Phương pháp ẩn phụ giải một số PTHPT

Một số lưu ý. • Bạn cần thành thạo các kỹ năng như phân tích đa thức thành nhân tử, nhẩm nghiệm của đa thức, phương trình hay lược đồ Horner,… • Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình, hệ phương trình quen thuộc như bậc nhất, bậc hai, đối xứng loại 1, loại 2 hay các phương trình chứa căn, trị tuyệt đối cơ bản. • Các bài toán được sắp xếp để thuận tiện trình bày hướng tư duy, không sắp xếp theo mức độ từ dễ đến khó. • Tài liệu tập trung vào phương pháp ẩn phụ và các phương pháp truyền thống như phương pháp thế, cộng hay bình phương hai vế; không đề cập các phương pháp khác như liên hợp, hàm số, ứng dụng casio hay đánh giá. • Ngoài các lời giải đúng, tài liệu còn trình bày một số cách làm, hướng đi... không ra kết quả.

Phương pháp ẩn phụ số phương trình, hệ phương trình Một số lưu ý  Bạn cần thành thạo kỹ phân tích đa thức thành nhân tử, nhẩm nghiệm đa thức, phương trình hay lược đồ Horner,…  Tài liệu không nhắc lại cách giải phương trình, hệ phương trình quen thuộc bậc nhất, bậc hai, đối xứng loại 1, loại hay phương trình chứa căn, trị tuyệt đối  Các toán xếp để thuận tiện trình bày hướng tư duy, không xếp theo mức độ từ dễ đến khó  Tài liệu tập trung vào phương pháp ẩn phụ phương pháp truyền thống phương pháp thế, cộng hay bình phương hai vế; không đề cập phương pháp khác liên hợp, hàm số, ứng dụng casio hay đánh giá  Ngoài lời giải đúng, tài liệu trình bày số cách làm, hướng không kết Phần I Một số toán mẫu Câu Giải phương trình x  x  10  81 x  x 1  x 1 Hướng dẫn Nhận thấy phương trình chứa đại lượng thức x  , nên nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để triệt tiêu thức khỏi phương trình x   t   x  t   Phương trình trở thành Cụ thể, đặt t      t   10  81 81  2t  t  6t  2t   0 t  2t   t  1 Câu hỏi đặt là, có nên quy đồng để đưa bậc hay không? Nhẩm nghiệm thủ công sử dụng máy tính, nhận nghiệm nguyên t  , (không chắn) xử lí phương trình bậc cao quy đồng Ta thử!   Pt  t  6t  2t   t  1  81   t  2t  5t  14t  7t  4t  84  Như nhận định phương trình có nghiệm t  , ta sử dụng lược đồ Horner để phân tích   pt   t   t  4t  3t  8t  23t  42  Vẫn theo cách thủ công dùng máy tính, nhận thấy đa thức ngoặc thứ hai có nghiệm t  , tiếp tục tách pt   t   t    t  6t  15t  22t  21  t  2   t    t  6t  15t  22t  21    t  6t  15t  22t  21  Tới đây, cần để ý điều kiện t  thấy trường hợp vô nghiệm, thu nghiệm t  x    x  Như vậy, ta hoàn thiện toán theo phương pháp x  x  10  81  x  1, dk : x  x  x 1 Đặt t  x 1   x  t2 1, ta được: t    81 81  2t  t  6t    2t t  2t  t  2t  81  t  6t  2t     t  6t  2t  t  2t   81  t  2t  2   t   10        t  2t  5t  14t  7t  4t  84    t   t  6t  15t  22t  21   t  t2 x    x    x   tm  Vậy phương trình có nghiệm x    x  y  x  x  2y 1  Câu Giải hệ phương trình    x  x  y  17 Hướng dẫn Không khó để nhận thấy  x  y  x    x  y  1   x  x  y   1, nên nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ   x  yx a0 Cụ thể, đặt   a  b2   x  x  y    x  x  y  a  b2    x  2y 1  b  a  b  a  b   Hệ phương trình trở thành  2 a  b   17 a  b  18 Đây hệ đối xứng loại 1, giải a  b    x2  y  x   x2  x  y   x  yx a3   Thay lại biến  hệ gồm x  2y 1  x  2y  x  y   b      phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai giải phương pháp Lời giải hoàn thiện    x  y  x  x  2y 1   x  y  x  x  2y 1      x  x  y  17    x  y  x   x  y  1  18    a  x  y  x ; a , b  , hệ trở thành: Đặt   b  x  y   a  b  a  b  a  b  a  b      a  b  (tm)   2 36  ab  18 ab  a  b  ab  18      a  b  18  Thay lại biến, ta có : 2 x  x  10   x  2, y    x2  y  x  a  x  y  x        8 x  x   , y  21 x  y   y  b  x  y          21  Vậy, hệ có nghiệm  2;3 ;   ;   4 Câu Giải phương trình x2  x   x2  x   x  Hướng dẫn Tương tự số 2, thấy  x2  x     x  x  1  x    x    a  b2 a  x  x    a  b2   x    x   Do đó, đặt  2  b  x  x   Phương trình trở thành a  b   a  b   a  b  VN  a  b2   a b  2 a  b  Thu a  b   x  x   x  x   Nhận thấy hệ số x hai thức nhau, nên phương trình giải cách bình phương thông thường (hệ số triệt tiêu x bình phương) Cụ thể, pt  x2  x   x2  x    x2  x   x2  x   x2  x   x   x2  x   x   2 x2  x  Ta thu phương trình chứa dạng f  x   g  x  Đi đến lời giải hoàn thiện x2  x   x2  x   x   a  b2 a  x  x    a  b2   x    x   Đặt  2  b  x  x   pt  a  b  a  b  a  b  a  b   2  a  x  x    a  b    VN   b  x  x      2x2  x   2x2  x    ab  2 1   x  x   x  x    x2  x   2x2  x   x2  x   x   x2  x   x  2  x  2  x   2 x2  x      2 7 x  x   x    x  x   Vậy phương trình có nghiệm x  0; x  Câu Giải phương trình  x    tm   x  8  x2  x   x2  x    x   3  x Hướng dẫn Trước hết ta có pt  x  x   x  x   x2  , x0 x Giống hai toán trước, nhận thấy  x  x     x  x  3  x  , nên ta   2x  x   a   x2   a  b bắt đầu việc đặt ẩn phụ Cụ thể, đặt    x  x3 b  Phương trình trở thành a  b   a  b2 x   a  b  VN     x   a  b  a  b  x Tới có hai lựa chọn: đưa a, b trở lại biến ban đầu để thu phương trình với x ; làm ngược lại, biểu diễn x theo a, b để thu phương trình hệ khác Ta thử theo hướng thứ trước (vì dễ hơn)  a  b   x  2 x2  x   x2  x   x  2 x2  x   x  x2  x  Cách truyền thống với dạng phương trình chứa này, dĩ nhiên, bình phương lần Trong trình đó, cần giải hai vấn đề 1) VP  x  x  x  không rõ âm hay dương nên bình phương trực tiếp  Theo lý thuyết, cần đặt điều kiện VP  x  x  x   trước bình phương Tất nhiên giải BPT điều kiện trên, bạn có đủ kiên nhẫn nghĩ cách hay hơn!  Cách thứ 2, thay giải BPT dài dòng trên, ta tạm bỏ qua điều kiện bình phương; phương trình thu hệ quả, phương trình tương đương Do sau nghiệm cuối cùng, cần thay lại nghiệm vào phương trình (hoặc điều kiện) để loại bỏ nghiệm ngoại lai Đọc qua dài, chắn ngắn đơn giản so với cách truyền thống Cụ thể,    2x2  x   x  x2  x   x2  x   x  x2  x    Cách thứ (không phải làm được), thử tìm điều kiện cho VP, cho biến x (là thành phần chưa xác định dấu) Để ý từ đề chút, xét t2 1 3 x2   thấy VP   x    , tương tự dạng biểu thức t   Dễ thấy x x t t  VP   x  VP   x  Mà VT   VP  VT   x  Do đó, VP  x  x  x   nên ta bình phương trực tiếp với điều kiện x  thay BPT điều kiện VP  x  x  x   dài dòng Như vậy, vấn đề thứ giải triệt để:     2 x2  x   x  x2  x   x2  x   x  x2  x  , x   x  x  24  x  x  12  x x  x   3x  12  x x  x  2) Nhận thấy ngay, bình phương tiếp, nhận phương trình bậc tổng quát Vấn đề xuất x không triệt tiêu sau bình phương lần thứ số Dù vậy, thử không tìm phương án tốt 3x  12  x x  x   x  72 x  144  16 x  16 x3  48 x  x  16 x3  24 x  144  Sử dụng máy tính nhẩm nghiệm thủ công nghiệm x  nên tách x  pt   x   x3  30 x  36 x  72    7 x  30 x  36 x  72    Điều kiện x  lần thực hữu dụng với điều kiện này, trường hợp x3  30 x2  36 x  72  vô nghiệm nên nghiệm x  Bài toán giải hoàn toàn  a  x  x   Trở lại với phương trình  a  b   x , với  b  x  x     Ta theo hướng thứ 2, biến đổi x theo a, b để thu phương trình hệ   2   a  x  x   a  x  x   x   x Từ cách đặt ẩn ta có   2 2 b  x  x   b  x  x   x   x     Với cách biểu diễn này, ta nghĩ đến việc triệt tiêu cụm x  thu x  2b2  a Phương trình trở thành  a  b   2b2  a  a  2a  2b2  2b  Tuy nhiên phương trình ẩn nhân tử chung, nên phương án này… fail Đi đến lời giải hoàn thiện  x2  x   x2  x    x   pt  x  x   x  x   2 pt  a  b   a  b2 x 3  , dk : x  x  x2  x  ;Đặt a  x2  x    a2  b2  x    b  x  x     a  b  VN    a  b 1  x a  b  x  2 x  x   x  x   x  2 x  x   x  x  x  Từ đề ta có VP    x2  x    VT   x   x   x  x   ,  pt  x  x   x  x  x   x x  x   3x  12  x x  x    3x  12      36 x  72    x    x   16 x x  x   x  16 x  24 x  144    x   x3  30 x  0, x  Vậy phương trình có nghiệm x  2 x3    y  x  3xy  18   Câu Giải hệ phương trình    x  x  y  7 Hướng dẫn Hệ gồm hai phương trình dạng đa thức không chứa ; hai phương pháp dễ liên tưởng trực tiếp ẩn phụ để thu gọn phương trình Nhìn thấy ta y   x2  x  từ phương trình lên phương trình 1, dẫn đến phương trình bậc 4, có lẽ phương án tối ưu Ta thử phương án đặt ẩn phụ trước, bắt đầu việc khai triển phương trình (do phương trình phân tích thành nhân tử) Cụ thể, 1  x3  x2  x2 y  3xy  18  , không khó để phân tích 1  x2  x  3  xy  x  3  18   x  3  2x2  xy   18 Chắc chắn việc ta nghĩ đến biến đối phương trình theo ẩn  2x  x  3   xy Nhưng bạn thấy vấn đề, phương trình nhân tử xy mà lại có y nên việc làm xuất ẩn  2x  xy  triệt tiêu ẩn y phức tạp Để xử lí vấn đề này, quay lại phương trình phân tích thêm chút, ta có 1   x  3 x. x  y   18   x2  3x   x  y   18 Việc biến đối phương trình theo ẩn x  3x 2x  y dễ hợp lí      x  3x  x  y   18  Cụ thể,     x  3x    x  y   7 , hay hpt     x  3x   x  y   7  x  3x   x  3x  9 Đây hệ đối xứng loại 1, giải   hệ  y  x  9  y  2x  phương trình Đi đến lời giải hoàn thiện theo phương pháp 2 x3    y  x  3xy  18  2 x3  x  x y  3xy  18    x  3x  x  y  7  x  x  y  7             2 x x  3x  y x  3x  18  x  3x  x  y   18  x  3x  y  x   18       2  x  3x   x  y   7  x  3x   x  y   7  x  3x   y  x   7     Như vậy, x  3x  y  x  nghiệm phương trình: t  ; Ta TH: t  7t  18    t       17 x  y  12  17   x  3x   x  3x    TH 1:       17  y  x  9  y  2x   y  12  17 x   2  x  3x  9  x  3x   TH 2:  VN    y  2x   y  2x     17     17  Vậy hệ có nghiệm  ;12  17 ;  ;12  17  2    Với nghiệm lẻ việc y   x2  x  từ phương trình thứ lên phương trình chắn phương án tệ hại ! (Tất nhiên bạn thử muốn!)  xy  x   y Câu Giải hệ phương trình  2  x y  xy   13 y Hướng dẫn Với hai phương trình này, chắn không nghĩ đến việc rút x  y 1 x 1 hay y  để y 1 7x xuống phương trình 2, trừ bạn không nghĩ cách khác! Một phương án khác biến đổi phương trình theo xy  (vì ẩn có phương   xy   y  x trình) Cụ thể, hpt   2   xy  1  xy  13 y Dĩ nhiên 7 y  x ta xy   y  x xuống phương trình 2,  xy  13 y2  x2  15 xy  36 y2  phương trình đẳng cấp bậc Cụ thể, x  3y x  15 xy  36 y    x  y  x  12 y      x  12 y Đi đến lời giải hoàn thiện  xy  x   y  xy   y  x  xy   y  x    2  2 2  xy  1  xy  13 y  x y  xy   13 y  x  15 xy  36 y   x  y   xy   y  x  3 y   y  xy   y  x     x  y   x  12 y    x  y  x  12 y     x  12 y    12 y   5 y VN    y  1; x   y  1;x 1   1 Hệ có nghiệm  3;1 , 1;   3 Ngoài ra, để ý tới hệ số bậc hai phương trình, ta nghĩ đến việc triệt tiêu ẩn y hai phương trình thu  x  x     x   y y   hpt   ,y 0   x  x   13    x  y y2  Tất nhiên ta có ẩn phụ a  x  1 x   y y 1 x    13 y y a  b  x ; b  hpt   giải dễ dàng y y a  b  13 Ta có lời giải hoàn thiện theo phương pháp  x  x     x    xy  x   y y y    , y    2    x y  xy   13 y  x  x   13    x  y y2  Đặt a  x  1 x   y y 1 x    13 y y a  b   a  4; b  x ; b  hpt    y y  a  5; b  12 a  b  13   x  3; y  a  x  y    Với  ; Với  x x  1; y  b   3   y  a  x  y  5  xy   5 y   VN   x x  12 y  b   12  y  1 Hệ có nghiệm  3;1 , 1;   3 10 Câu Giải phương trình x  x    x  1 x  x  Hướng dẫn Phương án dễ nghĩ đến : Bình phương Tuy nhiên, gặp vấn đề tương tự số 4: Không xác định dấu hai vế Bạn chọn cách bỏ qua điều kiện, bình phương trực tiếp thử lại sau có nghiệm cuối Cụ thể,   pt  x  x    x  1 2 x   x   3x  17 x  x   Vấn đề tiếp theo, phương trình bậc tổng quát nghiệm nguyên! Một cách thủ công nhất, giả sử phân tích 3x4  17 x  x     x  ax  b  3x  cx  d  , phương pháp đồng thức tìm a  2; b  1; c  6; d  2 Bạn sử dụng hỗ trợ máy tính để tìm nhân tử x2  x  3x2  6x  sử dụng phép chia đa thức để tách  x  1   3x  17 x  x    x  x  3x  x      15  x     Kiên nhẫn thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu kiểm tra, bạn kết cuối x  1  x   15 Lời giải hoàn thiện pt   x  x  1   x  1 2 x  x  3   3x  17 x  x     x  x  1 3x  x     x  1   x2  x      x   15 3x  x   Thay lại nghiệm kiểm tra, ta x  1  x   15 Nhìn vào trình tách phương trình bậc công đoạn thử lại nghiệm rườm rà, có lẽ bạn muốn tìm cách làm hay hơn? 11 Cũng giống trường hợp có thức số 2, 4, liên tưởng đến việc sử dụng a  x  x   ẩn phụ, dĩ nhiên thành phần VP Cụ thể,  b  x  Câu hỏi đặt làm để biểu diễn  x  x  1 theo a b ?  a  x  x  a  x  x   Trước hết có  , đại lượng ta có  x , x  đủ để  b  x  b  x   biểu diễn  x  x  1 (nếu có thể) Giả sử x2  x   m  x  x  3  n  x  1  p Bằng phương pháp đồng thức, nhận m  1; n  2; p  4  x2  x   a  2b  Lưu ý :Có thể có nhiều cách biểu diễn khác nhau, cách đến kết quả! a  Khi đó, pt  a  2b   ab  a   ab  2b   a   b  x2  2x     x2  x      x  Thay lại biến, ta  nhân tử   x  x    x    3x  x   phương pháp bình phương, ta có điều kiện để loại nghiệm mà không cần phải thay lại phương trình ban đầu Đi đến lời giải hoàn thiện: x  x    x  1 x  x   a  x  x    x  x   a  2b  , phương trình trở thành Đặt   b  x  a  x2  x   a  2b   ab  a   ab  2b    a   b  x  x    x   x  1    x  2x       x   15  x   x  x   x    3x  x   12 Vậy phương trình có nghiệm x  1  2; x  Câu Giải phương trình   15   x   x  1  x2  2x   Hướng dẫn Dễ thấy x  x    x  1 x  3 nên bạn nghĩ đến việc đặt ẩn phụ dạng tổng tích thường thấy phương trình, hệ phương trình đối xứng Cụ thể, đặt t  x   x    t  x  x  x  Vấn đề đại lượng x  x  lượng 2x phương trình Nói cách khác, không biến đổi hoàn toàn phương trình theo ẩn t  x   x  Phương án này… fail! Một cách tiếp cận khác sử dụng ẩn phụ thức VT Cụ thể,  a  x    x  x   ab , thu   b  x   pt   a  b 1  ab   không giống trước, ta nhân tử chung từ phương trình Với trường hợp này, cần xây dựng thêm phương trình mà thông thường biểu thức liên hệ a b không phụ thuộc vào biến x Đối với thức toán này, dễ dàng thấy a  b2  Điều đặc biệt phương trình lại có VP   a2  b2 nên pt   a  b 1  ab   a  b2 a  b   a  b   a  1  ab  a  b   a  b 1  a     b  Đi đến lời giải hoàn thiện sau    x   x  1  x  x   , dk : x  13  a  x     x  x   ab Đặt  pt   a  b 1  ab   a  b2  2  a  b  b  x     x   x  VN  a  b   a  b     a    x    x  2  loai   ab  a  b   a  b 1  a      b   x    x  Vậy phương trình có nghiệm x  Câu Giải phương trình 5x2  14 x   x2  x  20  x  Hướng dẫn Phương án dễ thấy nhất: Bình phương Tuy nhiên trước đó, muốn thử phương án ẩn phụ trước tương tự toán trước Cụ thể, 2  a  x  14 x    a  x  14 x  Đặt   2 b  x  x  20   b  x  x  20  Lẽ dĩ nhiên phải biểu diễn x  theo a b Để có nhân tử x  cần triệt tiêu x , nên phương án a  5b2   5x2  14 x     x2  x  20   19 x  109 Có vẻ không hợp lí lắm! Thêm chút kiên nhẫn, biến đổi thành a  5b2  19  x  1  90  x   a  5b2  90 a  5b  90 pt  a  b  19 19 Đối với phương án đến đây… fail Không tìm cách khác, ta quay lại với phương pháp truyền thống: Bình phương Cụ thể, pt  5x2  14 x   x2  x  20  x  1, dk : x   x  14 x   x  24 x   10 x  x  20 x   x  10 x   10 x  x  20 x   x  x   x Từ kinh nghiệm số 7, thử đặt ẩn thay bình phương lần 2 a  x  x  20 a  x  x  20  Cụ thể, đặt  b  x  b  x  14   x  20  x  1 Giả sử   x  5x   ma  nb2  m x  x  20  n  x  1  c  mx   m  n  x  20m  n  c , m  m     n  3  x  x   2a  3b2  45 nên Khi đó, ta cần m  n  20m  n  c  c  45   pt  2a  3b2  45  5ab Điều tệ hại phương trình không dạng đẳng cấp, không phân tích thành nhân tử Nói đơn giản, cách này…fail! Chưa muốn quay lại việc bình phương, thử lần nhận thấy biến đổi VP  x  x  20  x  1    x  4 x  5 x  1  VP  x  x  20  x  1  x   x  4 x  5 x  1   x    x  x  5   5x   x  5 Lặp lại trình thiết lập ẩn cho cách trên, tìm cách hợp lí sau: x2  5x   x   x  20  x  1  x  x  4 x  5 x  1    4x   x  4  a  x  x    x  5x   2a  3b thu pt  2a  3b2  5ab Đặt   b  x   phương trình đẳng cấp bậc Đi đến lời giải hoàn thiện theo phương pháp : x  14 x   x  x  20  x  1, dk : x   x  14 x   x  x  20  x     x  14 x   x  x  20  10  x  10 x   10  x  1  x  x  10   25  x  1  x  1 x  5 x    x  x   x   4x   x  4  a  x  x    x  5x   2a  3b , phương trình trở thành Đặt   b  x   a  b 2a  3b2  5ab   a  b  2a  3b      2a  3b 15 Với a  b  x  x   x   x  x    x   61 Với 2a  3b  x2  x   x   x  25x  56   x  Vậy phương trình có nghiệm x  8, x   61 Nếu cảm thấy phức tạp, hay phiền toái phải thử nhiều lần để tìm ẩn phụ trên, dĩ nhiên bạn sử dụng việc bình phương từ đầu Lời giải sau : x  14 x   x  x  20  x  1; dk : x   x  14 x   x  x  20  x   x  14 x   x  24 x   10 x  x  20 x   x  10 x   10 x  x  20 x   x  x     x2  5x    x   x  20  x  1   25 x  x  20  x  1  x  45 x  33 x  505 x  504   x     x   x   x  x     x     x   61    Đối chiếu điều kiện, ta x  8; x   61 Lưu ý : Bước tách phương trình bậc bậc thực việc nhẩm nghiệm thủ công (được x  ), sử dụng phương pháp đồng thức trình bày số 7, sử dụng máy tính để tìm nhân tử x2  5x  x2  25x  56  Câu 10 Giải phương trình x 1  x 1  x Hướng dẫn Nhìn thức bậc 3, nghĩ đến đặt ẩn phụ để khử Tương tự số 8, đặt a  x  a3  b3  x  , thu  3 a  b  b  x     16 a  b  a  b3 pt  a  b  2 2   a  ab  b  Thay lại biến,           x 1   x 1  x      a  b   3ab       x   x   3 x2  1  Thay khai triển cụm bình phương với bậc (tạo số mũ dụng phương trình đề để có không xử lí được), sử x   x   x (cũng lí bước biến đổi a  ab  b2   a  b   3ab mà không thay lại biến trực tiếp) Thu được,      x    x2  2  2 3   3 x2  1  x   3 x2     3 x2      x  1  3 2  2     x   x   27 x  Tới chắn bạn giải tiếp dễ dàng! Đi đến lời giải hoàn thiện 3 3  a  x   a  b  x x   x   x ; Đặt   3 , phương trình trở thành:  a  b   b  x     a  b  x    x   x   a  b  a  b2  ab a  b3 ab  2   a  b  ab 2   a  b  ab    a  b  ab      2  3 x 1      a  b   3ab    x    x       x     2 3 2 3  3 x   x2   x   x   x   27 x     x   27   x2    x 1       2      x  1  x  1   27   3 23   23  x  1  x   2   23 Vậy phương trình có nghiệm x  0, x  1, x   Câu 11 Giải phương trình 7x      2x   17   2 Hướng dẫn Phương trình chứa thức bậc khác khau nên định hướng ẩn phụ rõ ràng  a  x  toán trước Cụ thể, đặt  pt  a    b  1  a  b2  2b  b  x   Dĩ nhiên phương trình giải được, nên giống số 8, ta cần thiết lập phương trình Bằng cách khử ẩn x biến a b, ta có a  x  a  x     a  b  2b ,   a  b   pt       2a  7b  9 b  x   b  x  Dạng hai phương trình gợi cho ta ngày việc a  b2  2b xuống phương trình thứ (vấn đề bậc thu cao) Ta thử !   pt  b2  2b  7b2  9  2b6  12b5  24b4  16b3  7b2   Khá may mắn, nhẩm nghiệm thủ công dùng máy tính ta tìm nghiệm nguyên b  1; b  nên tách   pt   b  1 b  3 2b4  4b3  2b2  4b   , vấn đề lại phương trình 2b4  4b3  2b2  4b   Dựa kinh nghiệm, dự đoán máy tính hỗ trợ, bạn thấy phương trình nghiệm dương (không có nghiệm thỏa b  ) Nói cách khác, cần chứng minh phương trình vô nghiệm Tinh ý chút, kết hợp điều kiện b  , thấy    2b4  4b3  2b2  4b   b4  2b3  b2  4b   b2  b   4b   Vấn đề giải ! Ta đến lời giải hoàn thiện 7x      x   , dk : x  ; Đặt 2  a  x   2a3  7b  9   b  x   a  b  2b  a    b  1  pt    2 3 2 a  b      2 b  2b  7b  9  2b  12b  24b  16b  7b         b  1 b  3 2b  4b3  2b  4b   18 Do b   2b4  4b3  2b2  4b    b2  b   4b   nên b  x   x  pt   b  1 b  3      tm  x  b  x   Vậy phương trình có nghiệm x  1; x   x  y  xy   3x  Câu 12 Giải hệ phương trình  x 4 x x  3x  6x 1          y y4  y  y  y  Hướng dẫn Ấn tượng hệ to khó xử lí !!!  x 2  x   x x x Nhìn kĩ hệ chút, thấy cụm                có khả  y   y    y y y ẩn phụ Điều gợi đến kĩ thuật sử dụng số : chia vế phương trình cho y  để tạo đại lượng x Cụ thể, y  x   x   x x x x 1                    y y y  y   y    y  y y x x Với kết này, chắn ẩn phụ a       , y   y  y x  a   y  y  hpt   Bước nghĩ đến khai triển phần lại a   3x    x  y2 y4 phương trình nhìn rắc rối nhất! Cụ thể,    a  x x     , kết hợp với đại lượng  từ phương trình y y y y y     x x  x  1, thấy    a     1      1    1 y y y y y y  y   19 Với biến đổi này, nhận thấy ẩn phụ thứ b   , y2 x x   a  b  y  a  b   y   hpt    a  b  3b x  a  b  a  b   3b x    y y2   Ở bạn đặt thêm ẩn phụ thứ c  (đặt ẩn phụ không hoàn toàn) a  b   2  x , nhiên để nguyên dạng y2 x xuống phương trình 2, y2 a  x x 3ax a  b  b       x  y2 y2 y2  Tới chắn phần lại không khó ! Ta đến lời giải hoàn thiện  x  y  xy   3x   x  x x  3x  x ; dk : y  1          y y4  y  y  y   x 2 x  x 2 x x x             y y y y y y y  y       2   x x  x    x  x x x x    y    y    y   y  y   y  y   y   y    y  y    y   y                 x 2 x   x     1    y y  y  y     2    x  x  x   y   y       y  y         1    y    x x Đặt a     , b    , ta được: y y  y x  x x   a  b  y a  b  y a  b  y       a  b  3b x a  b a  b   3b x  a  b .3 x  3b x   3a x   a  2 x     y y y2 y2 y2     Với x  , phương trình (1) trở thành: y   (VN) 20 x  y   x  0VN  x x Với a         , phương trình (1) trở thành: y x  y  y 1 x  y  x   y  x  x  x   3x  x  3x     x   y  Vậy, hệ có nghiệm 1;1, 2;2 21 Phần II Bài tập rèn luyện Câu 13 Giải phương trình x2  x  20  3x  10 Đáp án: x  3 Câu 14 Giải phương trình x  x  2 x  Đáp án: x   Câu 15 Giải phương trình x  3x    13x 11  73 15  97 ; x 8 x 0 Đáp án: x  Câu 16 Giải hệ phương trình x  16 x3  31x  x    x  1 Đáp án: x  1; x   Câu 17 Giải phương trình   x2 2x  2  x  Đáp án: x  1; x   Câu 18 Giải phương trình x  x  1  x   x Đáp án: x  1  ; x  2  2 Câu 19 Giải phương trình x3   x  Đáp án: x  1, x  1  Câu 20 Giải phương trình 3x    x  Đáp án: x  2 Câu 21 Giải phương trình 24  x  12  x  Đáp án: x  88; x  24; x   x  x   x  y    Câu 22 Giải hệ phương trình   x  4x  y  Đáp án: 1;1 ,  3;9  2   x  y  3x  y  Câu 23 Giải hệ phương trình  2  3x  y  x  y    13    13  Đáp án:  ;0 , ;        2       x  y  xy 1  x    Câu 24 Giải hệ phương trình   x  y  x3 y  xy  xy    3  Đáp án: 1;   2   xy  3x  y  16 Câu 25 Giải hệ phương trình  2  x  y  x  y  33 22   Đáp án: 3  3; 2  , 3  3; 2  x  x y  x y   Câu 26 Giải hệ phương trình    x y  x  xy  1  Đáp án: 1;0  ,  1;0  3  1  x y  19 x Câu 27 Giải hệ phương trình  2   y  xy  6 x   1  Đáp án:   ;3  ,  ; 2    3   1  Câu 28 Giải phương trình  x  3x   x  x    12 x  4  Đáp án: x   x   y  y  x  y Câu 29 Giải hệ phương trình    x   y  x  2  y  3 2 5  ;x  2  Đáp án: 1;  ,  2;5  xy  x   x  x  x   Câu 30 Giải hệ phương trình   xy  x   x xy    Câu 31 Giải phương trình    7 Đáp án:  3;   3  x   x   4 x2   8x Đáp án: x  Câu 32 Giải phương trình x2 2 2x    145 288 x3 1  Đáp án: x  1; x  Câu 33 Giải phương trình  x  1 x  x   x  Đáp án: x   Câu 34 Giải phương trình  x2   1   4x  x x  Đáp án: x  Câu 35 Giải phương trình 8x  8x   8x x  3x  2 Đáp án: x    1  3 ;x  4 2 2 2   x  3xy  y  x  xy  y  3x  xy  y Câu 36 Giải hệ phương trình  2  3x  10 xy  34 y  47 Câu 37 Giải phương trình   x3  x  x    x  1 x3  x  x   x  x  23 Đáp án: x   2 xy  y  x  y  Câu 38 Giải hệ phương trình    x   y     Câu 39 Giải phương trình x3   x  x  x  Đáp án:  5;0   Đáp án: x  1; x   Câu 40 Giải phương trình 2x    x    x  x2    x  x   x  1 Đáp án: x   x  y  1 xy  y  y  3x  y    Câu 41 Giải hệ phương trình  x   y  x   x2  x  y         13 17  Đáp án:  ;  4 8 Câu 42 Giải hệ phương trình 3 2   y  y  x 3x  12 x x   x  x  3x  x   x  x  1   2  x  y   6x  y   Đáp án: x  1; x     89  x2  y  x4  x2  y3  y y  x  x  Câu 43 Giải hệ phương trình   x  x3  x   x  y  1  1   ;3  1 Đáp án:  0;1 , 1;  ,      24 [...]... Vậy phương trình có các nghiệm x  0, x  1, x   Câu 11 Giải phương trình 3 7x  8  1    2x  1  1 17 2   2 3 2 Hướng dẫn Phương trình chứa 2 căn thức bậc khác khau nên định hướng 2 ẩn phụ còn rõ ràng hơn bài 3  2 a  7 x  8 toán trước Cụ thể, đặt  thì pt  a  1   b  1  a  b2  2b  b  2 x  1  0 Dĩ nhiên chỉ một phương trình này thì không thể giải được, nên cũng giống bài số. .. x  2  2 Câu 15 Giải phương trình 4 x  3x  1  5  13x 2 11  73 15  97 ; x 8 8 x 0 Đáp án: x  Câu 16 Giải hệ phương trình x 4  16 x3  31x 2  6 x  2  6  x  1 Đáp án: x  1; x  7  3 Câu 17 Giải phương trình 3 1   x2 2x  2 1 2  3 2 x  2 Đáp án: x  1; x   Câu 18 Giải phương trình x 1  x  2 1  x   x 2 Đáp án: x  1 2 1  5 ; x  2  2 2 2 Câu 19 Giải phương trình x3 ... 3x  2 xy  y Câu 36 Giải hệ phương trình  2 2  3x  10 xy  34 y  47 Câu 37 Giải phương trình   x3  2 x 2  x  2   x  1 x3  x 2  x  2  2 x 2  x  1 23 Đáp án: x  1  3 2 2 xy  y  x  y  5 Câu 38 Giải hệ phương trình   5  x  1  y  1    Câu 39 Giải phương trình 4 x3  1  x  x 2  2 x  2 Đáp án:  5;0   3 Đáp án: x  1; x   1 3 2 Câu 40 Giải phương trình 2x  1... Lưu ý : Bước tách phương trình bậc 4 về bậc 2 có thể thực hiện bằng việc nhẩm nghiệm thủ công (được x  8 ), sử dụng phương pháp đồng nhất thức đã trình bày ở bài số 7, hoặc sử dụng máy tính để tìm nhân tử x2  5x  9 hoặc 4 x2  25x  56  0 Câu 10 Giải phương trình 3 x 1  3 x 1  x 3 2 Hướng dẫn Nhìn các căn thức bậc 3, ngay lập tức nghĩ đến đặt ẩn phụ để khử căn Tương tự bài số 8, đặt a  3... thì còn lượng 2x không có trong phương trình Nói cách khác, không biến đổi hoàn toàn được phương trình theo ẩn t  x  3  x  1 Phương án này… fail! Một cách tiếp cận khác là sử dụng 2 ẩn phụ là 2 căn thức ở VT Cụ thể,  a  x  3  0  x 2  2 x  3  ab , thu được   b  x  1  0 pt   a  b 1  ab   4 nhưng không giống bài trước, ta không có nhân tử chung từ phương trình này Với những trường... x3  1  2 3 2 x  1 Đáp án: x  1, x  1  5 2 Câu 20 Giải phương trình 2 3 3x  2  3 6  5 x  8 Đáp án: x  2 Câu 21 Giải phương trình 3 24  x  12  x  6 Đáp án: x  88; x  24; x  3  x  x  2  2 x  y   9  Câu 22 Giải hệ phương trình  2  x  4x  y  6 Đáp án: 1;1 ,  3;9  2 2   x  y  3x  4 y  1 Câu 23 Giải hệ phương trình  2 2  3x  2 y  9 x  8 y  3  3  13... x    4 Câu 24 Giải hệ phương trình   x 2  y  x3 y  xy 2  xy   5  4 3  Đáp án: 1;   2   xy  3x  2 y  16 Câu 25 Giải hệ phương trình  2 2  x  y  2 x  4 y  33 22   Đáp án: 3  3; 2  3 , 3  3; 2  3 x  x y  x y  1  Câu 26 Giải hệ phương trình  3 2   x y  x  xy  1 4 3 2  2 Đáp án: 1;0  ,  1;0  3 3 3  1  x y  19 x Câu 27 Giải hệ phương trình  2... ; 2   2  3  1  1  Câu 28 Giải phương trình  x 2  3x   x 2  x    12 x 2 4  4  Đáp án: x  2  x  1  y  y  x  4 y Câu 29 Giải hệ phương trình  2   x  1  y  x  2  y  3 2 2 5  2 6 ;x  2 2  Đáp án: 1; 2  ,  2;5  xy  x  2  x 2  x  4 x  0  Câu 30 Giải hệ phương trình  2  xy  x  2  x xy  2  3  Câu 31 Giải phương trình 3    7 Đáp án:  3;... Đáp án:  3;   3  2 x  1  2 x  1  4 4 x2  1  8x Đáp án: x  Câu 32 Giải phương trình x2 2 3 2x  3  3  145 288 1 x3 1  5 2 Đáp án: x  1; x  Câu 33 Giải phương trình  x  1 x 2  2 x  3  x 2  1 Đáp án: x  1  2 Câu 34 Giải phương trình 2  x2  2  1 1   4x  2 x x  Đáp án: x  1 Câu 35 Giải phương trình 8x  8x  3  8x 2 x  3x  1 2 2 Đáp án: x    1  7 3 3 ;x...  3  1  x  2  loai  1  ab  a  b  1  a  b 1  a      b  1  x  1  1  x  2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  2 Câu 9 Giải phương trình 5x2  14 x  9  x2  x  20  5 x  1 Hướng dẫn Phương án dễ thấy nhất: Bình phương Tuy nhiên trước đó, tôi muốn thử phương án 2 ẩn phụ trước tương tự các bài toán trước Cụ thể, 2 2 2  a  5 x  14 x  9  0  a  5 x  14 x  9 Đặt