Tài liệu gồm 124 trang được tổng hợp bởi thầy Nguyễn Bảo Vương, phân dạng và chọn lọc các bài toán trắc nghiệm về các chủ đề: giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương IV; các câu hỏi và bài toán đều có đáp án và lời giải chi tiết.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 TOÁN 11 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1D4-1 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Dạng 1.4 Phân thức chứa căn DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 11 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 13 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 13 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO 16 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 16 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC 17 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu 17 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu 20 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu 25 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn 26 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC 26 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 31 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 33 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 34 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT Câu Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?. A Nếu lim un và limv n a thì lim un u B Nếu lim un a và limv n thì lim n Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 u C Nếu lim un a và limv n thì lim n u D Nếu lim un a và limv n và với mọi n thì lim n Câu Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vơ hạn tuần hồn P 2,13131313 , A P Câu 212 99 B P 213 100 C P 211 100 D P 211 99 Khẳng định nào sau đây là đúng? A Ta nói dãy số un có giới hạn là số a (hay un dần tới a ) khi n , nếu lim un a n B Ta nói dãy số un có giới hạn là khi n dần tới vơ cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi C Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi D Ta nói dãy số un có giới hạn khi n nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Câu Cho các dãy số un , và lim un a, lim thì lim A Câu B un bằng C D Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng? (I) lim n k với k nguyên dương (II) lim q n nếu q (III) lim q n nếu q B A Câu Câu C với mọi n * Khi đó n3 A lim un khơng tồn tại. B lim un C lim un D Cho dãy số un thỏa un D lim un (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai? A lim un c ( un c là hằng số ). C lim n D lim B lim q n q 1 k 1 nk DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu B L (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A B A B Câu 11 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) lim A C D bằng 2n B B D bằng 2n C . (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) lim A D L 5n Câu 10 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) lim Câu 12 n 1 n3 C L (THPT Chun Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính L lim A L Câu ĐT:0946798489 C D bằng 5n C . D Câu 13 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm I lim A B n 2n 3n3 2n D C 2n bằng: n 5n 3 C . Câu 14 (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim A B 2018 n bằng Câu 15 A B D 3 lim D C 2n ? n n2 D L Câu 16 (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn L lim A L B L 2 C L Câu 17 (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng ? 2n n2 n 2n 2n u A un B u C . D u n n n 5n 3n2 5n 3n 5n 3n 5n 3n Câu 18 (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính I lim A I B I C I Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2n 2n 3n D I CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Câu 19 Tìm lim un biết un A ĐT:0946798489 1 1 1 n 1 B . C D 1 1 Câu 20 (THPT XN HỊA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim 1.2 2.3 3.4 n n A B C D . Câu 21 (THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN 1 1 L lim n 1 1 A L B L Câu 22 Với n là số nguyên dương, đặt Sn CHÁNH - PHÚ YÊN - 2018) Tìm D L C L 1 Khi đó 2 3 n n n 1 n lim Sn bằng A 1 B 1 C D 22 cos n sin n n2 D Câu 23 (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của lim A B Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu C Câu 24 (THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của lim A B C 1 D Câu 25 (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của lim A B C 2 Câu 26 (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn I lim A I B I 2n bằng n 1 n2 bằng: 3n D 3n n3 C I D k Câu 27 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn lim A B C Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2n bằng? 3n D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2n 2017 3n 2018 2017 C I 2018 Câu 28 (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn I lim A I B I lim Câu 29 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) 19 A . B . 18 18 D I 19n 18n 19 bằng C D 19 Câu 30 (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác ? n 1 sin n A . B . C . D . n n n n n2 Câu 31 (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018) lim bằng 2n 1 B . C . A Câu 32 (SGD THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn lim A B D 4n 2018 2n C D 2018 8n5 2n3 Câu 33 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm lim 4n n B C D A Câu 34 (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính lim B A Câu 35 (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018) lim A 11 B C 2n được kết quả là 1 n D 2n n bằng 4n 2n C D 2n Câu 36 (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của lim 2n A B C 1 D n2 n A lim 12n Câu 37 Giá trị A B 12 lim Câu 38 Tính C D 24 5n 2n Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A 1. ĐT:0946798489 B C D D D n 4n lim 3n n2 bằng Câu 39 A B C n 3n3 Câu 40 Tính giới hạn lim 2n 5n A . B Câu 41 Giới hạn của dãy số un với un A 2 B Câu 42 Tính giới hạn I lim A I 10 3 C 2n , n * là: 3 n C 10n ta được kết quả: 3n 15 10 B I C I 10 2n n bằng Câu 43 A D D I lim lim Câu 44 B C 2 B C B C D 3n2 n bằng: A lim Câu 45 Tính D 8n 3n 5n n A Câu 46 Cho hai dãy số un và có un A B Câu 48 Giá trị của B lim 4n 3n 3n 1 u ; Tính lim n n 1 n3 C 8n5 2n3 lim 2n 4n5 2019 bằng Câu 47 Giới hạn A 2 B D C D D bằng: Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A ĐT:0946798489 B D C Câu 49 (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính L lim A 2018 C B 3 n3 n 2018 3n3 D Câu 50 (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa 3n a 4a Tổng các phần tử của S bằng mãn lim n2 A B C D Câu 51 (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho a sao cho giới hạn lim Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? A a B a Câu 52 3n 1 n Dãy số un với un 4n A 192 B 68 C 1 a an a n n 1 a2 a D a có giới hạn bằng phân số tối giản C 32 a Tính a.b b D 128 2n3 n với a là tham số. Khi đó a a bằng an 2 A 12 B 2 C Câu 53 Biết lim Câu 54 Cho dãy số un với un D 6 n Mệnh đề nào sau đây đúng? n2 A lim un C Dãy số un khơng có giới hạn khi n B lim un D lim un Câu 55 (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn lim trị bằng? A . lim Câu 56 A B C 12 22 32 42 n có giá n3 2n D 2n 3n bằng B C Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 57 ĐT:0946798489 n 1 Lim n bằng n n n B A C Câu 58 Cho dãy số un xác định bởi: un B A 0` D 2n với n * Giá trị của lim un bằng: n n n C D n Câu 59 (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm lim n n n 1 B . C . D A n Câu 60 (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 1 lim 1 1 1 n A B 1-năm C 2017-2018) D Tính giới hạn: Câu 61 (CHUYÊN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG - LẦN 1 - 2018) Cho dãy số un với un A 1 Tính lim un 1.3 3.5 2n 1.2n 1 B 2019 lim 3n n 1 L lim 2 B L Câu 66 Giới hạn D C L D L C D 2 3n 2n3 3n B lim C 81 n3 2n 3n2 n Câu 65 Tính giới hạn của dãy số un A D 2019 là: B A L C 2 A Câu 64 Tính giới hạn D 2018 Câu 62 Tính lim(2n 3n 4) ? B A Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Câu 63 C 1 4n 3 2n bằng Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A 1. ĐT:0946798489 B C D Dạng 1.4 Phân thức chứa căn 4n n bằng 2n Câu 67 (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018) lim A B 2. C 1. Câu 68 (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho I lim B I A I D 4n n 4n n C I 1 Khi đó giá trị của I là: D I Câu 69 (CỤM 5 TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn 4x2 x x2 x x 3x 2 A B . 3 lim Câu 70 Tìm lim un biết un A C n 2n 1 2n B C 1. Câu 71 (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính lim A B D C D 12 22 33 n 2n n 6n D DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC lim Câu 72 n 3n n A 3 bằng C B D Câu 73 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1? 3n 1 2n 3n n A lim B . lim 3n 4n 2n C lim n 2n n D lim 2n Câu 74 Giới hạn lim n n4 n3 bằng Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A ĐT:0946798489 B C D Câu 75 Tính giới hạn lim n n 4n B A C Câu 76 Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim Câu 78 n 4n a n ? B A Câu 77 D C D (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Tính I lim n A I B I C I 1, 499 (LÊ Q ĐƠN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính lim n L lim Câu 79 Tính giới hạn L lim Câu 80 Tính giới hạn Câu 81 Tính giới hạn L lim L lim Câu 82 Tính giới hạn L lim D C D C D C 53 D C 53 D n 3n n 25 B 7 A A C n n n ĐS: B 7 A 2n n 4n B 7 Câu 84 Tính giới hạn sau L lim 4n 8n3 n B 7 A Câu 83 Tính giới hạn 4n2 n 9n D I 9n 2n 4n B A n2 n2 D C B A 1 n 4 3 n 1 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 x 3 có tập xác định \ 1 Do hàm số khơng liên tục điểm x 1 x2 Câu 16 Hàm số xác định x 2sin cos x 1 lim Ta có f lim f x lim 2 x 0 x 0 x 0 x x 2 Vì f lim f x nên f x gián đoạn x Do f x khơng có đạo hàm x Hàm số y x 0 cos x nên f VậyA, B,C sai x2 Câu 17 * f x liên tục x x * Tại x x2 lim f x lim x cos x , lim f x lim , f 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x Suy lim f x lim f x f Hàm số liên tục x x f x x 0 x 0 * Tại x x2 , lim f x lim x3 x 1 x 1 x 1 x x 1 Suy lim f x lim f x Hàm số gián đoạn x lim f x lim x 1 x 1 Dạng 2.3 Bài toán chứa tham số Câu 18 Chọn A x2 Hàm số liên tục x 2 lim lim m m m 4 x 2 x x2 Câu 19 Chọn C Ta có f (1) m x3 lim( x x 1) x 1 x 1 x x 1 Để hàm số liên tục điểm x0 f (1) lim y m m lim y lim x 1 Câu 20 Chọn B Hàm số liên tục x 1 lim y lim y y 1 x 1 x 1 lim x a lim x 3x y 1 a a x 1 Câu 21 x 1 Chọn A Ta có: f 1 m x 1 x x3 x x lim f x lim lim lim x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 Để hàm số f x liên tục x lim f x f 1 m m x 1 Câu 22 Chọn A x x 2016 x lim Ta có: lim x 1 2018 x x 2018 x 1 2016 x 1 2018 x x 2018 2017 x 2017 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 17 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP lim x 1 x 2015 x 2014 ĐT:0946798489 x 1 2018 x x 2018 2017 x 1 x 1 2 2019 Để hàm số liên tục x lim f x f 1 k 2019 x 1 Câu 23 Chọn C Ta có lim f x lim x 1 x 1 x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 lim x 1 x 1 Để hàm số liên tục x0 lim f x f 1 a x 1 Câu 24 Chọn A lim f x f 1 b ; lim f x a Để liên tục x=-1 ta có b a a b x 1 Câu 25 x 1 Chọn D f 3 m lim f x lim 3 x lim 3 x x 1 x3 x x3 Để hàm số liên tục x lim f x f 3 x3 x 3 lim x 4 x 3 x 3 Câu 26 Suy ra, m 4 Chọn B Ta có: lim f x lim ax bx a b f 1 x 1 x 1 lim f x lim 2ax 3b 2a 3b x 1 x 1 Do hàm số liên tục x nên a b 2a 3b a 4b 5 Chọn D TXĐ: D R x2 x Ta có lim f ( x) lim lim x x 1 x 1 x x 1 Và f (1) m Hàm số liên tục x m m Câu 28 Chọn D x 1 x lim x 1 x 3x lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Để hàm số f x liên tục điểm x cần: lim f x f 1 Câu 27 x 1 m m 1 m (TM) m2 m m 1 (L) Câu 29 Chọn B Ta có f a Ta tính lim f x lim x x2 x24 x 2 x2 2 lim x2 1 x2 2 Hàm số cho liên tục x f lim f x a x 2 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 15 a 4 18 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Vậy hàm số liên tục x a Câu 30 15 Chọn D Ta có x2 x x 1 x x 3x lim lim x 1 x 2 x2 x x 2 lim f ( x) lim x2 x2 2 lim f ( x) lim m x 4m 2m 4m x 2 x2 f (2) 2m 4m Để hàm số liên tục x lim f ( x) lim f ( x) f (2) 2m2 4m 2m2 4m m x2 x 2 Vậy có giá trị m thỏa mãn hàm số cho liên tục x Câu 31 Chọn A Tập xác định D , x0 1 Ta có f 1 m lim f x lim x 1 x 1 3x lim x 1 Hàm số f x x 1 Câu 32 x 1 3x 5 3x x lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3x x 3x x 1 liên tục x0 lim x f 1 m m x 1 Chọn D - Ta có: + f 1 m + lim f x m x 1 + lim f x lim x 1 x 1 x 3x x 1 x lim x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 1 - Hàm số liên tục x 1 f 1 lim f x lim f x m m x 1 x 1 2 Câu 33 Chọn D Tập xác định: D x2 lim f ( x) lim lim x 0 x 0 x 0 x2 lim x 0 x2 2 x ( x 2) f (0) 2a lim x 0 x2 x2 x 42 x2 x2 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 19 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Hàm số f ( x ) liên tục x lim f ( x) f (0) 2a x 0 Vậy a Câu 34 a 4 Chọn C TXĐ D Ta có f 1 m lim f x lim x x 3 x 1 x 1 Hàm số liên tục x0 lim f x f 1 m m x 1 Câu 35 Chọn A Hàm số liên tục x lim f ( x) f (2) x 2 Ta có f (2) a, lim f ( x) lim x2 Câu 36 x2 x 3x lim( x 1) Do a x2 x2 Chọn A Tập xác định D 3 x lim x 4 x 3 x 3 x x 3 Hàm số cho liên tục điểm x lim f x f 3 3m 4 m 2 Ta có f 3 3m lim f x lim x 3 Câu 37 Chọn A Ta có lim f x f 4m ; lim f x lim x 4 x4 x4 x 16 lim x x 4 x4 Hàm số liên tục điểm x lim f x lim f x f 4m m x 4 Câu 38 x 4 Chọn A x x 2 x2 x lim lim x x2 x2 x2 x2 x2 x2 lim f x lim mx 4 2m Ta có lim f x lim x 2 x 2 Hàm số liên tục x lim f x lim f x 2m m x 2 Câu 39 x 2 Chọn D Ta có: f 1 n lim f x lim x 1 x 1 x m2 x 1 x 3 m Hàm số liên tục x lim f x f 1 n lim x 1 x 1 x m2 x 1 x 3 m (1) m lim f x tồn nghiệm phương trình: m x 1 m 2 x 1 1 + Khi m 1 n lim n lim n x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 2 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 20 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 + Khi m 2 1 n lim x 1 Vậy m n Câu 40 x 3 x 3 suy không tồn n 4 x3 x 11x lim x 3x x 3 x 3 Chọn B Ta có: lim x 0 Câu 42 x 2 Chọn B Ta có: f 3 m lim f x lim Câu 41 cos3x cos x 2sin x sin x 2.5.2 20 lim x x x2 Chọn A Tập xác định D R * f (1) m 2m2 * lim f ( x ) lim (mx 2m ) m 2m x 1 x 1 ( x 1)( x 2) x2 x lim lim ( x 2) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm số liên tục x 1 lim f ( x) lim f ( x) f (1) * lim f ( x) lim x 1 x 1 m m 2m 3 2m m m 3 Vậy giá trị m m 1; 2 Câu 43 Chọn B x x 1 lim x x 3x lim Ta có: lim x2 x2 x2 x 2x x x 2 x 2 f 3m Để hàm số liên tục điểm x 3m Câu 44 1 m Chọn D + Ta có f 2a + lim f x lim x 0 x 0 x2 lim x 0 x2 x x2 1 lim x 0 x x 42 Hàm số f x liên tục x lim f x f 2a x 0 Câu 45 a 4 Chọn A Ta có ax bx ax bx x3 3x x 1 x 1 ax bx a b x x 1 x 1 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2 4bx ax bx 21 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 a b x 4bx m x 1 m 3 Để hàm số liên tục x b a b 1 a 3 ax bx 12 x 12 x lim x3 3x x x 1 x 1 3 x 3x Khi lim1 x lim x 2 3 x 1 3x 3x 3 c 2 c 4 2 Vậy S abc 3 3 4 36 Câu 46 Lời giải Chọn C Tập xác định D R f 1 a x2 1 lim x 1 x 1 x 1 x x 1 f x liên tục x0 lim f x f 1 a lim f x lim x 1 Câu 47 Chọn A Ta có: lim x 2 x2 x ( x 2)( x 1) lim lim( x 1) x 2 x 2 x2 x2 f ( x) f (2) m Hàm số liên tục x=2 lim x 2 Câu 48 Chọn A f 1 m x 1 x 1 lim x x 3x lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 lim f x lim x 1 Để hàm số f x liên tục x lim f x f 1 m x 1 Câu 49 Tập xác định hàm số Hàm số gián đoạn x lim f x f 1 lim x 1 lim x 1 Câu 50 x 1 x 2 3m lim x 1 x 1 x 1 x2 x 3m x 1 x 3m 3m m Ta có 1 x lim f x lim m m 1 x 0 x 0 1 x 1 x 1 x lim f x lim xlim x 0 x 0 x 0 x 2 x 1 x 1 x lim x 0 2 1 x 1 x 1 f 0 m Để hàm liên tục x lim f x lim f x f m 1 m 2 x 0 x 0 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 22 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tập xác định: D eax e ax lim f x lim lim a a x 0 x 0 x 0 x ax 1 f ; hàm số liên tục x0 khi: lim f x f a x 0 2 D 3; Câu 52 Tập xác định: Câu 51 lim f x lim x 1 ax a x x3 2 x 1 lim x 1 ax x 1 lim ax x 1 x3 2 x 1 x a 2 f 1 a a Hàm số cho liên tục x lim f x f 1 a a x 1 a Vậy có giá trị a để hàm số cho liên tục x x2 2 x2 1 lim lim Câu 53 Ta có: lim f x lim x2 x 2 x2 x2 x x x2 x 15 a x2 4 Ta có lim f x lim x 1 ; lim f x lim x m m Để hàm số liên tục x0 Hàm số liên tục x lim f x f a Câu 54 x 1 x 1 x 1 x 1 lim f x lim f x m m x 1 x 1 Câu 55 lim f x lim x4 x4 2x x lim x4 x4 x 4 Lời giải x4 2x 1 x lim x 4 1 2x 1 x f 4 a Hàm số liên tục tại x0 khi: lim f x f x4 Câu 56 11 a2 a 6 Tập xác định: D Ta có: x 3 x lim x 7 x x 12 + lim f x lim lim x 4 x 4 x 4 x 4 x4 x4 + f 4 4m Hàm số f x liên tục điểm x0 4 lim f x f 4 4m 7 x 4 m Câu 57 Ta có lim x 1 3x 3x 22 3 lim lim x 1 x 1 x 1 x x 1 3x Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 23 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Với f 1 m ta suy hàm số liện tục x m Câu 58 Câu 59 1 ; f 1 lim f x m2 m x 1 x 1 x 1 x3 2 m 1 1 Để hàm số f x liên tục x m m 4 m Ta có lim f x lim x32 lim x 1 x 1 Khi x f x x a hàm đa thức nên liên tục khoảng ;1 x3 x2 x hàm phân thức hữu tỉ xác định khoảng 1; nên x 1 liên tục khoảng 1; Khi x f x Xét tính liên tục hàm số điểm x , ta có: + f 1 a + lim f x lim x a a x 1 x 1 x 1 x x3 x x + lim f x lim lim lim x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm số f x liên tục hàm số f x liên tục x lim f x lim f x f 1 2a a x 1 Câu 60 Câu 61 x 1 x2 x m2 m2 m x2 x2 x2 x 1 x 3 x 4x lim Ta có: lim f x lim lim x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 lim f x lim mx m Hàm số f x liên tục lim f x f lim x 1 x 1 f 1 m Để hàm số cho liên tục điểm x 1 lim f x lim f x f 1 m x 1 Câu 62 x 1 m 0 f 2m x x2 x x3 lim f x lim lim lim x x 12 x2 x 2 x x2 x 2 x2 11 Hàm số liên tục x0 f lim f x 2m 12 m x2 2 x 2x Câu 63 TXĐ: D ; có: lim f ( x ) lim 6, f 4m 10m x 2 x 2 x2 m Hàm số liên tục x0 2 4m 10m 4m 10m m Mà m số nguyên nên m DẠNG LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG Dạng 3.1 Xét tính liên tục khoảng hàm số Câu 64 Chọn A Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 24 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Vì y x x đa thức nên liên tục 3x Câu 65 * Ta có hai hàm số f x f x log x có tập xác định khơng phải tập nên x2 không thỏa yêu cầu * Cả hai hàm số f1 x x x f3 x cos x có tập xác định đồng thời liên tục Câu 66 Chọn D x5 x5 Hàm số f x hàm phân thức hữu tỉ có TXĐ D hàm số f x x 4 x 4 liên tục Câu 67 Chọn B + Với x , ta có f x x x hàm đa thức hàm số f x liên tục khoảng 2; + Với x , ta có f x x hàm đa thức hàm số f x liên tục khoảng ; + Tại x lim f x lim x x 3 x2 x2 lim f x lim x 12 x 2 x2 lim f x lim f x không tồn lim f x hàm số gián đoạn x0 x2 x 2 x 2 Hàm số không liên tục Câu 68 Chọn B Vì hàm số f x x x có dạng đa thức với TXĐ: D nên hàm số liên tục Câu 69 Tập xác định D Nếu x , x hàm số y f x liên tục khoảng ;0 , 0;1 1; Nếu x f lim f x lim x 0 x 0 x2 x2 lim x 0; lim f x lim lim x x 0 x 0 x x 0 x x 0 Suy ra: lim f x f x 0 Do đó, hàm số y f x liên tục x x2 lim f x lim lim x x 1 x x 1 Nếu x f 1 x 1 lim f x f 1 x 1 lim f x lim x x 1 x 1 Do đó, hàm số y f x liên tục x Vậy hàm số y f x liên tục Câu 70 Ta có: lim x 1 lim sin x lim f x lim f x hàm số gián đoạn x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Tương tự: lim x 1 lim sin x x 1 x 1 lim f x lim f x lim f x f 1 hàm số liên tục x 1 x 1 x 1 x 1 Với x 1 hàm số liên tục tập xác định Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 25 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Vậy hàm số cho liên tục khoảng ;1 1; Câu 71 Câu 72 x \ 1 x 1 Hàm số liên tục khoảng ;1 1; nên hàm số không liên tục Tập xác định hàm số y Vì f hàm lượng giác nên hàm số f gián đoạn hàm số f gián đoạn x làm 2018 cho cos x x k k 0; 2018 k 2018 k 2 2018 k k 641 Dạng 3.2 Bài toán chứa tham số Câu 73 Chọn A x x 1 liên tục khoảng ;1 1; x 1 +) Xét x , ta có y 1 m +) Xét x , hàm số y 2 x x 1 lim y lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 lim x 1 2 1 1 3 x x 1 Đề hàm số liên tục x lim y y 1 m m x 1 3 Vậy với m hàm số liên tục Câu 74 Chọn D Tập xác định hàm số D 3 4x 4x Nếu x , ta có f x Hàm số f x xác định liên tục khoảng x2 x2 ; 2; Tại x , ta có: f 2a 3 lim f x lim x2 x 2 4x x2 x x x 4 lim x2 x x x 4 lim x2 x 2 x x lim x 2 x 4 4x 4x Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 26 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Hàm số liên tục x lim f x f 2a a x2 3 Vậy hàm số liên tục a Câu 75 Chọn C x2 Do lim f x lim lim x 1 nên hàm số liên tục x x 1 x 1 x x 1 lim f x f 1 m m Khi hàm số liên tục x 1 Câu 76 Chọn A TXĐ: + Xét 2; đó f x x x x0 2; : lim x0 x0 x0 x0 f x0 hàm số liên tục 2; x x0 + Xét ;2 đó f x 5x 5m m2 là hàm đa thức liên tục hàm số liên tục ;2 + Xét tại x0 , ta có: f lim f x lim x x 4; lim f x lim x 5m m m 5m 10 x 2 x2 x2 x2 Để hàm số đã cho liên tục thì nó phải liên tục tại x0 m lim f x lim f x f m2 5m 10 m2 5m x 2 x 2 m Câu 77 Chọn D Hàm số liên tục điểm x với a Với x Ta có f 0 a 1; lim f x lim x a 1 a ; x 0 x 0 lim f x lim x 0 x 0 1 2x 1 lim x 0 x x 2x 1 2x 1 lim x 0 1; 1 2x 1 Hàm số liên tục hàm số liên tục x a a Câu 78 Chọn A Vì hàm số f x liên tục suy hàm số liên tục x x Do x x 1 x x 3x x x 1 x a lim f x lim lim f lim a 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x x 2 x x 2 x2 x x 1 x x x 1 x 3x x lim f lim b b x 2 x 2 x 2 x x 2 x x 2 x lim f x lim x 2 Vậy T a b Câu 79 Tập xác định D , f 1 m Ta thấy hàm số f x liên tục khoảng ;1 1; lim f x lim x 1 x 1 x 1 , lim f x lim m.e x 1 2mx m x 1 x 1 ln x Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 27 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Hàm số f x liên tục hàm số f x liên tục x lim f x lim f x f 1 x 1 x 1 1 m m Câu 80 Ta có hàm số ln liên tục x Tại x , ta có lim f x lim 1 m x 1 m ; x 2 lim f x lim m x 2 x 2 x 2 x2 4m ; f 4m Hàm số liên tục x lim f x lim f x f 4m2 1 m 4m2 2m 1 x 2 x 2 Phương trình (1) ln có hai nghiệm thực phân biệt Vậy có hai giá trị m Câu 81 Hàm số f x liên tục f x liên tục x lim f x lim x 0 x 0 x m m ; lim f x lim mx 1 ; f m x 0 x 0 f x liên tục x lim f x lim f x f m m 1 x 0 Câu 82 x 0 Hàm số y f x liên tục y f x liên tục x lim f x lim f x f 1 x 1 x 1 x2 x lim x 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1 lim f x lim Px 3 P lim f x lim x 1 x 1 f 1 P Do lim f x lim f x f 1 P 2 P x 1 Câu 83 x 1 Khi x f x a cos x b sin x liên tục với x Khi x f x ax b liên tục với x Tại x ta có f a lim f x lim ax b 1 b x 0 x 0 lim f x lim a cos x b sin x a x 0 x 0 Để hàm số liên tục x lim f x lim f x f a b a b x0 Câu 84 x 0 Ta có hàm số liên tục khoảng ; 1 1; Xét tính liên tục hàm số x 1 Có y 1 2 lim y lim y 1 m x 1 x 1 Để hàm số liên tục y 1 lim y lim y 2 1 m m 1 x 1 Câu 85 Khi x ta có: f ( x) x 1 x 1 1 liên tục khoảng 0; x Khi x ta có: f ( x) x m liên tục khoảng ; Hàm số liên tục hàm số liên tục x Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 28 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Ta có: lim f ( x ) lim x 0 x0 lim f ( x) lim x 0 x 0 ĐT:0946798489 x 1 lim x0 x 1 x 1 1 x2 m m f 0 Do hàm số liên tục x Câu 86 Tập xác định D 1 1 m m 2 x 16 xác định liên tục khoảng ;3 3; x 3 x3 x 16 lim Khi x f 3 a lim f x lim x 3 x 3 x 3 x3 x 16 5 Hàm số cho liên tục liên tục điểm x a x 16 Câu 87 *) Với x f x hàm phân thức nên liên tục TXĐ f x liên tục x4 4; Khi x f x *) Với x f x mx hàm đa thức nên liên tục f x liên tục ; Do hàm số f x liên tục khoảng 4; , ; Suy ra: Hàm số f x liên tục f x liên tục x lim f x lim f x f lim x4 x4 x4 x 16 lim mx 1 4m lim x 4m x4 x4 x4 Với x 5 ta có f x x ax b , hàm đa thức nên liên tục ; 5 4m m Câu 88 Với 5 x 10 ta có f x x , hàm đa thức nên liên tục 5;10 Với x 10 ta có f x ax b 10 , hàm đa thức nên liên tục 10; Để hàm số liên tục hàm số phải liên tục x 5 x 10 Ta có: f 5 12 ; f 10 17 lim f x lim x ax b 5a b 25 x 5 x 5 lim f x lim x 17 12 x 5 x 5 lim f x lim x 17 27 x 10 x 10 lim f x lim ax b 10 10a b 10 x 10 x 10 Hàm số liên tục x 5 x 10 5a b 25 12 5a b 13 a a b 1 10a b 10 27 10a b 17 b 3 Câu 89 DẠNG CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM Chọn C Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 29 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 f (0) Vì ta có: f (1) 1 f (2) 15 Câu 90 Xét hàm số f x x 2017 x Hàm số liên tục đoạn 0;1 f f 1 1 4 f f 1 Vậy phương trình 3x 2017 x có nghiệm khoảng 0;1 Câu 91 Xét f x x x x khoảng 1;1 Ta có f x liên tục đoạn 1;1 f 1 , f 3 , f 1 f 1 f , f 1 f Như phương trình f x có hai nghiệm khoảng 1;1 Mặt khác f x x x Ta có f 1 11 , f 1 f 1 f 1 Do phương trình f x có nghiệm khoảng 1;1 f x 18 x với x 1;1 nên f x hàm số đồng biến khoảng 1;1 phương trình f x có nghiệm khoảng 1;1 Do f x có tối đa hai nghiệm khoảng 1;1 Vậy phương trình 1 có hai nghiệm khoảng 1;1 Câu 92 Chọn A Đặt f x x x 10 f x liên tục nên f x liên tục 2; 1 1 f 2 126 Ta có: f 1 Suy f 2 f 1 126.2 252 Từ 1 suy f x có nghiệm thuộc khoảng 2; 1 Câu 93 Chọn C Hàm số f x x x liên tục Do f 5 211, f 1 0, f 1 0, f 29 nên phương trình có nghiệm 5; 1 , 1; , 2;3 Mà phương trình bậc ba có tối đa nghiệm nên phương trình có nghiệm Do C sai Câu 94 Chọn B Hàm số y f x x liên tục đoạn a; b f a a f b b b a a b a b Suy ra: phương trình f x x có nghiệm khoảng a; b Câu 95 Chọn C f 4a 2b c Đặt f x x ax bx c Khi f 2 8 4a 2b c f x hàm đa thức liên tục Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 f f 2 f đồ thị hàm số y f x cắt trục Ox điểm f 2 khoảng 2; f đồ thị hàm số y f x cắt trục Ox điểm khoảng f x xlim 2; f 2 đồ thị hàm số y f x cắt trục Ox điểm khoảng f x xlim ; Mà hàm số f x hàm bậc ba nên đồ thị cắt trục Ox tối đa điểm Vậy đồ thị hàm số y f x cắt trục Ox điểm Câu 96 Vì hàm số cho hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm số liên tục số giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox nhiều Theo đề ta có lim y , lim y x x y 1 a c b , y 1 a b c , Do hàm số cho có nghiệm khoảng ; 1 , 1;1 , 1; Từ suy số giao điểm cần tìm Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31 ... ĐT:0946798489 TOÁN 11 GIỚI HẠN HÀM SỐ 1D4-2 PHẦN A CÂU HỎI DẠNG GIỚI HẠN HỮU HẠN DẠNG GIỚI HẠN MỘT BÊN DẠNG GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC DẠNG GIỚI... 21 DẠNG GIỚI HẠN HỮU HẠN 21 DẠNG GIỚI HẠN MỘT BÊN 23 DẠNG GIỚI HẠN TẠI VÔ CỰC 26 DẠNG GIỚI HẠN VÔ ĐỊNH 35 DẠNG 4.1 DẠNG 00... tùy ý, kể từ một? ?số? ?hạng nào đó trở đi C Ta nói? ?dãy? ?số? ? un có? ?giới? ?hạn? ? khi n nếu un có thể nhỏ hơn một? ?số? ?dương bất kì, kể từ một? ?số? ?hạng nào đó trở đi D Ta nói? ?dãy? ?số? ? un có? ?giới? ?hạn? ?