BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Khảo sát tính đơn điệu dãy số sau 1 xn = cos( √ ) + n n n xn = n−1 (2n − 1)!! xn = (2n)!! 2n + 1− xn = x0 = xn+1 = 1− − n xn +1 Chứng minh dãy số sau đơn điệu vị chặn x = 1 x = x2n − 2xn + n+1 xn = 2+ xn = + 2+ + + √ 1 + + + 2 n Tính giới hạn 3.1 Tính giới hạn dãy số sau √ 9n n→∞ n! lim n→∞ 1 1 + √ + √ + + √ n 3 lim − n→∞ n→∞ 2n + 3n n→∞ 2n − 3n lim 1 + + + (−1)n n n+1 n + (−2)n (−1)n−1 n→∞ ln n − n lim 3.2 n cos(nπ) + (n2 + 1) arctan n + n3 − n→∞ 2n3 + 2n3 + 3n2 − ln9 n n→∞ ln7 n − n3 √ 11 lim n 3n n2 − 2n 10 lim n→∞ Tìm giá trị α để giới hạn sau lim nα−2 n→∞ lim nα nto∞ +1 √ n2 − − 2n = √ n→∞ lim lim n3 + 2n − − 5n n + 3n + lim n→∞ n+1 √ √ lim n2 + − n3 + 1 lim n2 + − n = +∞ √ 3 lim n2α+3 n→∞ 3.3 n3 + − n2 =0 3n − Tính giới hạn hàm số sau xx − x→1 ln x 15 lim lim x→+∞ limπ (1 + cos x) x→+∞ 17 x→±∞ tan(4x − π) x→ ±0 2x − π2 lim π ln cos(−2x) x→0 ln cos 3x lim± x e x − 18 lim x→0 √ m x−1 , với m, n số tự nhiên lim √ n x→1 x−1 √ √ x+ x−1−1 √ lim x→1 x2 − √ − cos x limπ x→ π − 4x πx x−a sin 2a 5x − 3x x→∞ 5x + 4x 19 lim+ (e x + x1 )x x→0 2x − x2 x→2 x − 20 lim tan(2x) − arcsin(4x) x→0 sin(5x) − arctan(7x) 21 lim 22 lim (x + 2x ) x x→+∞ 23 lim+ x→0 lim 10 lim (cos) √ x + − sin x lim x e x − x→a √ 16 lim (2 + x) x sin2 x x→ lim tan sin 24 lim x2 e x→1 ex + ln(1 + sin x) − √ − x4 − x−1 x −1 x−1 x→0 ln (x + 2x + 3) 11 lim x→∞ ln (3x4 + 12x + 1) 12 lim x→0 13 lim loga x(1 + x) x x→∞ x−3 x+2 x→0 −1 x−1 √ + x cos x − + 2x 26 lim x→0 ln(1 + x) 27 lim x 28 lim x→∞ x→0 x−1 x etan x − ex x→0 tan x − x 2x+1 14 lim (sin x + cos 2x) 25 lim± e 2x2 + 2x2 − x2 Vô bé vô lớn 4.1 Tìm tham số a, b để VCB α(x) ∼ axp x → α(x) = (etan x − 1) sinh(x2 − 3x4 ) √ α(x) = ln(arcsin x + 1)( x2 + − 1) √ √ α(x) = cos 2x − cos x α(x) = ex − sin 2x − cosh x √ √ αx = + 2x2 − + x2 α(x) = (x + 1) tan x − sin x α(x) = ex − cosh x α(x) = (x2 + 1) tan x − sin x 4.2 So sánh bậc VCB α(x) = esin x − etan x β(x) = ln(1 + x sin x) ,x → α(x) = cos x − cosh x ,x → β(x) = x2 − arcsin x α(x) = arctan x , x → +∞ x2 β(x) = e−x √ α(x) = ex(x+1) − + 2x β(x) = x2 − sinh x α(x) = x arctan x + (x + 1) ln(1 − 2x) √ β(x) = x2 + x3 + x12 + x8 4.3 ,x → , x → 0+ So sánh bậc VCL α(x) = x ln x β(x) = ln2 x x→∞ α(x) = x3 − ln x x→∞ β(x) = 3(x2 + 1) ln x α(x) = x → 0+ x β(x) = ln x 4.4 α(x) = √ x12 + x4 x x5 + β(x) = sin2 x3 + 2x x→∞ Tính giới hạn ln(1 + x + ex ) lim x→+∞ x + ex √ x−1−1 lim x x→2 ln x→±∞ lim x→0 (1 + 4x) e4 lim x→0 (cos x)tan x − lim x→0 x3 − 3x4 sin x − cos 2x − lim x→0 cos x − sin 2x − 1 x lim x2 (e− x2 − e x2 ) x cot πx lim (x2 − 2) − cos x→±∞ x lim x [ln(x + a) − ln x] x→+∞ x 3x − 2x x→0 x2 − 2x 10 lim