www.facebook.com/hocthemtoan
Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 1.1. Hàm số một biến số 1. Định nghĩa hàm số Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của R . Tương ứng f D E → : cho tươ ng ứ ng m ỗ i ph ầ n t ử x D ∈ v ớ i duy nh ấ t m ộ t ph ầ n t ử y E ∈ đượ c g ọ i là hàm s ố m ộ t bi ế n s ố th ự c. + Tập D được gọi là miền xác của f. + Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f. + x D ∈ được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ). + f x x D ∈ ( ), được gọi là biến số phụ thuộc ( hay hàm số ). 2. Đồ thị của hàm số: ( ) { } f G x f x x A = ∈ , ( ) | + Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng : M ộ t đườ ng cong trong m ặ t ph ẳ ng xy là đồ th ị c ủ a m ộ t hàm c ủ a x n ế u và ch ỉ n ế u đườ ng th ẳ ng song song v ớ i Oy c ắ t đươ ng cong đ ó t ạ i nhi ề u nh ấ t m ộ t đ i ể m. Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số 1.2 Giới hạn hàm số : 1. Ví dụ 1: Xét hàm s ố y f x x x = = − + 2 ( ) 2 . Ta l ậ p b ả ng các giá tr ị c ủ a hàm s ố t ạ i nh ữ ng đ i ể m x g ầ n x = 0 2 . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Nh ậ n th ấ y khi x ti ế n g ầ n đế n x = 0 2 thì các giá tr ị các hàm s ố f x ( ) ti ế n g ầ n đế n 4. Ta nói r ằ ng hàm s ố có gi ớ i h ạ n b ằ ng 4 khi x x → = 0 2 . 2. Định nghĩa giới hạn hàm số Định nghĩa 1 : Ta nói hàm s ố f x ( ) có gi ớ i h ạ n L (h ữ u h ạ n) khi x x → 0 và vi ế t x x f x L → = 0 lim ( ) n ế u v ớ i b ấ t k ỳ dãy { } n x mà n x x → 0 thì n n f x L →∞ = lim ( ) . Định nghĩa 2 : theo ngôn ng ữ δ ε − . x x f x L x x f x L ε δ δ ε → = ⇔ ∀ > ∃ > − < ⇒ − < 0 0 lim ( ) 0, 0 : ( ) Chú ý + N ế u hàm f x ( ) không tho ả mãn đị nh ngh ĩ a, ta nói r ằ ng f x ( ) không có gi ớ i h ạ n khi x x → 0 , ho ặ c x x f x → 0 lim ( ) không t ồ n t ạ i. + Khi tìm gi ớ i h ạ n, ta ch ỉ quan tâm đế n các giá tr ị “x d ầ n t ớ i x 0 ” ch ứ không ph ả i xét khi x x = 0 . Do đ ó hàm s ố f x ( ) có th ể không xác đị nh t ạ i x x = 0 nh ư ng ph ả i xác đị nh t ạ i các đ i ể m thu ộ c lân c ậ n c ủ a đ i ể m đ ó. Ví dụ 2 : Hàm s ố x f x x − = − 2 1 ( ) 1 không xác đị nh t ạ i x = 1 . Ta l ậ p b ả ng tính các giá tr ị c ủ a f x ( ) khi x → 1 . T ừ đ ó xem f x ( ) d ầ n đế n giá tr ị nào. Nh ậ n th ấ y khi x ti ế n g ầ n đế n x = 0 1 thì các giá tr ị các hàm s ố f x ( ) ti ế n g ầ n đế n 0,5. Ta nói r ằ ng hàm s ố có gi ớ i h ạ n b ằ ng 0,5 khi x x → = 0 1 . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Cách mô t ả này ch ủ y ế u cho ta dáng đ i ệ u c ủ a f(x) khi x g ầ n a, d ự đ oán giá tr ị c ủ a gi ớ i h ạ n, có l ợ i v ề tr ự c giác và phù h ợ p v ớ i m ụ c đ ích th ự c hành. Tuy nhiên không ch ặ t ch ẽ . Sử dụng định nghĩa , ch ỉ ra r ằ ng x x x → − = − 2 1 1 1 lim 1 2 . Th ậ t v ậ y, cho tr ướ c ε > 0 , ch ọ n δ ε = . Ta có: x δ − < 1 thì x x x x x ε − − − = < − < − + 2 1 1 1 1 1 2 1 ( v ớ i x trong lân c ậ n c ủ a 1). Ví d ụ 3: Tìm gi ớ i h ạ n x x →0 1 limcos Gi ả i: Đặ t f x x = 1 ( ) cos . + V ớ i x n π = 1 2 , n = 1, 2, 3…thì f x = ( ) 1 . + V ớ i x n π π = + 1 2 2 , n = 1, 2, 3…thì f x = ( ) 0 . V ậ y x x →0 1 limcos không t ồ n t ạ i. 3. Giới hạn ở vô cực Đị nh ngh ĩ a: x f x L ε →+∞ + = ⇔ ∀ > lim ( ) 0 , N ∃ > 0 đủ l ớ n, sao cho x N f x L ε ∀ > ⇒ − < ( ) . x f x L ε →−∞ + = ⇔ ∀ > lim ( ) 0 , N ∃ > 0 đủ l ớ n, sao cho x N f x L ε ∀ < − ⇒ − < ( ) . Ví d ụ 4: Ch ứ ng minh r ằ ng x x →+∞ = 1 lim 0 . + T ừ x x ε ε − < ⇔ > 2 1 1 0 . + Ta có: ε ∀ > 0 , ch ọ n N ε = 2 1 . Khi đ ó x N f x ε ∀ > ⇒ − < ( ) 0 . 4. Các tính chất của giới hạn Đị nh lí 1: Gi ả s ử c là h ằ ng s ố và x a x a f x L g x M → → = = lim ( ) , lim ( ) . Khi đ ó 1. [ ] x a f x g x L M → + = + lim ( ) ( ) 2. [ ] x a f x g x L M → − = − lim ( ) ( ) 3. x a c f x cL → = lim . ( ) 4. x a f x g x L M → = lim ( ). ( ) . 5. x a f x L g x M → = ( ) lim ( ) n ế u M ≠ 0 . Đị nh lý 2: ( v ề gi ớ i h ạ n k ẹ p) Gi ả s ử các hàm s ố f x g x h x ( ), ( ), ( ) tho ả mãn b ấ t đẳ ng th ứ c f x g x h x ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) trong lân c ậ n c ủ a đ i ể m a. Khi đ ó n ế u x a x a f x h x L → → = = lim ( ) lim ( ) thì x a g x L → = lim ( ) . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Ví d ụ 5: Ch ứ ng minh r ằ ng x x x →∞ = sin lim 0 . Ta có: x x x ≤ ≤ sin 1 0 . Mà x x →∞ = 1 lim 0 nên x x x →∞ = sin lim 0 , hay ta có đ pcm. 5. Một số phương pháp khử dạng vô định: ∞ ∞ ∞−∞ ∞ 0 , , , 1 . 0 + Phân tích đ a th ứ c thành nhân t ử ho ặ c nhân bi ể u th ứ c liên h ợ p để kh ử d ạ ng vô đị nh. + S ử d ụ ng gi ớ i h ạ n k ẹ p + S ử d ụ ng m ộ t s ố gi ớ i h ạ n c ơ b ả n sau: x x x → = 0 sin lim 1 , x x a a x → − = 0 1 lim ln , x x x → + = 0 ln( 1) lim 1 , x a x a e x →∞ + = lim 1 , ( ) x x a a →+∞ = < < lim 0, 0 1 , … Ví d ụ 6: Tìm m n x x x → − − 1 1 lim 1 . Gi ả i: + D ạ ng 0 0 . + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m n n n n n x x x x x x x x x m x n x x x x x − − − − − − − − → → → − + + + + + + − = = = − − + + + + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 1 . Ví d ụ 7: Tìm x x x x → − − − − 3 2 1 2 3 lim 2 + D ạ ng 0 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x → → → → − − − − − − − − − − − − = = − − − − − 3 3 3 2 2 2 2 1 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 2 3 lim lim lim lim 2 2 2 2 + ( ) dang x x x → − − = − 0 3 0 2 1 1 lim 2 + ( ) dang x x x → − − = − 0 0 2 2 3 1 lim 2 . + Vậy x x x x → − − − = + = − 3 2 1 2 3 1 4 lim 1 2 3 3 . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Ví dụ 8: Tìm x x x x →+∞ + + lim 1 Giải: Dạng ∞ ∞ . + x x x x →+∞ + = + lim 1 + KQ: 1. Ví dụ 9: Tìm ( ) x x x x →+∞ + − 2 lim + D ạ ng ∞−∞ + ( ) x x x x →+∞ + − = 2 lim . + KQ: ∞ . Ví d ụ 10: Tìm x x x x x + →+∞ + − 2 2 2 2 1 lim 1 , + D ạ ng ∞ 1 + ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x e e x x →+∞ + − − + + − →+∞ →+∞ + = + = = − − 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 lim 2 2 1 2 2 1 2 lim lim 1 1 1 . Ví d ụ 11: Tìm gi ớ i h ạ n sau x x x x → − − 0 1 cos .cos2 lim 1 cos . + D ạ ng 0 0 . + ( ) x x x x x x x x x → → − + − − = = − − 0 0 1 cos cos2 1 cos2 1 cos .cos2 lim lim 1 cos 1 cos = + KQ: 5. Ví d ụ 12: Tìm gi ớ i h ạ n sau ( ) x x x → 2 1 0 lim cos . + D ạ ng ∞ 1 + Ta có: ( ) x x x = − − = − 2 cos 1 1 cos 1 2sin 2 Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải + ( ) x x x → = 2 1 0 lim cos + KQ: e − 1 2 6. Gi ớ i h ạ n m ộ t phía a. Đị nh ngh ĩ a: Gi ớ i h ạ n c ủ a f(x) khi x a x a → < , (ho ặ c x a x a → > , ) n ế u t ồ n t ạ i g ọ i là gi ớ i h ạ n trái ( ho ặ c gi ớ i h ạ n ph ả i ). Ký hi ệ u x a x a f x f a f x f a − + − + → → = = lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) . Ký hi ệ u khác: x a x a f x f a f x f a → − → + = − = + 0 0 lim ( ) ( 0), lim ( ) ( 0) . b. Đị nh lý: T ồ n t ạ i x a f x L → = lim ( ) khi và ch ỉ khi x a x a x a x a f x f x f x f x L − + − + → → → → ∃ ∃ = = lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) Ví d ụ 13: Xét s ự t ồ n t ạ i c ủ a x x x → 0 lim . Ta có: x x x x x x + + → → = = 0 0 lim lim 1 , x x x x x x − − → → − = =− 0 0 lim lim 1 . V ậ y x x x → 0 lim không t ồ n t ạ i. Ví d ụ 14: N ế u x x f x x x − > = − < 4, 4 ( ) 8 2 , 4 , Xác đị nh s ự t ồ n t ạ i c ủ a ( ) 4 lim x f x → . GI Ả I: Vì ( ) 4 f x x = − v ớ i 4 x > , chúng ta có: ( ) 4 4 lim lim 4 4 4 0 x x f x x + + → → = − = − = Vì ( ) 8 2 f x x = − v ớ i 4 x < , chúng ta có : ( ) ( ) 4 4 lim lim 8 2 8 2.4 0 x x f x x − − → → = − = − = Gi ớ i h ạ n trái và gi ớ i h ạ n ph ả i b ằ ng nhau. Vì v ậ y, gi ớ i h ạ n t ồ n t ạ i và ( ) 4 lim 0 x f x → = . Đồ th ị c ủ a f đượ c ch ỉ ra trong Hình 3. Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải HÌNH 3 7. Vô cùng lớn, vô cùng bé Đị nh ngh ĩ a: Hàm s ố f(x) đượ c g ọ i là vô cùng bé, vi ế t t ắ t là VCB khi x x → 0 n ế u x x f x → = 0 lim ( ) 0 . Hàm s ố f(x) đượ c g ọ i là vô cùng l ớ n, vi ế t t ắ t là VCL khi x x → 0 n ế u x x f x → = +∞ 0 lim ( ) . Chú ý: + x 0 có th ể h ữ u h ạ n ho ặ c vô h ạ n. + x x x x f x f x → → = ∞ ⇔ = 0 0 1 lim ( ) lim 0 ( ) . x f x x = + 1 ( ) (1 ) + Để so sánh t ố c độ d ầ n đế n 0 c ủ a các VCB f(x), g(x) khi cùng x x → 0 thì xét x x f x g x → 0 ( ) lim ( ) . Ta có các tr ườ ng h ợ p sau: ♦ N ế u x x f x g x → = 0 ( ) lim 0 ( ) ta nói r ằ ng f(x) b ậ c cao h ơ n g(x), kí hi ệ u f x o g x x x = → 0 ( ) ( ( )), . ♦ N ế u x x f x C g x → = ≠ 0 ( ) lim 0 ( ) ta nói r ằ ng f(x) cùng b ậ c v ớ i g(x). ♦ N ế u x x f x g x → = 0 ( ) lim 1 ( ) ta nói r ằ ng f(x) t ươ ng đươ ng v ớ i g(x), kí hi ệ u f x g x ( ) ( ) ∼ . M ộ t s ố VCB cùng b ậ c khi x → 0 : x x x x x e x + − sin , ln(1 ) , 1 ∼ ∼ ∼ . ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v× x x x → + = 0 ln(1 ) lim 1 Định lý: N ế u f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x x → 0 . Khi đ ó : x x x x f x f x g x g x → → = 0 0 * * ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) . Ví d ụ 15 : Tính x x e x → − + 2 0 1 lim ln(1 sin3 ) . Ta có: x e − 2 1 ∼ 2x khi x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0 Do đ ó : x x x e x x x → → − = = + 2 0 0 1 2 2 lim lim ln(1 sin3 ) 3 3 . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải 1.3. Tính liên tục của hàm số 1. Đị nh ngh ĩ a Định nghĩa 1 : Hàm s ố f(x) liên t ụ c t ạ i đ i ể m x 0 n ế u x x f x f x → = 0 0 lim ( ) ( ) . Hàm s ố y = f(x) liên t ụ c trên mi ề n D n ế u nó liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m thu ộ c mi ề n D. Chú ý: T ừ đị nh ngh ĩ a 1, ta th ấ y để y = f(x) liên t ụ c t ạ i đ i ể m x 0 c ầ n đế n 3 đ i ề u ki ệ n: 1. x 0 thu ộ c t ậ p xác đị nh c ủ a hàm s ố . 2. T ồ n t ạ i x x f x → 0 lim ( ) . 3. x x f x f x → = 0 0 lim ( ) ( ) Nh ậ n xét: + Các đ a th ứ c, hàm phân th ứ c, hàm h ữ u t ỉ , hàm l ượ ng giác, hàm m ũ , hàm logarit là các hàm s ố liên t ụ c trên mi ề n xác đị nh c ủ a nó. + Hàm s ố y = f(x) liên t ụ c trên (a, b) thì đồ th ị c ủ a nó là m ộ t đườ ng cong tr ơ n trên kho ả ng này (t ứ c là không b ị gãy, không b ị đứ t đ o ạ n). Đị nh ngh ĩ a 2: Hàm s ố f (x) đượ c g ọ i là liên tục phải t ạ i x 0 n ế u ( ) ( ) x x f x f x + → = 0 0 lim . Hàm s ố f (x) đượ c g ọ i là liên tục trái t ạ i x 0 n ế u ( ) ( ) x x f x f x − → = 0 0 lim . Hàm s ố y = f (x) liên t ụ c t ạ i x 0 khi và ch ỉ khi nó v ừ a liên t ụ c trái, v ừ a liên t ụ c ph ả i t ạ i x 0 . Ví d ụ 16: Xét tính liên t ụ c c ủ a hàm s ố ( ) x x x f x x x − − ≠ = − = 2 2 2 2 1 2 + Ta th ấ y hàm s ố liên t ụ c t ạ i m ọ i đ i ể m x ≠ 2 . + Xét t ạ i x = 2. ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x f x x f x x → → → → − + − − = = = + = = − − 2 2 2 2 2 2 1 2 lim lim lim lim 1 3, (2) 1 2 2 Nh ư ng ( ) ( ) x f x f → ≠ 2 lim 2 . Nên f không liên t ụ c t ạ i 2. Ví d ụ 17: Tìm a để hàm s ố sau liên t ụ c trên R ax x x f x x ae x x > = + − ≤ 2 sin2 0 ( ) 1 0 + Hàm s ố liên t ụ c v ớ i m ọ i x ≠ 0 , để hàm s ố liên t ụ c trên R thì nó ph ả i liên t ụ c t ạ i x = 0 . + T ạ i x = 0 ( ) x x x f x x + + → → = = 0 0 sin2 lim lim 2 , ( ) ( ) ax x x f x ae x a f − − → → = + − = − = 2 0 0 lim lim 1 1 (0) Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Để hàm s ố liên t ụ c t ạ i x = 0 thì f f f a a + − = = ⇔ − = ⇔ = (0 ) (0 ) (0) 1 2 3 . Ví d ụ 18: Hàm s ố f(x) không xác đị nh t ạ i x = 0, hãy xác đị nh f(0) để hàm s ố f(x) liên t ụ c t ạ i x = 0 v ớ i : ( ) x f x x = + 1 ( ) 1 2 Gi ả i: Để hàm s ố liên t ụ c t ạ i x = 0 thì x x x f f x x e → → = = + = 1 2 0 0 (0) lim ( ) lim(1 2 ) . 2. Đ i ể m gián đ o ạ n c ủ a hàm s ố Đị nh ngh ĩ a: Hàm s ố f(x) đượ c g ọ i là gián đ o ạ n t ạ i x = a n ế u t ạ i x = a hàm s ố không liên t ụ c. N ế u t ồ n t ạ i f a f a + − ( ), ( ) và f a f a + − ≠ ( ) ( ) thì x = a đượ c g ọ i là đ i ể m gián đ o ạ n lo ạ i 1. N ế u f a f a + − = ( ) ( ) thì x = a đượ c g ọ i là đ i ể m gián đ o ạ n kh ử đượ c. Đ i ể m gián đ o ạ n khác (không ph ả i lo ạ i 1) g ọ i là gián đ o ạ n lo ạ i 2. Ví d ụ 19: Tìm và phân lo ạ i đ i ể m gián đ o ạ n c ủ a các hàm s ố sau: a. x f x x =( ) b. x x f x e − = − 1 1 ( ) 1 Giải : a. Xét t ạ i x = 0 ( ) x f x + → = 0 lim ( ) x f x − → = 0 lim nên x = 0 là gián đ o ạ n lo ạ i 1. b. ♦ T ạ i x = 1. ( ) ( ) x x f x f x + − → → = = 1 1 lim lim nên x = 1 là gián đ o ạ n lo ạ i 1. ♦ T ạ i x = 0. ( ) ( ) x x f x f x + − → → = = 0 0 lim lim nên x = 0 là gián đ o ạ n lo ạ i 2. Ví d ụ 20: Kh ả o sát s ự liên t ụ c c ủ a hàm s ố và tính ch ấ t đ i ể m gián đ o ạ n x x f x x x π ≤ = − > cos 1 2 ( ) 1 1 ( Đ S: x = - 1 là đ i ể m gián đ o ạ n lo ạ i 1) Bài tập về nhà: Trang 87 ( Bài 1 – 19), trang 91 ( bài 18 – 62), 25 trang 251, Trang 278 ( Bài 33 - 43). Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 2 Đạo hàm của hàm số một biến 2.1 Định nghĩa về đạo hàm 1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm s ố y f x = ( ) , đạ o hàm f x '( ) c ủ a hàm s ố f x ( ) là m ộ t hàm m ớ i có giá tr ị t ạ i đ i ể m x đượ c xác đị nh b ở i gi ớ i h ạ n sau (khi gi ớ i h ạ n t ồ n t ạ i): x f x x f x f x x ∆ → +∆ − = ∆ 0 ( ) ( ) '( ) lim . + N ế u gi ớ i h ạ n t ồ n t ạ i v ớ i x = a, thì hàm s ố y = f(x) đượ c g ọ i là kh ả vi t ạ i a. + Hàm kh ả vi là hàm s ố kh ả vi t ạ i m ọ i đ i ể m trong t ậ p xác đị nh c ủ a nó. y = f(x) P ∆x x + x 0 ∆x 0 x y Q f(x + x) - f(x ) 0 0 ∆ ● Chú ý : + f’(x) là độ d ố c c ủ a ti ế p tuy ế n c ủ a đườ ng cong y = f(x) t ạ i P. + Có nhi ề u cách ký hi ệ u khác nhau c ủ a đạ o hàm hàm s ố y f x = ( ) : f x '( ) , y’ , dy dx , df x dx ( ) , d f x dx ( ) . + N ế u y f x = ( ) thì dy dx còn đượ c g ọ i là su ấ t bi ế n đổ i c ủ a y theo x . + N ế u ta mu ố n vi ế t giá tr ị s ố c ủ a đạ o hàm t ạ i m ộ t đ i ể m c ụ th ể x = 3, ta vi ế t : x dy dx = 3 ho ặ c x dy dx = 3 , ho ặ c f’(3) . + x x x ∆ = − 0 nên x x x f x f x f x x f x f x x x x ∆ → → − +∆ − = = ∆ − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) lim lim . 2. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa: ● Bc 1 . Tìm s ố gia f(x + ∆ x) - f(x) và ti ế n hành rút g ọ n ● Bc 2 . Thi ế t l ậ p t ỷ s ố : f x x f x x +∆ − ∆ 0 0 ( ) ( ) ● Bc 3. Tính gi ớ i h ạ n c ủ a t ỷ s ố trên khi ∆ x → 0. N ế u gi ớ i h ạ n đ ó t ồ n t ạ i thì đ ó chính là đạ o hàm c ủ a hàm s ố t ạ i đ i ể m c ầ n tìm : [...]... t i hàm s ngư c π π tan−1 : (−∞, + ∞) → − , 2 2 Chú ý : a = tan−1 b chính là s o c a góc mà tan a = b th c a hàm y = tg – 1x là ư ng m nét hình 9.19 e Hàm ngư c c a hàm cotang : Khi xét cotan : (0, π) → x (−∞, ∞) → y = cot x −1 Tương t : Hàm y = arccot x = (cot) ( x ) 5 a o hàm hàm ngư c nh lý : Cho hàm y = f ( x ) là hàm liên t c, m t – m t trên kho ng (a, b ) Khi ó t n t i hàm ngư... hàm s y = f(x) có o hàm y’ = f’(x) và f’(x) có o hàm thì ta g i o hàm c a f’(x) là o hàm c p hai c a hàm f(x) Kí hi u y” = f”(x) = [f’(x)]’ Tương t ta có o hàm c p n c a hàm y = f(x): y ( n ) ( x ) = y ( n−1) ( x ) ′ Ví d 16: Cho hàm s Ta có: y'= 2 y = e− x Tính y ′′′ y ′′ = ( y ') ' = y ′′′ = ( y ") ' 2 = 4e− x (3 x − 2 x 3 ) 2 Các quy t c l y o hàm c p cao: a V i f, g là các hàm s có o hàm. .. song v i dây cung n i hai i m P và Q, nói cách khác : T n t i ít nh t m t i m c n m gi a a và b (a < c < b) tho mãn i u ki n: f / (c ) = f ( b ) − f (a ) b −a a) nh lý 1 ( nh lý Rolle) N u hàm s f(x) liên t c trên o n [a,b] và kh vi trong kho ng m (a,b) và n u f(a) = f(b) = 0 thì khi ó t n t i ít nh t m t s c n m gi a a và b tho mãn f’(c) = 0 Ý nghĩa hình h c: nh lý này phát bi u r ng n u m t ư ng... y = f ( x ) có hàm s ngư c y = f −1( x ) thì th c a hai hàm s ó s i x ng nhau qua ư ng phân giác th nh t y = x c 4 Hàm ngư c c a m t s hàm sơ c p a) Hàm s : »+ → f: »+ y = f (x) = x x có hàm s ngư c là y = x 2 b) Hàm s ngư c c a hàm y = sin x : N u xét hàm s : sin : [−π / 2, π / 2] → x → [−1,1] y = sin x Khi ó t n t i hàm s ngư c : sin−1 : [−1,1] → y [−π / 2, π / 2] → x = sin−1 y Ký hi u khác : sin−1... u u 'v − v ' u = dx v v2 o hàm hàm h p) Ví d 5 Tính y’ c a hàm s a y = 1+ 1 + x b Gi i: a y ' = x + KQ: 2 2 1+ x 1+ 1+ x b y ' = 2 y = ln sin (ln x ) Bài gi ng Toán 1 + KQ: Ths Lê Th Minh H i cot (ln x ) x 2.2 Hàm n và o hàm hàm n a Hàm n H u h t các hàm ta g p có d ng y = f ( x ) , trong ó y bi u di n tr c ti p (ho c tư ng minh) theo x Ngoài ra y thư ng nh nghĩa là hàm c a x b ng phương trình... trong ó x và y có liên quan v i nhau Khi ó, ta nói phương trình (1) xác nh y như là m t (ho c nhi u) hàm n c a x Ví d 6 + P/trình xy = 1 xác nh m t hàm n c a x mà ta có th vi t m t cách tư ng 1 minh là y = x + P/trình 2x2 - 2xy = 5 - y2 xác y = x + 5−x b 2 nh hai hàm n: y = x − 5 − x2 và o hàm c a hàm n : Ví d 7 (i) Xét p/trình xy = 1 L y x dy +y =0 dx + T phương trình ta có y = +N u o hàm hai v... o hàm tr c ti p y = ho c dy y =− dx x 1 dy y 1 1 1 1 nên: =− =− y =− ⋅ =− 2 x dx x x x x x 1 dy 1 , cũng có =− 2 x dx x (ii) T phương trình x2 + y2 = 25 dy dy x 2 xdx + 2y =0⇔ =− dx dx y o hàm 2 v ta có : 2.3 Hàm ngư c và o hàm hàm ngư c 1 nh nghĩa : Cho hàm s : f:X → Y x → y = f (x) N u tương ng ngư c : Y → X sao cho y → x | y = f ( x ) cũng là m t hàm s thì ta nói r ng hàm s y = f ( x ) có hàm. .. lim =a x →0 x 1 i u này nghĩa là: lim(1+ ax )1/ x = lim y = lim eln y = e a x →0 x →0 x →0 Bài t p v nhà : Trang 133 ( bài 1 - 30), trang 362 ( bài 1 - 25), trang 367 (bài 1 - 44) Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Bài s 4 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC I NGUYÊN HÀM (TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC NH NH) nh nghĩa: Cho hàm s f ( x ) xác nh trong kho ng (a, b) d Hàm s F ( x ) g i là nguyên hàm c a f ( x ) n u tho... a y 0 v i y 0 = f ( x0 ) Gi s o hàm t i x0 và f ( x0 ) ≠ 0 , thì hàm ngư c x = f −1( y ) s có ' 1 t i y 0 và f −1 ( y 0 ) = f ' ( x0 ) y = f ( x ) có o hàm Ví d 9: Hàm s y = f ( x ) = x có hàm ngư c x = f −1( y ) = y 2 Ta có : f '( x ) = 1 2 x , ∀x > 0 ; ' f −1 ( y ) = 2 y = 2 x = 1 1 = 1 , ∀x > 0 f '( x ) 2 x b o hàm hàm lư ng giác ngư c Cho u là hàm kh vi c a x, ta có : d 1 du... n m ngang x Ví d 7 Hàm s : f ( x ) = 2 − x 0 ≤ x ≤1 y 1≤ x ≤ 2 Hàm s này có giá tr b ng 0 t i x = 0 và x = 2, và liên t c trên kho ng óng 0 ≤ x ≤ 2 Hàm s kh vi trong kho ng m 0 < x < 2, tr i m x = 1 vì khi ó o hàm c a nó không t n t i o hàm f’(x) rõ ràng là không b ng 0 t i b t kỳ i m nào trên kho ng ó ây là m t th t b i trong k t lu n c a nh lý Rolle vì th c t là hàm s không kh vi t i . Minh Hải Bài số 1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 1.1. Hàm số một biến số 1. Định nghĩa hàm số Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của R . Tương. 33 - 43). Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 2 Đạo hàm của hàm số một biến 2.1 Định nghĩa về đạo hàm 1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm