Giới hạn liên tục - Đạo hàm

lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 1 2 2 0 ln(cos ) lim (?) ln(cos ) x ax a T bx b    SỞ GD & ĐT KHÁNH HÒA TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN Trần Công Diêu Phan Công Tuân Du Quản Trị Viên Diễn Đàn MS www.forum.mathscope.org Năm học 2008 - 2009 www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 3 Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số  Kiến thức cơ bản cần nắm ( không nắm out lun, hehe )  Giới hạn 0 ( ) lim ( ) x x f x g x  , trong đó ( ); ( ) f x g x cùng dần tới 0 khi x dần tới 0 x được gọi là giới hạn dạng 0 0 . Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay! @ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau. Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, bình thường thôi!  Khái niệm giới hạn dãy số:   1 2 ( ) , , , ; n n a a a a có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng n a đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu lim n n a a   Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân cận của đồng bằng sông hồng … ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này  Khái niệm giới hạn hàm số được xây dựng dựa trên khái niệm trên: x a  thì ( ) ( ) f x f a  hay lim ( ) ( ) x a f x f a    Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:  0 sinx lim 1 x x   ; 0 1 lim 1 x x e x     0 ln(1 ) lim 1 x x x    ; 1 0 0 1 lim 1 lim(1 ) x x x x x e x              2 2 0 0 sin 1 cos lim 1;lim , , 0 ax 2 x x ax ax a a R a x        ( * )( cái này có được vì sao? ) @ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn  Thí dụ 1. Tìm giới hạn 3 0 2 1 8 lim x x x T x      ( ĐHQGHN 1997 ) Lời giải. ( bạn đang cười vì : ‘ tôi làm nó quá nhiều ‘ ) Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau 3 0 0 2( 1 1) (2 8 ) lim lim x x x x T x x         tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá: www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 4 Đặt 3 1 ; 8 u x v x     thì 2 3 1; 8 ; , 2 x u x v u v      . Như vậy chúng ta có thể viết:   2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 lim lim lim lim 1 8 1 4 2 3 12 4 u v u v u v T u v u v v                   (cách giải này có cái hay là chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu điểm hơn qua bài toán sau:  Thí dụ 2. Tìm giới hạn 5 4 1 2 1 2 lim 1 x x x T x       ( ĐHSPHN 1999 ) ĐS: 7 10 T  , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen! Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: ( ) ( ) lim n m x a f x g x T x a     số bạn cần tìm là: ( ) ( ) n m f a g a  nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khó hơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không.  Thí dụ 3. Tìm giới hạn 2 0 1 cos cos2 lim x x x T x    Lời giải. Biến đổi và sử dụng công thức ( * ) 2 2 2 2 0 0 0 1 cos 1 os2 1 cos 1 os2 lim( cos . ) lim limcos . x x x x c x x c x T x x x x x x            2 2 1 2 5 2 2 2    Tổng quát: 2 2 2 2 0 1 cos 2 cos 1 2 lim 2 x xco x nx n x        Thí dụ 4. Tìm giới hạn cos os3 2 0 os2 lim x c x x e c x T x     Lời giải. Biến đổi như sau cos os3 2 2 0 1 1 os2 lim( ) x c x x e c x T x x       bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé! Vậy 1 2 T T T   với cos os3 cos os3 1 2 cos os3 2 0 0 1 1 cos os3 lim lim . x c x x c x x c x x x e e x c x T x x                 cos os3 cos os3 2 2 0 1 1 os3 1 cos lim x c x x c x x e c x x x x               o   cos os3 cos os3 0 0 1 1 lim lim 1; cos os3 x c x t x c x x t e e t x c x t            Thí dụ 5. Tính giới hạn 0 ln(sinx cos ) lim x x T x    Lời giải. Biến đổi 2 0 0 ln(sinx cos ) ln(1 sin 2 ) sin 2 lim lim( . ) 2 sin 2 2 x x x x x T x x x       ( nhớ học công thức nhan các anh em ) www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 5 o 0 0 ln(1 sin2 ) ln(1 ) lim lim ; sin 2 sin 2 x t x t t x x t       o 0 0 sin 2 sin lim lim ; 2 2 x u x t u x x t     Vậy 1.1 1 T   ( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví như ko được viết 0 sin 2 lim 0 2 x x x   )  Thí dụ 6. Tìm giới hạn 3 lim 1 x x x T x           Lời giải. Thực hiện phép biến đổi 3 2 lim lim 1 1 1 x x x x x T x x                     Đặt 2 1 1 x t   , ta có 2 1;x t x t        vì vậy 2 2 1 1 2 1 1 1 lim 1 lim 1 1 t t t t T e t t t                                      Thí dụ 7. Tìm giới hạn   3 3 2 2 lim 3 1 x T x x x x       Lời giải. Thực hiện phép biến đổi đơn giản   3 3 2 2 lim ( 3 ) ( 1 ) x T x x x x x x         (cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó mang đẳng cấp cao hơn rùi) o     2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 lim 3 lim 3 3 x x x D x x x x x x x x x           2 3 3 3 lim 1 3 3 1 1 1 x x x              o 2 2 1 lim ( 1 ) lim 1 x x x Du x x x x x x             2 1 1 1 lim 2 1 1 1 1 x x x x          Vậy 3 2 T D Du     Thí dụ 8. Tìm giới hạn T= 0 sin(sinx) lim x x  ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp Lời giải. 0 0 sin(sinx) sinx sin(sinx) lim lim . 1 sinx x x x x     www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 6  Thí dụ 9. Tìm giới hạn   2 0 1 cos lim 1 1 x x T x      Lời giải. Ta thực hiện biến đổi sau     2 2 2 2 2 2 2 0 0 2sin (1 1 ) 2sin (1 1 ) 2 2 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x T x x x             2 2 2 0 2sin (1 1 ) 2 lim 1 4 2 x x x x            ( bạn trình bày chỗ này rõ ra nhé! )  Thí dụ 10. Tính giới hạn sau 2 0 1 os 2 lim sin x c x T x x    ( ĐN 1997 ) Lời giải. 2 2 2 0 0 2 0 1 os 2 sin 2 sin 2 4 lim lim lim . 4 sinx sin sin 2 x x x c x x x T x x x x x x                     Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó!  Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau 0 1 lim . os x T x c x   ( ĐH Giao Thông 1997 ) Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen ) Tóm tắt pp: Giả sử ta có : o ( ) ( ) ( ); u x f x v x x D     ( tập xác định của ba hàm số này ) o lim ( ) lim ( ) ; x a x a u x v x Dieu a D      Thì lim ( ) ; x a f x Dieu a D    ( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đi đêm đã khuya rồi … măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 ) Tiếp nè:   1 1 1 cos os cos 1 x x c x x x x x x x           0 0 0 1 lim lim cos lim 0 x x x x x x x               0 1 lim cos 0 x x x           Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau 0 1 1 sin3 lim 1 cos x x T x      ( ĐHQG HN 1997 ) Lời giải. Biến đổi như sau www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 7 0 0 1 1 sin3 1 1 sin3 lim lim 1 cos 1 cos x x x x T x x           ( vì 1 sin3 0 x   ) 3 2 2 2 0 0 0 4sin 3sin sinx 4sin 3 1 os lim lim lim 4sin 3 1 co s 1 os 1 cos x x x x x x c x x a x c x              2 0 lim 1 cos 4sin 3 3 2 x x x       Thí dụ 13. Tính giới hạn sau sinx lim sinx x x T x     ( ĐHGT 1998 ) Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào sinx sinx 1 1 sinx 1 sinx ; 0 lim 0 x x x x x x x x x            ( các bạn nên thuộc giới hạn này nhé ) Vì vậy sinx sinx 1 1 sinx lim lim lim 1 sinx sinx sinx 1 1 x x x x x x x T x x x x                           Thí dụ 14. Tính giới hạn sau 3 2 0 2 1 1 lim sinx x x x T      ( ĐHQG HN 2000 ) Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không? 3 2 0 ( 2 1 1) ( 1 1) lim sinx x x x T        3 2 0 0 ( 2 1 1) ( 1 1) lim lim sinx sinx x x x x         A B   o         0 0 2 1 1 2 1 1 1 2 lim lim . 1 sinx 2 1 1 sinx 2 1 1 x x x x A x x x              o         3 32 2 2 2 3 0 0 3 32 2 2 2 2 2 3 3 1 1 ( 1) 1 1 1 lim lim 0 sinx ( 1) 1 1 sinx ( 1) 1 1 x x x x x x B x x x x x                              o Vậy 1 T  . Bạn đang nghĩ “ ôi sao mà biến đổi khéo léo quá vậy trời, liệu tui có làm được như vậy không? Huhu “. Tôi xin nói khẽ với bạn: “ thật đơn giản, chỉ cần bạn luyện tập tốt ( ko cần làm nhiều ), nhưng bạn phải thật sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạn cơ bản  Thí dụ 15. Tính giới hạn 2 2 0 3 cos lim x x x T x    ( ĐHSP HN 2000 ) Lời giải. vẫn với câu nói: “ không thử sao biết “ – trừ khi bạn có công lực hàng khủng nhìn thấy ngay, hehe! www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 8 2 2 ln3 2 2 0 0 3 cos ( 1) (1 cos ) lim lim x x x x x e x T x x         ( hehe khá khéo léo nhá )   2 2 ln3 2 2 0 0 2sin 1 1 2 lim .ln3 lim ln3 .ln3 2 4 2 x x x x e x x              ( chỗ này tôi viết tắt nhé, các bạn phải thông qua một bước tam gọi là đổi cận của giới hạn như đã trình bày ở cái thí dụ trước ) @ wow wow đói bụng quá ăn cơm cái đã, mới đánh ba tiếng mà được nhiêu đây cũng kha khá rồi, hè hè chúng ta chuẩn bị sử dụng vũ khí nguyên tử để tiêu diệt vương quốc giới hạn nha! ( 11h55 am, 29 – 3 – 2009 ). Nhưng thôi chúng ta cùng tiếp tục với những ví dụ khác đã!  Thí dụ 16. Tính giới hạn sau 2 0 1 cos cos2 cos3 lim x x x x T x    Lời giải. Bạn hãy nhìn lại thí dụ 3 xem sao, tôi khẳng định chúng có mối quan hệ với nhau, hehe, còn quan hệ như thế nào bạn tự suy nghĩ nhé! Đs: 7 2 T  ( nếu bí quá bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua tinhbantoan@yahoo.com ) @ Tiếp tục với những bài có ý tưởng thêm bớt nhé! ( khè khè )  Thí dụ 17. ( Một bài toán cực kì quan trọng ) Tính giới hạn sau 0 1 ax 1 lim n x T x     với n nguyên dương Lời giải. Thực hiện phép đổi biến đê: Đặt 1 ax n y   Khi ấy 0 x  thì 1 y  vì thế em có :     1 2 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 n n n y y y y T a a y y y y y               1 2 1 1 lim 1 n n y a a y y y n          Làm một vài ứng dụng của nó nha! ( Bạn hãy tổng quát kết quả trên với đa thực bậc n: 1 0 ( ) n n p n a x a x a     nhá, có nghĩa là lúc này x được thay bằng p(n) )  Thí dụ 18. Tính giới hạn sau 3 4 0 1 2 1 3 1 4 1 lim x x x x T x       Lời giải. Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên tưởng đến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài toán này có chứa tích của tới ba dấu căn khác bậc. Ta sử dụng biến đổi sau đây 3 4 1 2 1 3 1 4 1 x x x     = 3 1 2 1 2 1 2 1 3 x x x x       3 3 4 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 x x x x x         www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 9 Từ đây là ngon ăn quá rồi nha! 3 4 3 0 0 0 1 2 1 1 3 1 1 4 1 lim lim 1 2 lim 1 2 1 3 x x x x x x T x x x x x x                        3 4 0 0 0 1 2 1 1 3 1 1 4 1 lim lim lim x x x x x x T x x x                     2 3 4 2 3 4    @ Hoàn toàn bạn có thể tạo ra những bài toán như ý muốn của bạn từ những ý tưởng cơ bản, thế mới biết toán học là muôn màu muôn vẻ!  Thí dụ 19. Tính giới hạn sau 4 lim tan2 .tan( ) 4 x T x x      ( ĐHSPHN 2000 ) Lời giải. nhẩm nhẩm ta thấy nếu mà thế 4 x   vào thì T không xác định. Để cho gọn ta đặt 4 a x    2 0 0 0 0 os2 sin os2 1 lim tan 2 .tana limcot2 .tan lim lim 4 sin 2 cos 2cos 2 a a a a c a a c a T a a a a a a                   Phần 2. Các bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số  Hàm số liên tục tại điểm 0 x x  khi và chỉ khi   0 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x f x        Đạo hàm của hàm số ( ) y f x  tại điểm 0 x x  là giới hạn hữu hạn ( nếu có ) của 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x    , kí hiệu là 0 '( ) f x . Chú ý đạo hàm tồn tại khi 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x          ( bạn hãy hiểu thật rõ về đạo hàm nhé ) Định lí: Nếu hàm số ( ) f x có đạo hàm tại 0 x thì liên tục tại điểm đó. ( điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng ) @ Sau đây chúng ta cùng giải một số bài toán về : “ tính liên tục và đạo hàm “. Các dạng này chỉ nhằm kiểm tra một tiết, thi học kì dành cho khối 11 hoặc dành cho kì thi tốt nghiêp thời tiền sử (he), nhưng ( tôi đang nhấn mạnh ) nếu người ra đề muốn thì họ có thể biến chuyển thành những bài toán hay, khá khó, thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi. Giải phần này để ta hiểu hơn về lí thuyết từ đó có thể ứng dụng tính liên tục để giải phương trình, cái này mới quan trọng vì thi đại học thường có!  Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm 1 x  : www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 10     3 2 2 1 ( ) ; 1 1 1 ; 1 2 x x y f x x x m x              Lời giải. Trước hết cần hiểu liên tục tại một điểm là như thế nào đã, cái này chúng tôi đã trình bày trong phần lí thuyết tóm tắt của phần này!  Hàm số liên tục tại điểm 0 x x  khi và chỉ khi   0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x f x f x f x         Bài toán chúng ta đang xét ứng với 0 1 x  , bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang cần xét là hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi 1 x  đồng nghĩa với x chưa bằng 1 hay 1 x  . Với nhận xét này chúng ta bắt đầu giải như sau: Xét giới hạn 3 3 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 4 lim ( ) lim lim 1 1 1 3 x x x x x x x f x x x x                          (?) với những gì bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ còn là trò trẻ con! Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đúng, hãy đọc lại đề một lần nữa thật kĩ. Người ta yêu cầu “ tìm m “ để hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số này liên tục tại điểm x=1, điều này tương đương với 1 lim ( ) (1) x f x f   4 3 m   . Hãy nhớ đây là bài toán tìm m và đề cho hàm số của chúng ta đã liên tục tại điểm x=1 rồi. Bài toán này khác với bài toán xét tính liên tục của một hàm số!  Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm 3 x   t anx 3cot 3 ( ) ; 3 ; 3 x x y f x x m x                 Lời giải. Như vậy các bạn chỉ cần trình bày như sau Xét giới hạn 3 3 t anx 3cot lim ( ) lim 3 x x x f x a x          ( một kết quả nào đó – các bạn tự tìm ha ) Vì hàm số liên tục tại 3 x   nên : 3 lim ( ) ( ) 3 x f x f     a m   ( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới đọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đến lí thuyết hay lém ) @ Hehe, bạn đang tự tin, ui dễ ợt mà có gì không hiểu, ừ nếu như từ những bài giới hạn ban đầu mà chúng tôi đề cập đến bạn có thể tạo ra được những bài liên tục như thế này, thì chắc chắn bạn đã hiểu rồi đấy! Nào chúng ta cùng qua một số bài tính đạo hàm mà phải dùng đến định nghĩa mới mong có solution đẹp! www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 11  Thí dụ 22. Tính đạo hàm hàm số sau tại điểm 0 x  tanx sinx 2 1 ( ) ; 0 0; 0 e y f x x x x            Lời giải. Bạn có thật sự hiểu mình cần làm gì không? Xét giới hạn tanx sinx tanx sinx 3 3 0 0 0 ( ) (0) 1 1 tanx sinx 1 lim lim lim . 0 tanx sinx 2 x x x f x f e e T x x x                ( chú ý đổi cận giới hạn nha, khuya quá rồi đang làm biến, thông cảm, các bạn làm cho ra kết quả như trên nghen ) Vậy 1 '(0) 2 f  @ Liệu có ai trong các bạn đặt ra câu hỏi này : ‘ ủa sao hàm số chưa biết có liên tục hay không mà tính đạo hàm trời ‘. Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm tại điểm đó ( làm ơn nhớ dùm ).  Thí dụ 23. Tính đạo các hàm số sau a. 2 0; 0 ( ) 1 sin ; 0 x f x x x x         tại điểm x=0 b. 0; 0 ( ) 1 cos ; 0 x f x x x x         tại điểm x=0 Lời giải. a. 0 0 ( ) (0) 1 '(0) lim lim sin 0 0 x x f x f f x x x        (?) Vì sao giới hạn này bằng không chúng ta hãy dùng nguyên lí kẹp nhá, xem lại ví dụ 11 b. thí dụ này các bạn làm tương tự. @ Các bạn có đặt ra câu hỏi là vì sao chúng tôi lại đặt phần này sau phần giới hạn không, uhm, vì khi thành thạo giới hạn rồi việc tính các giới hạn hệ quả như trên mới dễ dàng được. Chúc các bạn may mắn, đi ngủ đây ( 30-31/3/2009), hôm nay khuya quá rồi, ngày mới lại đến!  Thí dụ 24. Tìm a, b để hàm số : 2 ( ) ; 0(1) ( ) ax 1: 0(2) bx x a e x f x bx x             có đạo hàm tại 0 0 x  Lời giải. Giả sử ( ) f x có đạo hàm tại 0 0 x  thì ( ) f x liên tục tại 0 0 x  0 0 lim ( ) lim ( ) (0) x x f x f x f        2 0 0 lim(ax 1) lim( ) bx x x bx x a e a            ( chú ý x dần tới phía trái ‘ 0  ’ thì hàm số theo quy tắc (1) và x dần tới phía phải ‘ 0  ’ thì hàm số theo quy tắc (2), ai mong lun về khái niệm hàm số thì nên ôn lại nhen ) www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, [...]... Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com THNG 4 2009 15 mựa thi 2009 Trang www.toantrunghoc.com - Thi-ỏp n-Chuyờn -Ti Liu-Phn Mm Toỏn, lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM x TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN Giải : Xét hàm số: ax n 2 bx n 1 cx n f(x) = + + n 2 n 1 n Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm tại x R Theo giả thiết (1) có f(0) = 0 , f(1) = a b c 0 n 2 n 1 n Theo định... lý Lagrăng như sau : ( rt tic chng trỡnh mi nh lớ ny ó c gim ti ) nh lớ : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một điểm c (a; b) sao cho: f ( b ) f (a ) f / (c) = ba Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com THNG 4 2009 13 mựa thi 2009 Trang www.toantrunghoc.com - Thi-ỏp n-Chuyờn -Ti Liu-Phn Mm Toỏn, lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM x TRN CễNG DIấU PHAN CễNG TUN... cho hàm số y = f(x) thoả mãn thêm điều kiện f(b) = f(a) thì có f / (c) = 0 Ta có định lý sau đây có tên gọi là : Định lý Roll Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm f / (x) trên (a; b) và có f(a) = f(b) thì tồn tại điểm xo (a , b) sao cho f (xo) = 0 Như vậy định lý Roll là một trường hợp riêng của định lý Lagrăng Tuy nhiên có thể chứng minh định lý Roll trực tiếp như sau: Hàm số f(x) liên. .. 3x , vỡ phng trỡnh cú bc l bin nờn chỳng ta s dựng mt th thut x lớ nh sau: Ta gọi là nghiệm bất kỳ của phương trình (2) Xét hàm số : f(x) = ( x 1) x , với x > 0, chỳ ý X ny l X ln nhen! Hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( 0; + ) và có đạo hàm : 1 1 f (x) = ( x 1) - x 1 1 = [ ( x 1) x ] Từ (2) có f(5) = f(3) Vậy tồn tại c ( 3; 5) sao cho f(c) = 0, hay là : [ (c 1) 1 c 1 ] = o... biệt, với k = 2, 3, 4 Hệ quả 2 : Nếu phương trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì phương trình : f(x) + f (x) = 0 có ít nhất n-1 nghiệm phân biệt , với R Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com THNG 4 2009 14 mựa thi 2009 Trang www.toantrunghoc.com - Thi-ỏp n-Chuyờn -Ti Liu-Phn Mm Toỏn, lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM x TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN mà 0 Thớ d 29... tinhbantoan123@yahoo.com THNG 4 2009 18 mựa thi 2009 Trang www.toantrunghoc.com - Thi-ỏp n-Chuyờn -Ti Liu-Phn Mm Toỏn, lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM x TRN CễNG DIấU PHAN CễNG TUN DU THPT Tễ VN N LP 12A1 KHTN thc v toỏn s cp ca bn thõn ngy cng vng vng hn Xin cho v hn gp li cỏc bn nhng chuyờn khỏc khi chỳng tụi ri gh nh trng THPT Ht .$ 8h43pm- 3.4.2009 Gi li n Phng Trang: anh chỳc em hc tht gii, luụn xinh...www.toantrunghoc.com - Thi-ỏp n-Chuyờn -Ti Liu-Phn Mm Toỏn, lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM x TRN CễNG DIấU PHAN CễNG TUN DU THPT Tễ VN N LP 12A1 KHTN x 1 e bx ; x 0 1 a a 1 a thay vo hm s ban u ta c f ( x) 2 x bx 1;... ri edit trong p hn nhiu ri! 3h30, 3.4.2009 Phn 4 S dng o hm tớnh gii hn ca hm s ( bom nguyờn t ) Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com THNG 4 2009 16 mựa thi 2009 Trang www.toantrunghoc.com - Thi-ỏp n-Chuyờn -Ti Liu-Phn Mm Toỏn, lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM x TRN CễNG DIấU THPT Tễ VN N PHAN CễNG TUN DU LP 12A1 KHTN 3 x 1 5 2x 1 3x 8 2 x 1 Li gii Vi bi toỏn ny m lm theo nhng cỏch phn 1 thỡ... ) x2 e 2 x 3 1 x 2 lim 1: lim 2 x 0 x2 x2 3 1 x 2 x 0 e 2 x 3 1 x 2 ln(1 x 2 ) e 2 x 2 Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com THNG 4 2009 17 mựa thi 2009 Trang www.toantrunghoc.com - Thi-ỏp n-Chuyờn -Ti Liu-Phn Mm Toỏn, lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM x TRN CễNG DIấU PHAN CễNG TUN DU THPT Tễ VN N LP 12A1 KHTN 2 Lỳc ny ta t f ( x) e 2 x f (0) 1 ri bng cỏch lm nh cỏc vớ d trờn cỏc bn s... x0 0 x 0 x 1 x 0 x 0 Bõy gi chỳng ta chng minh hm s ny khụng cú o hm ti x0 0 l imf ( x ) lim Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com THNG 4 2009 12 mựa thi 2009 Trang www.toantrunghoc.com - Thi-ỏp n-Chuyờn -Ti Liu-Phn Mm Toỏn, lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM x TRN CễNG DIấU PHAN CễNG TUN DU lim f x f 0 x 1 lim lim 1 x 0 x 1 x x 0 1 x x0 lim LP 12A1 KHTN f x f 0 x lim x 0 x 1 . chưa biết có liên tục hay không mà tính đạo hàm trời ‘. Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm tại điểm. lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá: www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM . www.forum.mathscope.org Năm học 2008 - 2009 www.toantrunghoc.com - Đề Thi-Đáp Án-Chuyên Đề-Tài Liệu-Phần Mềm Toán, lim x  CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ