Giới hạn dãy số Hàm số Hàm số liên tục

Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Bài tập giới hạn Đại số 11 chương 3, 4, 5 Luyện tập giới hạn Toán 11 Xét tính liên tục của hàm số Bài tập giới hạn Toán 11 Phương pháp tính giới hạn dãy số Hàm số Tìm điểm gián đoạn của hàm số CHứng minh phương trình có nghiệm bằng hàm số liên tục

Giới hạn dãy số - Giới hạn hàm số Hàm số liên tục Giới hạn dãy số Kiến thức cần nhớ: Đònh ly ù1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn) 1)  Nếu dãy số có giới hạn bò chặn Đònh ly ù2: (Tính giới hạn) 2)  Nếu dãy số có giới hạn giới hạn Đònh ly ù3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Đònh lý Vaiơstrat) 3)  Một dãy số tăng bò chặn có giới hạn  Một dãy số giảm bò chặn có giới hạn Đònh lý 4: (Giới hạn dãy số kẹp hai dãy số dần tới giới 4) hạn)  Cho ba dãy số (un), (vn), (wn) Nếu n  N * ta có  u n  wn lim = lim wn = A lim un = A Đònh ly ù5: (Các phép toán giới hạn dãy số) 5)  Nếu hai dãy số (u n ), (vn ) có giới ta có: lim( u n  v n )  lim u n  lim v n lim( u n v n )  lim u n lim v n lim u n lim u n  (lim v n  0) v n lim v n lim u n  lim u n (u n  0, n  N * ) 6) Đònh lý6: Nếu q  1`thì lim q n  7) Tổng cấp số nhân vô hạn có công bội q với q  là:  S=u1+u2+ +un+ = u1 1 q ( q  1) n 8)  1 Số e: lim 1    e  2,71828  n 9) Đònh lý7:   un  Nếu lim u n  0(u n  0, n  N * ) lim  Ngược lại, lim u n   lim  un Giới hạn hàm số Kiến thức cần nhớ: Một số đònh lý giới hạn hàm số: Đònh ly ù1: (Tính giới hạn) 1)  Nếu hàm số f(x) có giới hạn x dần tới a giới hạn Đònh ly ù2: (Các phép toán giới hạn hàm số) 2)  Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x  a thì: lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x) xa xa xa lim  f ( x).g ( x)  lim f ( x) lim g ( x) xa lim xa xa xa f ( x) f ( x) lim  xa , (lim  0) g ( x) lim g ( x) xa x a lim xa f ( x)  lim f ( x) , ( f ( x)  0) xa Đònh lý 3: (Giới hạn hàm số kẹp hai hàm số dần tới 3) giới hạn)  Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác đònh khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a) Nếu với điểm x khoảng g ( x)  f ( x)  h( x) lim g ( x)  lim h( x)  L, lim f ( x)  L x a x a x a Đònh lý 4: Nếu x  a , hàm số f(x) có giới hạn L với giá trò x 4) đủ gần a mà f(x) > (hoặc f(x) < 0) L  (hoặc L  ) Đònh lý 5: 5)  Nếu lim  (và f ( x)  với x đủ gần a) lim  Ngược lại, lim f ( x)   x a x a lim x a x a  f ( x) 0 f ( x) Giới hạn bên : Đònh nghóa: Số L gọi giới hạn bên phải( bên trái) hàm số 1) f(x) x dần tới a, với dãy số (x n) với xn > a (hoặc xn < a) cho limxn = a limf(xn) = L Ta viết: lim  L (hoặc lim f ( x)  L ) x a  Đònh lý: Điều kiện ắc có đủ để lim f ( x)  L 2) x a x a lim f ( x), lim f ( x) x a x a tồn L Các dạng vô đònh: Khi tìm giới hạn hàm số, ta gặp số trường hợp sau Ta cần tìm:     lim u ( x) v( x) mà lim u ( x) v( x) mà x  x0 ( x  ) x  x0 ( x  ) lim u ( x).v( x) x  x0 ( x  ) lim u ( x)  lim v( x)  x  x0 ( x  ) x  x0 ( x  ) lim u ( x)  lim v( x)   x  x0 ( x  ) mà x  x0 ( x  ) lim u ( x)  x  x0 ( x  ) lim v( x)   x  x0 ( x  ) lim u ( x)  v( x) mà lim u ( x)  lim v( x)   x  x0 ( x  ) x  x0 ( x  ) x  x0 ( x  ) lim u ( x)  lim v( x)   x  x0 ( x  ) x  x0 ( x  ) Bài tập áp dụng GIỚI HẠN DÃY SỐ Câu Tính giới hạn: / lim 2n  n2 / lim / lim n2  n  2n  n  n n  2n 3n  n  / lim 3n  n2  / lim 5n  3n  / lim 2n n  n2  n 1 / lim (n  1)(2n  1) (3n  2)(n  3) / lim 2n n  3n  / lim (2n n )(3  n ) (n  1)(n  2) / lim 2n  n n2 / lim n  2n 3n  n  / lim 2n  n  3n  / lim n  2n  n Câu Tính giới hạn: / lim 2n  n2 1  / lim n  n  n    Câu Tính giới hạn:  n2 1 2n  3n / lim (n  1) (n  2) n(n  1) / lim n  n  n  / lim( n  3n  n ) / lim 2n  11n  n2  / lim / lim n2   n2  GIỚI HẠN HÀM SỐ Câu Tính giới hạn: x  4x  x2  x 1 / lim (2 x  3) / lim (2 x  3x  4) / lim  x  2x / lim x 3 x 1 / lim ( x   x ) x  25 / lim x 5 x  x 2 x 2 x 1 Câu Tính giới hạn: x 1  x2  x  x2 x2  x  3x  / lim x 1 x  x  x  1 / lim x  16 x  x  x  20  x2 / lim x  2 x  x  4x  x 3 x3 x3 / lim x  3 x  / lim / lim Câu Tính giới hạn:  2x  x 0 2x x  3x  / lim x2 x2   2x  / lim x 0 2x / lim / lim x 0 4x / lim 9 x 3 x 1 2x   2 x3 2x   x  x 1 x3  4x  23 x3 / lim x 5 x  25  2x  x  x  1 3x  3 4x  / lim x2 x2 / lim / lim Câu Tính giới hạn: / lim x 1 / lim x 1 x 1 x2  x x 2 x  x  27 / lim x  3 x  x  x  x 2 x3  x  2x  x  1 x  3x  x2 x 3 / lim x 1 x5 x 4 x 1  x2  x 1 x / lim / lim / lim 3x   x  x  x 1 x  3x  x x2 / lim x2 4x   3 x 0 x 0 / lim 1 x2 1  x  3x  Câu Tính giới hạn: 1 1 x / lim x 0 x x  4x  / lim x 3 x3 ( x  1)( x  1) / lim x 3 x  x  x x  3x  / lim x  2 x  x  3 5 x / lim x4 1  x / lim x 1 x2   / lim x 1 / lim x4 x 1 x   1 x  x2 x2 1  2x  x 2 1 1 x x 0 3x x 1 10 / lim x  1 x 32 / lim Câu Tính giới hạn: x  11  x  x2 x  3x  1 x  1 x / lim x 0 x x 1  x  / lim x 3 x3 / lim x9  x3 x 1 x 1 x6  x6 / lim x  2 x2  x  2  x  2x  / lim x  1 x2  x  / lim Câu Tính giới hạn: x  3x  x  x  x  x  3x  7 / lim x  x  x  x2 1 / lim x   x   x3  x  / lim x   x2  x5  2x  / lim x  x3  x  3x  / lim x  x  x  ( x  2)(2 x  1)(1  x) / lim x  (3 x  4) / lim / lim x  x  2x  x3  x  4x  x  3x  2x  10 / lim x  x  x  / lim Câu Tính giới hạn: / lim x  x  2x    4x / lim x  4x    x 9x  x   4x  2x  x 1 Câu Tính giới hạn: / lim (3 x  x  x) / lim ( x  3 x  x ) / lim (2 x   x  x  ) / lim ( x  x  1) / lim ( x  x  x) / lim ( x  x   x  x  1)   / lim    x 1  x  x3   1   / lim    x2 x  3x  x  5x    x   x  x  x   x  Câu 10 x   Tính giới hạn hàm số lượng giác sau:  cos x x 0  cos x   cos x 10 / lim x 0 tg x tgx  sin x / lim x 0 x3 x sin / lim x 0 x tg x / lim x 0 x  cos x / lim x 0 x2 sin x x 0 2x sin x / lim x 0 x 1 1  cos x / lim x 0 x sin x  cos x / lim x 0 2x / lim / lim  sin x  cos x 11 / lim x 0 sin x   sin  x   3 12 / lim   x   cos x Hàm số liên tục Kiến thức cần nhớ: 1) Hàm số liên tục điểm:  Đònh nghóa: Cho hàm số f(x) xác đònh khoảng (a; b) Hàm số f(x) gọi liên tục điểm x0  (a; b) nếu: lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0  Nếu điểm xo hàm số f(x) không liên tục, gọi gián đoạn x o điểm xo gọi điểm gián đoạn hàm số f(x)  Theo đònh nghóa hàm số f(x) xác đònh khoảng (a; b) liên tục điểm x0  (a; b) lim f ( x) x  xo lim f ( x) tồn x  x0 lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 2) x  x0 Hàm số liên tục khoảng:  Đònh nghóa:  Hàm số f(x) xác đònh khoảng (a; b) gọi liên tục khoảng đó, liên tục điểm khoảng  Hàm số f(x) xác đònh đoạn [a; b] gọi liên tục đoạn đó, liên tục khoảng (a; b) lim f ( x)  f (a), x a  lim f ( x)  f (b) x a   Lưu ý: Đồ thò hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng 3) Một số đònh lý tính liên tục:  Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) hàm số liên tục điểm liên tục điểm  Đònh lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục tập xá đònh  Đònh lý 3: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b], đạt giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ giá trò trung gian giá trò lớn giá trò nhỏ đoạn  Hệ Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < tồn điểm c  (a; b) cho f(c) =  Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a; b) MỘT SỐ DẠNG TOÁN Dạng 1: Tìm điểm gián đoạn hàm số: Câu Tìm điểm gián đoạn hàm số sau: c / y  tgx  cos x cot gx  sin x d/y tg x a / y  x  x  x  b/ y  x  5x  x  3x  Dạng 2: Xét tính liên tục hàm số:  x  Câu Cho hàm số: f ( x)    x  3x   x  ( x  1) ( x  1) Xét tính liên tục hàm số f(x) x = 1  x  Câu Cho hàm số f ( x)    x   x2 ( x  2) ( x  2) Xét tính liên tục hàm số f(x) x = 3 2  Câu Cho hàm số f ( x)    x 1 1  x   ( x  0) ( x  0) Xét tính liên tục hàm số f(x) x =  x2 1  Câu Cho hàm số f ( x)   x  5  ( x  1) ( x  1) Xét tính liên tục hàm số f(x) x = ax   Câu Cho hàm số f ( x)   x    x 1 ( x  1) ( x  1) Đònh a để hàm số f(x) liên tục x0 = ( x  2) 1  Câu Cho hàm số f ( x)  1  x    2 x ( x  2) Xét tính liên tục hàm số f(x) x = 4 x  a  x  Câu Cho hàm số f ( x)    1 x  1 x  x ( x  0) ( x  0) Đònh a để hàm số f(x) liên tục x =  ax  Câu Cho hàm số f ( x)    3x    x  ( x  2) ( x  2) Đònh a để hàm số f(x) liên tục R  2 ax  Câu Cho hàm số f ( x)    4x   x  3x  ( x  2) ( x  2) Đònh a để hàm số f(x) liên tục R Câu 10 1  Cho hàm số f ( x)  1  cos x  x ( x  0) ( x  0) Xét tính liên tục hàm số toàn trục số Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Câu CMR phương trình sau có nghiệm: a / x  3x   b / x  x  x  10  c / x  10 x  100  Câu CMR phương trình x  x   có nghiệm khoảng (-2 ; 2) Câu CMR phương trình x  3x   có nghiệm phân biệt Câu CMR phương trình 3x  x  x  12 x  20  có hai nghiệm Câu CMR phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt: a / m( x  1)( x  2)  x   b / m( x  9)  x( x  5)  10 ... lý giới hạn hàm số: Đònh ly ù1: (Tính giới hạn) 1)  Nếu hàm số f(x) có giới hạn x dần tới a giới hạn Đònh ly ù2: (Các phép toán giới hạn hàm số) 2)  Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x  a thì:...  x0 Hàm số liên tục khoảng:  Đònh nghóa:  Hàm số f(x) xác đònh khoảng (a; b) gọi liên tục khoảng đó, liên tục điểm khoảng  Hàm số f(x) xác đònh đoạn [a; b] gọi liên tục đoạn đó, liên tục khoảng... thò hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng 3) Một số đònh lý tính liên tục:  Đònh lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) hàm số liên tục điểm liên tục điểm  Đònh lý 2: Các hàm số