Các dạng toán giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

Tài liệu gồm 124 trang được tổng hợp bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, phân dạng và chọn lọc các bài toán trắc nghiệm về các chủ đề: giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương IV; các câu hỏi và bài toán đều có đáp án và lời giải chi tiết.

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1D4-1 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Dạng 1.4 Phân thức chứa căn DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 11 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 13 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 13 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO 16 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 16 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC 17 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu 17 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu 20 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu 25 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn 26 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC 26 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 31 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 33 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 34 PHẦN A. CÂU HỎI  DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT  Câu Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.  A Nếu  lim un    và  limv n  a   thì  lim  un    u  B Nếu  lim un  a   và  limv n    thì  lim  n       Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 u C Nếu  lim un  a   và  limv n  thì  lim  n         u D Nếu  lim un  a   và  limv n  và    với mọi  n  thì  lim  n  Câu Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vơ hạn tuần hồn  P  2,13131313 ,  A P  Câu        212   99 B P  213   100 C P  211   100 D P  211   99 Khẳng định nào sau đây là đúng? A Ta nói dãy số   un   có giới hạn là số  a  (hay  un  dần tới  a ) khi  n   , nếu  lim  un  a   n  B Ta nói dãy số   un   có giới hạn là  khi  n  dần tới vơ cực, nếu  un  có thể lớn hơn một số dương  tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi C Ta nói dãy số   un   có giới hạn    khi  n    nếu  un  có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể  từ một số hạng nào đó trở đi D Ta nói dãy số   un   có giới hạn    khi  n    nếu  un  có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể  từ một số hạng nào đó trở đi.  Câu Cho các dãy số   un  ,    và  lim un  a, lim    thì  lim A Câu B un  bằng  C  D  Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?  (I) lim n k    với  k  nguyên dương (II) lim q n    nếu q  (III) lim q n    nếu  q  B A Câu Câu C với mọi  n   *  Khi đó n3 A lim un  khơng tồn tại.  B lim un    C lim un    D Cho dãy số   un   thỏa  un   D lim un     (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai? A lim un  c  ( un  c là hằng số ).  C lim  n D lim B lim q n   q  1   k  1 nk DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC  Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu B L  (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)  lim A B   A B  Câu 11  (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)  lim A   C        D  bằng 2n  B B D  bằng 2n  C .  (THPT QUỐC GIA 2018 - MàĐỀ 102)  lim A D L  5n    Câu 10  (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)  lim Câu 12 n 1 n3  C L   (THPT Chun Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính  L  lim A L  Câu ĐT:0946798489 C  D  bằng 5n  C .    D  Câu 13  (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm  I  lim A   B  n  2n  3n3  2n  D C 2n   bằng:  n  5n 3 C .  Câu 14  (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)  lim A B 2018 n  bằng  Câu 15 A  B D 3 lim D  C 2n  ?   n  n2 D L  Câu 16  (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn  L  lim A L   B L  2 C L  Câu 17  (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  ?   2n n2  n  2n  2n u  A un    B u    C .  D u    n n n 5n  3n2 5n  3n 5n  3n 5n  3n Câu 18  (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính  I  lim A I   B I  C I   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2n  2n  3n  D I  CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Câu 19 Tìm  lim un  biết  un  A   ĐT:0946798489 1      1 1 n 1 B .  C   D    1 1     Câu 20  (THPT XN HỊA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn  lim      1.2 2.3 3.4 n n      A   B   C   D .  Câu 21  (THPT  CHUYÊN  LƯƠNG  VĂN  1 1  L  lim          n  1 1 A L  B L   Câu 22 Với  n   là  số  nguyên  dương,  đặt  Sn  CHÁNH  -  PHÚ  YÊN  -  2018)  Tìm  D L  C L  1      Khi  đó  2 3 n n    n  1 n lim Sn  bằng  A   1 B   1 C   D   22 cos n  sin n   n2  D  Câu 23  (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của  lim A   B   Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu  C    Câu 24  (THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của  lim A   B   C 1   D   Câu 25  (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của  lim A   B    C 2   Câu 26  (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn  I  lim A I     B I    2n  bằng  n 1 n2  bằng:  3n  D   3n    n3 C I    D k     Câu 27  (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn  lim A   B   C   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong  2n  bằng?  3n  D    CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2n  2017   3n  2018 2017 C I    2018 Câu 28  (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn  I  lim A I    B I    lim Câu 29  (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019)  19 A .  B .  18 18 D I   19n 18n  19  bằng  C  D   19 Câu 30  (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác  ?  n 1 sin n A .  B .  C .  D .  n n n n  n2 Câu 31  (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)  lim  bằng 2n  1 B .  C .  A Câu 32 (SGD THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn  lim A B D  4n  2018   2n  C D 2018 8n5  2n3  Câu 33  (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm  lim 4n  n  B C D A Câu 34 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính  lim B A Câu 35  (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018)  lim A   11 B   C 2n  được kết quả là 1 n   D 2n  n   bằng  4n  2n  C  D 2n  Câu 36  (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của  lim  2n A  B C 1 D n2  n A  lim 12n  Câu 37 Giá trị  A B 12 lim Câu 38 Tính  C D 24 5n  2n    Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A 1.  ĐT:0946798489 B    C   D     D   D   n  4n  lim 3n  n2   bằng  Câu 39 A   B   C n  3n3 Câu 40 Tính giới hạn  lim   2n  5n  A .  B   Câu 41 Giới hạn của dãy số   un   với  un  A 2   B Câu 42 Tính giới hạn  I  lim A I   10   3 C    2n  , n  *  là:  3 n   C   10n   ta được kết quả:  3n  15 10 B I    C I    10 2n  n   bằng  Câu 43 A   D    D I     lim lim Câu 44 B   C 2   B   C B  C D    3n2  n   bằng:  A   lim Câu 45 Tính    D    8n  3n   5n  n A Câu 46 Cho hai dãy số   un   và     có  un  A B Câu 48 Giá trị của  B  lim 4n  3n   3n  1 u ;    Tính  lim n   n 1 n3 C 8n5  2n3  lim 2n  4n5  2019  bằng  Câu 47 Giới hạn  A 2   B   D    C  D    D    bằng: Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A   ĐT:0946798489 B   D   C   Câu 49  (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính  L  lim A   2018 C    B 3   n3  n    2018  3n3 D    Câu 50  (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên  a  thỏa   3n    a  4a    Tổng các phần tử của  S  bằng mãn  lim   n2  A B C D Câu 51  (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho  a    sao cho giới hạn  lim Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?  A  a    B  a    Câu 52  3n  1  n  Dãy số   un   với  un   4n   A 192   B 68   C 1  a    an  a n   n  1  a2  a  D  a     có giới hạn bằng phân số tối giản  C 32   a  Tính  a.b   b D 128 2n3  n    với  a  là tham số. Khi đó  a  a  bằng  an  2 A 12   B 2   C   Câu 53 Biết  lim Câu 54 Cho dãy số   un   với  un  D 6     n  Mệnh đề nào sau đây đúng?  n2  A lim un      C Dãy số   un   khơng có giới hạn khi  n     B lim un  D lim un    Câu 55  (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn  lim trị bằng?  A .  lim Câu 56 A B   C   12  22  32  42   n  có giá  n3  2n  D       2n  3n   bằng    B   C   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 57 ĐT:0946798489 n 1 Lim       n   bằng n n n B A C Câu 58 Cho dãy số   un   xác định bởi:  un  B  A 0` D   2n     với  n   *  Giá trị của  lim un  bằng: n n n C  D n   Câu 59  (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm  lim        n  n n 1 B .  C .  D A  n Câu 60  (THPT  Yên  Lạc-Vĩnh  Phúc-lần  1     lim 1  1   1          n   A B 1-năm  C 2017-2018)  D Tính  giới  hạn: Câu 61  (CHUYÊN  TRẦN  PHÚ  -  HẢI  PHÒNG  -  LẦN  1  -  2018)  Cho  dãy  số   un    với  un  A 1     Tính  lim un   1.3 3.5 2n 1.2n 1 B 2019 lim   3n   n  1 L  lim 2   B L  Câu 66 Giới hạn  D C L    D L   C D  2  3n  2n3 3n  B  lim C 81 n3  2n 3n2  n  Câu 65 Tính giới hạn của dãy số  un  A D 2019  là:  B  A L   C 2 A  Câu 64 Tính giới hạn  D 2018 Câu 62 Tính  lim(2n  3n  4) ? B  A    Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Câu 63 C 1     4n  3 2n   bằng  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A 1.  ĐT:0946798489 B    C   D   Dạng 1.4 Phân thức chứa căn    4n   n   bằng 2n  Câu 67  (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)  lim   A B 2.  C 1.  Câu 68  (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho  I  lim B I  A I  D    4n   n 4n  n  C I  1    Khi đó giá trị của  I  là:  D I    Câu 69  (CỤM  5  TRƯỜNG  CHUYÊN  -  ĐBSH  -  LẦN  1  -  2018)  Tính  giới  hạn 4x2  x   x2  x  x  3x  2 A    B .  3 lim Câu 70 Tìm  lim un  biết  un  A   C n      2n  1 2n  B        C 1.  Câu 71  (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính  lim A   B   D  C   D    12  22  33   n   2n  n   6n   D    DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC    lim Câu 72  n  3n   n A 3   bằng C B  D  Câu 73 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng  1?  3n 1  2n 3n  n A lim B .  lim  3n 4n  2n  C lim n  2n  n  D lim    2n  Câu 74 Giới hạn   lim n  n4  n3   bằng  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A ĐT:0946798489 B  C D     Câu 75 Tính giới hạn  lim n  n  4n B A C Câu 76 Có bao nhiêu giá trị nguyên của  a  để  lim Câu 78  n  4n   a  n  ?  B A Câu 77  D C D (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Tính  I  lim  n  A I   B I  C I  1, 499 (LÊ Q ĐƠN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính  lim n L  lim Câu 79 Tính giới hạn   L  lim Câu 80 Tính giới hạn   Câu 81 Tính giới hạn  L  lim  L  lim Câu 82 Tính giới hạn  L  lim D C  D C  D C 53   D C 53   D  n  3n   n  25 B 7 A  A   C   n  n  n   ĐS:  B 7 A  2n   n  4n    B 7 Câu 84 Tính giới hạn sau  L  lim  4n   8n3  n  B 7 A  Câu 83 Tính giới hạn  4n2  n   9n D I  9n  2n   4n  B A   n2   n2    D C  B A    1  n  4    3 n  1  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 x 3 có tập xác định  \ 1 Do hàm số khơng liên tục điểm x  1 x2  Câu 16 Hàm số xác định  x 2sin  cos x 1  lim Ta có f    lim f  x   lim 2 x 0 x 0 x 0 x  x   2 Vì f    lim f  x  nên f  x  gián đoạn x  Do f  x  khơng có đạo hàm x  Hàm số y  x 0  cos x  nên f  VậyA, B,C sai x2 Câu 17 * f  x  liên tục x  x  * Tại x  x2 lim f  x   lim   x cos x   , lim f  x   lim  , f 0  x 0 x 0 x 0 x 0  x Suy lim f  x   lim f  x   f   Hàm số liên tục x    x  f  x   x 0 x 0 * Tại x  x2  , lim f  x   lim x3  x 1 x 1 x 1  x x 1 Suy lim f  x   lim f  x  Hàm số gián đoạn x  lim f  x   lim x 1 x 1 Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số Câu 18 Chọn A  x2   Hàm số liên tục x  2 lim    lim m  m  m  4 x 2  x   x2 Câu 19 Chọn C Ta có f (1)  m  x3   lim( x  x  1)  x 1 x 1 x  x 1 Để hàm số liên tục điểm x0  f (1)  lim y  m    m  lim y  lim x 1 Câu 20 Chọn B Hàm số liên tục x  1 lim y  lim y  y  1 x 1 x 1  lim  x  a   lim  x  3x    y  1  a    a  x 1 Câu 21 x 1 Chọn A Ta có: f 1  m   x  1  x   x3  x  x  lim f  x   lim  lim  lim  x    x 1 x 1 x  x 1 x 1 x 1 Để hàm số f  x  liên tục x  lim f  x   f 1   m   m  x 1 Câu 22 Chọn A x x 2016  x   lim Ta có: lim x 1 2018 x   x  2018 x 1 2016   x  1  2018 x   x  2018  2017 x  2017 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  lim  x  1  x 2015 x 2014 ĐT:0946798489   x   1  2018 x   x  2018 2017  x  1 x 1  2 2019 Để hàm số liên tục x   lim f  x   f 1  k  2019 x 1 Câu 23 Chọn C Ta có lim f  x   lim x 1 x 1 x 1  lim x 1 x 1 x 1   x 1  1  x 1  lim x 1 x 1 Để hàm số liên tục x0  lim f  x   f 1  a  x 1 Câu 24 Chọn A lim f x   f 1  b  ; lim f x   a  Để liên tục x=-1 ta có b   a   a  b  x  1 Câu 25 x  1 Chọn D f  3  m lim f  x   lim 3 x  lim 3  x  x 1  x3 x   x3 Để hàm số liên tục x  lim f  x   f  3 x3 x 3     lim  x    4 x 3 x 3 Câu 26 Suy ra, m  4 Chọn B Ta có: lim f  x   lim  ax  bx    a  b   f 1 x 1 x 1 lim f  x   lim  2ax  3b   2a  3b x 1 x 1 Do hàm số liên tục x  nên a  b   2a  3b  a  4b  5 Chọn D TXĐ: D  R x2  x Ta có lim f ( x)  lim  lim x  x 1 x 1 x  x 1 Và f (1)  m  Hàm số liên tục x   m    m  Câu 28 Chọn D  x  1 x    lim x   1 x  3x  lim  lim   x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Để hàm số f  x  liên tục điểm x  cần: lim f  x   f 1 Câu 27 x 1  m  m   1  m  (TM)  m2  m     m  1 (L) Câu 29 Chọn B Ta có f     a Ta tính lim f  x   lim x x2 x24  x  2  x2 2   lim x2 1  x2 2 Hàm số cho liên tục x  f    lim f  x    a  x 2 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 a 4 18 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Vậy hàm số liên tục x  a   Câu 30 15 Chọn D Ta có  x2   x   x  1 x   x  3x   lim  lim  x  1 x 2 x2 x   x 2 lim f ( x)  lim x2    x2 2   lim f ( x)  lim m x  4m   2m  4m  x  2 x2 f (2)  2m  4m  Để hàm số liên tục x  lim f ( x)  lim f ( x)  f (2)  2m2  4m    2m2  4m    m  x2 x 2 Vậy có giá trị m thỏa mãn hàm số cho liên tục x  Câu 31 Chọn A Tập xác định D   , x0  1  Ta có f 1   m lim f  x   lim x 1 x 1  3x   lim  x  1  Hàm số f  x  x 1 Câu 32  x  1 3x  5 3x  x    lim x 1  x  1 x  1  x  1 x  1 3x  x   3x  x     1 liên tục x0  lim  x   f 1   m   m  x 1 Chọn D - Ta có: + f  1  m  + lim  f  x  m  x 1 + lim  f  x   lim  x  1 x  1 x  3x   x  1 x    lim x   1  lim x   1  x  1 x  1 x   1 x  x 1   1 - Hàm số liên tục x  1  f  1  lim  f  x  lim  f  x   m   m x 1 x 1 2 Câu 33 Chọn D Tập xác định: D   x2   lim f ( x)  lim  lim x 0 x 0 x 0 x2  lim x 0 x2   2 x ( x   2) f (0)  2a   lim x 0  x2   x2 x 42    x2   x2     Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Hàm số f ( x ) liên tục x   lim f ( x)  f (0)  2a  x 0 Vậy a  Câu 34  a 4 Chọn C TXĐ D   Ta có f 1   m lim f  x   lim  x  x  3  x 1 x 1 Hàm số liên tục x0   lim f  x   f 1   m   m  x 1 Câu 35 Chọn A Hàm số liên tục x   lim f ( x)  f (2) x 2 Ta có f (2)  a, lim f ( x)  lim x2 Câu 36 x2 x  3x   lim( x  1)  Do a  x2 x2 Chọn A Tập xác định D   3 x  lim   x     4  x 3 x 3 x   x 3  Hàm số cho liên tục điểm x   lim f  x   f  3  3m   4  m  2  Ta có f  3  3m  lim f  x   lim  x 3 Câu 37 Chọn A Ta có lim f  x   f    4m  ; lim f  x   lim x 4 x4 x4 x  16  lim  x    x 4 x4 Hàm số liên tục điểm x   lim f  x   lim f  x   f    4m    m  x 4 Câu 38 x 4 Chọn A x  x  2 x2  x  lim  lim x  x2 x2 x2 x2 x2 x2 lim f  x   lim  mx  4  2m  Ta có lim f  x   lim x 2 x 2 Hàm số liên tục x  lim f  x   lim f  x   2m    m  x 2 Câu 39 x 2 Chọn D Ta có: f 1  n lim f x   lim x 1 x 1 x   m2 x  1 x 3 m  Hàm số liên tục x   lim f x   f 1  n  lim x 1 x 1 x   m2 x  1 x 3 m  (1) m  lim f x  tồn nghiệm phương trình:   m    x 1 m  2 x 1 1 + Khi m  1  n  lim  n  lim n  x 1 x 1 x 3 2 x  1 x   2   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 + Khi m  2 1  n  lim x 1 Vậy m  n   Câu 40 x 3 x 3 suy không tồn n  4 x3  x  11x   lim  x  3x    x 3 x 3 Chọn B Ta có: lim x 0 Câu 42 x  2 Chọn B Ta có: f  3  m lim f  x   lim Câu 41 cos3x  cos x 2sin x sin x  2.5.2  20  lim x  x x2 Chọn A Tập xác định D  R * f (1)  m  2m2 * lim f ( x )  lim (mx  2m )   m  2m x 1 x 1 ( x  1)( x  2) x2  x   lim  lim ( x  2)  3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm số liên tục x  1 lim f ( x)  lim f ( x)  f (1) * lim f ( x)  lim x 1 x 1 m   m  2m  3  2m  m     m     3 Vậy giá trị m m  1;    2 Câu 43 Chọn B  x   x  1  lim x   x  3x   lim Ta có: lim x2 x2 x2 x  2x x  x  2 x 2 f    3m  Để hàm số liên tục điểm x   3m   Câu 44 1 m Chọn D + Ta có f    2a  + lim f  x   lim x 0 x 0 x2    lim x 0 x2 x x2    1  lim   x 0 x   x 42    Hàm số f  x  liên tục x  lim f  x   f    2a  x 0 Câu 45  a 4 Chọn A Ta có    ax    bx   ax   bx   x3  3x   x  1  x  1 ax   bx  a  b  x    x  1  x  1  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2  4bx  ax   bx   21 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  a  b  x  4bx   m  x  1  m  3   Để hàm số liên tục x     b   a b  1      a  3  ax   bx  12 x  12 x   lim x3  3x  x   x  1  x  1 3 x   3x  Khi lim1 x  lim x 2  3  x  1  3x   3x     3 c  2   c  4 2 Vậy S  abc  3  3 4   36 Câu 46 Lời giải Chọn C Tập xác định D  R f 1  a x2 1  lim  x  1  x 1 x 1 x  x 1 f  x  liên tục x0  lim f  x   f 1  a  lim f  x   lim x 1 Câu 47 Chọn A Ta có: lim x 2 x2  x  ( x  2)( x  1)  lim  lim( x  1)  x 2 x 2 x2 x2 f ( x)  f (2)  m  Hàm số liên tục x=2  lim x 2 Câu 48 Chọn A f 1  m  x  1 x  1  lim x   x  3x   lim x 1 x 1 x 1  x  1  x  1 2 lim f  x   lim x 1 Để hàm số f  x  liên tục x  lim f  x   f 1  m  x 1 Câu 49 Tập xác định hàm số  Hàm số gián đoạn x  lim f  x   f 1  lim x 1  lim x 1 Câu 50  x 1 x  2  3m  lim x 1 x 1 x 1 x2  x   3m x 1  x    3m   3m  m  Ta có 1 x   lim f  x   lim  m    m 1 x 0 x 0  1 x   1 x  1 x  lim f  x   lim    xlim  x 0 x 0 x   0 x 2 x  1 x  1 x   lim x 0 2  1 x  1 x   1 f 0  m  Để hàm liên tục x  lim f  x   lim f  x   f    m   1  m  2 x 0 x 0 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tập xác định: D   eax  e ax  lim f  x   lim  lim a  a x 0 x 0 x 0 x ax 1 f    ; hàm số liên tục x0  khi: lim f  x   f    a  x 0 2 D   3;   Câu 52 Tập xác định:   Câu 51 lim f  x   lim x 1 ax   a   x  x3 2 x 1  lim  x  1 ax    x 1  lim  ax   x 1  x3 2  x 1 x     a  2  f 1   a a  Hàm số cho liên tục x  lim f  x   f 1   a     a   x 1 a   Vậy có giá trị a để hàm số cho liên tục x  x2 2 x2 1  lim  lim  Câu 53 Ta có: lim f  x   lim x2 x 2 x2 x2  x   x   x2 x     15 a x2 4 Ta có lim f  x   lim  x  1  ; lim f  x   lim  x  m    m Để hàm số liên tục x0  Hàm số liên tục x   lim f  x   f    a   Câu 54 x 1 x 1 x 1 x 1 lim f  x   lim f  x    m   m  x 1 x 1 Câu 55 lim f  x   lim x4 x4 2x   x   lim x4 x4  x  4 Lời giải x4  2x 1  x    lim x 4 1  2x 1  x  f  4  a  Hàm số liên tục tại x0  khi: lim f  x   f    x4 Câu 56 11 a2  a  6 Tập xác định: D   Ta có:  x  3 x    lim x   7 x  x  12 + lim f  x   lim  lim   x 4 x 4 x 4 x 4 x4 x4 + f  4   4m  Hàm số f  x  liên tục điểm x0  4 lim f  x   f  4   4m   7 x 4  m  Câu 57 Ta có lim x 1 3x   3x   22 3  lim  lim  x 1 x 1  x  1 x   x 1 3x     Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Với f 1  m ta suy hàm số liện tục x  m  Câu 58 Câu 59 1  ; f 1  lim f  x   m2  m  x 1 x 1 x 1 x3 2  m  1 1 Để hàm số f  x  liên tục x  m  m     4 m  Ta có lim f  x   lim x32  lim x 1 x 1  Khi x  f  x   x  a hàm đa thức nên liên tục khoảng  ;1 x3  x2  x  hàm phân thức hữu tỉ xác định khoảng 1;    nên x 1 liên tục khoảng 1;     Khi x  f  x    Xét tính liên tục hàm số điểm x  , ta có: + f 1   a + lim f  x   lim  x  a    a x 1 x 1  x  1  x   x3  x  x  + lim f  x   lim  lim  lim  x    x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  Hàm số f  x  liên tục   hàm số f  x  liên tục x   lim f  x   lim f  x   f 1  2a    a  x 1 Câu 60 Câu 61 x 1 x2  x   m2   m2  m   x2 x2 x2  x  1 x  3 x  4x   lim  Ta có: lim  f  x   lim   lim   x  3  x  1 x  1 x  1 x  1 x 1 x 1 lim  f  x   lim   mx     m  Hàm số f  x  liên tục  lim f  x   f    lim x  1 x  1 f  1   m  Để hàm số cho liên tục điểm x  1 lim  f  x   lim  f  x   f  1    m  x  1 Câu 62 x  1  m 0 f    2m   x    x2  x   x3  lim f  x   lim  lim  lim  x  x    12 x2 x 2 x  x2 x 2 x2 11 Hàm số liên tục x0   f    lim f  x   2m   12  m  x2 2  x  2x  Câu 63 TXĐ: D   ; có: lim f ( x )  lim  6, f    4m  10m x 2 x 2 x2 m  Hàm số liên tục x0  2 4m  10m   4m  10m     m    Mà m số nguyên nên m  DẠNG LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG Dạng 3.1 Xét tính liên tục khoảng hàm số Câu 64 Chọn A Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Vì y  x  x đa thức nên liên tục  3x  Câu 65 * Ta có hai hàm số f  x   f  x   log x có tập xác định khơng phải tập  nên x2 không thỏa yêu cầu * Cả hai hàm số f1  x   x  x  f3  x   cos x  có tập xác định  đồng thời liên tục  Câu 66 Chọn D x5 x5 Hàm số f  x   hàm phân thức hữu tỉ có TXĐ D   hàm số f  x   x 4 x 4 liên tục  Câu 67 Chọn B + Với x  , ta có f  x    x  x  hàm đa thức  hàm số f  x  liên tục khoảng  2;    + Với x  , ta có f  x   x  hàm đa thức  hàm số f  x  liên tục khoảng  ;  + Tại x  lim f  x   lim   x  x  3  x2 x2 lim f  x   lim  x    12 x 2 x2  lim f  x   lim f  x   không tồn lim f  x   hàm số gián đoạn x0  x2 x 2 x 2  Hàm số không liên tục  Câu 68 Chọn B Vì hàm số f  x   x  x có dạng đa thức với TXĐ: D   nên hàm số liên tục  Câu 69 Tập xác định D    Nếu x  , x  hàm số y  f  x  liên tục khoảng  ;0  ,  0;1 1;    Nếu x  f    lim f  x   lim x 0 x 0 x2 x2  lim x  0; lim f  x   lim  lim x  x 0 x 0 x x 0 x x  0 Suy ra: lim f  x    f   x 0 Do đó, hàm số y  f  x  liên tục x   x2 lim f x  lim  lim x      x 1 x x 1  Nếu x  f 1   x 1  lim f  x    f 1 x 1  lim f  x   lim x     x 1 x 1 Do đó, hàm số y  f  x  liên tục x  Vậy hàm số y  f  x  liên tục  Câu 70 Ta có: lim  x  1  lim sin  x   lim f  x   lim f  x  hàm số gián đoạn x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Tương tự: lim   x  1  lim  sin  x  x  1 x  1  lim  f  x   lim  f  x   lim f  x   f  1 hàm số liên tục x  1 x  1 x  1 x 1 Với x  1 hàm số liên tục tập xác định Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Vậy hàm số cho liên tục khoảng  ;1 1;   Câu 71 Câu 72 x  \ 1 x 1 Hàm số liên tục khoảng  ;1 1;   nên hàm số không liên tục  Tập xác định hàm số y  Vì f hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn hàm số f gián đoạn x làm   2018 cho cos x   x   k  k      0; 2018     k  2018    k  2  2018  k    k  641  Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số Câu 73 Chọn A x  x 1 liên tục khoảng  ;1 1;   x 1 +) Xét x  , ta có y 1  m  +) Xét x  , hàm số y  2 x  x 1 lim y  lim  lim x 1 x 1 x 1 x 1   x    x  1 x 1  lim x 1 2 1  1   3 x  x 1 Đề hàm số liên tục x  lim y  y 1  m     m   x 1 3 Vậy với m   hàm số liên tục  Câu 74 Chọn D Tập xác định hàm số D   3 4x  4x  Nếu x  , ta có f  x   Hàm số f  x   xác định liên tục khoảng x2 x2  ;   2;    Tại x  , ta có: f    2a  3 lim f  x   lim x2 x 2 4x  x2 x   x  x  4    lim x2  x    x  x  4     lim x2      x  2  x    x    lim x 2   x  4   4x   4x  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Hàm số liên tục x  lim f  x   f    2a    a   x2 3 Vậy hàm số liên tục  a   Câu 75 Chọn C x2  Do lim f  x   lim  lim  x  1  nên hàm số liên tục x  x 1 x 1 x  x 1 lim f  x   f 1  m    m  Khi hàm số liên tục  x 1 Câu 76 Chọn A TXĐ:  + Xét  2;   đó f  x   x  x    x0   2;    : lim x0  x0   x0  x0   f  x0   hàm số liên tục  2;   x  x0 + Xét  ;2  đó f  x   5x  5m  m2 là hàm đa thức liên tục   hàm số liên tục  ;2  + Xét tại x0  , ta có: f      lim f  x   lim x  x   4; lim f  x   lim  x  5m  m   m  5m  10 x  2 x2 x2 x2 Để hàm số đã cho liên tục  thì nó phải liên tục tại x0  m   lim f  x   lim f  x   f    m2  5m  10   m2  5m     x 2 x 2 m  Câu 77 Chọn D Hàm số liên tục điểm x  với a Với x  Ta có f  0  a  1; lim f  x   lim  x  a  1  a  ; x  0 x 0 lim f  x   lim x  0 x 0 1 2x 1  lim x 0 x x 2x   1 2x 1  lim x 0  1; 1 2x 1 Hàm số liên tục  hàm số liên tục x   a    a  Câu 78 Chọn A Vì hàm số f  x  liên tục  suy hàm số liên tục x  x  Do x  x  1 x   x  3x  x  x  1 x    a lim f  x   lim  lim  f    lim  a  1 x 0 x 0 x 0 x 0 x  x  2 x  x  2 x2 x  x  1 x   x  x  1 x  3x  x  lim  f    lim  b  b  x 2 x 2 x 2 x  x  2 x  x  2 x lim f  x   lim x 2 Vậy T  a  b    Câu 79 Tập xác định D   , f 1   m Ta thấy hàm số f  x  liên tục khoảng  ;1 1;    lim f  x   lim x 1 x 1 x 1  , lim f  x   lim  m.e x 1   2mx    m x 1 x 1 ln x Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Hàm số f  x  liên tục  hàm số f  x  liên tục x   lim f  x   lim f  x   f 1 x 1 x 1  1 m   m  Câu 80 Ta có hàm số ln liên tục x  Tại x  , ta có lim f  x   lim 1  m  x  1  m  ; x 2 lim f  x   lim  m x 2 x 2 x 2 x2   4m ; f    4m Hàm số liên tục x  lim f  x   lim f  x   f    4m2  1  m   4m2  2m   1 x 2 x 2 Phương trình (1) ln có hai nghiệm thực phân biệt Vậy có hai giá trị m Câu 81 Hàm số f  x  liên tục   f  x  liên tục x  lim f  x   lim x  0 x 0   x  m  m ; lim f  x   lim  mx  1  ; f    m x 0 x 0 f  x  liên tục x   lim f  x   lim f  x   f     m   m  1 x 0 Câu 82 x 0 Hàm số y  f  x  liên tục   y  f  x  liên tục x   lim f  x   lim f  x   f 1 x 1 x 1 x2  x   lim  x  3  2 x 1 x 1 x 1 x 1 lim f  x   lim  Px  3  P  lim f  x   lim x 1 x 1 f 1  P  Do lim f  x   lim f  x   f 1  P   2  P  x 1 Câu 83 x 1 Khi x  f  x   a cos x  b sin x liên tục với x  Khi x  f  x   ax  b  liên tục với x  Tại x  ta có f    a lim f  x   lim  ax  b  1  b  x  0 x 0 lim f  x   lim  a cos x  b sin x   a x  0 x 0 Để hàm số liên tục x  lim f  x   lim f  x   f    a  b   a  b  x0 Câu 84 x 0 Ta có hàm số liên tục khoảng  ;  1  1;    Xét tính liên tục hàm số x  1 Có y  1  2  lim y lim y  1  m x 1 x 1 Để hàm số liên tục  y  1  lim y  lim y  2  1  m  m  1 x 1 Câu 85 Khi x  ta có: f ( x)  x 1 x 1 1 liên tục khoảng  0;   x Khi x  ta có: f ( x)  x   m liên tục khoảng  ;  Hàm số liên tục  hàm số liên tục x  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Ta có: lim f ( x )  lim x 0 x0 lim f ( x)  lim x 0 x 0  ĐT:0946798489 x  1  lim x0 x 1  x 1 1  x2   m   m  f  0 Do hàm số liên tục x  Câu 86 Tập xác định D   1  1 m  m  2 x  16  xác định liên tục khoảng  ;3  3;   x 3 x3 x  16   lim  Khi x  f  3  a lim f  x   lim x 3 x 3 x 3 x3 x  16  5 Hàm số cho liên tục  liên tục điểm x   a  x  16 Câu 87 *) Với x  f  x   hàm phân thức nên liên tục TXĐ  f  x  liên tục x4  4;   Khi x  f  x   *) Với x  f  x   mx  hàm đa thức nên liên tục   f  x  liên tục  ;  Do hàm số f  x  liên tục khoảng  4;   ,  ;  Suy ra: Hàm số f  x  liên tục   f  x  liên tục x   lim f  x   lim f  x   f    lim x4 x4 x4 x  16  lim  mx  1  4m   lim  x    4m  x4 x4 x4 Với x  5 ta có f  x   x  ax  b , hàm đa thức nên liên tục  ; 5   4m    m  Câu 88 Với 5  x  10 ta có f  x   x  , hàm đa thức nên liên tục  5;10  Với x  10 ta có f  x   ax  b  10 , hàm đa thức nên liên tục 10;   Để hàm số liên tục  hàm số phải liên tục x  5 x  10 Ta có: f  5   12 ; f 10   17 lim f  x   lim  x  ax  b   5a  b  25 x 5 x 5 lim f  x   lim  x  17   12 x 5 x 5 lim f  x   lim  x  17   27 x 10  x 10 lim f  x   lim  ax  b  10   10a  b  10 x 10  x 10 Hàm số liên tục x  5 x  10 5a  b  25  12 5a  b  13 a   a  b  1    10a  b  10  27 10a  b  17 b  3 Câu 89 DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Chọn C Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  f (0)   Vì ta có:  f (1)  1  f (2)  15  Câu 90 Xét hàm số f  x   x 2017  x  Hàm số liên tục đoạn  0;1 f   f 1   1  4  f   f 1  Vậy phương trình 3x 2017  x   có nghiệm khoảng  0;1 Câu 91 Xét f  x   x  x  x   khoảng  1;1 Ta có f  x  liên tục đoạn  1;1 f  1  , f    3 , f 1   f  1 f    , f 1 f    Như phương trình f  x   có hai nghiệm khoảng  1;1 Mặt khác f   x   x  x  Ta có f   1  11 , f  1   f   1 f  1  Do phương trình f   x   có nghiệm khoảng  1;1 f   x   18 x   với x   1;1 nên f   x  hàm số đồng biến khoảng  1;1  phương trình f   x   có nghiệm khoảng  1;1 Do f  x   có tối đa hai nghiệm khoảng  1;1 Vậy phương trình 1 có hai nghiệm khoảng  1;1 Câu 92 Chọn A Đặt f  x   x  x  10 f  x  liên tục  nên f  x  liên tục  2; 1 1  f  2   126 Ta có:   f  1  Suy f  2  f  1  126.2  252    Từ 1   suy f  x   có nghiệm thuộc khoảng  2; 1 Câu 93 Chọn C Hàm số f  x   x  x  liên tục  Do f  5   211, f  1   0, f    1  0, f    29  nên phương trình có nghiệm  5; 1 ,  1;  ,  2;3 Mà phương trình bậc ba có tối đa nghiệm nên phương trình có nghiệm  Do C sai Câu 94 Chọn B Hàm số y  f  x   x liên tục đoạn  a; b   f  a   a   f  b   b    b  a  a  b     a  b   Suy ra: phương trình f  x   x có nghiệm khoảng  a; b  Câu 95 Chọn C  f     4a  2b  c  Đặt f  x   x  ax  bx  c Khi   f  2   8  4a  2b  c  f  x  hàm đa thức liên tục  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489  f     f  2  f     đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox điểm   f  2   khoảng  2;   f     đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox điểm khoảng  f  x     xlim   2;     f  2    đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox điểm khoảng  f  x     xlim    ;   Mà hàm số f  x  hàm bậc ba nên đồ thị cắt trục Ox tối đa điểm Vậy đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục Ox điểm Câu 96 Vì hàm số cho hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục  số giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox nhiều Theo đề ta có lim y   , lim y   x  x  y  1  a  c  b   , y 1  a  b  c   , Do hàm số cho có nghiệm khoảng  ; 1 ,  1;1 , 1;   Từ suy số giao điểm cần tìm Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31 ... ĐT:0946798489 TOÁN 11 GIỚI HẠN HÀM SỐ 1D4-2 PHẦN A CÂU HỎI DẠNG GIỚI HẠN HỮU HẠN DẠNG GIỚI HẠN MỘT BÊN DẠNG GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC DẠNG GIỚI... 21 DẠNG GIỚI HẠN HỮU HẠN 21 DẠNG GIỚI HẠN MỘT BÊN 23 DẠNG GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC 26 DẠNG GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH 35 DẠNG 4.1 DẠNG 00... tùy ý, kể từ một? ?số? ?hạng nào đó trở đi C Ta nói? ?dãy? ?số? ?  un   có? ?giới? ?hạn? ?   khi  n    nếu  un  có thể nhỏ hơn một? ?số? ?dương bất kì, kể  từ một? ?số? ?hạng nào đó trở đi D Ta nói? ?dãy? ?số? ?  un   có? ?giới? ?hạn? ?