GIỚI HẠNA: Giới hạn dãy số: Kiến thức cần nhớ: Định lý1: Điều kiện cần để dãy số có giới hạn Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn.. Định lý2: Tính duy nhất của giới hạn Nếu một
Trang 1GIỚI HẠN
A: Giới hạn dãy số:
Kiến thức cần nhớ:
Định lý1: (Điều kiện cần để dãy số có giới hạn)
Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn
Định lý2: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý3: (Điều kiện đủ để dãy số có giới hạn) (Định lý Vaiơstrat).
Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
Định lý4: (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn)
Cho ba dãy số (un), (vn), (wn)
Nếu n N* ta có v n u n w n và lim vn = lim wn = A thì lim un = A
Định lý5: (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số).
Nếu hai dãy số (u n), (v n) có giới thì ta có:
) ,
0 ( lim lim
) 0 (lim lim
lim lim
lim lim ) lim(
lim lim
) lim(
*
N n u
u u
v v
u v
u
v u v
u
v u
v u
n n n
n n
n n
n
n n n
n
n n
n n
Định lý6: Nếu q 1 `thì
limq n 0
Tổng của cấp số nhân vô hạn có công bội q với q 1 là:
S=u1+u2+ +un+ = u q
1
1 (q 1 )
Số e: lim 1 1 2 , 71828
n
n
Định lý7: Nếu limu n 0 (u n 0 , nN* ) thìlim 1
n
u
Ngược lại, nếu limu n thìlim 1 0
n
u
B Giới hạn của hàm số:
Kiến thức cần nhớ:
1/ Một số định lý về giới hạn của hàm số:
Định lý1: (Tính duy nhất của giới hạn)
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất
Định lý2: (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số).
Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khix a thì:
Trang 2
) 0 ) ( ( , ) ( lim )
( lim
) 0 lim ( , ) ( lim
) ( lim ) (
) ( lim
) ( lim )
( lim ) ( )
( lim
) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim
x f x f x
f
x g
x f x
g
x f
x g x f x
g x f
x g x
f x
g x f
a x a
x
a x a
x
a x a
x
a x a
x a
x
a x a
x a
x
Định lý3: (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới
hạn)
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm a
(có thể trừ điểm a) Nếu với mọi điểm x của khoảng đó g(x) f(x) h(x) và nếu
limx a g(x)limx a h(x)L,
lim
Định lý4: Nếu khi x a, hàm số f(x) có giới hạn L và nếu với mọi giá trị x đủ gần
a mà f(x) > 0 (hoặc f(x) < 0) thì L 0 (hoặc L 0)
Định lý5: Nếu lim xa 0(và f(x) 0với mọi x đủ gần a) thì
( )
1 lim
x f
a x
Ngược lại, nếu
lim f x
a
) (
1
a f x
x
2/ Giới hạn một bên :
Định nghĩa: Số L được gọi là giới hạn bên phải( hoặc bên trái) của hàm số
f(x) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (xn) với xn > a (hoặc xn < a) sao cho limxn = a thì limf(xn) = L
Ta viết: x aL
lim (hoặc x a f x L
Định lý: Điều kiện ắc có và đủ để x a f x L
lim làxlima f(x),xlima f(x)
tồn tại và bằng L
3/ Các dạng vô định:
Khi tìm giới hạn của hàm số, ta có thể gặp một số trường hợp sau đây Ta
cần tìm:
1/ lim (( ))
)
x u
x
mà (lim0) ( ) (lim0) ( ) 0
x v x
u
x x x
x x
2/ lim (( ))
)
x u
x
) ( lim )
( lim
) (
)
x v x
u
x x x
x x
3/ (lim0) ( ). ( )
x v x u
x x x
mà (lim0 ) ( ) 0
x u
x x
) ( lim
)
x v
x x
Trang 34/ (lim0 ) ( ) ( )
x v x u
x x
) ( lim )
( lim
) ( )
x v x
u
x x x
x x
x
) ( lim )
( lim
) (
)
x v x
u
x x x
x x
BÀI TẬP ÁP DỤNG
A GIỚI HẠN DÃY SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
1 / lim2 21
n
n
4
1 3 lim /
2
n
n
3 / lim35 21
n n
n n n
n n
2 2
2
3 2 lim /
1
3 2
lim /
n n
n
n 6 / lim((3 12)()(2 13))
n n
n n
1 3
2 lim
/
2
n n
n
n
1 3
2 lim /
3
n n
n 9 / lim(2( 1)()(3 2))
n n
n n
n
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1
1 2 lim /
2
n
n
2
5 2 lim /
n n
n
2 3
2 lim
/
3
n n
n n
4 / lim3 n2 n3 n
2 3
1 2
lim /
2
n
n
n 6 / lim3 n3 2n2 n
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
n n
n
3 2
1 lim
/
2
4
3 2
) 1 (
) 2 ( ) 1 ( lim / 2
n n
n n
3 / lim 2 2 1
n n n
4 / lim(n 3 3n2 n3 )
2
1 11 2
lim /
3
n
n
n
4 2
1 lim
/ 6
2 2
n
B GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài tập 1: Tính các giới hạn:
1/lim2(2 3)
x 2/lim(2 3 3 4)
x
1
1 4 lim /
2
x x
x
1
2 1
lim / 4
x x
x 5/lim( 2 3 )
2
25 lim
/ 6
2
x
x
x
Dạng 00
Bài tập 2: Tính các giới hạn:
1
2 3 lim
/ 4
4
6 lim
/ 1
2 3 3 1
2 2 2
x x x
x x x
x x
x
x
8
4 lim / 5
20
16 lim
/ 2
3 2 2
2 2 4
x x
x x x
x
x
9
3 lim / 6
3
3 4 lim / 3
2 3
2 3
x x x
x x
x x
Bài tập 3: Tính các giới hạn:
Trang 4
x x x
x x
x x
x
x
x
2
1 2 1 lim
/
7
4
2 3 lim
/
4
2
1 2 1 lim
/
1
0
2 2
0
2
2 4 lim / 8
3 3
2 2
3 lim / 5
3 9
4 lim / 2
3 2 1 0
x x x
x x x x
x x
x
25
3 2
lim / 9
3 4
4 7
2 lim / 6
3 2
3 7 2 lim / 3
2 3 5
3 1 1
x x
x x
x x
x x
x x x
Bài tập 4: Tính các giới hạn:
3 3
27 6
lim
/
7
2 2
2 lim
/
4
1
1 lim
/
1
2 3
2 4
3
2
2 2
3
1
x x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
3 3
0 1
2
2 3 1
2 3 2
1 1
lim / 8
4 5
3 2 lim / 5
4 3
4 2 lim
/ 2
x x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x
3 1 4
2 lim
/ 9
2 3
2 4
2 3 lim / 6
1 1
lim / 3
2
2 2 1
2 0
x
x x
x x
x x x
x
x x x
x x x
Bài tập 5: Tính các giới hạn:
x x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
5 1
5 3
lim
/
5
6 2
2 3 lim
/
4
) 1 )(
1 (
lim
/
3
3
3 4 lim
/
2
1 1
lim
/
1
4
2 2 2
2 3 2 3
2
3
3 0
2 3
1 lim
/ 10
3
1 1 lim / 9
2
3 2 1 lim / 8
1
1 2 lim / 7
2 3
1 lim
/ 6
2 3 1
3 0 4
2
2 3
1
2 3 1
x x x x x x x
x x x
x x
x x x x x
Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp.
Bài tập 6: Tính các giới hạn:
3
5 1
lim
/
3
1 1
lim
/
2
2 3
7 11
8
lim
/
1
3 3
3
0
2 3
2
x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x
2
1 2 2
lim / 6
2
6 6
lim / 5
1
3 9
lim / 4
2 1
2 3
2
3
1
x x
x x
x x
x x
x
x x
x x x
Dạng
Bài tập 7: Tính các giới hạn:
Trang 5
3
2 2 3
2 5
2 3 2
) 4 3 (
) 4 1 )(
1 2 )(
2 (
lim
/
5
5 3
1 3 2
lim
/
4
1
1 2 lim
/
3
2
1 lim
/
2
3 2
1 lim
/
1
x
x x
x
x x
x x
x
x x
x
x x x x
x
x
x
x
x
1 2
3 2 lim / 10
1 3
1 4 lim / 9
1
3 2 lim
/ 8
5 3
7 3 4 lim / 7
1 6
8 3 lim / 6
3 2 2
3 3 2 2 3 4 2
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x x
ĐS:
27
8 / 5 3
2 / 4
/ 3
/ 2 2
1 / 1
0 / 10 3
2 / 9
1 / 8
/ 7
0 / 6
Bài tập 8: Tính các giới hạn:
x x
x x
x
x
4 1 3 2 lim
/
1
2
2
1
1 2 4 1 9
lim / 2
2 2
x x x
x
ĐS:
5
1 /
1
1
1 /
2
Dạng
Bài tập 9: Tính các giới hạn:
3 1
2
2
1
3 1
1
lim
/
4
) (
lim
/
3
) 3 4 4 1 2
(
lim
/
2
) (
lim
/
1
x x
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x
6 5
1 2
3
1 lim
/ 8
) 1 1
( lim / 7
) 1 (
lim / 6
) 3
( lim / 5
2 2
2
2 2
2
x x x
x
x x x
x
x x
x x x
x x x x
ĐS:
1 / 4 2
1 / 3
0 / 2 3
1 / 1
2 / 8
1 / 7
0 / 6
1 / 5
Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác:
Cho biết : limsin 1
x
x
Trang 6Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau:
2 0
0
0
0
2
4 cos 1
lim
/
4
sin
2 cos 1
lim
/
3
1 1
2 sin
lim
/
2
2
5 sin
lim
/
1
x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
2 0 0 2 2
0
3 0
6 cos 1 lim / 8
2
3 lim / 7
3
sin lim / 6
sin lim
/ 5
x x x
x tg x
x x
x tgx
x x x x
x x x
x x
x tg
x x
x
x
x x x
cos 2 1
3
sin lim / 12
sin
cos sin
1 lim / 11
cos 1 2 lim / 10
5 cos 1
3 cos 1 lim / 9
3
2 2 0
2 0
0
ĐS:
25
9 /
9
2
1
/
5
2
5
/
1
8
2 / 10 9
1 / 6
4 / 2
1 / 11 2
3 / 7
2 / 3
3
1 / 12
18 / 8
4 / 4
- Hết
HÀM SỐ LIÊN TỤC
Kiến thức cần nhớ:
1 Hàm số liên tục tại một điểm:
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) Hàm số f(x) được
gọi là liên tục tại điểm x0 (a; b) nếu: lim ( ) ( 0)
0
x f x f
x
Nếu tại điểm xo hàm số f(x) không liên tục, thì nó được gọi là gián đoạn tại xo và điểm xo được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x)
Trang 7Theo định nghĩa trên hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) là liên tục tại điểm
0
x (a; b) nếu và chỉ nếu lim f ( x )
o
x
x và lim ( )
0
x f x
x tồn tại và
) ( ) ( lim
)
(
0 0
x f x f x
f
x x
x
2 Hàm số liên tục trên một khoảng:
a Định nghĩa:
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng đó,
nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy
Hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] được gọi là liên tục trên đoạn đó, nếu nó là liên tục trên khoảng (a; b) và xlima f(x)f(a),
Lưu ý: Đồ thị của một hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên
khoảng đó
b Một số định lý về tính liên tục:
Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương ( vớid mẫu khác 0) của những hàm số liên tục
tại một điểm là liên tục tại điểm đó
Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên
tập xá định của nó
Định lý 3: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b], thì nó đạt được giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất và mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó
Hệ quả Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại
ít nhất một điểm c(a; b) sao cho f(c) = 0.
Nói cách khác: Nếu hàm số f(x) là liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a; b).
MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số:
Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau:
2 3
4 5 2
/
3 4 5 /
2 2
2 3
x x
x x
y
b
x x x
y
a
.
2
2 sin cot
/
5 cos /
x tg
x gx
y d
x tgx
y c
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số:
Bài tập 1: Cho hàm số:
Trang 8
1 2 3 2 ) (
2 2
x x x
x x
f
) 1 (
) 1 (
x
x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Bài tập 2: Cho hàm số:
2 4 2 1 )
x x x
) 2 (
) 2 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Bài tập 3: Cho hàm số:
1 1 1 1 2 3 ) (
3 x x x
f
) 0 (
) 0 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 0
Bài tập 4: Cho hàm số:
5 1
1 )
(
2
x
x x
f ((x x11)) Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 1
Bài tập 5: Cho hàm số:
1 2 )
x ax x
f
) 1 (
) 1 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 1
Bài tập 6: Cho hàm số:
x x
f
2 3 2 1 ) (
) 2 (
) 2 (
x x
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 = 2
Bài tập 7: Cho hàm số:
x x x
x x a
x f
1 1
2 4 )
) 0 (
) 0 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục tại x0 = 0
Bài tập 8: Cho hàm số:
2 2 2 3 4 1 )
x x
ax x
) 2 (
) 2 (
x x
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R
Bài tập 9: Cho hàm số:
2 3 2 4 3 2 )
(
2 3 2
x x x
ax x
) 2 (
) 2 (
x x
Trang 9
Định a để hàm số f(x) liên tục trên R.
Bài tập 10: Cho hàm số:
x x x
f( ) 1 cos ((x x00)) Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số
Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm:
Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm:
0 100 10
/
0 10 9 6 /
0 1 3 /
3 5
2 3
4
x x
c
x x x
b
x x
a
Bài tập 2: CMR phương trình 2x3 6x 1 0 có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2) Bài tập 3: CMR phương trình 3 3 1 0
x
x có 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 4: CMR phương trình 3 4 4 3 6 2 12 20 0
x có ít nhất hai nghiệm Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt:
// (( 2 1)(9) 2() 25) 30. 0.
x x x
m
b
x x
x
m
a
- Hết -
CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai
Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )
Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều
bằng nhau
Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai
d được cho bởi công thức:
un = u1 + (n - 1)d
3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng
cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là
2
1
k k
k
u u
u (k 2)
4 Tổng n số hạng đàu của một cấp số cộng
Trang 10Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:
Sn tính theo u1 và d
S n n2u (n 1 )d
2 1
Sn tính theo u1 và un
( )
2 1 n
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài tập 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:
a/ 2 , 5 , 8 , tìm u15
b/ 2 3 , 4 , 2 3 , tìmu20
ĐS:
3 18 40 /
44 /
20
15
u b
u a
Bài tập 2: Xác định cấp số cộng có công sai là3, số hạng cuối là 12 và có tổng
bằng 30
Giải:
Ta có: ( )
2 u1 u n
n
( 12 )
2
30 1
mà u1 u n (n 1 )d 12 (n 1 )d 12 3 (n 1 ) 15 3n
nên ( 15 3 12 )
2
30 n n
5
4 0
60 27
3 2
n
n n
n
Với n 4 :u1 3 ta có cấp số cộng 3 , 6 , 9 , 12
Với n 5 :u1 0 ta có cấp số cộng 0 , 3 , 6 , 9 , 12
Bài tập 3: Cho cấp số cộng:
26 10
6 4
3 5 2
u u
u u u
Tìm số hạng đầu và công sai của nó
Giải:
3 1 26 5 3 2 4 26
1 1 1 1 1 6
4
3
5
2
d u d u d u
d u d u d u u
u
u
u
u
Bài tập 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương
của chúng là 165
Giải:
Gọi cấp số cộng là: u3 - 3d, u3 - d, u3, u3 + d, u3 + 2d
Theo giả thiết ta có:
2 5 165
) 2 ( ) ( )
( ) 2 (
25 ) 2 ( ) ( ) ( ) 2
3 2 3 2 2 3 2 3
3 3
3 3
3
d u d
u d u u d u d u
d u d u u d u d u
Với d = 2 ta có 1 , 3 , 5 , 7 , 9
Với d = -2 ta có 9 , 7 , 5 , 3 , 1
Trang 11Bài tập 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số
của chúng là 1140
Giải:
Xét cấp số cộng 5 , 5 d, 5 2d
Theo bài ra ta có: 5 ( 5 d)( 5 2d) 1140
2 29
7 0
203 15
2 2
d
d d
d
Với d = 7 ta có 5 , 12 , 19
Với d = 292 ta có , 24
2
19 ,
5
Bài tập 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành
một cấp số cộng với công sai là 25
Giải:
Đặt 3 cạnh cần tìm là: x 25 ,x,x 25 , với x 25
Theo định lí Pitago ta có:
(x 25 ) 2 x2 (x 25 ) 2
100
) ( 0 0
100
625 50
625 50
2
2 2 2
x
loai x
x x
x x
x x
x
Với x=100 ta có cấp số cộng tương ứng 3 cạnh là: 75,100,125
Bài tập 7: Cho cấp số cộng u1, u2, u3,
Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
Tính u1 + u6 + u11 + u16
Giải:
Ta có: u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
(u1 + u16) + (u4 + u13) + (u7 + u10) = 147
(2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 147
3(2u1 + 15d) = 147
2u1 + 15d = 49
Mặt khác: u1 + u6 + u11 + u16
= (u1 + u16) + (u6 + u11)
= (2u1 + 15d) + (2u1 + 15d) = 2(2u1 + 15d) = 2.49 = 98
Suy ra: u1 + u6 + u11 + u16 = 98
Bài tập 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80
Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Giải:
Ta có: S15 = 152 (u1 + u15)
Mặt khác ta có: u3 + u13 = (u1 + 2d) + (u1 + 12d)
= u1 + (u1 + 14d) = u1 + u15 = 80