TÍNH ĐẠO HÀM

đạo hàm a. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ( ) y f x= liên tục tại 0 x x= , khi đó hàm số ( ) y f x= đợc gọi là có đạo hàm tại điểm 0 x x= nếu tồn tại : ( ) ( ) ( ) 0 0 ' 0 0 lim dat x x f x f x f x x x = b. Ph ơng pháp tính đạo hàm của hàm số ( ) y f x= tại điểm 0 x x= theo định nghĩa : B1. Tính 0 x x x = , gọi là số gia của đối số x B2. Tính ( ) ( ) 0 y f x f x = B3. Tính y x B4. Tính 0 lim x y x , kết luận ( ) 0 0 ' lim x y f x x = c. Đạo hàm một phía + Hàm số ( ) y f x= gọi là có đạo hàm bên trái tại điểm 0 x x= nếu tồn tại : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ' ' 0 0 0 0 lim lim x x x f x f x y f x f x x x x = = + Hàm số ( ) y f x= gọi là có đạo hàm bên phải tại điểm 0 x x= nếu tồn tại : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ' ' 0 0 0 0 lim lim x x x f x f x y f x f x x x x + + + + = = Ta biết rằng điều kiện cần và đủ để tồn tại ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x x x khi và chỉ khi : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x + = + Hàm số ( ) y f x= gọi là có đạo hàm tại điểm 0 x x= nếu : 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x y y x x x x x x + = = Chú ý : + Nếu hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại điểm 0 x x= thì khi đó hàm số ( ) y f x= liên tục tại điểm 0 x x= + Nếu hàm số ( ) y f x= liên tục tại điểm 0 x x= thì khi đó cha thể kết luận rằng hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại điểm 0 x x= + Hàm số ( ) y f x= đợc gọi là có đạo hàm trên đoạn [ ] ;a b nếu thoả mãn các điều kiện sau : - Hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại mọi ( ) ;x a b - Hàm số ( ) y f x= có đạo hàm phải tại điểm x = a - Hàm số ( ) y f x= có đạo hàm trái tại điểm x = b + Hàm số ( ) y f x= không liên tục tại điểm 0 x x= thì hàm số ( ) y f x= không có đạo hàm tại điểm 0 x x= ứng dụng của đạo hàm viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm M trên đồ thị hàm số Dạng I. Cho hàm số ( ) y f x= và điểm ( ) 0 0 0 ;M x y thuộc đồ thị hàm số. Hãy tìm phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm ( ) 0 0 0 ;M x y Giải. + Gọi k là hệ số góc của đờng thẳng tiếp tuyến, khi đó ta có phơng trình ( ) 0 'k f x= + Vậy phơng trình tiếp tuyến cần tìm là ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y= + Dạng II. Cho hàm số ( ) y f x= , hãy viết phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ là 0 x x= Giải + Gọi toạ độ điểm ( ) 0 0 ;M x y , vì M thuộc đồ thị hàm số nên ta có ( ) 0 0 y f x= 2 + Đờng thẳng tiếp tuyến có hệ số góc là ( ) 0 'k f x= + Khi đó phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng : ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y= + Dạng III. Cho hàm số ( ) y f x= , hãy viết phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có tung độ là 0 y y= Giải. + Gọi toạ độ điểm ( ) 0 0 ;M x y , vì M thuộc đồ thị hàm số nên ta có ( ) 0 0 y f x= + Đờng thẳng tiếp tuyến có hệ số góc là ( ) 0 'k f x= + Khi đó phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng : ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y= + Dạng III. Cho hàm số ( ) y f x= , hãy viết phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng d: y kx m= + Giải. + Gọi toạ độ điểm ( ) 0 0 ;M x y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị + Khi đó ta có ( ) 0 'k f x= + Giải phơng trình tìm x 0 + Giải phơng trình ( ) 0 0 y f x= tìm y 0 + Khi đó phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng : ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y= + ( chú ý : phơng trình ( ) 0 'k f x= có bao nhiêu nghiệm thì ta có thể tìm đợc bấy nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số, và nghiệm của phơng trình là hoành độ tiếp điểm ) Dạng VI. Cho hàm số ( ) y f x= , hãy viết phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vông góc với đờng thẳng d: y kx m= + Giải. + Gọi toạ độ điểm ( ) 0 0 ;M x y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị 3 + Khi đó ta có ( ) 0 1 'f x k = + Giải phơng trình tìm x 0 + Giải phơng trình ( ) 0 0 y f x= tìm y 0 + Khi đó phơng trình đờng thẳng tiếp tuyến cần tìm có dạng : ( ) ( ) 0 0 0 'y f x x x y= + ( chú ý : phơng trình ( ) 0 1 'f x k = có bao nhiêu nghiệm thì ta có thể tìm đợc bấy nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số, và nghiệm của phơng trình là hoành độ tiếp điểm ) Các quy tắc tính đạo hàm hàm số I. Kiến thức cơ bản 1, Đạo hàm của một số hàm số th ờng gặp. (Ký hiệu U = U(x)) ( ) C =0 (C là hằng số) (1) ( ) x =1 (2) ( ) n x =n.x n-1 (n N, n 2) (3) x 1 =- 2 1 x (x 0) (4) )( x = x2 1 (x>0) (5) 2. Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)). ( ) U V U V = (6) ( ) UV U V UV = + (7) ( . ) .k U k U = (k là hằng số) (8) 2 . .U U V U V V V = ữ (9) 2 1 'V V V = ữ (10) ( ) sin ' cosx x= (11) ( ) cos ' sinx x= (12) 4 ( ) 2 1 tan 'x cos x = (13) ( ) 2 1 cot ' sin x x = − (14) 3. §¹o hµm cña hµm sè hîp : g(x) = f[U(x)]. ' ' ' . x u x g f u= Khi ®ã ta cã : víi U lµ mét hµm cña gi¸ trÞ x ( ) 1 ' . '. n n U nU U − = (15) ( ) ' ' 2 U U U = (16) ( ) sin ' 'cosU U U= (17) ( ) cos ' 'sinU U U= − (18) ( ) 2 ' tan ' U U cos U = (19) ( ) 2 ' cot ' sin U U U = − (20) ( ) 1 2 1 2 . . n n U U U U U U ′ ′ ′ ′ ± ± ± = ± ± ± (21) II. Mét sè vÝ dô VÝ dô tù luËn VD1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè 1/ y=2x 5 -3x 4 +x 3 - 2 1 x 2 +1 2/ y= 2 1 x 4 - 3 4 x 3 + 4 1 x 2 +3x-2 3/ y=2x 2 (x-3) 4/ y= 1 2 + + m mx víi m lµ tham sè kh¸c -1 VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè 5 1/ y= 1 1 + x 3/ y= 14 13 2 ++ x xx 2/ y= 1 2 + x x 4/ y=(3x-2)(x 2 +1) VD3. Tính đạo hàm của các hàm số 1/ y= x 2 1 x + 2/ y= x (x 2 - x +1) 3/ y= x x + 1 1 VD4. Tính đạo hàm hàm số 1/ y= (2x+3) 10 2/ y= (x 2 +3x-2) 20 3/ y= 22 2 ax x + (a là hằng số) VD5. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C ): y=x 3 -3x+7 1/ Tại điểm A(1;5) 2/ Song song với đờng y=6x+1 VD6. Cho hàm số y= 1 1 2 + ++ x xx Giải bất phơng trình khi 'y 0 Chọn những ph ơng án đúng trong ví dụ sau : VD7. Cho hàm số y= 12 1 + x , khi đó )2('y bằng A. 5 1 B. 5 1 C. 25 1 D. 25 1 VD8: Cho hàm số y= x2 , khi đó )4('y bằng A. 2 2 B. 22 1 C. 2 2 D. 4 2 VD9. Cho hàm số y=(x+1) 5 , khi đó )2(' y bằng A.-5 B.5 C.-1 D.1 VD10. Cho hàm số y=2x- x , khi đó )1('y bằng A. 2 1 B. 2 3 C. 1 D. Không tồn tại VD11. Cho hàm số y= 2 1 + x x , khi đó )1(' y bằng 6 A.0 B.-1 C.- 2 1 D.- 3 1 VD12. Cho hàm số y=2x 3 -3x 2 +3, khi đó phơng trình 'y =0 có nghiệm A. x=0 và x=1 B. x=0 và x=-1 C. x=1 và x=3 D. x=-1 và x=3 VD13. Cho hàm số y= ( ) 2 32 1 + x . Đạo hàm 'y bằng A. ( ) 4 32 4 + x B. ( ) 3 32 1 + x C. ( ) 3 32 2 + x D. ( ) 3 32 4 + x VD14. Cho hàm số y= 12 4 + + x x , đạo hàm 'y bằng A. ( ) 2 12 7 + x B. ( ) 2 12 7 + x C. ( ) 2 12 5 + x D. ( ) 2 12 5 + x VD15. Cho hàm số y= x x 1 2 + , khi đó tập nghiệm của phơng trình 'y >0 là A. S =(- 1; ] [1;+ ) C. S =(- );1()1; + B. S =(- )0; ) [1;+ ) D. S = ( );0()1; + VD16. Cho hàm số y= 14 3 + x x , khi đó bất phơng trình 0' < y có tập nghiệm là: A. S =( + ; 4 1 ) B. S =[ + ; 4 1 ) C. S =[3;+ ) D. S Bài tập. A. Bài tập tự luận. Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số: 1/ y=x 3 -2x 2 +x- x +1 7/ y= xx ++ 43 2/ y= 32 1 + x x 8/ y= ( ) 7 2 3 x 3/ y= 2 22 2 + ++ x xx 9/ y=(x-2) 1 2 + x 4/ y= x x + 1 1 10/ y= ( ) 42 2 2 2 ++ xx 5/ y= 432 2 ++ xx 11/ y= ( ) 11 2 +++ xxx 6/ y= 2 9 x x 12/ y= 12 3 2 + ++ x xx Bài 2. Cho hàm số: y= 123 3 1 23 + mxxx tìm m để 1/ 'y là bình phơng của một nhị thức 7 2/ 0' y Rx 3/ 'y <0 x (0;1) 4/ 'y >0 x >0 Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến của (c ) y=x 3 -3x 2 biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y= x 3 1 Bài 4. Cho đờng cong (c)): y= 3 1 + x x . Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của (c) với trục ox. Biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y =-x+1 B.Chọn ph ơng án đúng trong các bài tập sau: Bài 4. Cho hàm số y = x2 1 , )1(y bằng A. 2 1 B. 2 1 C. 1 D. - 1 Bài 5. Cho biết hàm số y = 1 12 + x x , )1( y bằng A. 4 3 B. 4 3 C. 2 1 D. 2 1 Bài 6. Cho hàm số y = 1 + x , )2(y bằng Bài 7. Cho hàm số y =(1-3x) 6 , )0(y bằng A. 1 B. -1 C. 18 D. - 18 Bài 8. Cho hàm số y = 12 2 + x , Khi đó tập nghiệm của bất phơng trình 0 y là: A. S =IR B. S =[0; ) + C. S =(0; ) + D. S = Bài 9. Cho hàm số f(x)= x 2 +3x-1 và g(x) = 2x-3. Bất phơng trình )()( xgxf có tập nghiệm là: A. S = B. S = ); 2 1 ( + C. S = ); 2 1 [ + D. S = Bài 10. Hàm số y= 4 32 + x x có A. 2 )4( 11 + = x y B. 2 )4( 11 + = x y C. 2 )4( 5 + = x y D. 2 )4( 5 + = x y Bài 11. Hàm số y = xx có A. x y 2 1 = B. xy += 1 C. x y 2 3 = D. 2 3 x y = Bài 12. Hàm số y = x 3 +2x 2 -mx+1 có > xy 0 IR, khi đó tập các giá trị của m là: A. T= ] 3 4 ;( B. T= ( 3 4 ; ) C. T = ( ]1; D. T= ( 1; ) Bài 13. Hàm số y = 2 x mx có }2{\0 IRxy < Khi đó tập các giá trị của m là: A. 3 B. - 3 C. 32 1 D. - 32 1 8 A. T= ); 2 1 ( +∞ − B. T= ( 2 1 ; − ∞− ) C. T = ( )0; ∞− D. T= ( ]0; ∞− Bµi 14. Hµm sè y = (2x+3) 10 cã A. 9 )32(10 += ′ xy B. 10 )32(10 += ′ xy C. 9 )32(20 += ′ xy D. 10 )32(20 += ′ xy Bµi 15. Hµm sè y = 53 2 +− xx cã A. 53 2 2 +− = ′ xx x y B. 532 32 2 +− − = ′ xx x y C. 53 2 +− −= ′ xx x y D. 53 32 2 +− − = ′ xx x y 9 . x 4 - 3 4 x 3 + 4 1 x 2 +3x-2 3/ y=2x 2 (x-3) 4/ y= 1 2 + + m mx víi m lµ tham sè kh¸c -1 VD2. TÝnh ®¹o hµm c¸c hµm sè 5 1/ y= 1 1 + x 3/ y= 14 13 2