Tài liệu gồm 20 trang được biên soạn bởi thầy Nguyễn Hữu Hiếu trình bày một số vấn đề cơ bản về giới hạn của dãy số, bao gồm các định nghĩa, định lý, các dạng toán và bài tập có hướng dẫn giải.
Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Dãy số un gọi dãy số tăng với n ta có un un1 Dãy số un gọi dãy số giảm với n ta có un un1 Định nghĩa Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M cho un M , n * un m, n * Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số m cho Dãy số un gọi dãy số bị chặn tồn số M số m cho m un M , n * Định lý a Mọi dãy tăng bị chặn hội tụ b Mọi dãy giảm bị chặn hội tụ Định lí a Mọi dãy tăng khơng bị chặn tiến tới b Mọi dãy giảm khơng bị chặn tiến tới Định lý a Nếu dãy un hội tụ đến a dãy trích từ un hội tụ đến a b un hội tụ đến a u2n u2 n1 hội tụ đến a Định lý a Nếu lim un un 0, n n b Nếu lim un un 0, n n n u n lim 0 n u n lim Định lý 5.(Định lý kẹp giới hạn) Nếu với n n0 ta có un xn lim un lim a lim xn a Sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn u1 a Bài tốn Chứng minh dãy số un xác định có giới hạn hữu hạn un f un1 ; n tìm giới hạn ( f x hàm số liên tục) Phương pháp giải a) Dãy xn bị chặn Nếu f x hàm số tăng a; b dãy xn đơn điệu hội tụ đến L nghiệm phương trình f x x Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn b) Nếu f x hàm số nghịch biến dãy x2 n ; x2 n1 dãy xn ngược chiều biến thiên Nhận xét: Nếu dãy x2n hội tụ đến L , dãy x2 n 1 hội tụ đến K : Với L K dãy xn khơng có giới hạn; Với L K dãy xn có giới hạn L II BÀI TẬP CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN u1 Bài Cho dãy số (u n ) xác định công thức un 2un 3 ; (n un2 * ) Chứng minh dãy số có giới hạn Tính lim un ? Lời giải Theo công thức xác định dãy (un ) , ta có un n 0; * Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: un 1 2un Do đó: un Mặt khác: un un2 1 u n * 3; n un2 un2 3 ; n * u n un un2 un un2 un 3 un2 3 un un2 un Vậy (un ) dãy số giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử, lim un Kết luận lim un a a Ta có: a a2 a a2 a 3 Bài Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn u0 Bài Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn 1 un u ; n 1, 2,3 n 1 3x n , xn a) x n : x1 2x n b) x n : x1 2; xn c) xn : xn d) x n : x1 13; xn e) x n : x1 ;x n n! 2n 1 !! 1 ;n xn N 12 xn x n x n2 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước f) u1 un un x1 xn g) xn xn : xn xn : xn x1 j) xn : xn 10x n 2x n 13 ,n xn 20 ,n 1, 1 x n 2014 ,n xn 1 u n n u k) x n : x1 ;x n l) x n : x1 0; xn m) x n : x1 1; x n n) x n : x1 1; x o) x n : x1 p) x n : x1 f x 3 x minh un 3x n 1 x1 i) ,n 0; x x1 h) 3un 2un GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn ,n 3xn xn ; n 2; n 2x n xn 2; xn ;x n ;x n x n 1 1 ;n xn xn ; n 3x n ; n x ; n Hướng dẫn: Xét hàm số n x , x 0;1 , f ' x 0; x 0;1 từ suy f x tăng 0;1 Chứng f un & un un dấu, 0;1 quy nạp Do f x tăng nên f un dấu với u2 16 u1 q) x n : x1 2; xn r) x n : x1 2; xn s) x n : x1 1982; x n 2 ;n un Từ suy un dãy giảm bị chặn xn ; n HD: Xét hàm số f x x ;x 0;2 x HD: Xét hàm số f x ;n 3x n 22 ; x HD: Xét hàm số f x Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 1;2 3x ;x 0;1 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước x n : x1 t) 1; x n 1 ;n xn GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ BÀI TỐN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ u1 Bài Cho dãy số thực un xác định bởi: u u u , n n n n 1 Tìm giới hạn sau: (1) 1 lim n u u2 un 1 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un : Từ hệ thức (1) ta suy un1 un un2 un tăng Tính tổng: un 1 un2 un 1 1 un 1 un un 1 un un 1 1 un un un 1 (n 1, 2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 2 u1 u2 un1 un1 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a a a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: 0 n u n 1 lim un lim un1 lim n n 1 lim Vì từ (2) ta suy ra: lim 2 n u n u u u n 1 n 1 1 Vậy lim 2 n u u2 un 1 u1 Bài Cho dãy số thực un xác định bởi: un 1 un un 1, n Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 Tìm giới hạn sau: lim n u un u1 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta chứng minh rằng: un , n Xét tính đơn điệu n un Từ hệ thức (1) ta suy , un1 un un 1 , vậy un tăng Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 1 1 un 1 un un 1 un 1 un un 1 un un 1 un un un 1 (n 1, 2, ) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 u1 u1 un un 1 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a a2 a a2 2a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: lim un lim un1 1 lim n n n un1 0 1 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim lim 1 1 n u un n un 1 u1 1 1 Vậy lim n u un u1 u1 Bài Cho dãy số un xác định un 1 un2 un , n 1; 2;3 a) Chứng minh dãy số un tăng không bị chặn ; n , n 1, 2,3 Tính lim Sn k 1 uk b) Đặt Sn Bài (Đề kiểm tra đội dự tuyển Nam Định) Cho dãy số x1 2012; xn1 xn2 5xn với n nguyên dương a) Chứng minh xn dãy số tăng; b) Chứng minh xn khơng có giới hạn hữu hạn; n c) Xét dãy yn xác định yn Tìm lim yn k 1 xk Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy xn xác định Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải a) Xét hiệu: xn1 xn x 5xn xn ( xn 3)2 n Do x1 2012 nên xn1 xn suy dãy cho dãy tăng b) Giả sử dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn, đặt limxn a(a 2012) Từ công thức truy hồi xn1 xn2 5xn Lấy giới hạn vế, ta được: a a2 5a a (khơng thỏa mãn) Do dãy cho khơng có giới hạn hữu hạn c) Ta có: 1 xn xn xn1 n 1 1 x1 xn1 2009 xn1 k 1 xn Do đó, ta có: yn 2009 u1 Mà limxn nên limyn Bài Cho dãy số un un n u1u2u3 un 1 1, 2, Đặt Sn ;n k Tìm lim Sn n uk Lời giải Ta có un un un 1 un 1 u1u2 un (n un , n un n u1 Sn un k 1 un uk 1 un n u1 1); un un un un un k uk Kết hợp với giả thiết suy Sn u1u2 un 1; n 1 uk un 1 , suy 1 u1 un 1 u2 un 1 1 un 1 Ta có u2 u1 ; u3 u1u2 u1 1 u1 u1 un u1 u1u2 un 1 u1 Mặt khác un un 1 un u1u2 un n 1 un u1u2 un u1 Bài Cho dãy số x n : x1 u1 n 1, xn 2n hay un tăng nên 1 lim un n xn xn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy xn lim Sn xn n Tính lim n n i 1 xi Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Lời giải Ta có x xn xn (xn với n 1, 2, xn 1)(xn 2)(xn xn2 xn xn 3) 3xn xn2 3xn xn2 3xn (1) Từ suy xn xn2 1 3xn xn 1 Từ (1) xk xi xk2 3xk xi 3.3k 3xk xn xi i 1 (vì (2) xn n 3n Suy a a a 1)(a a 1 xn 1 xn 1 xn 1 1 xn 1 (2) 3n ) với cách khác: Dễ thấy x n dãy tăng, giả sử lim xn a(a xn 3k Ta chứng minh lim xn Nên ta có a x1 1 Ta dễ dàng chứng minh quy nạp xn Nên lim yn 1 xn = n i 1 xn xn n Do yn 2)(a a 3) a (a 1) 1 hay a 6a 10a 6a Rõ ràng phương trình khơng có nghiệm thỏa mãn a Vậy lim xn Bài Xét dãy số xn ; n n Đặt Sn 1, 2, 3, xác định x1 1, 2, 3, 1 x1 1 (x n 1) với Tìm lim Sn n xn x2 x n Lời giải Ta tổng qt hóa tốn sau: Cho dãy un thỏa mãn u1 un n Ta chứng minh Sn a un2 1 b c )un b c c2 u1 c2 c )un b c ui i (b c un c Thật vậy Ta có un Từ un2 (b un 1 c un suy un c un c un2 b Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy un (b c )un b c b un bc c un c (un b)(un b c c) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Khai triển ước lượng u1 b u1 u2 c u2 c b u2 c u3 c …………………… un b un c un c 1 Do Sn u1 c un c Từ vận dụng vào toán với b =1, c = - ta có Sn x1 Mà x n 1 1 x n – xn a2 > 2) Thì 2a xn 1 xn 1 N * nên dãy x n dãy tăng Giả sử lim xn >0 n n a (a suy a = Vô lý Vậy lim xn Do lim Sn n n Nhận xét Trong tốn tổng qt ta thay giá trị a, b, c khác để toán Chẳng hạn: (2x n 1)2012 Bài Cho dãy số x n xác định bởi: x1 = 1; x n x n Với n số nguyên 2012 (2x1 1)2011 (2x 1)2011 (2x 1)2011 (2x n 1)2011 dương Đặt un Tìm lim un 2x 2x 2x 2x n 1 Lời giải Ta có x n Suy n i 1 2x n 2(x n 2x n (2x i 1)2011 2x i 1 Mặt khác: xn (2x n 1)2012 , n 2012 – xn 1 (2x n n 1006 – xn i 1 xn ) 1)(2x n 2x i 1 1) 1 2x i 1 (2x n 1)2011 1006(2x n 1) 1006 nên dãy (xn) dãy số tăng n Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 2x1 1 2x n 1 Nếu (xn) bị chặn limxn tồn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Đặt lim xn a hay lim xn a suy lim (a a 2x n 1 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1)2012 2012 a (vô lý) Suy x n không bị chặn =0 Suy lim un n 1006 u1 Bài Cho dãy số thực un xác định bởi: Tìm giới hạn sau: un2 u u , n n 1 n 2012 u u u lim n n u un 1 u3 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un2 , vậy un tăng 2012 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy u2 un 1 n un un2 2012 un 1 un 2012 u u u n 2012 n 1 n un 1 un un 1 n un : Từ hệ thức (1) ta suy , un 1 un 1 un 2012 un 1 un un 1 n 1, 2, (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 u u1 u2 n 2012 2012 1 u2 u3 un1 u1 un1 un1 (2) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a2 a a a (vô lý) 2012 không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: 0 n u n 1 lim un lim un1 lim n n u u u Vì từ (2) ta suy ra: lim n lim 2012 1 2012 n u un1 n u3 un1 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước u u u Vậy lim n 2012 n u un 1 u3 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn u1 Bài 10 Cho dãy số thực un xác định bởi: un2 2011un u , n n 1 2012 u un u sau: lim n u u3 un 1 (1) Tìm giới hạn Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu n un : Từ hệ thức (1) ta suy u u 1 , un 1 un n n , vậy un tăng 2012 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy un2 2011un un2 2012un 2012un 1 un un 1 2012 un 1 un 2012 u 1 un 1 un 2012 n 1, 2, (*) un 2012 n 1 un 1 un1 1 un 1 un1 un un 1 un 1 Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: un u1 u 2012 1 u2 u3 un1 un1 (2) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n a(a 1) a a(a 1) a a (vô lý) 2012 không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy un lim un lim un1 1 lim n n n un1 0 u un u lim 2012 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim 2012 n u u3 un1 n un1 u un u Vậy lim 2012 n u u u n 1 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 10 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn u1 Bài 11 Cho dãy số thực un xác định bởi: u un 1 4un 1 un 1 , n n 1 hạn sau: lim n u un u2 Tìm giới (1) Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Xét tính đơn điệu un un 1 un : Từ hệ thức (1) ta suy un21 xn 1 un 1 un 1 un21 xn 1 un 1 2un 1 un21 xn 1 un 1 0 Suy ra: un tăng Tính tổng: un un1 2un1 un21 xn1 un1 un2 un 1 un1 1 un2 un1 un (n 1,2, ) (*) Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1 (2) u1 u2 un u1 u1 un un Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n a 4a a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: a 2) Dãy un lim un lim n n 0 un 1 1 Vì từ (2) ta suy ra: lim lim n u un n un u2 1 Vậy lim n u un u2 u1 2012 Bài 12 Cho dãy số thực un xác định bởi: un 2011un 2013un 1 0, n 1 giới hạn sau: lim n u 2012 u2 2012 un 2012 Lời giải Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 11 (1) Tìm Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un 2012 , n Xét tính đơn điệu u 1 n un tăng 2010 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy u 2011un un2 2011un 2013un 1 un 1 n 2013 u 2011un un 1 n 1 2013 u 1 un 2012 un 1 n 2013 1 (n=1,2, ) un 2012 un un 1 Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 1 1 u1 2012 u2 2012 un 2012 u un1 2011 un1 un 1 un un : Từ hệ thức (1) ta suy (*) Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a 2012 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a2 2011a 2012a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: lim un lim un1 1 lim n n n un1 0 Vì từ (2) ta suy ra: 1 1 lim lim n u 2012 n u2 2012 un 2012 2011 un1 2011 1 1 Vậy lim n u 2012 u2 2012 un 2012 2011 1 u1 2012 Bài 13 Cho dãy số thực un xác định bởi: u 2012u u , n n n n 1 u u u sau: lim n n u un 1 u3 Lời giải Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: un , n Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 12 Tìm giới hạn (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Xét tính đơn điệu GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn un : Từ hệ thức (1) ta suy un1 un 2012un2 un tăng Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy 2012un2 un 1 un 2012un2 un 1 un u 1 n unun 1 unun 1 un 1 2012 un un 1 Thay n 1,2,3, ,n vào (*) cộng vế với vế đẳng thức ta suy được: 1 u u1 u2 1 1 n u2 u3 un 1 2012 u1 u2 u2 u3 un un 1 (n=1,2, ) 2012 2012 un 1 Do un dãy tăng nên có hai khả sau xảy ra: 1) Dãy un bị chặn Theo tiêu chuẩn Weierstrass, un tăng bị chặn nên có giới hạn Giả sử lim un a a Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) n ta có: n 2) Dãy un a 2012a2 a a (vô lý) không bị chặn trên, un tăng không bị chặn nên: lim un lim un1 lim n n n 0 un1 u u u Vì từ (2) ta suy ra: lim n lim 2012 n u un 1 n 2012 un 1 u3 u u u Vậy lim n n u un1 u3 u1 Bài 14 Cho dãy số thực un xác định bởi: Tìm giới hạn sau: un2 2009un u , n n 1 2012 u u2 u 1 lim n n u u3 un 1 Lời giải Biến đổi un1 u 2009un (u 1)(un 2) un 1 un n 2012 2012 n ( 1) Vì u = nên = u < u 3) 0 n u n Do {u n } khơng bị chặn hay lim u n = + hay lim Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 13 (*) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn Biến đổi (1) (u n -1)(u n -2) = 2012(u n1 -un) un 1 = 2012 ( ) (*) un 1 un un 1 Cho n nhận giá trị 1, 2, 3, ….n, sau cộng vế theo vế ta được: n Sn = Vậy lim S n = 2012 ui 1 = 2012 ( 1) un 1 i 1 u i 1 Bài 15 Cho dãy số ( xn ) xác định sau x1 xn1 số nguyên dương n, đặt yn Lời giải Do xn1 n x i 1 i xn3 xn với n 1,2, Với xn2 xn Tìm lim yn 4 ( x 4)( xn 2) (1) xn2 xn n x1 nên qui nạp chứng minh (x n 2)2 xn1 xn ( xn ) dãy tăng (2) xn xn Giả sử dãy ( xn ) bị chặn a để xn với n lim xn a a 2a a 4a a (loại) a a6 Do đó: lim xn (3) 1 1 1 Từ (1) suy : xn1 xn xn xn xn xn1 n 1 1 (4) yn xn1 i 1 xi Từ (3) (4) suy : lim yn 2017 x Bài 16 Cho dãy số ( xn ) xác định sau x x2 5x ; n n n n1 n nguyên dương n, đặt un Tính lim un k 1 xk a Khi Với số * Lời giải 9 Khi f ( x) x x x x x 2 Vậy hàm số có điểm bất động x 3 Ta có xn1 xn2 xn xn1 xn xn 1 2 2 1 1 1 1 Từ suy xn 3 xn x x xn1 xn xn 1 xn n n 1 2 2 2 Xét hàm số f ( x) x x Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 14 * Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn n 1 1 3 x 1007 k 1 k x1 xn1 xn1 2 2017 Chứng minh dãy tăng Do x1 nên qui nạp chứng minh xn với 2 n * Xét hiệu xn1 xn xn 3 n * ( xn ) dãy tăng Chứng minh dãy xn không bị chặn un Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn Vì dãy tăng bị chặn nên a để lim xn a Khi a a (khơng thỏa mãn) Do : lim xn 2 Vậy lim un 1007 Bài 17 (Olympic 30-4-2012) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: x1 xn4 x n1 x3 x ; n n n n Với số nguyên dương n, đặt yn Tính lim yn k 1 xk 2a 5a Lời giải x4 x4 x x Khi f ( x ) x x3 x x3 x Vậy hàm số có điểm bất động x xn3 3 xn 3 xn4 xn1 + Ta có xn1 xn3 xn xn xn + Xét hàm số f ( x) xn3 3 xn 3 1 xn1 xn3 3 xn 3 xn 3 xn3 3 1 x xn xn1 n 1 1 1 yn x1 xn1 xn1 k 1 xk n + Chứng minh dãy tăng Do x1 nên qui nạp chứng minh xn với n xn 3 xn1 xn 0 xn xn2 xn 3 Xét hiệu ( xn ) dãy tăng + Chứng minh dãy ( xn ) không bị chặn Giả sử dãy số ( xn ) bị chặn Vì dãy tăng bị chặn nên a để lim xn a Khi Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 15 * Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn a 9 a a (không thỏa mãn) a a6 Do : lim xn Vậy lim yn Bài 18 (HSG BP 12-13) Cho dãy số (un ) xác định: 2013 un2 (2 9un ) u1 2un 1(2 5un ), n u1 u1 Xét dãy số u2 u2 un Tìm un lim Lời giải Ta có un Khi un2 Đặt x n 9un un n x1 xn 0; n 2un 1 9un 5un un 2 un2 1 5un un un2 10 un Khi ta có dãy x n xác định bởi: 2013 x n2 5x n n Chứng minh x n dãy tăng: Xét hiệu: xn xn2 xn Do x1 2013 5xn xn xn nên xn xn suy dãy x n dãy tăng Chứng minh x n không bị chặn hay lim xn : Giả sử x n bị chặn, dãy tăng bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử dãy x n có giới hạn hữu hạn, đặt lim xn Từ công thức truy hồi xn xn2 5xn a, a 2013 Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a 5a a (không thỏa mãn) Do dãy cho khơng có giới hạn hữu hạn Ta có: u1 u1 Mà un un xn 2 u1 xn Do đó, ta có: 2 un 2 x1 xn n 1 xn x1 3 xn 2013 xn 1005 Bài 19 (Quảng Ngãi) Cho dãy số an thỏa mãn điều kiện: a1 2, an an1 24 Mà lim xn nên lim Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 16 Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước Tính S2012 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 a1 a2 a2012 HD giải: Từ công thức truy hồi ta suy an Đặt tn 4an1 an1 3an1 an 3an1 1 1 (t1 ) tn tn1 tn (tn1 ) an 2 2 3 Đặt un tn (u1 1) un un1 Sn 2[( )n 1] 2 2012 Cho n 2012 , ta có S2012 2[( ) 1] 1006 u1 Bài 20 Cho dãy số (un ) thỏa mãn: u u u n n1 n u1 Bài 21 Cho dãy số: un2015 un u n1 u 2014 u n n n n 1 Tìm lim u k 1 k * (n N * ) * a) Chứng minh un 1, n N (un ) dãy số tăng n b) Tìm lim u i 1 2014 i 2 Bài 22 Cho dãy số un thỏa mãn u1 2017; un1 un Bài 23 Cho dãy số x n : x1 1, Bài 24 Cho dãy số x n : x1 Bài 25 Cho dãy số x n n xn xn 3, xn 1 n un ; n 1, 2,3 Tính lim x n2014 n i 1 Tìm lim n xn n xác định x1 12, x n Tìm lim n xn 1 n n ,x 24 n Bài 26 Cho dãy số x n xác định x1 x1 x2 x 22014 x3 n x n x n dãy số tăng khơng bị chặn Tìm lim Sn x12014 x2 k n xk k x n2014 xn 1 xk Chứng minh xn ui 1 n n 2x n2 1, n xn Đặt xn Tính lim Sn n Bài 27 Cho dãy số x n xác định x n : x1 Bài 28 Cho dãy số x n : x1 1; x n x n2 1 xn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 17 ,n ;x n Tìm lim x n n Tìm lim n xn n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước ;x n Bài 29 Cho dãy số x n : x n : x1 GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn x n x1 Bài 30 (HSG QG 2012) Cho dãy số x n : x1 Bài 31 Cho dãy số x n : xn 3n 1 Tìm lim x n n Tìm lim x n n 2012 x n3 xn x1 Bài 32 Cho dãy số x n : n xn ,n 4n x n2 3x n Tìm lim x n 3x n n 2012 xn 2012 Tìm nlim x n xn x n Bài 33 Cho dãy số un xác định u1 2014 un un2 2un Tính nlim un HD: Chứng minh dãy un giảm bị chặn Bài 34 Cho un : u1 un un2 un Bài 35 Cho dãy số un thỏa mãn un Bài 37 Cho dãy số x n xác định u1 2 u2 n n u 4un u1 thỏa mãn 1 u1 un Bài 36 Cho dãy số un Đặt Sn un Tìm lim n k un uk n u n u1 un un Tìm lim n k 1 uk un2 2014 2013 ;n 2014 1, a) Chứng minh un dãy số tăng b) Với n v1 v2 1, n N , đặt 2014 , n un un 1 Chứng minh 1, Bài 38 Cho dãy số un xác định u1 a) n2 ; n 1, 2013 Chứng minh dãy số un tăng không bị chặn b) Đặt Sn un n i ui un Tính lim Sn n 2013 Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 18 Tìm lim Sn Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước u1 Bài 39 Cho dãy số un : u u1 16 ;n 1 Tính lim n n u 7un 13 ;n 2014 2013 un2 2un ;n Bài 42 Cho dãy số x n : x1 n n n 1, x1 Bài 43 Cho dãy số un xác định u1 x2 xn 10 xn Tính lim Tìm lim n i 1 xn n n un ui ,n ui i 2, un n i n 2 Đặt lim Đặt lim 2n 1; x n 1, ui i 20 un un 2un u1 Bài 41 Cho dãy số un n n un Bài 40 Cho dãy số un : GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn ui HD Bước Chứng minh lim un n n Bước Tính i n , tính lim n ui i 1 ui Lời giải chi tiết trang 64- Tài liệu x Bài 44 Cho dãy số x n : x n 2014x n2 Bài 45 Cho dãy số x n : x1 lim n x1 1 x2 Bài 46 Cho dãy số x n : x1 3, xn xn a 3xn 1, xn 4n un ; wn xn xn Tìm xn2 Tìm lim n Bài 47 Cho dãy số x n xác định n x2 x3 1 xn2 1 xn x1 x2 Tính lim x0 x1 x2 1; x n x2 1 x3 xn 1 xn xn 1 Đặt u1u2 un Hãy tính lim ; lim wn Bài 48 Cho dãy số x n : x1 Bài 49 Cho dãy số x n : x1 8, x n 2009, x n Bài 50 Cho dãy số thực an : a1 Bài 51 Cho dãy số x n : x1 x n 2, x n n 2009x n2 an x n n xn ;n an i x n2 xi Tính lim n n 2009 x i2 n i x i2 an Chứng minh lim n n Đặt Sn Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 19 25 Tính lim 2009x n 1;an 7x n k 1 xk n Tính Sn ; lim Sn n Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước xn Bài 52 Cho dãy số x n : x1 ,x n Bài 53 Cho dãy số x n : x1 a 1, xn Bài 54 Cho dãy số x n : x1 a 0, xn lim n 1 x1 x2 1 2n Bài 55 Cho dãy số x n : x1 1, x n Bài 56 Cho dãy số (un ) u1 21 ,u 10 n xn xn2 xn 1n xn2 xn n x n2 n 2014 xn un un2 n b) Đặt x n k uk k x k Tính lim Sn n Tìm lim n x1 x2 xn x2 x3 xn xn 1 Tìm n x1 x2 Tìm lim n 8un Bài 57 Cho dãy số un xác định u1 a) Chứng minh un n Đặt Sn xn GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 2008, un , n un2 n * lim n i i u 20072 ; n 4013un 2007 ; tính lim x n n 2006 Bài 58 (HSG BP 11-12) Cho dãy số un xác định u1 n u 2013 2011un 2013un n Tìm lim n u1 2012 Bài 59 to be continued Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy 20 u2 2012 un 2012 ... Cho dãy số thực un xác định bởi: un 1 un un 1, n Một số vấn đề dãy số giới hạn dãy (1) Trường THPT Hùng Vương-Bình Phước GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn 1 1 Tìm giới hạn. .. n 1 ;n xn GV Nguyễn Hữu Hiếu –sưu tầm-biên soạn MỘT SỐ BÀI TỐN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ u1 Bài Cho dãy số thực un xác định bởi: u u u , n n n n 1 Tìm giới hạn sau: (1)... ) dãy số giảm bị chặn nên có giới hạn Giả sử, lim un Kết luận lim un a a Ta có: a a2 a a2 a 3 Bài Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn u0 Bài Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới