ; +1 ) với i = 1;2; ; k nằm D cho f ( ) f ( +1 ) Ví dụ Chứng minh phương trình x3 − x + = có nghiệm khoảng ( −1; ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page VÍ DỤ 18 Chú ý: Hàm số thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Khi hàm số liên tục rồi, lieent ục khoảng ( ; +1 ) mà ta cần tìm Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Lời giải - Đặt f ( x ) = x3 − x + f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy liên tục −1; 2 f ( −1) = −11 - Ta có f ( −1) f ( ) = −11 x0 ( −1; ) : f ( x0 ) = , f ( 2) = Nghĩa phương trnhf f ( x ) = x3 − x + = có nghiệm khoảng ( −1; ) Ví dụ Chứng minh phương trình x3 − 3x + có ba nghiệm phân biệt Lời giải Đặt f ( x ) = x3 − 3x + f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục đoạn −2;0 ; 0;1 ; 1; 2 f ( −1) = −1 - Ta có f ( −2 ) f ( ) = −1 phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có f ( 0) = nghiệm thuộc khoảng ( −2;0 ) (1) f ( 0) = - Ta có f ( ) f (1) = −1 phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có f (1) = −1 nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2) f (1) = −1 - Ta có f (1) f ( ) = −3 phương trình f ( x ) = x3 − 3x + = có f ( 2) = nghiệm thuộc khoảng (1; ) (3) Từ (1) , ( ) , ( 3) suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng ( −2; ) , ( 0;1) , (1; ) Mà f ( x ) đa thức bậc ba nên phương trình f ( x ) = có tối đa ba nghiệm Suy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt Chú ý: Với hỗ trợ chức mode casio, ta dễ dàng tìm khoảng ( −2; ) , ( 0;1) , (1; ) Công việc cịn lại trình bày cho ngơn ngữ Ví dụ Chứng minh phương trình x3 + x + = có nghiệm âm lớn −1 Lời giải Đặt f ( x ) = x3 + x + , f ( x ) hàm đa thức nên liên tục , suy hàm số liên tục f ( −1) = −1 Ta có f ( −1) f ( ) = −1 phương trình f ( x ) = có nghiệm f = ( ) Fb: ThayTrongDGL Page thuộc khoảng ( −1;0 ) 19 đoạn −1; 0 Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Suy phương trình f ( x ) = có nghiệm âm lớn −1 Ví dụ Chứng minh phương trình x3 + x − = có hai nghiệm Lời giải Đặt f ( x ) = x3 + x − , f ( x ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn −1; 0 ; 0;1 f ( −1) = - Ta có f ( −1) f ( ) = −4 phương trình f ( x ) = có nghiệm f = − ( ) thuộc khoảng ( −1;0 ) (1) f ( ) = −2 - Tương tự f ( −1) f ( ) = −8 phương trình f ( x ) = có f = ( ) nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2) Từ (1) ( ) ta suy phương trình f ( x ) = có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình x + x3 − x − = có hai nghiệm Lời giải Đặt f ( x ) = x + x − x − , f ( x ) hàm đa thức , suy hàm số liên tục đoạn −1; 0 , 0;1 f ( −1) = - Ta có f ( −1) f ( ) = −12 phương trình f ( x ) = có nghiệm f = − ( ) thuộc khoảng ( −1;0 ) (1) f ( ) = −3 - Tương tự f ( −1) f ( ) = −6 phương trình f ( x ) = có f (1) = nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) (2) Từ (1) ( ) ta suy phương trình f ( x ) = có hai nghiệm Ví dụ Chứng minh phương trình (1 − m ) x5 − 3x − = ln có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = (1 − m ) x − 3x − f ( x ) hàm đa thức liên tục f ( x ) liên tục đoạn −1; 0 20 f ( −1) = m + Ta có f ( −1) f ( ) x0 ( −1;0 ) : f ( x0 ) = f = − ( ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Do phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m (đpcm) Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Chú ý: Đối với toán chứa tham số m , ta chọn khoảng ( a ; b ) cho vị trí a b triệt tiêu m biểu thức dương âm dựa vào kinh nghiệm người giải toán Một số trường hợp sử dụng dấu tam thức bậc hai để đánh giá, tức ax + bx + c 0, x a ax + bx + c 0, x a Ví dụ Chứng minh phương trình x + mx − 2mx − = có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = x + mx − 2mx − f ( x ) hàm đa thức liên tục f ( x ) liên tục đoạn 0; 2 f ( ) = −1 Ta có f ( −1) f ( ) = −15 phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m f = 15 ( ) Ví dụ Chứng minh phương trình m ( x − )( x − 3) + 2m − = có nghiệm với m Lời giải Đặt f ( x ) = m ( x − )( x − 3) x − f ( x ) hàm đa thức liên tục f ( x ) liên tục đoạn 2;3 f ( ) = −1 Ta có f ( ) f ( 3) = −1 phương trình f ( x ) = ln có nghiệm với m f = ( ) Ví dụ Chứng minh phương trình ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) = có nghiệm với số thực a , b , c Lời giải Đặt f ( x ) = ( x − a )( x − b ) + ( x − b )( x − c ) + ( x − c )( x − a ) Vì f ( x ) hàm đa thức nên liên tục Không tính tổng qt, giả sử a b c - Nếu a = b b = c f ( b ) = ( b − a )( b − c ) , suy phương trình có nghiệm x = b f ( a ) = ( a − b )( a − c ) - Nếu a b c f ( a ) f ( b ) Do phương trình có f b = b − a b − c ( ) ( )( ) nghiệm khoảng ( a ; b ) Ví dụ 10 Cho ba số a , b , c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Lời giải 21 Suy phương trình có nghiệm (đpcm) Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Đặt f ( x ) = ax + bx + c f ( x ) hàm đa thức nên liên tục 2a + 3b + 6c = - Ta có f ( ) = c có 2 c c f = a + b + c = ( 2a + 3b + 6c ) − = − 2 - Nếu c = f = , suy phương trình có nghiệm x = ( 0;1) 3 c 2 - Nếu c ta có f ( ) f = − 3 2 f ( x ) = có nghiệm x = a 0; ( 0;1) 3 Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Ví dụ 11 Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x − Chứng minh phương trình có nghiệm x0 ( 3; ) Khơng tính f ( ) ( ) 36 f + 36 , chứng minh x0 + 36 Lời giải Ta có: f ( 3) = 33 − 3.32 − = −1 f ( 3) f ( ) = −15 f ( ) = − 3.4 − = 15 Suy phương trình có nghiệm x0 ( 3; ) Ta có f ( x ) = x3 − 3x − = ( x − 1) − ( x − 1) − Vì x0 nghiệm phương trình f ( x ) = nên ta có f ( x0 ) = ( x0 − 1) − ( x0 − 1) − = Đặt = x0 − x0 ( 3; ) ( 2;3) Khi đó, ta có − 3 − = = 3 + 9 = 36 36 36 Dấu “ = ” xảy 3 = = 1 ( 2;3) Do đó, dấu “ = ” khơng xảy ra, tức ta ln có 36 x0 − 36 x0 + 36 Suy điều phải chứng minh BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Chứng minh phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Bài Chứng minh phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm âm với m Bài Chứng minh phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm với m Bài Chứng minh phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) Bài Chứng minh phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Fb: ThayTrongDGL ) 2002 + x + = có nghiệm với m Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! 22 )( Page ( Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Bài Chứng minh phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có ba nghiệm Bài Cho thỏa mãn Chứng minh phương trình sau có nghiệm sin10 x − x = Bài sin + sin10 − − + a b c + + = , ( k n m ) km n2 phương trình k n m ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Chứng minh LỜI GIẢI Bài Đặt f ( x ) = ( m + 1) x − 2m x − x + m + , f ( x ) liên tục với x Có: f ( −3) = ( m2 + 1) ( −3) − 2m2 ( −3) − ( −3) + m2 + = −44m2 − 14 ; f ( ) = ( m + 1) 03 − 2m 02 − 4.0 + m2 + = m2 + ; f (1) = ( m + 1) 13 − 2m 12 − 4.1 + m + = −2 ; f ( ) = ( m + 1) 23 − 2m 22 − 4.2 + m + = m + Ta (m f ( −3) f ( ) ; thấy f ( ) f (1) ; f (1) f ( ) nên phương trình + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm khoảng ( −3; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m , f ( x ) liên tục Trường hợp 1: m = , ta có phương trình x5 − 16 x = có nghiệm x 0; 2 Vậy với m = phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Trường hợp 2: m , ta có: f ( −2 ) = (1 − m )( −2 ) + 9m ( −2 ) − 16 ( −2 ) − m = 67m ; f ( ) = (1 − m ) 05 + 9m.02 − 16.0 − m = −m ; f ( ) = (1 − m ) 25 + 9m.22 − 16.2 − m = −3m Ta thấy f ( −2 ) f ( ) = −67m , f ( ) f ( ) = −3m2 với m Suy phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có nghiệm khoảng ( −2; ) , nghiệm khoảng ( 0; ) Vậy phương trình (1 − m ) x5 + 9mx − 16 x − m = có hai nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = ( m − m + 3) x n − x − , f ( x ) liên tục ( ) ( ) Xét f ( −2 ) = m2 − m + ( −2 ) − ( −2 ) − = m2 − m + 4n 2n 23 Xét f ( ) = ( m − m + 3) 02 n − 2.0 − = −4 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Ta thấy f ( −2 ) f ( ) với m Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Suy phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm khoảng ( −2; ) Vậy phương trình ( m − m + 3) x n − x − = có nghiệm âm Bài Trường hợp 1: m = , ta có phương trình x3 − x = ln có nghiệm x = ; x = 1 Trường hợp 2: m Đặt f ( x ) = ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m , f ( x ) liên tục với x Có: f ( −1) = ( 4m + 1)( −1) − ( m + 1)( −1) + m = −2m ; f ( ) = ( 4m + 1) 03 − ( m + 1) + m = m Ta thấy f ( −1) f ( ) = −2m nên phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm khoảng ( −1;0 ) Vậy phương trình ( 4m + 1) x3 − ( m + 1) x + m = có nghiệm với m Bài ( + x + , f ( x ) liên tục với x )( ) f ( −2 ) = ( m − 1) ( −2 ) − 1 ( −2 ) + 2 + ( −2 ) + = −1 f (1) = ( m − 1)(1 − 1) (1 + ) + 2.1 + = Đặt f ( x ) = m3 − x 2001 − ( x + ) Xét Xét 2002 2002 2001 3 2002 2001 Ta thấy f ( −2 ) f (1) = −1.5 = −5 với m ( )( ) Suy phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) 2002 + x + = có nghiệm khoảng ( −2;1) ( )( ) Vậy phương trình m3 − x 2001 − ( x + ) Bài 2002 + x + = có nghiệm với m Đặt f ( x ) = ( m + 1) x − 2m x − x + m + , f ( x ) liên tục với x Có: f ( −3) = ( m2 + 1) ( −3) − 2m2 ( −3) − ( −3) + m2 + = −44m2 − 14 ; f ( ) = ( m + 1) 03 − 2m 02 − 4.0 + m2 + = m2 + ; f (1) = ( m + 1) 13 − 2m 12 − 4.1 + m + = −2 ; f ( ) = ( m + 1) 23 − 2m 22 − 4.2 + m + = m + Ta (m thấy f ( −3) f ( ) , f ( ) f (1) , f (1) f ( ) Suy phương trình + 1) x3 − 2m x − x + m + = có nghiệm khoảng ( −3; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình ( m + 1) x3 − 2m x − x + m + = có ba nghiệm phân biệt Bài Đặt f ( x ) = m ( x − 1) ( x3 − x ) + x3 − 3x + , f ( x ) liên tục với x Có: 24 3 f ( −2 ) = m ( −2 − 1) ( −2 ) − ( −2 ) + ( −2 ) − ( −2 ) + = −1 ; Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page f ( ) = m ( − 1) ( 03 − 4.0 ) + 03 − 3.0 + = ; Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC f (1) = m (1 − 1) (13 − 4.1) + 13 − 3.1 + = −1 ; f ( ) = m ( − 1) ( 23 − 4.2 ) + 23 − 3.2 + = Ta f ( −2 ) f ( ) , thấy f ( ) f (1) , f (1) f ( ) nên phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có nghiệm khoảng ( −2; ) , nghiệm khoảng ( 0;1) , nghiệm khoảng (1; ) Vậy phương trình m ( x − 1) ( x − x ) + x − 3x + = có ba nghiệm Bài Đặt f ( x ) = sin10 x − x − sin + sin10 − − , hàm số f ( x ) liên tục + Ta có lim f ( x ) = + nên tồn m cho f ( m ) x →− Mà lim f ( x ) = − nên tồn M cho f ( M ) x →+ Do đó, hàm số f ( x ) liên tục m ; M f ( m ) f ( M ) nên phương trình f ( x ) = có nghiệm Bài Xét phương trình ax + bx + c = (1) Đặt f ( x ) = ax + bx + c f ( x ) liên tục n2 n n Ta có f ( ) = c ; f = a + b + c k k k n2 a b c n2 n2 a b c n Suy f ( ) f = c + + + c 1 − = c 1 − (do + + = ) k n m k km k k n m km n2 n2 n 2 Vì c ; n km , f ( ) f = c 1 − 0 km k km 2 - Với c = phương trình cho trở thành ax + bx = Suy x = ax + b = ( ) a b c + + = suy b = Khi phương trình ( ) k n m , suy phương trình (1) có nghiệm x ( 0;1) + Nếu a = từ c = a = điều kiện có nghiệm x a b c + + = suy a = ), suy k n m b a b c phương trình ( ) có nghiệm x = − Khi từ điều kiện + + = ; k n m a k n m b n c = suy x = − = ( 0;1) Do phương trình (1) có nghiệm x ( 0;1) a k n n n - Với − = f = nghiệm thuộc ( 0;1) k km k n2 n n f ( ) f f ( x ) có nghiệm thuộc 0; Mà - Với c − km k k n n 0; ( 0;1) (vì ) nên phương trình (1) có nghiệm x ( 0;1) k k Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Vậy phương trình (1) ln có nghiệm x ( 0;1) 25 + Nếu a b (vì b = , c = từ điều kiện Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài Bài Chứng minh phương trình x − x3 − x − 15x − 25 = có nghiệm âm nghiệm dương ĐS: ( −1;0 ) ; ( 3; ) Chứng minh phương trình x3 + x − = có ba nghiệm khoảng ( −4;1) 7 ĐS: −4; − ; 2 Chứng minh phương trình x5 − 5x3 + x − = có năm nghiệm 3 1 ĐS: −2; − ; − ; −1 ; −1; ; 2 2 1 ;1 2 1 ;1 ; (1;3 ) 2 Page 26 Bài 1 −1; − ; 2 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Page 27 Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ... nên hàm số cho liên tục x0 = −1 x →−1 + Vậy hàm số cho liên tục x2 − x + x Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x ) = x − − − x x ĐS: Liên tục Lời giải + Tập xác định hàm số D... Khi hàm số liên tục Fb: ThayTrongDGL Page - lim f ( x ) = lim liên tục x = −1 Tài liệu biên soạn sưu tầm 17 - f ( −1) = a Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC... ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page VÍ DỤ 18 Chú ý: Hàm số thức liên tục Hàm số phân thức lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Khi hàm số liên tục rồi, lieent