Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục – Diệp Tuân

Tài liệu gồm 156 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Diệp Tuân, phân dạng và hướng dẫn giải các bài tập chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục (Đại số và Giải tích 11 chương 4).

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số GIỚI HẠN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BÀI A L TH T I DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn với số dương nhỏ tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, có giá trị tuyệt đối nhỏ số dương Bằng cách sử dụng kí hiệu tốn học, định nghĩa viết sau: lim un      0, n0 : n  n0  un    Kí hiệu: lim  un   lim un  un  Ví dụ Chứng minh dãy số un  1  n 4n  sau có giới hạn Lời giải Nhận xét lim un   lim un  Nếu  un  có un  , n  * lim un  lim   un  Cho hai dãy số  un    Nếu  lim un  lim    Đây nhận xét quan trọng để chứng minh giới hạn bằng định nghĩa.(giới hạn kẹp) Các dãy số có giới hạn thường gặp 1 C lim  lim      lim  với C số n n n 1 lim q n   q  1 lim k   k  2, k   lim k   k    n  n n Ví dụ minh họa Ví dụ Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn a) un  1  n 3n  n sin 2n b) un  n 2 c) un  1  n cos n n d.) un  3sin n  cos n 2n  Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn số thực L lim  un  L   Khi ta viết lim  un   L , viết tắt lim  un   L lim un  L n  Nhận xét: Để chứng minh dãy số  un  có giới hạn số thực L ta chuyển việc chứng minh lim  un  L   lim un  a  un  a nhỏ với n đủ lớn Không phải dãy số có giới hạn hữu hạn  Ví dụ Chứng minh   n3  a) lim    1  n 1  n  3n   b) lim    2n  n  Lời giải Ví dụ Chứng minh  3.3n  s in3n  a) lim    3n   b) lim   n2  n  n  Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số Một số định lý Định lý ( tìm giới hạn hàm trị tuyệt đối thức) Giả sử lim un  L Khi lim un  L lim un  L Nếu un  với n L  lim un  L Định lý Giả sử lim un  L , lim  M C số Khi lim  un    L  M u  L lim  n   với M  v M  n Nhận xét Cho ba dãy số  un  ,   lim  un   L.M lim  Cun   CL limc  c (c số)  wn  Nếu un   wn ,  n lim un  lim wn  a,  a   lim  a (gọi định lí kẹp) Điều kiện để dãy số tăng dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn  Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân  un  có cơng bội q thỏa q  Khi tổng S  u1  u2  u3    un   gọi tổng vô hạn cấp số nhân S  lim S n  lim u1 1  q n  1 q  u1 1 q Vậy cấp số nhân  un  có cơng bội q thỏa mãn q  S  u1  u2   Ví dụ Tính tổng sau 1 a) S     n  3 3 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân 1 b) S     Lời giải   1 n  2n u1 1 q c) S  16     Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số Ví dụ Hãy biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số a) A  0,353535 b) B  5, 231231 Lời giải III DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn  Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi ta viết lim  un    lim un   Từ định nghĩa, ta có kết lim n  ; lim n  ; lim n   Dãy số có giới hạn  Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Khi ta viết lim  un    lim un   Nhận xét Nếu lim  un    lim  un    Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số Các dãy số có giới hạn   gọi chung dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực Nếu lim un   lim  un Các quy tắc tìm giới hạn vơ cực • Quy tắc nhân: lim lim un     • Quy tắc chia     lim  un  lim un lim  L  lim  un               lim un  L  có dấu lim  0,  có dấu       lim        Các ví dụ minh họa Ví dụ Tìm giới hạn dãy  un  biết:   a) un  3n3  2n2  b) un  2n4  3n3  n c) un  d) un  4n   3 e) un  n cos n 2  4n 10 f) un  n 1 un 4n  2n3  n2  n  4n   2n n3  3n  2n Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA Dạng Chứng minh dãy số có giới hạn Phương pháp  Cách 1: Áp dụng định nghĩa  Cách 2: Sử dụng định lí sau: Nếu k số thực dương lim k  n Với hai dãy số  un    , un  với n lim  lim un  Nếu q  lim q n  Bài tập minh họa Bài tập Chứng minh dãy số  un  sau có giới hạn  1 1  cos n3 b) un  c) un  n 1  n 1 2n  3 Lời giải cos 4n a) un  n3 n Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số Bài tập Chứng minh dãy số với số hạng tổng quát sau có giới hạn 3n sin 2n  4n a) un  n3   n3  b) un  2n  4.5n n n  cos n  sin 2n c) un  d) un  n n n n n Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài tập Cho dãy số  un  với un  a) Chứng minh Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số n 3n un 1  với n  un * n 2 b) Bằng phương pháp quy nạp chứng minh  un    với n  * 3 c) Dãy  un  có giới hạn Lời giải Câu hỏi trắc nghiệm  sin 5n    bằng: Câu Kết giới hạn lim   3n  A 2 B C D Lời giải Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số n  nk cos Câu Có số tự nhiên chẵn k để lim A B 2n C n  D Vô số Lời giải Câu Kết giới hạn lim A 3sin n  4cos n bằng: n 1 B C D Lời giải n cos 2n   Câu Kết giới hạn lim    bằng: n 1   A B C D 4 Lời giải n    2n3  là: Câu Kết giới hạn lim  n sin   A  B 2 C D  Lời giải n  1    bằng: Câu Giá trị giới hạn lim     n    A B Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân C D Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Giới Hạn Dãy số Lời giải Câu Cho hai dãy số  un    có un bằng: A B  1  n n 1  C Khi lim  un   có giá trị n 2 D Lời giải Dạng Dùng định nghĩa chứng minh dãy số  un  có giới hạn hữu hạn L Phương pháp Ta biến đổi lim un  L dạng tìm lim có giới hạn tức chứng minh lim un  L  Kết luận lim un  L Bài tập minh họa Bài tập Chứng minh: 2n   a) lim 4n    4.3n  5.2n  c) lim n  2n  n  n n 6.3  3.2 Lời giải b) lim 10 Lớp Toán Thầy–Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục  x2  x   Câu 19 Biết f  x    x  liên tục đoạn  0;1 (với a tham số) Khẳng a x   định giá trị a đúng? A a số nguyên B a số vô tỉ C a  D a  Lời giải  x 1 x   Khẳng định Câu 20 Xét tính liên tục hàm số f  x     x  2 x x   đúng? A f  x  không liên tục B f  x  không liên tục  0;2  C f  x  gián đoạn x  D f  x  liên tục Lời giải  x2  5x  x   Câu 21 Tìm giá trị nhỏ a để hàm số f  x    x   x liên tục x  1  a x x   2 4 A  B C  D 3 3 Lời giải 142 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục  3x    Câu 22 Tìm giá trị lớn a để hàm số f  x    x  a x   A amax  B amax  C amax  x  liên tục x  x  D amax  Lời giải 1  cos x x  Câu 23 Xét tính liên tục hàm số f  x    Khẳng định sau đúng? x   x  A f  x  liên tục x  B f  x  liên tục  ;1 C f  x  không liên tục D f  x  gián đoạn x  Lời giải  x cos Câu 24 Tìm khoảng liên tục hàm số f  x    x 1  A Hàm số liên tục x  1 B Hàm số liên tục khoảng  , 1 ; 1;   x  Mệnh đề sau sai? x  C Hàm số liên tục x  D Hàm số liên tục khoảng  1,1 Lời giải 143 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục Câu 25 Hàm số f  x  có đồ thị hình bên khơng liên tục điểm có hoành độ bao nhiêu? A x  B x  C x  D x  Lời giải  x2   x Câu 26 Cho hàm số f  x   0   x  A điểm thuộc C điểm trừ x  x  1, x  x  Hàm số f  x  liên tục tại: x  B điểm trừ x  D điểm trừ x  x  Lời giải  x2  x  3, x   x   x  Câu 27 Cho hàm số f  x   4 Hàm số f  x  liên tục tại:   x  x   A Mọi điểm thuộc B Mọi điểm trừ x  C Mọi điểm trừ x  D Mọi điểm trừ x  x  Lời giải 144 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục x  2 x  Câu 28 Số điểm gián đoạn hàm số h  x    x   x  là: 3 x  x   A B C D Lời giải  x  x x   x  liên tục x  Câu 29 Tính tổng S gồm tất giá trị m để hàm số f  x   2 m x  x   A S  1 B S  C S  D S  Lời giải  x cos x x    x  x  Hàm số f  x  liên tục tại: Câu 30 Cho hàm số f  x    1  x  x x  A điểm thuộc x  B điểm trừ x  C điểm trừ x  D điểm trừ x  0; x  Lời giải 145 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm Ta xét toán tổng quát sau Bài toán Cho phương trình f  x   Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp Bước 1: Biến đổi phương trình dạng f  x   Bước 2: Hàm số liên tục xác định tập xác định  hàm số liên tục  a; b Bước 3: Tìm hai số a b cho f  a  f  b   Từ suy phương trình f  x   có nghiệm thuộc  a; b  Chú ý:  Nếu f  a  f  b   phương trình có nghiệm thuộc  a; b  Nếu hàm số f  x  liên tục  a;   có f  a  lim f  x   phương trình x  f  x   có nghiệm thuộc  a;    Nếu hàm số f(x) liên tục  ;a  có f  a  lim f  x   phương trình f  x   x  có nghiệm thuộc  ;a   Để chứng minh f  x   có n nghiệm  a; b , ta chia đoạn  a; b thành n đoạn nhỏ rời nhau, chứng minh khoảng phương trình có nghiệm Bài tập minh họa Bài tập 21 Chứng minh phương trình a) x  3x  x   có nghiệm thuộc khoảng 1;2  b) x3  x   có nghiệm âm lớn 1 c) x cos x  x sin x   có nghiệm thuộc khoảng  0;  Lời giải 146 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục  Bài tập 22 Chứng minh phương trình x5  x3  x   có năm nghiệm Lời giải  Bài tập 23 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm a) x5  3x   b) x  x3  3x  x   Lời giải 147 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục Bài tập 24 Chứng minh phương trình a) x  x  x   có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  1;1 b) x5  x  x   có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;5 Lời giải Bài tập 25 Chứng minh phương trình a) x  3x   có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  3;1 b) x3  3x   có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng  1;3 c) x   x  có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng  7;9  Lời giải 148 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục Bài toán Chứng minh phương trình có chứa tham số m ln có nghiệm với m Phương pháp Bước Chọn hai số a b thỏa mãn hai trường hợp  f  a   f  b   0, m (đưa bình phương thiếu biểu thức có chứa tham số m)  f  a  f  b   0, m nên phương trình ln có nghiệm m  f  a   f  b   0, m (đưa bình phương thiếu biểu thức có chứa tham số m)  f  a  f  b   0, m nên phương trình ln có nghiệm m Bước Kết luận Bài tập minh họa  Bài tập 25 Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm a) 1  m   x  1  x  x   b)  m  m   x  x   c) m  x  1  x     x  1 x  3    e) m 2cos x   2sin5 x  d) cos x  m cos x  f) 1  m cos x sin x Lời giải 149 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục  Bài tập 25 Chứng minh m  3 phương trình  3m2  m  1 x3   3m   x2   m  1 x   có nghiệm thuộc khoảng  1;1 Lời giải Bài toán Chứng minh phương trình có chứa tham số m ln có nghiệm dương nghiệm âm với m Phương pháp Chọn số a thỏa mãn hai trường hợp Trường hợp Nếu nghiệm dương chọn a  150 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục  f     Khi hàm số f  x  liên tục  a;   thỏa   f  a  lim f  x   x  tính lim f x     x  phương trình f  x   có nghiệm dương thuộc  a;   Trường hợp Nếu nghiệm âm chọn a   f     Thì hàm số f  x  liên tục  ;a  thỏa   f  a  lim f  x   x  f  x  tính xlim  phương trình f  x   có nghiệm âm thuộc  ;a  Bài tập minh họa  Bài tập 25 Chứng minh phương trình a) x3  mx   ln có nghiệm dương b)   x   mx  m  ln có nghiệm lớn c)  m2  m  3 x n  x   0, n  * ln có nghiệm âm với m Lời giải  Bài tập 25 Tìm m để phương trình x3  3x   2m   x  m   có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  1  x2  x3 Lời giải 151 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục  Bài tập 25 Chứng minh phương trình x  x   ln có nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện x0  12 Lời giải  Bài tập 25 Cho a, b, c số thực khác Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm a) ax  bx  c  với 2a  3b  6c  a b c b) ax  bx  c  với    m  m  m 1 m Lời giải 152 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục  Bài tập 25 Chứng minh 2a  3b  6c  phương trình a tan x  b tan x  c  có    nghiệm khoảng  k ;  k    Lời giải  Bài tập 25 Chứng minh phương trình bậc ba ax3  bx  cx  d   a   có nghiệm Lời giải  Bài tập 25 Chứng minh phương trình bậc bốn ax  bx3  cx  dx  e  với a.e  ln có nghiệm Lời giải 153 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục  Bài tập 25 Cho a, b, c ba số dương phân biệt Chứng minh phương trình a  x  b  x  c   b  x  a  x  c   c  x  a  x  b   ln có hai nghiệm phận biệt Lời giải Câu hỏi trắc nghiệm Câu 31 Cho hàm số f  x   4 x3  x  Mệnh đề sau sai? A Hàm số cho liên tục B Phương trình f  x   khơng có nghiệm khoảng  ;1 C Phương trình f  x   có nghiệm khoảng  2;0  1  D Phương trình f  x   có hai nghiệm khoảng  3;  2  Lời giải Câu 32 Cho phương trình x  x  x   Mệnh đề sau đúng? A Phương trình khơng có nghiệm khoảng  1;1 B Phương trình khơng có nghiệm khoảng  2;0  C Phương trình có nghiệm khoảng  2;1 D Phương trình có hai nghiệm khoảng  0;2  Lời giải 154 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục Câu 33 Cho hàm số f ( x)  x  x  Số nghiệm phương trình f  x   A B C là: D Lời giải Câu 34 Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  1;4 cho f  1  , f    Có thể nói số nghiệm phương trình f  x   đoạn [1;4] : A Vơ nghiệm C Có nghiệm B Có nghiệm D Có hai nghiệm Lời giải Câu 35 Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc khoảng  10;10  để phương trình x3  3x   2m   x  m   có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1  1  x2  x3 ? A 19 B 18 C D Lời giải 155 Lớp Toán Thầy – Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Hàm Số Liên Tục 156 ... III DÃY SỐ CĨ GIỚI HẠN VƠ CỰC Dãy số có giới hạn  Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Khi... ; lim n  ; lim n   Dãy số có giới hạn  Định nghĩa Ta nói dãy số  un  có giới hạn  với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số âm Khi ta viết lim  un... số tăng dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn  Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân  un  có cơng