Giói hạn hàm số

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC I. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Xét hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a; b) chứa x 0 (có thể không xác định tại x 0 ). Trong khoảng (a; b) ta có thể lấy dãy { } n n 0 x , x x ( n , n 1)¹ " Î ³Z sao cho n 0 n lim x x ®¥ = . Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x 0 nếu n 0 n lim x x ®¥ = thì n n lim f(x ) L ®¥ = . Ký hiệu 0 x x lim f(x) L ® = . Định nghĩa 2 Số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x tiến dần về x 0 nếu 0 0, 0 : 0 x x f(x) L"e> $d> < - < d Þ - < e . Ví dụ 1. Xét hàm số f(x) 3x 2= - khi x dần đến 2, ta có f(x) 4 3 x 2 x 2 3 e - < e Û - < e Û - < . Nghĩa là với 0"e> , chọn 3 e d = thì 0 x 2 f(x) 4< - < dÞ - < e . Vậy x 2 lim(3x 2) 4 ® - = . Ví dụ 2. Xét hàm số 2 x 1 y x 1 - = - khi x 1® . Hàm số không xác định tại x = 1, nhưng khi x 1¹ ta có: 2 x 1 y 2 2 x 1 x 1 - - = - = - - . Nghĩa là với 0"e> , chọn : 0 x 1 y 2$d = e < - < dÞ - < e . Vậy 2 x 1 x 1 lim 2 x 1 ® - = - . 2. Các định lý cơ bản Định lý 1 Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x tiến dần về x 0 thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 2 Nếu các hàm số f(x), g(x) có giới hạn khi x tiến dần về x 0 thì i) [ ] 0 0 0 x x x x x x lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x) ® ® ® ± = ± ii) [ ] 0 0 0 x x x x x x lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x) ® ® ® = iii) ( ) 0 0 0 0 x x x x x x x x lim f(x) f(x) lim lim g(x) 0 g(x) lim g(x) ® ® ® ® é ù = ¹ ê ú ê ú ë û 4i) 0 0 x x x x lim f(x) lim f(x) (f(x) 0) ® ® = ³ Định lý 3 Mọi hàm số sơ cấp f(x) xác định trong khoảng chứa x 0 thì 0 0 x x lim f(x) f(x ) ® = . Định lý 4 (giới hạn kẹp giữa) Nếu 0 0 x x x x lim h(x) lim g(x) L ® ® = = và h(x) f(x) g(x)£ £ với mọi x thuộc khoảng chứa x 0 thì 0 x x lim f(x) L ® = . 3. Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số Định lý 5 i) Nu 0 x x lim f(x) 0 đ = v f(x) 0> khi x gn x 0 thỡ 0 x x 1 lim f(x) đ = +Ơ ii) Nu 0 x x lim f(x) 0 đ = v f(x) 0< khi x gn x 0 thỡ 0 x x 1 lim f(x) đ = - Ơ . nh ngha 3 S L c gi l gii hn ca f(x) khi x tin dn v vụ cc nu: 0, M 0 : x M f(x) L"e> " > > ị - < e . Ký hiu x lim f(x) L đƠ = . nh ngha 4 i) S L c gi l gii hn bờn phi ca f(x) khi x tin dn v x 0 (x > x 0 ) nu 0 0, 0 : 0 x x f(x) L"e> $d> < - < d ị - < e . Ký hiu 0 x x lim f(x) L + đ = . ii) S L c gi l gii hn bờn trỏi ca f(x) khi x tin dn v x 0 (x < x 0 ) nu 0 0, 0 : x x 0 f(x) L"e> $d> - d< - < ị - < e . Ký hiu 0 x x lim f(x) L - đ = . nh lý 6 0 0 0 x x x x x x lim f(x) L lim f(x) lim f(x) L - + đ đ đ = = = . Vớ d 3. Cho hm s sin2x , x 0 x f(x) x m, x 0 ỡ ù < ù ù = ớ ù ù + ù ợ neỏu neỏu . Tỡm m f(x) cú gii hn khi x 0đ . Gii ( ) x 0 x 0 x 0 sin2x sin2x lim f(x) lim 2. 2 lim 2 2x 2x - - - đ đ đ = = = ( ) x 0 x 0 lim f(x) lim x m m + + đ đ = + = . Vy m = 2. 4. Phng phỏp gii toỏn (cỏc quy tc kh dng vụ nh) 4.1. Dng 0 0 i) Phõn tớch t v mu (chia cho x x 0 ) ( ) ( ) 0 0 0 n 0 0 0 n x x x x x x 0 0 P(x) x x K(x) K(x) K(x ) lim lim lim , R(x ) 0 Q(x) x x R(x) R(x) R(x ) đ đ đ - = = = ạ - . Vớ d 4. ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1) x x x 1 x 1 lim lim lim 2 x x 2x x x 1 x đ đ đ - + - - + + = = = - + - . Vy 3 2 3 2 x 1 x x x 1 lim 2 x 2x x đ - - + = - + . ii) Dựng lng liờn hp Vớ d 5. ( ) ( ) 3 3 2 2 x 2 x 2 x 6 2 2 x 2 x 6 x 2 lim lim x 4 x 4 đ đ + - + - + + - + = - - 3 2 2 x 2 x 6 2 2 x 2 lim x 4 x 4 đ ổ ử + - - + ữ ỗ = + ữ ỗ ữ ỗ - - ố ứ ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 x 2 3 3 x 6 2 x 6 2 x 6 4 lim (x 4) x 6 2 x 6 4 đ ỡ ộ ự ù + - + + + + ờ ỳ ù ở ỷ ù = + ớ ộ ự ù - + + + + ù ờ ỳ ù ợ ở ỷ ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 2 x 2 (x 4) 2 x 2 ỹ - + + + ù ù ý ù - + + ù ỵ ( ) ( ) 2 2 2 x 2 3 3 x 2 2 x lim (x 4) 2 x 2 (x 4) x 6 2 x 6 4 đ ộ ự - - ờ ỳ = + ờ ỳ ộ ự - + + - + + + + ờ ỳ ờ ỳ ở ở ỷ ỷ ( ) ( ) 2 x 2 3 3 1 1 lim (x 2) 2 x 2 (x 2) x 6 2 x 6 4 ® é ù ê ú = - ê ú é ù + + + + + + + + ê ú ê ú ë ë û û 1 1 1 4(4 4 4) 4(2 2) 24 = - = - + + + . Vậy 3 2 x 2 x 6 x 2 1 lim 24 x 4 ® + - + = - - . 4.2. Dạng ¥ ¥ Ta chia tử và mẫu cho x n (n là bậc cao nhất của tử và mẫu). Ví dụ 6. ( ) ( ) 4 4 2 4 4 2 4 4 x x 4 2 2 1 x 3 1 x x x 3(x 2) 2x 1 lim lim 2(2x 1) 1 2x 2 x ®¥ ®¥ é ù - + +ê ú - + + ê ú ë û = + + ( ) ( ) 4 2 4 4 x 2 2 1 3 1 3 x x x lim 32 1 2 2 x ®¥ - + + = = + . Vậy 4 2 4 x 3(x 2) 2x 1 3 lim 32 2(2x 1) ®¥ - + + = + . Ví dụ 7. ( ) ( ) 4 4 2 2 4 3 x x 4 4 2 5 x 1 x 2x 5 x x lim lim 2 1 2x 1 x x x ®¥ ®¥ + - + - = = ¥ + + . Vậy 4 2 3 x x 2x 5 lim 2x 1 ®¥ + - = ¥ + . Ví dụ 8. ( ) ( ) 5 4 2 5 3 5 x x 5 5 3 1 6 x 3x x 6 x x x lim lim 0 5 2x 5 x 2 x ®¥ ®¥ - + - + = = - - . Vậy 4 2 5 x 3x x 6 lim 0 2x 5 ®¥ - + = - . Ví dụ 9. ( ) 2 4 3 4 2 x x 2 2 2 3 x 1 x 2x 3 x x lim lim 1 2x 1 x 2 x ®¥ ®¥ - + - + = + + 4 x 2 2 3 1 1 x x lim 1 2 2 x ®¥ - + = = + . Vậy 4 3 2 x x 2x 3 1 lim 2 2x 1 ®¥ - + = + . Ví dụ 10. ( ) 2 2 x x 2 3 x 1 x 2x 3 x x lim lim 1 2x 1 x 2 x ®- ¥ ®- ¥ - + - + = + + 2 x 2 3 1 1 x x lim 1 2 2 x ®- ¥ - - + = = - + . Vậy 2 x x 2x 3 1 lim 2x 1 2 ®- ¥ - + = - + . 4.3. Dạng ¥ - ¥ . Ta dùng lượng liên hợp. Ví dụ 11. ( ) 4 2 4 x lim x 3x x 1 ®+¥ + - - ( ) ( ) 4 2 4 4 2 4 4 2 4 x x 3x x 1 x 3x x 1 lim x 3x x 1 ®+¥ + - - + + - = + + - 2 2 4 2 4 x x 2 2 1 3 3x 1 3 x lim lim 2 3 1 x 3x x 1 1 1 x x ®+¥ ®+¥ + + = = = + + - + + - . Vậy ( ) 4 2 4 x 3 lim x 3x x 1 2 ®+¥ + - - = . Ví dụ 12. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x x 1 x x 1 x lim x 1 x lim x 1 x ®+¥ ® +¥ + - + + + - = + + 2 x 1 lim 0 x 1 x ®+¥ = = + + . Vậy ( ) 2 x lim x 1 x 0 ®+¥ + - = . Chú ý: ( ) 2 x lim x 1 x ®- ¥ + - không phải dạng vô định vì ( ) 2 2 x x x lim x 1 , lim ( x) lim x 1 x ®- ¥ ®- ¥ ®- ¥ + = +¥ - = +¥ Þ + - = +¥ . 4.4. Dạng 0.¥ . Ta biến đổi 1 0. . ¥ ¥ = ¥ = ¥ ¥ . Ví dụ 13. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x x x 1 x x 1 x lim x x 1 x lim x 1 x ®+¥ ® +¥ + - + + + - = + + 2 x x 2 x 1 1 lim lim 2 1 x 1 x 1 1 x ®+¥ ®+¥ = = = + + + + . Vậy ( ) 2 x 1 lim x x 1 x 2 ®+¥ + - = . 4.5. Các quy tắc đặc biệt khử dạng vô định 0 0 0 , , , 0. , 0 , , 1 0 ¥ ¥ ¥ - ¥ ¥ ¥ ¥ Kết quả cần nhớ: 1 x x 0 lim(1 x) e ® + = , ( ) x x 1 lim 1 e x ®¥ + = . Định lý 7 (quy tắc L’Hopital) (chỉ dùng trong trắc nghiệm) Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trong khoảng chứa x 0 thỏa các điều kiện: i) 0 0 x x x x lim f(x) lim g(x) 0 ® ® = = hoặc 0 0 x x x x lim f(x) lim g(x) ® ® = = ¥ ii) / g (x) 0¹ với mọi x thuộc khoảng chứa x 0 iii) 0 / / x x f (x) lim L (L L ) g (x) ® = Î = ¥¡ hoaëc thì 0 0 / / x x x x f(x) f (x) lim lim L g(x) g (x) ® ® = = . Chú ý: i) nh lý vn ỳng cho cỏc trng hp 0 x x đ , x đ Ơ ii) Cú th ỏp dng quy tc LHopital nhiu ln. Vớ d 14 (dng 0 0 ). ( ) 2 3 3 2 x 2 x 2 1 1 2 x 2 3 x 6 x 6 x 2 1 lim lim 2x 24 x 4 đ đ - + + + - + = = - - . Vy 3 2 x 2 x 6 x 2 1 lim 24 x 4 đ + - + = - - . Vớ d 15 (dng 0 0 ). ( ) 2 x 0 x 0 2 1 tg 2x tg2x lim lim 2 x 1 đ đ + = = . Vy x 0 tg2x lim 2 x đ = . Vớ d 16 (dng 0 0 ). 3 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x 3x 6x 6 lim lim lim lim 6 x sin x 1 cosx sin x cosx đ đ đ đ = = = = - - . Vy 3 x 0 x lim 6 x sin x đ = - . Vớ d 17 (dng Ơ Ơ ). 2 2 x x lnx 1 lim lim 0 x 2x đ+Ơ đ+Ơ = = . Vy 2 x lnx lim 0 x đ+Ơ = . Vớ d 18 (dng 0.Ơ ). ( ) ( ) 2 2 x 0 x 0 x 0 2 lnx x lim x ln x lim lim 0 1 2 x + + + đ đ đ ổ ử ữ ỗ = = - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Vy ( ) 2 x 0 lim x ln x 0 + đ = . Vớ d 19 (dng Ơ - Ơ ). ( ) x 1 x 1 x 1 x lnx x 1 lim lim x 1 ln x (x 1) lnx đ đ - + - = - - x 1 x 1 2 1 lnx 1 x lim lim x 1 1 1 2 lnx x x x đ đ = = = - + + . Vy ( ) x 1 x 1 1 lim x 1 lnx 2 đ - = - . Vớ d 20 (dng 0 0 ). ( ) x x x 0 x 0 A lim x lnA ln lim x + + đ đ = ị = ( ) ( ) x x 0 x 0 x 0 x 0 2 1 lnx x lim ln x lim x lnx lim lim 1 1 x x + + + + đ đ đ đ = = = = - x x 0 x 0 lim( x) 0 A 1 lim x 1 + + đ đ = - = ị = ị = . Vy x x 0 lim x 1 + đ = . Vớ d 21 (dng 0 Ơ ). ( ) ( ) 1 1 lnx lnx x 0 x 0 B lim cotgx lnB ln lim cotgx + + đ đ ộ ự = ị = ờ ỳ ở ỷ ( ) 2 1 lnx x 0 x 0 x 0 1 ln(cotgx) cotgxsin x lim ln cotgx lim lim 1 lnx x + + + đ đ đ - = = = ( ) 1 1 lnx x 0 x 0 x 1 lim 1 B e lim cotgx sin x cosx e + + - đ đ - = = - ị = ị = . Vy ( ) 1 lnx x 0 1 lim cotgx e + đ = . Vớ d 22 (dng 1 Ơ ). ( ) ( ) 2 2 1 1 x x x 0 x 0 sin x sin x C lim lnC ln lim x x đ đ ộ ự ờ ỳ = ị = ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ ( ) ( ) 2 1 x 2 2 x 0 x 0 x 0 sin x ln ln(sinx) lnx sin x x lim ln lim lim x x x đ đ đ ộ ự - ờ ỳ = = = ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ 2 x 0 x 0 cosx 1 1 x cosx sin x sin x x lim lim 2x 2 x sin x đ đ - - = = 2 x 0 x 0 1 x sin x 1 sin x lim lim 2 2 2sinx x cosx 2xsinx x cosx đ đ - - = = + + ( ) 2 1 1 x 6 6 x 0 x 0 1 cosx 1 sin x 1 lim C e lim 2 3cosx x sin x 6 x e - đ đ - = = - ị = ị = - . Cỏch khỏc: ( ) 2 1 x x 0 sin x C lim 1 1 x đ ộ ự = + - ờ ỳ ở ỷ ( ) ( ) 3 3 sinx x x sinx x x . x sinx x sinx x x x 0 x 0 sin x x sin x x lim 1 lim 1 x x - - - - đ đ ỡ ỹ ù ù - - ộ ự ộ ự ù ù = + = + ớ ý ờ ỳ ờ ỳ ù ù ở ỷ ở ỷ ù ù ợ ỵ 3 2 x 0 x 0 x 0 x 0 sinx x cosx 1 sinx cosx 1 lim lim lim lim x 3x 6x 6 6 e e e e e đ đ đ đ - - - - - = = = = = . Vy ( ) 2 1 x 6 x 0 sin x 1 lim x e đ = . II. HM S LIấN TC 1. nh ngha 1 Xột hm s f(x) cú MX D è Ă . i) im 0 x Dẻ c gi l im t ca D nu tn ti dóy { } { } n 0 x D \ xè sao cho n 0 x xđ . im 0 x Dẻ khụng phi l im t ca D c gi l im cụ lp ca D. ii) Nu im 0 x Dẻ l im cụ lp ca D thỡ ta quy c f(x) liờn tc ti x 0 . iii) Nu im 0 x Dẻ l im t ca D thỡ f(x) liờn tc ti x 0 khi 0 0 x x lim f(x) f(x ) đ = . Vớ d 23. Xột hm s 2 f(x) x 3x 2 2 x= - + + - cú MX ( ] { } D ;1 2= - Ơ ẩ . Ta cú x = 2 l im cụ lp ca f(x) v f(x) liờn tc ti x = 2. Ti 0 x ( ; 1]ẻ - Ơ thỡ 0 0 x x lim f(x) f(x ) đ = nờn f(x) liờn tc. Nhn xột: Hm s 2 f(x) x 3x 2 2 x= - + + - liờn tc ti x = 2 nhng khụng cú gii hn ti x = 2. 2. nh ngha 2 i) f(x) liờn tc bờn phi x 0 nu 0 0 x x lim f(x) f(x ) + đ = ii) f(x) liờn tc bờn trỏi x 0 nu 0 0 x x lim f(x) f(x ) - đ = . Vớ d 24. Hm s 2 f(x) x 3x 2 2 x= - + + - liờn tc bờn trỏi ti x = 1. 3. nh ngha 3 i) f(x) liờn tc trờn khong (a; b) nu f(x) liờn tc ti mi im x 0 thuc (a; b) ii) f(x) liờn tc trờn on [a; b] nu f(x) liờn tc trờn khong (a; b) v liờn tc phi ti a, liờn tc trỏi ti b. Chỳ ý: i) Hm s s cp xỏc nh ti õu thỡ liờn tc ti ú. ii) Hm s khụng liờn tc ti x 0 thỡ gi l giỏn on ti im x 0 . Ví dụ 25. Xét sự liên tục của hàm số 2 x , x 0 lnx f(x) x 2x, x 0 ì ï > ï ï = í ï - £ ï ï î neáu neáu tại x = 0. Giải Ta có: x 0 x 0 x 0 x 1 lim f(x) lim lim 0 1 lnx x + + + ® ® ® = = = 2 x 0 x 0 x 0 lim f(x) lim(x 2x) 0 f(0) limf(x) f(0) - - ® ® ® = - = = Þ = . Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 0. Ví dụ 26. Xét sự liên tục của hàm số 2 x 2 e 1 , x 0 x f(x) 0, x 0 ì - ï ï ¹ ï ï = í ï ï = ï ï î neáu neáu . Giải Với mọi x 0¹ ta có hàm số 2 x 2 e 1 f(x) x - = xác định nên liên tục. Tại x = 0, ta có: 2 2 2 x x x 2 x 0 x 0 x 0 x 0 e 1 2xe limf(x) lim lim lime 1 f(0) 2x x ® ® ® ® - = = = = ¹ . Vậy hàm số f(x) liên tục trên { } \ 0¡ hay gián đoạn tại x = 0. 4. Định lý (điều kiện để phương trình có nghiệm trong khoảng (a; b)) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thỏa f(a).f(b) 0< thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a; b) (ngược lại không đúng). Ví dụ 27. Chứng minh phương trình 3 2 x mx 1 0+ - = (*) luôn có nghiệm thực dương. Giải Xét hàm số 3 2 f(x) x mx 1= + - liên tục trên ¡ và f(0) 1 0= - < . Mặt khác x lim f(x) b 0 : f(b) 0 f(0).f(b) 0. ®+¥ = +¥ Þ $ > > Þ < Vậy phương trình (*) luôn có nghiệm thực dương thuộc khoảng (0; b). . GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ – HÀM SỐ LIÊN TỤC I. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa Định nghĩa 1 Xét hàm số y = f(x) xác định trong khoảng. bản Định lý 1 Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x tiến dần về x 0 thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 2 Nếu các hàm số f(x), g(x) có giới hạn khi x tiến dần