• Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác. • Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và các phương trình lượng giác thường gặp (bậc nhất đối với và ; bậc hai bậc cao với một ẩn lượng giác; đối xứng và ; đẳng cấp bậc hai và bậc ba). • Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm và Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai và các dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…), xét khoảng giá trị hàm lượng giác. • Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12).
Trang 1Phương trình lượng giác chứa tham số Phần 2
Một số lưu ý
Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác
Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình lượng giác cơ bản
sin / cos / tan / cotx x x xm và các phương trình lượng giác thường gặp (bậc nhất
đối với sin x và cos x ; bậc hai/ bậc cao với một ẩn lượng giác; đối xứng sin x và
cos x; đẳng cấp bậc hai và bậc ba)
Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm và Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai 2
f x ax bxc và các dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…), xét khoảng giá trị hàm lượng giác
Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12)
Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ địa chỉ email pvtvalley@gmail.com
Trang 2Câu 1 Cho phương trình cos 2x2m1 cos x m 1 0
1) Giải phương trình khi 3
2
m
2) Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn 3
Hướng dẫn
pt x m x m x m x m
1) Với 3
2
m thì
2
3 cos
1 2
pt x m x x m x xm xm
cos 2 cos 1 0 cos 12
cos
x
thì 1 cosx0 nên nghiệm
1 cos
2
x bị loại
Do đó, để phương trình có nghiệm thì phương
trình cos xm có nghiệm
Vì 1 cosx0 và f x cosx là hàm liên
tục nên phương trình có nghiệm khi 1 m 0
Câu 2 Cho phương trình sin4 xcos 2xmcos6 x0
1) Giải phương trình khi m2
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm trong khoảng 0;
4
Hướng dẫn
2
2
x
Trang 31) Với m2 thì
2
x
2) Với 0;
4
thì 1 cos 1
2 x nên nghiệm cosx0
bị loại
Do đó, để phương trình có nghiệm thì phương trình
2
m x có nghiệm
Ta có mcos2 x 1 0 cos2 x 1 , m 0
m
2
2
2 x x và 2
cos
f x x là hàm liên tục nên phương trình
2 m m
Câu 3 Cho phương trình cos 4xcos 32 xasin2x
1) Giải phương trình khi a1
2) Tìm a để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;
12
Hướng dẫn
3 2
2
2
cos 6 1 1 cos 2 cos 4
4 cos 2 3cos 2 1 1 cos 2
2 cos 2 1
cos 2 1
cos 2 1
2 cos 4 2
x
x
2
a x
2
x k
cos 2x1 bị loại
Trang 4Do đó ta cần phương trình cos 4 1
2
a
có nghiệm
và hàm số f x cos 4x liên tục nên
phương trình có nghiệm khi 1 1 1 0 1
a
a
Câu 4 Cho phương trình cos3x2sin 2xmcosx0
1) Giải phương trình khi m 2
2) Tìm m để phương trình có nghiệm x thuộc khoảng 0;
2
Hướng dẫn
3
3
2
x
1) Với m 2 thì
2
2
2 , 1
6 sin
2 6
x x
x
2) Với 0;
2
thì 0cosx1 nên nghiệm cosx0 bị loại
Do đó ta cần phương trình
2
4sin x4sinx m 1 0 có nghiệm
Đặt sin x t với 0 0 1
2
pt t t m m f t t t
Trang 5Phương trình m 1 f t có nghiệm khi đường nằm ngang y m 1 cắt đồ thị hàm
2
f t t t với 0 t 1 tại ít nhất một
điểm
Dễ dàng vẽ được đồ thị hàm số
2
f t t t với 0 t 1 như dưới
Từ đồ thị suy ra hai đường cắt nhau, hay
phương trình có nghiệm khi
Câu 5 Cho phương trình sin 2xsin 3 xasinx Tìm a để phương trình có ít
nhất một nghiệm xk, kZ
Hướng dẫn
3
Theo yêu cầu để bài thì nghiệm xk, kZ không thỏa mãn
Do đó ta cần phương trình 2
a x x có nghiệm xk, kZ Đặt cos xt, với xk, k Z 1 t 1 thì 2
pt a t t f t Với 2
f t t t là hàm liên tục nên phương trình a f t có nghiệm khi
min f t a max f t với 1 t 1
Lập được bảng biến thiên của hàm số f t
Trang 6Từ bảng biến thiên nhận thấy 5
min
4
f t và max f t 5
Do đó phương trình có nghiệm xk, kZ khi 5 5
Câu 6 Cho phương trình sin 4xmtanx Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm
,
xk kZ
Hướng dẫn
sin 2sin 2 cos 2 tan 4sin cos cos 2
cos
x x
Theo yêu cầu đề bài thì nghiệm xk, kZ không thỏa mãn
Đặt 2
x
t x
2
pt m f t t t
Phương trình có nghiệm khi đường nằm ngang y m cắt đồ
thị hàm số 2
f t t t với 0 t 1 tại ít nhất một điểm
Dựa vào đồ thị đã vẽ, nhận thấy hai đường cắt nhau hay
phương trình có nghiệm khi 1 4
Câu 7 Cho phương trình 4 4
2 sin xcos x cos 4x2sin 2x m 0 Tìm m để phương
trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;
2
Hướng dẫn
1
2
Trang 7Đặt sin 2x t , với
2
hay t 0;1
2
pt m f t t t , với 0 t 1
Hàm 2
f t t t liên tục nên phương trình m f t có nghiệm khi
min f t m max f t với 0 t 1
Lập được bảng biến thiên hàm số f t
Từ bảng biến thiên nhận thấy 10
min
3
f t và max f t 2
Do đó, phương trình có nghiệm khi 10 2
Câu 8 Cho phương trình cos 2xmsin 2x2m1 Tìm m để phương trình có nghiệm
thuộc khoảng 0;
2
Hướng dẫn
Đây là phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x Tuy nhiên có điều kiện 0;
2
nên điều kiện 2 2 2
1 m 2m1 không đủ để giải quyết bài toán
Do đó, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ t tanx với cosx0 để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai
1) Xét
2
sin 2 2sin cos 0
x
Trang 8Thử lại với m0 thì cos 2 1 2 2 2 ,
2
pt x x k x k kZ
Họ nghiệm này cho một nghiệm 0;
nên giá trị m0 thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
x x k kZ
,
2
2 sin 2
1 tan
1 cos 2
1
t x
t
t x
t
, với
2
Khi đó,
2
2
2
2
2
t t
Hàm số 2
2 2
f t
t t
liên tục nên phương trình m f t có nghiệm khi
min f t m max f t với t 0
2
2
2
t t
2
2
2
t t
Do đó, trường hợp này phương trình có nghiệm khi 0 m 1
Kết hợp hai trường hợp, suy ra phương trình có nghiệm khi 0 1
m
m m
2cos 2xsin xcosxcos xsinxm sinxcosx 1) Giải phương trình khi m2
2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;
2
Hướng dẫn
Trang 9
4
Đặt
2
1
2
t
2
t
t loai
2
, 2 2
x k
x k xk x k kZ
2) Với điều kiện 0
2
x
4
x k kZ
không thỏa mãn Do đó ta
cần phương trình 1 có nghiệm trong khoảng 0;
2
1 2m f t t 4t 1 Trong đó, cos sin 2 cos
4
Hàm số 2
f t t t liên tục nên phương trình 2m f t có nghiệm khi
min f t 2mmax f t với 1 t 1
Lập bảng biến thiên hàm số f t dễ dàng tìm được min f t f 1 4 và
max f t f 1 4
Trang 10Do đó, phương trình có nghiệm khi 4 2 m 4 2 m 2
Câu 10 Cho phương trình 2 sin xcosx2sin cosx x m 0 Tìm m để phương
trình có nghiệm thuộc đoạn 0;
2
Hướng dẫn
4
t x x x
thì
2
1 sin cos
2
t
1
pt t t m m f t t t
Hàm số 2
f t t t liên tục nên hàm số có nghiệm khi min f t m max f t Lập bảng biến thiên, tìm được f t f 1 2 và max f t f 2 1 2 2
Do đó, phương trình có nghiệm khi 2 m 1 2 2 1 2 2 m 2
1) Giải phương trình với 1
2
m
2) Tìm m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng 0;
2
Trang 11
1 sin cos
2sin cos
4
t x x x
, với
2
t
2
1 sin cos
2
t
2
0
1
t
t
1) Với 1
2
m ,
0
,
0
t
t
2) Với
0
4
Với điều kiện này thì nghiệm t0 không thỏa mãn
0
1
t
;
t
Do đó, để phương trình có nghiệm thì m f t 2 1 m 2 1 Đối chiếu yêu cầu m nguyên, ta được m 3