Giới hạn hàm số

GIỚI HẠN HÀM SỐ http://e-learning.hcmut.edu.vn/ KHÁI NIỆM Hàm số y = f(x) xác định lân cận x0( không xác định x0) Nếu giá trị f(x) gần với a x đủ gần x0 a gọi giới hạn f x0 Xem VD số sau đây: x sin x / f ( x) = , x ≈ x f(x) không xác định 0, x ≈ f(x) ≈  0.1    0.1    0.1    0.1   0.1 f(x) 0.8415 0.958 0.9816 0.986 0.935              sin x f ( x) = , Đồ thị hàm số x không bị đứt x ≈ Lúc coi f(0) ≈ (giới hạn f x = 1) π / f ( x) = sin , x ≈ x f(x) không xác định 0, x ≈ f(x) ≈ SAI π π x= ⇒ = + 2kπ , k ∈ Z 4k + x x f(x) 0   0.5 0   0  0.1  0.0001    0.000001  ⇒ f(x) = Có vô số giá trị x gần mà f(x) = 0, f(x)=1 ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN HÀM SỐ lim f ( x) = a x→ x0 (hữu hạn) ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : x − x0 < δ ⇒ f ( x) − a < ε ( x ∈ D & x ≠ x0 ) Hạn chế đn: f(x) a Phải chia nhiều trường hợp tùy ε δ x X0 thuộc vào giá trị xo a vô hạn hay hữu hạn ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃY lim f ( x ) = a ⇔ ∀{ xn } ⊂ D & xn ≠ x0 , x → x0 lim xn = x0 lim f ( xn ) = a n→∞ n→∞ Tiện ích định nghĩa: Áp dụng chung cho trường hợp a hay xo ∞ Các tính chất phép toán giới hạn dãy cho giới hạn hàm số Dễ dàng việc chứng minh hàm số giới hạn Phương pháp chứng minh hàm giới hạn  lim xn = lim xn′ = x0 n→∞ n→∞  f ( xn ) ≠ lim f ( xn′ )  nlim →∞ n→∞ Chọn dãy {xn} {x’n} cho: Ví dụ: Chứng minh Chọn xn = n f ( x) = gh x → x n →∞ 0, f ( xn ) = n n →∞ n →∞ 0, f ( xn′ ) = − n n →∞ xn′ = − n ⇒ lim f ( xn ) ≠ lim f ( xn′ ) n→∞ n→∞ +∞ −∞ Chứng minh: f ( x) = sin x Không có gh x → + ∞ (xo = + ∞) Chọn xn = nπ n →∞ π xn′ = + 2nπ n →∞ f ( xn ) = sin( nπ ) = π  f ( xn′ ) = sin  + 2nπ ÷ = 2  ⇒ lim f ( xn ) ≠ lim f ( xn′ ) n→∞ n→∞ n →∞ n →∞ +∞ +∞ GIỚI HẠN MỘT PHÍA •Giới hạn trái xo: lim− f ( x) = a ⇔ ∀{ xn } ⊂ D & xn < x0 , x → x0 lim xn = x0 lim f ( xn ) = a •Giới hạn phải xo: lim+ f ( x) = a x → x0 (Xét xn>xo xn → xo) xo GIỚI HẠN MỘT PHÍA lim+ f ( x) = a x → x0 lim− f ( x) = a ⇔ lim f ( x) = a x → x0 x → x0 1 , VD: x ≥ 1,  / f ( x) =  x 2 x − , x < 1, lim+ f ( x) = lim x→1 x→1+ x ⇒ lim f ( x) = x →1 =1 Xét gh f(x) xo = = lim− (2 x − 1) = lim− f ( x) x→1 x→1 BẢNG TÓM TẮT GIỚI HẠN CƠ BẢN α ⇒ lim x = +∞,  x→+∞  α x =0 α < ⇒ xlim →+∞ a > ⇒ lim a x = +∞, lim a x =  x →+∞ x→−∞  x x < a < ⇒ lim a = 0, lim a = +∞  x→+∞ x →−∞ ln x = +∞  xlim →+∞  ln x = −∞  xlim →0 + α >0 < a 1 BẢNG TÓM TẮT GH CƠ BẢN x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x) / lim =1 x →0 x ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x α (1 + x) − / lim =α x →0 x tanx sin x lim = 1, / lim = 1, x →0 x x →0 x − cos x lim = x →0 x arcsin x / lim = 1, x →0 x arctanx lim = 1, x →0 x cosh x − 1 sinh x lim = / lim = 1, x →0 x →0 x x ln p x / lim α = 0, ∀α > x →+∞ x xα lim x = 0, ∀a > x →+∞ a LƯU Ý KHI TÍNH GIỚI HẠN Nhớ kiểm tra dạng vô định trước lấy giới hạn Tùy theo dạng vô định, chọn gh thích hợp Nếu dạng VĐ ×∞, ∞ − ∞, chuyển 0/0 ∞/∞ Nếu dạng VĐ mũ, biến đổi theo cách sau: a lấy lim lnf(x) v(x) b [u(x)] = ev(x)lnu(x) c Dạng 1∞, dùng gh (1+x)1/x → e lim f ( x ) = ⇔ lim f ( x ) = x → x0 x → x0 x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) =1 x →0 x / lim ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x VÍ DỤ − cos5 x / lim x →0 − cos x − cos5 x (5 x) = lim x → − cos x (2 x) / 25 = × 1/ Dạng 0/0 (5 x) × (2 x) 25 = x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) / lim =1 x →0 x ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x cos x / lim =A π π − 2x x→ Đặt: Dạng 0/0 π u = x − x0 = x − π  cos  + u ÷ 2  A = lim u →0 −2u sin u = lim u →0 2u = x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) =1 x →0 x / lim esin x − / lim x →0 x ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x esin x − sin x = lim × x → sin x x = 1× = Dạng 0/0 x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) =1 x →0 x / lim ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x e2 x − 3x / lim x →0 x Dạng 0/0 e x − − (3x − 1) = lim x →0 x  e x − 3x − 1 = lim  − = − ln  x →0  2x x  Có thể biến đổi sau: ( ) x e −1 e x − 3x x =3 x x 2  e x →0  →1 × ln  ÷ 3 x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) / lim =1 x →0 x ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x tan x − sin x Dạng 0/0 / lim x →0 x3 tan x sin x   = lim  − x →0  x x x x  1  = lim  −  = x →0  x x  SAI x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) / lim =1 x →0 x ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x tan x − sin x Dạng 0/0 / lim x →0 x3 tan x(1 − cos x) = lim x →0 x3 tan x − cos x = lim × = 1× x →0 x x x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) / lim =1 x →0 x ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x x +3 2x +   / lim  ÷ x →+∞  x −  (Dạng 1∞ ) x +3   = lim 1 + ÷ x →+∞  2x − 1 sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x lim = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α α x = 0, ∀a > x →+∞ a x lim x −1       = lim 1 + ÷   2x − 1 x →+∞    =e 16 =e (4 x + 3) x−1 x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) / lim =1 x →0 x ex −1 / lim = 1, x →0 x ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x lim sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x x2 − / lim = A Dạng 0/0 x →1 x − u = x − x0 = x − Đặt: A = lim u →0 = lim (u + 1) − u +1 −1 2/5 (u + 1) −1 u →0 (u + 1)1/3 − (u + 1) 2/5 − u = lim × u u →0 (u + 1)1/3 − 1 x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) =1 x →0 x / lim x e −1 = 1, x →0 x / lim ax −1 / lim = ln a x →0 x / lim x →0 sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x − cos x lim = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x sin x Dạng 0/0 (Biểu thức ln tiến 1) (1 + x )α − / lim =α x →0 x / lim ln(1 + x ) = lim x →0 ln(1 + x ) x2 × x2 sin x ×2 ln(1 + x )  x  = lim × ×  ÷  sin x  x →0 x2 x / lim ( + x ) = e x →0 ln(1 + x ) =1 x →0 x / lim ex −1 / lim = 1, x →0 x 100 x / lim x e x →0 ax −1 / lim = ln a x →0 x (1 + x )α − / lim =α x →0 x sin x tanx = 1, lim = 1, x →0 x x →0 x / lim − cos x lim = x →0 x arcsin x arctanx / lim = 1, lim = 1, x →0 x →0 x x sinh x cosh x − 1 = 1, lim = x →0 x →0 x x2 / lim ln p x / lim = 0, ∀α > x →+∞ x α xα lim = 0, ∀a > x →+∞ a x = lim Dạng 0×∞ x e x →0  50  2÷   x = lim eu u →+∞ u 50 = +∞ sin x 10 / lim x →+∞ x sin x − ≤ ≤ , x x x Không có dạng vô định với x > x→+∞ ⇒ sin x lim =0 x →+∞ x Một lưu ý Nếu lim f ( x ) = 0, g ( x ) ≤ M , ∀x ∈ Vx0 x→ x0 lim f ( x ) g ( x ) = x → x0 Giới hạn tích hàm tiến với hàm bị chận [...]... →0 x Giới hạn cho hàm mũ Xét hàm số có dạng:  lim u ( x) = a > 0  x→ x0  v( x) = b ∈ R  xlim → x0 f ( x) = [ u ( x) ] v( x) ⇒ lim f ( x) = a b x → x0 Chứng minh: lim [ u ( x) ] x → x0 v( x) = lim ev ( x )×ln u ( x ) x → x0 = eb×ln a = ab Tiêu chuẩn giới hạn kẹp h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) , với mọi x trong lân cận C, lim h ( x ) = a = lim g ( x ) ⇒ lim f ( x ) x →C x →C x →C C có thể là số, là... 0 ∞ [ u ( x) ] • Đối với dạng mũ ∞ 0 1 ,0 , ∞ 0 v( x ) GIỚI HẠN CƠ BẢN 1 Các hàm log, mũ, lũy thừa: xem lại bài HÀM SỐ 1 x 2 / lim ( 1 + x ) = e x →0 ln(1 + x) = lim ln(1 + 3 / lim x →0 x →0 x 1 x) x = ln e = 1 ex −1 4 / lim = 1, vì với phép đặt : ex – 1 = u, ta có x →0 x ex − 1 u lim = lim x →0 u →0 ln(u + 1) x 1 = lim =1 u →0 ln(u + 1) u GIỚI HẠN CƠ BẢN ax −1 5 / lim x →0 x e x ln a − 1 = lim × ln... 1, x →0 x arctanx lim = 1, x →0 x cosh x − 1 1 sinh x lim = 8 / lim = 1, 2 x →0 x →0 2 x x ln p x 9 / lim α = 0, ∀α > 0 x →+∞ x xα lim x = 0, ∀a > 1 x →+∞ a LƯU Ý KHI TÍNH GIỚI HẠN 1 Nhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn 2 Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp 3 Nếu dạng VĐ là 0 ×∞, ∞ − ∞, chuyển về 0/0 hoặc ∞/∞ 4 Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau: a lấy lim của lnf(x)... 1 − ≤ ≤ , x x x Không có dạng vô định với mọi x > 0 x→+∞ 0 ⇒ 0 sin x lim =0 x →+∞ x Một lưu ý Nếu lim f ( x ) = 0, g ( x ) ≤ M , ∀x ∈ Vx0 x→ x0 thì lim f ( x ) g ( x ) = 0 x → x0 Giới hạn của tích một hàm tiến về 0 với một hàm bị chận thì bằng 0 ... u →0 ln(u + 1) u GIỚI HẠN CƠ BẢN ax −1 5 / lim x →0 x e x ln a − 1 = lim × ln a x→0 x ln a α (1 + x) − 1 6 / lim x →0 x eα ln(1+ x ) − 1 ln(1 + x) = lim α =α x →0 α ln(1 + x ) x = ln a BẢNG TÓM TẮT GIỚI HẠN CƠ BẢN α 0 ⇒ lim x = +∞,  x→+∞  α x =0 α < 0 ⇒ xlim →+∞ a > 1 ⇒ lim a x = +∞, lim a x = 0  x →+∞ x→−∞  x x 0 < a < 1 ⇒ lim a = 0, lim a = +∞  x→+∞ x →−∞ ln x = +∞  xlim →+∞