Phương trình Lượng giác chứa tham số Phần 1

• Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác. • Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và các phương trình lượng giác thường gặp (bậc nhất đối với và ; bậc hai bậc cao với một ẩn lượng giác; đối xứng và ; đẳng cấp bậc hai và bậc ba). • Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm và Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai và các dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…). • Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12).

Phương trình lượng giác chứa tham số

Phần 1

Một số lưu ý

 Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác

 Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình lượng giác cơ bản

sin / cos / tan / cotx x x xm và các phương trình lượng giác thường gặp (bậc nhất

đối với sin x và cos x ; bậc hai/ bậc cao với một ẩn lượng giác; đối xứng sin x và cos x; đẳng cấp bậc hai và bậc ba)

 Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm và Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai   2

f x ax bxc và các dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…)

 Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12)

 Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ địa chỉ email pvtvalley@gmail.com

Câu 1 Cho phương trình cosxmsinx2

1) Giải phương trình khi m 3

2) Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

1) Với m 3 thì pt cosx 3 sinx2

 2  2  2

Vậy phương trình có nghiệm 2 ,

3

x k  kZ

2) Phương trình có nghiệm khi 12 2 22 2 3 3

3

m

m

  



Câu 2 Cho phương trình 3 sin2 1sin 2

2

x xm 1) Giải phương trình khi m 3

2) Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

1) Với m 3 thì 3 sin2 1sin 2 3

2

3 1 cos 2 sin 2

2







2) 3 1 cos 2  sin 2

3 3 cos 2x sin 2x 2m sin 2x 3 cos 2x 2m 3

Phương trình có nghiệm khi   2 2

2

1  3  2m 3

Câu 3 Cho phương trình 2sin2 6 cos2 5 2

2

x

1) Tìm k nguyên dương để phương trình có nghiệm

2) Tìm nghiệm của phương trình khi k 1

Đáp án: 1) k 1; k 2; 2) 2 2 ,

3

   

sin x 2m2 sin cosx x m1 cos xm 1) Tìm m để phương trình có nghiệm

2) Giải phương trình khi m 2

Hướng dẫn

Phương trình có nghiệm khi   2    2 2

     

1

2

m

m





 2) Với m 2 thì pt 2m1 sin 2 xm2 cos 2 x3m

Câu 5 Tìm m để phương trình   2

1 sin sin 2 cos 2 0

m x x x có nghiệm

Đáp án: m1

Câu 6 Cho phương trình 2sin cos 1

sin 2 cos 3

a

1) Giải phương trình khi 1

3

a 2) Tìm a để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

6sin 3cos 3 sin 2 cos 3 5sin 5cos 0

4

2) Nhận xét thấy  5sin x2cos x 5 sin x2cos x  3 0 x

(Mẫu số khác 0 với mọi x – Điều này rất quan trọng khi biện luận phương trình dạng

sin cos sin cos

T



Do đó, pt 2sinxcosx 1 asinx2 cosa x3a

a 2 sin x 2a 1 cos x 1 3a

Phương trình có nghiệm khi   2  2 2

1

2

           

Câu 7 Cho phương trình 2 sin  1 cos

cos

a

x

1) Giải phương trình khi a1

2) Tìm a để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

2

1 cos 2 1

sin 2

2

x x







1) Với a1 thì

2

,

2

x

   







2) Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn cosx0

Trước hết, (1) có nghiệm khi   2  2 2 1

0

a

a

 



      



Xét cosx0 thì sin 2 2sin cos2 0

cos 2 2 cos 1 1





 , được  1       a 1 a 1 a 0 Thử lại, với a0 thì   2

1 cos 2x  1 2cos x 0 cosx0, hay phương trình có nghiệm duy nhất là cosx0 bị loại

Do đó giá trị a0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài

Như vậy, phương trình có nghiệm khi

1

1 0

0 0

a

a a

a a

 



 



   

 



Câu 8 Cho phương trình sin 2x4 cos xsinxm

1) Giải phương trình khi m4

2) Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

2sin cos 4 cos sin

2 1 cos sin , 2 sin cos

2

t

pt   t t      m m t t

1) Với m4 thì pt        4 t2 4t 1 t2 4t 3 0

 

3

2

2 2



 















2) Ta có   2

m f t    t t với  2 t 2

Dễ thấy   2

f t    t t là hàm liên tục trên  2; 2 nên phương trình

 

m f t có nghiệm khi min f t  m max f t 

f t            t t t t t

Mà  2 t 2  2   2 t 2 22

2

               

Như vậy phương trình có nghiệm khi  1 4 2m  1 4 2

Lưu ý: Bạn cũng có thể sử dụng phương pháp hàm số: Lập bảng biến thiên cho hàm

số bậc hai   2

f t    t t với  2  t 2 để tìm min f t , max f t  

Câu 9 Tìm m để phương trình sinxcosx 2sin 2xm có nghiệm

Hướng dẫn

Đặt t sinxcos , x t  2 thì

2 1 sin cos

2

t

 2   2 2

2





Hàm số f t liên tục nên phương trình   m f t  có nghiệm khi min f t  m max f t 

với  2  t 2

Lập bảng biến thiên cho hàm lắp ghép trên, ta được min f t  f     2  f 2  22

max

Như vậy phương trình có nghiệm khi 2 2 17

8

m

  

Câu 10 Cho phương trình sin4xcos4xm

1) Tìm m để phương trình có nghiệm

2) Giải phương trình khi 3

4

m

Hướng dẫn

sin , 0 1

pt  m f t  t  t

Dễ thấy hàm   2

f t  t  t liên tục trên DR nên phương trình m f t  có nghiệm khi min f t  m max f t  với 0 t 1

Xét hàm   2

f t  t  t trên  0;1 và lập bảng biến thiên, ta được

  1 1 min

f t  f  

 

  và max f t  f  0  f  1 1

Do đó phương trình có nghiệm khi 1 1

2 m

2) Khi 3

4

m thì 3 2 2 2 1 8 2 8 1 0

4  t   t t   t

2 2

2

sin

sin

1 cos 2

2

cos 2

2

1 cos 4 1

x

x

x

x

x





  









Câu 11 Cho phương trình 4  4

sin x 1 sinx m

1) Giải phương trình khi 1

8

m 2) Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

Phương trình đã cho có dạng   4 4

xa  xb m với cách phương pháp ẩn phụ

2

a b

t  x 

và đưa về phương trình trùng phương

4

sin sin 1

2

      

 

4 2

1) Với 1

8

pt t  t    t

2

5

2 6

  



  



2) Đặt ut2 với 3 1 0 9

     

 

pt m t  t   f u  u  u , với 0 9

4

u

 

8

f u  u  u là hàm liên tục trên DR nên phương trình m f u  có

nghiệm khi min f u  m max f u , với 0 9

4

u

 

Xét hàm số   2 1

8

f u  u  u và lập bảng biến thiên, được     1

8

f u  f 

4

f u  f  

 

 

Do đó, phương trình có nghiệm khi 1 17

8m

Câu 12 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4 sin xcos x 4 sin xcos x sin 4xm

Hướng dẫn

4 1 sin 2 4 1 sin 2 sin 4

4 2sin 2 4 3sin 2 sin 4 sin 2 sin 4

1 cos 4

1 cos 4 2 2 cos 4 cos 4 1 2

x



Đặt cos 4x  t  1;1 thì   2

pt  m f t  t  t

Dễ thấy   2

f t  t  t là hàm liên tục và là hàm bậc hai, dễ dàng tìm được

  1 9 min

f t  f   

 

  và max f t  f   1 2

Do đó, để phương trình có nghiệm thì 9 2 2 9 1

      

Câu 13 Cho phương trình cos 2xm1 sin x m 0 Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

pt   x m x  m x m x m 

Đặt t sin , 1x   t 1 thì   2    

pt  f t  t  m t m 

f t  t  m t m là hàm liên tục trên R nên phương trình f t 0

có nghiệm khi min f t  0 max f t  với   1 t 1

f t  t  m t m nghịch biến trên ; 1

4

m

 

  và nghịch biến

trên 1;

4

m

 

 , với f   1 2; f  1  2m và

2

f       

4

m

m

     

Từ bảng biến thiên nhận thấy min f t  f   1 2 và max f t  f  1  2m

Do đó phương trình có nghiệm khi 5  

m

VN m

 



   

4

m

m



      

Từ bảng biến thiên, ta lại có 2 TH:

 TH 2a Với f   1 f  1   2 2m  m 1

min

4

m

f t f   

  

  và max f t  f  1 nên phương trình có

2

0

8

m m

m

m





 TH 2b Với f   1 f  1   2 2m  m 1

min

4

m

f t f   

   và max f t  f  1 nên phương trình có

2

m

m



  

  

   



  

3) TH 3: Với 1 1 3

4

m

m

   

Từ bảng biến thiên nhận thấy min f t  f  1 và max f t  f  1

Do đó phương trình có nghiệm khi 1 0

m

m m

 



 

  

Từ tất cả các TH trên, ta được phương trình có nghiệm khi

1

0

m

m

 



     



 



Câu 14 Cho phương trình

cos sin

2 tan 2 cos sin

 Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

2

2 2

3

1 sin 2

3

3sin 2 8 sin 2 4 0

x

x



Đặt sin 2x t với cos2x 0 sin 2x     1 1 t sin 2 x1

  2

pt  f t  t  mt 

Hàm f t liên tục nên phương trình   f t 0 có nghiệm khi min f t  0 max f t  với

1 t 1

  

Hàm f t nghịch biến trên   ; 4

3

m

  

 ; đồng biến trên

4

; 3

m

 

  với f    1 1 8m;

 1 1 8

f    m và

2

4

f    

m

m

     , ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên nhận thấy f   1 f t  f  1   1 8m f t   1 8m

Do đó, phương trình có nghiệm khi

3

3 4

4

m

m

 



     



m

m

        , ta có bảng biến thiên:

Ta có 2 trường hợp nhỏ

 2a: Nếu f   1 f  1   1 8m  1 8m m 0 thì:

f   f t  f     f t    m

Do đó, phương trình có nghiệm khi:

2

3 0

4 0

16

8

3

m

m

m m

m





      



 2b: Nếu f   1 f  1   1 8m  1 8m m 0 thì:

f   f t  f      f t    m

Do đó, phương trình có nghiệm khi:

3

0

4 0

16

8

3

m

m

m m

m





      



m

m

      , ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên nhận thấy f  1  f t  f     1 1 8m f t   1 8m

Do đó, phương trình có nghiệm khi

3

3 4

4

m

m

  



     



Từ tất cả các trường hợp trên, suy ra phương trình có nghiệm khi:

3

4

1

3 4

m

m

m

 















 





Câu 15 Cho phương trình 6 6

sin xcos xmsin 2x

1) Giải phương trình khi 1

4

m 2) Tìm m để phương trình có nghiệm

Hướng dẫn

3

4

1) Với 1

4

m thì

 

2

sin 2 1

4 sin 2

3

x

 







 



2) Đặt t sin 2 , x   1 t 1 thì   2

pt  f t  t  mt  Hàm số   2

f t  t  mt liên tục nên phương trình f t 0 có nghiệm khi

min f t  0 max f t với 1  t 1

Hàm nghịch biến trên ; 2

3

m

  

 , đồng biến trên

2

; 3

m

 

  với f     1 1 4m

; f  1   1 4m và

2

4

f    

m

m

     , ta có bảng biến thiên

Nhận thấy TH này, min f t  f     1 1 4m và max f t   1 4m

Do đó phương trình có nghiệm khi

3

3 2

2

m

m

 



     



m

m

        , ta có bảng biến thiên:

Ta có 2 TH nhỏ:

 TH 2a: Với f   1 f  1   1 4m  1 4m m 0 thì

f t  f    

  và max f t  f 1   1 4m

3 0

2 0

4

4

3

m

m

m m

m





      



 TH 2b: Với f   1 f  1   1 4m  1 4m m 0 thì

f t  f    

  và max f t  f     1 1 4m Khi đó phương trình có nghiệm khi

2

3

0

2 0

4

4

3

m

m

m m

m





      



m

m

     , ta có bảng biến thiên:

Nhận thấy TH này thì min f t  f  1   1 4m và max f t  f     1 1 4m

Do đó, phương trình có nghiệm khi

3 3

3 2

2

4

m m

m

  

        

Tổng hợp tất cả các TH trên, ta được phương trình có nghiệm khi:

3

2

1

3 2

m

m

m

 



















 





Câu 16 Tìm m để phương trình  2  2  

m  m xm m có nghiệm

Hướng dẫn

pt  m m xm m

 Với m1, pt  0 0 luôn đúng với mọi x

 Với m2, phương trình pt 0 2 vô nghiệm

 Với m1; m2 thì  

cos



Để có nghiệm x thì 0 1 0

2

m

m m

Như vậy, phương trình có nghiệm khi m0; m1

Câu 17 Tìm m để phương trình   2

Hướng dẫn

2 2

 Với m 3, pt  0 1 vô nghiệm

 Với m 3, 2 cos2 2

3

m

m





Phương trình có nghiệm khi 0 2 2 4

2 3

m m

m m

 





      

 Vậy phương trình có nghiệm khi m 4; m 2

Câu 18 Cho hàm số   6 4

3cos 2 sin 2 cos 4

1) Giải phương trình f x 0 khi m0

2 cos 2 3cos 2 1

g x  x x Tìm m để phương trình f x  g x  có nghiệm

Hướng dẫn

3cos 2 sin 2 cos 4 3cos 2 1 cos 2 2 cos 2 1

3cos 2 1 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 1 3cos 2 cos 2

0 3cos 2 cos 2 0 cos 2 3cos 2 1 0

 

2

cos 2 0

x





 



 

3cos 2 cos 2 2 cos 2 3cos 2 1 cos 2 3cos 2 1 2 cos 2 3cos 2 1

cos 2 3cos 2 1

2 2





  

2 2

f t

pt m t t

Dễ thấy   2

2

f t  t t là hàm liên tục trên R nên phương trình m f t  có nghiệm khi min f t  m max f t  với 0 t 2

0         t 2 1 t 1 1 0 t 1    1 1 f t 0

Như vậy, phương trình có nghiệm khi 1  m 0