Giới hạn của dãy số hàm số ôn thi THPT Toán

www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng CHƯƠNG IV GIỚI HẠN www.MATHVN.com I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1 lim = ; lim = (k ẻ Â + ) k nđ+Ơ n nđ+Ơ n lim q n = ( q < 1) ; nđ+Ơ Gii hn vụ cc Gii hạn đặc biệt: lim qn = +¥ (q > 1) nh lớ: lim C = C nđ+Ơ nh lí : a) Nếu lim un = a, lim = b · lim (un + vn) = a + b · lim (un – vn) = a – b · lim (un.vn) = a.b u a · lim n = (nếu b ¹ 0) b a) Nếu lim un = +¥ lim c) Nếu lim un = a 0, lim = u ỡ+Ơ a.vn > lim n = í a.vn < ợ-Ơ un c) Nu un £ ,"n lim = lim un = d) Nếu lim un = a lim un = a * Khi tính giới hạn có dạng vơ ¥ định: , , ¥ – ¥, 0.¥ phải tìm cách khử ¥ dạng vô định ( q < 1) Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: · Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n 1 1+ - n +1 n + n - 3n n n =1 VD: a) lim = lim b) lim = lim =1 2n + - 2n 2+ -2 n n æ ö c) lim(n2 - 4n + 1) = lim n2 ỗ - + ữ = +Ơ è n n2 ø · Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức 1+ ( VD: ( a - b ) ( a2 + ab + b2 ) = a - b a - b )( a + b ) = a - b; lim ( ) n2 - 3n - n = lim ( n2 - 3n - n ( )( n2 - 3n + n n2 - 3n + n · Dùng định lí kẹp: Nếu un £ ,"n lim = www.mathvn.com =0 d) Nếu lim un = +¥, lim = a ì+¥ nế u a > lim(un.vn) = í nế u a < î-¥ un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1- q =0 un b) Nếu lim un = a, lim = ±¥ lim b) Nếu un ³ 0, "n lim un= a a ³ lim lim nk = +Ơ (k ẻ Â + ) lim n = +¥ ) ) = lim -3n n2 - 3n + n =- lim un = Trang www.MATHVN.com VD: Trần Sĩ Tùng sin n sin n 1 sin n Vì £ £ lim = nên lim =0 n n n n n 3sin n - cos n b) Tính lim Vì 3sin n - cos n £ (32 + 42 )(sin2 n + cos2 n) = 2n + 3sin n - cos n nên £ £ 2 2n + 2n + 3sin n - cos n Mà lim = nên lim =0 2n + 2n2 + a) Tính lim Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: · Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn · Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu · Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn +¥ hệ số cao tử mẫu dấu kết –¥ hệ số cao tử mẫu trái dấu Bài 1: Tính giới hạn sau: 2n2 - n + a) lim 3n2 + 2n + n4 d) lim (n + 1)(2 + n)(n2 + 1) Bài 2: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim + 3n + 3n 2n + 5n+1 + 5n Bài 3: Tính giới hạn sau: n2 + + n - a) lim n2 + 4n + + n n2 + + n d) lim b) lim e) lim b) lim e) lim 2n + 4.3n + 7n+1 e) lim + + + n n2 + 3n n3 + n4 + n2 - 3n3 - 2n2 + c) lim 2.5n + 7n + 2.3n - 7n f) lim 5n + 2.7n n2 + - n - n2 + + n (2n n + 1)( n + 3) (n + 1)(n + 2) n2 + n + + n Bài 4: Tính giới hạn sau: ổ 1 a) lim ỗ + + + ÷ (2n - 1)(2n + 1) ø è 1.3 3.5 ỉ ỉ ưỉ c) lim ỗ - ữ ỗ - ữ ỗ - ữ ố 22 ứ ố 32 ø è n2 ø f) lim 2n + n + b) lim e) lim c) lim n3 + 4n2 + n2 + 3n3 + 2n2 + n 5n + 8n - 2.3n + 6n 2n (3n+1 - 5) c) lim f) lim 4n+1 + n+2 n2 + - n n + + n2 n2 - n - n2 + 3n2 + + n æ 1 b) lim ỗ + + + ÷ n(n + 2) ø è 1.3 2.4 ỉ 1 d) lim ỗ + + + ÷ n(n + 1) ø è 1.2 2.3 f) lim + + 22 + + n + + 32 + + 3n Bài 5: Tính giới hạn sau: Trang www.mathvn.com www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng ( n2 + 2n - n - 1) d) lim (1 + n2 - n4 + 3n + ) a) lim g) lim n2 + - n - n2 + 4n + - n Bài 6: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim cos n2 n2 + 3sin n + cos2 (n + 1) n2 + ( e) lim ( b) lim h) lim b) lim e) lim n2 + n - n2 + n2 - n - n ) n2 + - n n + - n2 (-1)n sin(3n + n2 ) 3n - 3sin2 (n3 + 2) + n2 ) c) lim ( 2n - n3 + n - 1) f) lim n + - n2 + n2 - n - n2 + i) lim 3n2 + - n c) lim - n cos n 3n + f) lim 3n2 - 2n + n(3 cos n + 2) - 3n2 ỉ ưỉ ỉ Bài 7: Cho dóy s (un) vi un = ỗ - ữỗ - ữ ỗ - ữ , với " n ³ è 22 øè 32 ø è n2 ø a) Rút gọn un b) Tìm lim un 1 Baøi 8: a) Chứng minh: = ("n Ỵ N*) n n + + (n + 1) n n n +1 1 b) Rút gọn: un = + + + +2 +3 n n + + (n + 1) n c) Tìm lim un ìu1 = ï Baøi 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: í ïun+1 = un + n (n ³ 1) ỵ a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un ìu = 0; u2 = Bài 10: Cho dãy số (un) xác định bởi: í î2un+2 = un+1 + un , (n ³ 1) a) Chứng minh rằng: un+1 = - un + , "n ³ 2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un II Giới hạn hàm số www.mathvn.com Trang www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; lim c = c (c: số) x® x0 x® x0 Định lí: a) Nếu lim f ( x) = L lim g( x) = M x® x0 x® x0 thì: lim [ f ( x) + g( x)] = L + M x® x0 lim [ f ( x) - g( x)] = L - M x® x0 lim [ f ( x).g( x)] = L.M x® x0 f ( x) L = (nếu M ¹ 0) x® x0 g( x) M b) Nếu f(x) ³ lim f ( x) = L lim x® x0 x® x0 L ³ lim x® x0 f ( x) = L c) Nếu lim f ( x) = L lim f ( x) = L x® x0 x® x0 Giới hạn bên: lim f ( x) = L Û x® x0 Û lim - f ( x) = lim + f ( x) = L x® x0 x® x0 Giới hạn vơ cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: ì+¥ nế u k chẵ n lim xk = +¥ ; lim xk = xđ+Ơ xđ-Ơ ợ-Ơ neỏ u k leû c lim c = c ; lim =0 xđƠ xđƠ xk 1 lim = -Ơ ; lim = +Ơ + xđ0 x xđ0 x 1 lim- = lim+ = +Ơ xđ0 x xđ0 x nh lí: Nếu lim f ( x) = L ¹ v lim g( x) = Ơ thỡ: xđ x0 ỡ+Ơ L lim g( x) cù ng dấu ï x® x0 lim f ( x)g( x) = í g( x) traự i daỏu xđ x0 ù-Ơ neỏu L vaứ xlim đ x0 ợ ỡ0 neỏ u lim g( x) = Ơ xđ x0 f ( x) ùù lim = +¥ nế u lim g( x) = L.g( x) > x® x0 g( x) í x® x0 ï g( x) = vaø L.g( x) < ù-Ơ neỏ u xlim đ x0 ợ * Khi tớnh giới hạn có dạng vơ định: ¥ , , ¥ – ¥, 0.¥ phải tìm cách khử dạng vơ ¥ định Một số phương pháp khử dạng vô định: Dạng P ( x) a) L = lim với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) = x® x0 Q( x) Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn VD: lim x3 - ( x - 2)( x2 + x + 4) x2 + x + 12 = lim = =3 x®2 x®2 ( x - 2)( x + 2) x+2 = lim x2 - P ( x) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x® x0 Q( x) Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu x®2 ( - - x )( + - x ) 2- 4- x 1 = lim = lim = x®0 x®0 x®0 + - x x x(2 + - x ) P ( x) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa khơng đồng bậc x® x0 Q( x) VD: lim Giả sử: P(x) = m u( x) - n Ta phân tích P(x) = Trang v( x) vớ i m u( x ) = n v( x0 ) = a ( m u( x) - a ) + ( a - n v( x) ) www.mathvn.com www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng æ x +1 -1 1- 1- x x +1 - 1- x = lim ỗ + ữ xđ0 xđ0 ố x x x ứ ổ 1 1 = lim ỗ + ữ= + = xđ0 ỗ 3 ữ + x ( x + 1) + x + + è ø ¥ P ( x) Dạng : L = lim với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa cn xđƠ Q( x) Ơ Nu P(x), Q(x) l đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp 2+ 2 x + 5x - x x2 VD: a) lim = lim =2 xđ+Ơ x2 + x + xđ+Ơ 1+ + x x2 VD: lim 2x - b) lim xđ-Ơ x +1 - x 2- = lim xđ-Ơ = -1 -1 x2 Dng Ơ – ¥: Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp t v mu VD: lim xđ+Ơ ( ( + x - x ) = lim - 1+ x 1 + x - x )( + x + x ) 1+ x + x xđ+Ơ = lim 1+ x + x xđ+Ơ =0 Dng 0.Ơ: Ta thường sử dụng phương pháp dạng VD: lim+ ( x - 2) x®2 x x -4 = lim+ x®2 x - x x+2 = =0 Bài 1: Tìm giới hạn sau: 1+ x + x + x x®0 1+ x a) lim d) lim x -1 x®-1 x4 + x - x+8 -3 x®1 x-2 Bài 2: Tìm giới hạn sau: g) lim a) lim x®1 d) lim x®3 x3 - x2 - x + x2 - x + x3 - x2 + x + x - x2 - b) lim x®-1 e) lim x®2 h) lim x®2 b) lim x®1 e) lim x®1 3x + - x x -1 ỉ pư sin ç x - ÷ è 4ø c) lim p x x® x2 - x + x -1 f) lim 3x2 - - x - x +1 i) lim x2 sin x4 - x3 - x2 + x - x5 + x6 (1 - x)2 (1 + x)(1 + x)(1 + x) - x + x2 + + xn - n h) lim x®0 x®1 x x -1 g) lim www.mathvn.com x2 - x + x +1 x®1 x®0 c) lim x5 + x3 + xm - x®-1 f) lim x®1 i) lim x®-2 xn - x4 - 16 x3 + x2 Trang www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng Bài 3: Tìm giới hạn sau: a) lim x®2 d) lim x®2 g) lim 4x + - x2 - x+2 -2 x+ -3 1+ x -1 x®0 + x -1 Bài 4: Tìm giới hạn sau: a) lim x®0 d) lim 1+ x - 1+ x x + 4x - + 6x x2 + x + x - g) lim x®0 x Bài 5: Tìm giới hạn sau: x®0 a) lim xđ+Ơ d) lim xđƠ g) lim xđ-Ơ x2 + x2 - x + x2 + x + + x + x2 + + - x (2 x - 1) x2 - x - x2 Bài 6: Tìm cỏc gii hn sau: a) lim ổỗ x2 + x - x ửữ xđ+Ơ ố ứ c) lim ổỗ x2 + - x3 - ửữ xđ+Ơ ố ứ e) lim xđ+Ơ ( x - - x + 1) ỉ g) lim ỗ ữ xđ1 ố - x - x3 ø Bài 7: Tìm giới hạn sau: x - 15 a) lim+ x®2 x - b) lim x®1 4x + - x + - 3x + x -1 e) lim x®1 x + - 2x h) lim x + 3x x®-3 b) lim x + 11 - x + x2 - x + x®2 e) lim x -1 x + 11 - x + x2 - x + + x + x - h) lim x®0 x x®2 b) lim xđƠ x2 - x + + - x e) lim xđƠ h) lim x2 - x + x-2 x2 - x + x x2 + x + x xđ+Ơ x2 + - x + + x2 - x c) lim x®0 x2 + - f) lim x®0 x2 + 16 - x + + x + 16 - x i) lim x®0 1+ x - - x x®0 x c) lim - x3 - x2 + f) lim x®1 i) lim xđ0 c) lim xđ+Ơ f) lim xđ+Ơ x2 - x +1 - 1- x x x2 + x3 - x2 + x x +1 x2 + x + x2 - x + xđ-Ơ x + i) lim b) lim ổỗ x - - x2 - x - ửữ xđ+Ơ ố ứ ổ d) lim ỗ x + x + x - x ữ xđ+Ơ ố ứ f) lim xđ-Ơ ( 3x3 - + x2 + ) ỉ 1 h) lim ỗ + ữ xđ2 ố x2 - x + x2 - x + ø x - 15 b) limx®2 x - + 3x - x2 c) lim+ x-3 x®3 x2 - 2-x 2- x e) lim+ f) lim2 x-2 x®2 x®2 x - x + x®2 x - x + Bài 8: Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: ì 1+ x -1 ì - x2 x > ïï ï a) f ( x) = í + x - tạ i x = b) f ( x) = í x - x < taï i x = 3 ï ïỵ1 - x x ³ x £ ïỵ d) lim+ Trang www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com ì x2 - x ì x2 - x + x > ï x > ïï ï c) f ( x) = í - x tạ i x = d) f ( x) = í x - taïi x = x x 16 ï ïkhi x £ x < ïỵ x - ïỵ Bài 9: Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:: ì ì x3 - x > ï ï x < a) f ( x) = í x - b) f ( x) = í x - x3 - taïi x = taïi x = 2 ïỵmx + x ³ ïm x - 3mx + x £ ỵ ìx + m x < ìx + 3m x < -1 ï taïi x = -1 c) f ( x) = í x2 + 100 x + taï i x = d) f (x) = í x + x + m + x ³ x ³ ỵ ïỵ x+3 www.mathvn.com Trang www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng III Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 Û lim f ( x) = f ( x0 ) x® x0 · Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim + f ( x) , lim - f ( x) ) x® x0 x® x0 x® x0 B3: So sánh lim f ( x) với f(x0) rút kết luận x® x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim+ f ( x) = f (a), lim- f ( x) = f (b) x®a x®b · Hàm số đa thức liên tục R · Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: · Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f ( x) · Hàm số y = liên tục x0 g(x0) ¹ g( x) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c Ỵ (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm cỴ (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x) , M = max f ( x) Khi với T [ a; b ] [ a; b ] Ỵ (m; M) ln tồn số c Ỵ (a; b): f(c) = T Bài 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra: ì x+3 -2 ïï x ¹ tạ i x = -1 b) f ( x) = í x - ï1 x = ïỵ ì x-5 ì2 - 7x + 5x2 - x3 ï ï x ¹ f (x) = í x2 - 3x + x = d) f ( x) = í x - - ï1 ï( x - 5)2 + x = ỵ ỵ ì x -1 ì1 - cos x x £ ï f ( x) = í tạ i x = f) f ( x) = í - x - x > ỵ x +1 ï -2 x ỵ Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra: ì x < f ( x) = í x x = mx x ³ ỵ ìx+3 ï a) f ( x) = í x - ïỵ-1 c) e) Bài 2: a) ì x3 - x2 + 2x - ï b) f (x) = í x -1 ïỵ3x + m Trang x ¹ x ¹ taï i x = x = x > taïi x = x £ x < taï i x = x ³ taïi x = x = www.mathvn.com www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng c) d) Bài 3: a) c) ìm x = ïï x - x-6 f ( x) = í x ¹ 0, x ¹ x = x = ï x( x - 3) x = ïỵn ì x2 - x - ï x ¹ f ( x) = í x - tạ i x = ïỵm x = Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng: ì x3 + x + ì x2 - x + x ¹ -1 ïï ï f ( x) = í x + b) f ( x) = í5 ïỵ2 x + ï4 x = -1 ïỵ ì x2 - ì x2 - ï ï x ¹ -2 d) f ( x) = í x - f ( x) = í x + ïỵ-4 ï x = -2 ỵ2 x < x = x > x ¹ x = Bài 4: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: ì x2 + x ì x2 - x - x < ï ï x ¹ a) f ( x) = í x - b) f ( x) = í2 x = ï ïỵm x > x = ỵmx + ì x3 - x2 + x - ì x2 ï x ¹ c) f ( x) = í d) f ( x ) = í x -1 ỵ2mx - ïỵ3 x + m x = Bài 5: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x3 - x + = b) x3 + x2 + x + = Baøi 6: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x5 - x + = b) x5 + x - = x < x ³ c) x + - x = c) x4 + x3 - x2 + x + = Baøi 7: Chứng minh phương trình: x5 - x3 + x - = có nghiệm (–2; 2) Bài 8: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: b) x4 + mx2 - 2mx - = a) m( x - 1)3 ( x - 2) + x - = c) a( x - b)( x - c) + b( x - c)( x - a) + c( x - a )( x - b) = d) (1 - m2 )( x + 1)3 + x2 - x - = f) m(2 cos x - 2) = 2sin x + e) cos x + m cos x = Bài 9: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) ax2 + bx + c = với 2a + 3b + 6c = b) ax2 + bx + c = với a + 2b + 5c = c) x3 + ax2 + bx + c = é 1ù Baøi 10: Chứng minh phương trình: ax2 + bx + c = ln có nghiệm x Ỵ ê 0; ú với a ¹ ë 3û 2a + 6b + 19c = www.mathvn.com Trang www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Tìm giới hạn sau: + + + + n a) lim 3n3 Bài n2 + n d) lim ( Bài n2 - 3n - n2 + ) cos n2 n +1 Tìm giới hạn sau: x2 - x + a) lim x®3 x2 d) lim - x + 15 - x3 + x2 - x3 - x - x®1 x5 - 2x -1 Tìm giới hạn sau: x®2 - x+7 1+ 2x - d) lim x ®1 k) lim x -1 x -1 Tìm giới hạn sau: x®0 Bài x2 - x + a) lim + x+2 x®-2 d) lim- x2 - 5x + x®2 g) lim + ( x - 2) + 2x - x+2 Tìm giới hạn sau: xđ-2 Bi a) lim xđ-Ơ d) lim xđ+Ơ Trang 10 x3 - x2 + x - x4 - x3 + x2 - x + x4 - x3 + x 3n + - n - x2 - x®1 x4 h) lim 3x + x - x®0 l) lim + x2 - x e) lim ( x - 3) xđ-Ơ x®2 x+2 + x+7 -5 x-2 x+ x x- x i) lim+ ( x - ) c) lim ) x x -4 (2 x - 3)2 (4 x + 7)3 xđ+Ơ (3 x3 + x +1 x2 + + x 4x - x-2 x®2 x2 + x - ( - x2 + 16 xđ0 xđ+Ơ x2 x2 + - f) lim+ x + 5x - b) lim i) lim + 2x - 3 x3 - x + c) lim + x +1 x®-1 x2 + x - 3x + e) lim+ x®3 - x x®-3 x2 - x+8 -3 x®2 x®1 h) lim - x4 - x2 + 16 ( x + 2)2 - m) lim x -1 b) lim- x3 - x2 - x + x®1 x2 x®0 ) x2 - x c) lim 1+ x - 1- x x x®0 n - - n3 + n x®-1 f) lim ) x3 - x2 + x - i) lim + 5x + x+3 -2 ( l) lim ( x®2 2x + - h) lim (-1)n+1 - 2.3n h) lim + n2 - n4 + n f) lim - 4x + x+2 x®-2 x2 (-1)n + 4.3n x®3 x3 - x + e) lim n + 2n 3n + n + c) lim x2 - x + 1 x®1 x + - - x2 x -1 g) lim e) lim x -2 x®4 n + x2 - b) lim x®0 x x-2 a) lim ( n3 + 3n2 - n ) k) lim x® x®1 x4 Bài g) lim c) lim f) lim 35n+2 + b) lim x4 - x3 + x2 + g) lim 25n+1 + e) lim 2n2 + 3n - g) lim i) lim æ n + sin n b) lim ỗ + ữ ố n + 2n ø + 1)(10 x2 + 9) f) lim ( x + x2 - x + 1) xđ- Ơ www.mathvn.com r un 1  k (an   ( p  k )an 1  an )  kun , n  0,1, 2, k Trong (**), cho n  1 , ta có r r pk  qk  r k u0  a2  ( p  k )a1  a0  p  q  ( p  k ) p      k2 k k k k r Suy un  k n   an   ( p  k )an 1  an  k n  , n  0,1, 2, (***) k Giả sử z nghiệm phức phương trình P( x)   ,  modun argument z đó:  ,  ,   Ta có: z   ei   (cos   i sin  ) P( x )  [ x ] nên: P ( z )   P ( z )   P ( z )  z   e i   (cos   i sin  ) nghiệm P(x) r r Từ (***), ta an   ( p  z )an 1  an  ( z )n  , an   ( p  z )an 1  an  ( z ) n  z z Theo cơng thức Moavre, ta có: z   (cos   i sin  )  z n   n (cos n  i sin n ) nên:  z n  z n2   n   cos(n  2)  i sin(n  2)    n  cos(n  2)  i sin(n  2)    2i. n  sin  (n  2)    z n  z zz n  2i. n  sin  (n  2)  sin ( n  2)    n 1 2i. sin  sin  1 Trừ vế hai đẳng thức, ta ( z  z )an 1  r (  )an  ( z )n   ( z ) n  z z  ( z  z )an 1  r (  an 1  zz r z n  ( z ) n )an  z n   ( z ) n   an 1  an   z.z (z  z) sin  (n  2)  r a   n 1 n  sin  Do   nên xét n0 giá trị nguyên dương cho sin  (n0  2)  sin (n0  2)  r    n0 1   an0 1  an0  sin  sin   Vì r  nên an0 1 , an0 trái dấu với Do đó, hai giá trị có số âm 2 sin  (n0  2)   , mà ứng với sin  giá trị n0 ta lại tìm số hạng âm dãy cho, tức dãy (an) có vơ số số âm Đây điều phải chứng minh Ta thấy n tiến tới vô cực, tồn vô số giá trị n0 cho 81 E – CÁC BÀI TỐN DÃY SỐ CĨ GỢI Ý GIẢI Bài (Việt Nam TST 1985) Cho dãy số thực ( xn ) xác định công thức: x1  29 , xn 1  10 xn xn2   3, n  1, 2,3, Chứng minh tồn số thực a thỏa mãn x2 k 1  a  x2 k với số nguyên dương k Gợi ý Từ cách xác định dãy số, ta có xn  3, n Ta tìm giới hạn dãy số cho chứng minh giới hạn giá trị cần tìm x Xét hàm số f ( x )  x 1  3, x  Phương trình f ( x )  x có nghiệm x  Hàm số f  ( x )  1   x 1 3(  1)  0, x  nên hàm nghịch biến Đến đây, ta có tốn quen thuộc tìm giới hạn dãy số xác định công thức truy hồi xn1  f ( xn ) f ( x ) nghịch biến Sử dụng tính chất hai dãy có tính đơn điệu ngược hồn tất chứng minh Bài Cho n số dương a1 , a2 , a3 , , an với a1  1, an  ak  ak 1ak 1 với k  2,3, 4, , n 1 Xác định số lớn dãy Gợi ý Bằng phản chứng chứng minh max ak  max{a1 , an } 1k n Bài Chứng minh dãy số  xn  có tính chất xn  xm  , n  m n Chứng minh dãy không bị chặn 82 n Gợi ý Trước hết, chứng minh dãy an     Giả sử dãy cho bị chặn, tức tồn i 1 i xn  M , n xét lân cận bán kính cho điểm 2n Bài Tìm tất số thực a, b cho dãy  xn  với x0  a, xn1   bxn , n  0,1, 2, hội tụ Gợi ý Quy nạp tìm cơng thức tổng qt n tìm biện luận Kết b  1, a tùy ý b  1, a  1 b Bài xn3  3axn Cho dãy  xn  xác định x1  xn1  ,a 3xn2  a Chứng minh dãy có giới hạn với x1 Tìm giới hạn Gợi ý Dễ thấy hàm số f ( x)  x3  3ax , a  có đạo hàm dương dãy số cho 3x  a xn1  f  xn  , n  1, 2,3, Bài Cho dãy số  yn  xác định y1  x  , yn 1  a sin yn a   ,x0 Tìm giới hạn dãy Gợi ý Xét trường hợp 1  a  giới hạn 0,  a   xét nghiệm l * phương trình l  a sin l Các trường hợp khác khơng có giới hạn Bài Cho dãy số  xn  xác định sau: xn1  sin xn , n  1, 2,3, x1  0;   Chứng minh lim nxn  83 Gợi ý: Chứng minh tồn dãy yn  cho 1    yn Đánh giá tổng xn xn1 để suy số, từ tìm giới hạn Bài Giả sử a1 , a2 , a3 , dãy số tự nhiên vô hạn không nhỏ Chứng minh từ dãy trích dãy ai1 , ai2 , ai3 , cho aik  ik Gợi ý Bằng phản chứng, chứng minh có vơ số số hạng dãy mà  i Bài  x  Cho dãy  xn  thỏa mãn điều kiện xm n  xn  xm , m, n Chứng minh dãy  n  hội tụ  n  Gợi ý Ta thấy tồn   cho   tồn m mà   Biểu diễn n  qm  r ,  r  m 1 để có xn  qxm  xr  xm   m xn xm m x    r n m qm  r r xn    qm  r xr  x x          r Đánh giá r dựa điều kiện cho để  n  2 m r r r x chứng minh   n     xong n Do   Bài 10 Cho dãy số an  khơng tuần hồn gồm phần tử 0,1, xét dãy bn  , cn  tương ứng sau bn  an  , bn  an  an  cn  an  , cn  an  an  Chứng minh hai dãy khơng tuần hồn Gợi ý Chỉ cần chứng minh an  bn  cn , n  0,1, 2, Chú ý hai dãy tuần hồn tổng chúng phải tuần hoàn 84 Bài 11 (VMO 1990, bảng A B) Cho dãy số ( xn ), n  * x1  xác định hệ thức xn   3xn2 xn1  , n  1, 2,3, a) Cần thêm điều kiện x1 để dãy gồm toàn số dương? b) Dãy số có tuần hồn khơng? Vì sao? Gợi ý a) Chứng minh quy nạp điều kiện cần tìm  x1    b) Do xn  1, n nên đặt xn  sin an ,   an  xem xét tính chất dãy an  2 Bài 12 (VMO 1994, bảng B) Cho số thực a dãy số  xn  xác định  x0  a  , n  1, 2,3,   xn  xn1  sin xn1  Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn n dần tới vơ cực tìm giới hạn x3 , x  , ta có xn  xn1 , tức dãy cho giảm, bị chặn nên có giới hạn Trường hợp a  đổi Gợi ý Với a  giới hạn dãy Với a  từ bất đẳng thức sin x  x  dấu dãy chứng minh tương tự Bài 13 Tìm điều kiện a để dãy số xác định sau hội tụ: a) u1  a, un1  un2  un  1, n  1, 2, 3, b) u1  a  0, un1  un2  a , n  1, 2,3, 85 Gợi ý a) Tiến hành khảo sát hàm số y  f ( x) nghiệm phương trình f ( x )  x để suy điều kiện cần tìm a  [0;1] x2  a có đạo hàm f  ( x)  x số hạng dãy a2  a dương nên hàm đồng biến Từ đó, cần so sánh a với suy điều kiện cần tìm b) Hàm số tương ứng f ( x)  Bài 14 Cho dãy số an  thỏa mãn a1  (0,1) an 1  an  an2 , n  1, 2,3, Chứng minh lim nan  Gợi ý Bằng quy nạp, ta chứng minh được: an  , n n 1 Ta có: an 1  an  an2  0, n , suy ra: dãy an  giảm, đồng thời bị chặn nên có giới hạn, dễ thấy giới hạn Đặt cn  Ta thấy: lim an cn 1  cn a a a2  lim n n 1  lim n  lim 1 (n  1)  n an an 1 an (1  an )  an Theo định lí trung bình Cesaro, ta lim cn   lim n.an  n Bài 15 Cho dãy số  xn  xác định sau:  x1  a  2  xn2    , n  1, 2,3,  xn 1  2 x  x  n n  Xét tính hội tụ dãy sau tùy theo giá trị a 86 Gợi ý Xét f ( x)  2x2   2 x  x2  , x  2 Ta có x1  a, xn1  f ( xn ), n  1, 2,3, Ta thấy phơng trình f ( x )  x có hai nghiệm x  1, x  Xét dấu f ( x)  x ( , 7), (1,  ) , ta có f ( x )  x, x  7 f ( x )  x, x  Tiếp tục nhận xét phương trình f ( x)  có nghiệm x  1 nên f ( x )  không đổi dấu khoảng ( 1,1) (1,  ) ; ta chứng minh được: f ( x)  1, x  1 Tương tự, xét phương trình f ( x)  7 , ta được: f ( x)  7, x  1 Từ suy ra: - Nếu a  1 dãy giảm bị chặn nên hội tụ, lim xn  - Nếu a  1, a  2 dãy tăng bị chặn nên hội tụ, lim xn  7 Bài 16 Cho a, b, c, d   Xét hàm số f ( x )  ax  b  d  a , f :  \     \   dãy un  thỏa cx  d  c  c  u0  k  , un 1  f (un ), n  0,1, 2, a) Chứng minh f ( x ) song ánh dãy un  cho xác định d , 1  f 1 (vn ), n  0,1, 2, (lưu ý dãy c khơng xác định từ số thứ tự đấy) k  , n , vn  xác định v0  b) Đặt   (d  a )2  4bc Biện luận theo  hội tụ dãy un  Gợi ý a) Ta có y  ax  b b  dy   d     a   x , ( x, y )    \       \    nên f ( x ) song ánh cx  d cy  a  c    c   Dãy cho xác định u0  k  v0 , uk xác định khác v0 với k hay k  , n 87 b) Ta thấy dãy cho có giới hạn    a  b  c  ( d  a)  b  (*) Khi : c  d - Nếu   (d  a )2  4bc  dãy phân kì - Nếu   (d  a )2  4bc  (*) có hai nghiệm phân biệt, đặt    Ta lại xét trường hợp : + Nếu u0    un  a, n Dãy cho dãy + Nếu u0   , ta xét dãy số : U n 1  U n 1  un 1   c  d un      U n Suy : un 1   c  d un   c  d un 1   c  d un       U n  U n   n U với   c  d un 1   c  d un       un   Do :      un   Trường hợp   1 un   u0   un  phân kì u0   - Nếu   (d  a )2  4bc  , đặt   ad nghiệm (*) 2c + Nếu u0    un  a, n + Nếu u0   Ta chứng minh dãy Vn    n   un   Từ suy : lim un   Bài 17 Dãy số an  xác định a1  , a2  an1  an  an1 Chứng minh dãy số an  hội tụ tìm giới hạn dãy số Gợi ý Xét dãy số M n  max an , an1 , 4 + Nếu M n  an , an 1  , suy an 2  , từ M n 1  + Nếu M n  an 1 an 1  an , an 1  Khi 88 an1  an1  an  an 1  an 1  an1 suy an  an  an1  an  an 1  an 1 Do đó, M n1  max an1 , an , 4  an1 + Nếu M n  an an  an 1 , an  Khi an   an  an 1  an  an Suy M n 1  an  M n Vậy trường hợp M n 1  M n , tức dãy M n  dãy số giảm Do M n  bị chặn nên dãy có giới hạn Ta chứng minh giới hạn Thực vậy, giả sử giới hạn M  Khi với   , tồn N cho với n  N M    M n  M   Chọn n  N cho M n   an  (theo lập luận M  tồn số n vậy) Ta có M    M n  an  an  an1  M    M  M      2M      Mâu thuẫn M   chọn nhỏ tuỳ ý Do đó, lim M n  suy dãy cho hội tụ Bài 18 (Việt Nam TST 1990) Cho trước bốn số thực dương a, b, A, B Xét dãy số  xn  xác định sau x1  a, x2  b, xn   A xn21  B xn2 , n  1, 2,3, Chứng minh tồn giới hạn lim xn tìm giới hạn n  Gợi ý Xét dãy số phụ bn  max{an , an 1 , ( A  B )3 } Ta chứng minh dãy giảm bị chặn nên có giới hạn Sau chứng minh giới hạn dãy dãy  xn  cho có giới hạn ( A  B )3 Bài 19 (VMO 1992) Cho ba số thực dương a, b, c dãy số ak  , bk  , ck  , k  0,1, 2, xác định sau: 1) a0  a, b0  b, c0  c 2) ak 1  ak  2 , bk 1  bk  , ck 1  ck  ,k  bk  ck ck  ak ak  bk Chứng minh dãy ak  , bk  , ck  dần tới vô cực n tiến tới vô cực 89 Gợi ý Với k  , đặt M  max{ak , bk , ck } m  min{ak , bk , ck } , dễ thấy dãy dương Ta chứng minh rằng: lim M k  , lim Mk  p    Thật vậy: mk Xét M k , từ giả thiết, ta có:  ak bk ck ak21  bk21  ck21  ak2  bk2  ck2      bk  ck ck  ak ak  bk  2   ak  bk  ck   ak2  bk2  ck2 Bằng quy nạp, suy ra: a  b  c  6k , k  M   2k  lim M k   k Xét k k k Mk 1 , ta chứng minh được: mk 1  mk  , M k 1  M k  , k Suy ra: mk Mk mk     M k 1 M k M k 1.mk   M k    mk  M k  mk    M k mk 1  mk  Mk  mk 1 mk   Hơn rõ ràng: Mk M M  , suy dãy k hội tụ, tức tồn giới hạn p k mk mk mk Từ suy ra: lim mk   suy đpcm Bài 20 Cho dãy số dương an  thỏa mãn: a1  0, anp1  a1  a1   an , n  với  p  Chứng minh tồn c  cho an  nc, n Gợi ý p p Từ giả thiết, suy ra: an  a1 , n hay an  (n  2)a1  a1 , n Do đó: lim an   Suy ra, tồn N   cho với n  N thì: an  aN a a Đặt c  min{ , a1 , , , }  n  c  0, n  N N0 n Ta chứng minh an  nc, n  N quy nạp Thật vậy: Với n  N , nhận xét hiển nhiên Giả sử nhận xét đến n  N1  N , ta có aN2 1  anp1  a1  a2  aN1  (1    N1 ).c  N1 ( N1  1) N c  ( N1  1)c   ( N1  1)c  2 90  aN1 1  ( N1  1)c  aN1 1 N1   c , tức nhận xét với n  N1  Theo nguyên lí quy nạp, nhận xét chứng minh Từ ta suy đpcm Bài 21 Khảo sát hội tụ dãy số cho công thức sau u0  a  , un1  7un  6, n  0,1, 2, Gợi ý Đặt f ( x )  x  , dễ thấy f ( x ) đồng biến  Ta thấy phương trình f ( x )  x có nghiệm phân biệt x  3, x  1, x  Xét dấu f ( x ) khoảng (, 3), (3,1), (1, 2), (2, ) , ta được: a   lim un  3  a   lim un  a   lim u  n  Bài 22 Cho   (0, 2) Tính giới hạn dãy sau theo giá trị u0 , u1 cho trước un    un 1  (1   )un , n  0,1, 2, Gợi ý Ta có: un 1  un  (  1)(un  un 1 )   (  1) n (u1  u0 ) n 1 n n Suy ra: un 1  u0   (uk  uk 1 )   (  1) k (u1  u0 )  (u1  u0 ) (  1) k  (u1  u0 ) k 1 k 0 k 0  (  1)n  (  1) Từ   (0, 2) , ta được: 1          lim  (  1)n     (  1)n  u1  u0 Do đó: lim(un 1  u0 )  lim (u1  u0 )   (  1)     u u (1   )u0  u1 Vậy lim un   u0    Bài 23 (Việt Nam TST 1991) Cho dãy thực dương  xn  xác định x1  1, x2  9, x3  9, x4  1, xn  xn xn1.xn 2 xn 3 , n  Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn 91 Gợi ý Xét dãy  yn  yn  log xn , n , tức y1  0, y2  2, y3  2, y4  0, yn   yn  yn 1  yn   yn 3 , n  Ta chứng minh dãy  yn  hội tụ Thật vậy: Từ công thức tổng quát này, suy yn   yn  yn 1  yn   yn 3  yn 4  yn 3  yn   yn 1  yn 3  yn   yn 1  yn Bằng quy nạp, ta chứng minh yn   yn 3  yn 2  yn 1  y3  y2  y1  y0  4.0  3.2  2.2  1.0  10 Suy dãy  yn  có giới hạn  10  10    Ta dùng dãy phụ để chứng minh dãy có giới hạn Xét dãy un  max{ yn , yn 1 , yn  , yn 3},  min{ yn , yn 1 , yn  , yn 3}, n Bằng quy nạp, dễ thấy yn  9, n Ta chứng minh dãy un  giảm bị chặn dưới, dãy vn  tăng bị chặn nên hai dãy hội tụ điểm Suy dãy  yn  hội tụ   Vậy dãy  xn  hội tụ lim xn  92 F – CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI Bài Trên hypebol xy  , ta lấy điểm An , Bn với hoành độ tương ứng n n 1 , n 1 n Kí hiệu M n tâm đường tròn qua An , Bn đỉnh hypebol Hãy tìm giới hạn dãy M n  n tiến tới vô cực Bài 1 a Giả sử xk 1  2 xk   ,  a  0, x0  0  xk  a Chứng minh dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn b Kí hiệu zn hiệu xk gi ới hạn tương ứng dãy với giả thiết z1  Chứng minh với k  ta có bất đẳng thức sau zk  0, zk 1  zk , z k 1  zk a Bài Giả sử x1 , x2 , x3 , tập hợp tất nghiệm dương phương tan x  x xếp theo thứ tự tăng dần Tính giới hạn dãy yn  xn 1  xn , n  1, 2,3, Bài Giả sử dãy an  dãy số dương dãy  xn  xác định cách sau x1  1, x2  2, xn2  xn  an xn 1 , n  Chứng minh phần tử dãy  xn  có vơ hạn số nguyên dương nguyên âm Bài Giả sử p số nguyên tố a, b cho a  ab  b  0(mod p) Xét dãy số nguyên dương sau v0  a, v1  b, 1   vn1 , n  1, 2,3, 93 Chứng minh số dư mod p tuần hồn có chu kì khơng phụ thuộc vào a, b Bài Giả sử an  dãy hữu hạn số thực  n  N Ta gọi ak số đánh dấu có số ak , ak  ak 1 , , ak  ak 1   ak  2011 không âm (nếu n  N coi an  ) Chứng minh tổng tất số đánh dấu không âm Bài a0  1, a1  p, a2  p  q, Cho dãy số sau   an3  pan2  qan1  an , n   Biết an  0, n am an  am1an1 , m  n Chứng minh đa thức P ( x )  x  px  qx 1 có ba nghiệm thực Bài Cho dãy số nguyên dương an  thỏa mãn điều kiện  an1  an  an , n  Chứng minh với x, y mà  x  y  tồn k , l  * cho x  ak  y al Bài Cho số thực m  dãy số an  thỏa mãn a0  1, a1  m  n Chứng minh tổng yn   i 1  a2  , an1   2n  2 an , n  1, 2,3, m  an1  bị chặn Bài 10 Cho hai dãy số an  , bn  thỏa mãn điều kiện an  an1 an  an2   bn  bn1 bn  bn2   0, n  Chứng minh tồn số nguyên dương k cho ak  ak  2011 94 Bài 11   Chứng minh với a  1; e e  dãy số   u1  a hội tụ  un1  a un , n  1, 2,3,  Bài 12 Cho hai dãy số thực dương an  , bn  thỏa mãn điều kiện (i) a0   a1 , an (bn1  bn1 )  an1bn1  an1bn 1 , n  n (ii) b  n i n , n  i 1 Tìm cơng thức tổng quát an  Bài 13 Cho dãy số nguyên dương bn  dãy số an  với a1 cố định xác định sau an 1  an bn 1, n  Tìm tất số nguyên dương m lớn thỏa mãn điều kiện: (i) Dãy số an mod m tuần hoàn (ii) Tồn số nguyên dương q, u, v cho  q  m 1 dãy bu bt mod q tuần hoàn * Tài liệu tham khảo [1] Đề thi chọn đội tuyển trường, đề thi HSG tỉnh, thành phố năm học 2011 – 2012 [2] Trần Nam Dũng, Tài liệu giáo khoa chuyên Toán 11, NXB Giáo dục, 2010 [3] Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho Sinh viên, NXB Giáo dục, 1998 [4] Tủ sách tạp chí THTT, Các tốn thi Olympic Toán THPT, NXB Giáo dục, 2007 [5] Tuyển tập 30 năm tạp chí THTT, NXB Giáo dục, 1996 [6] Các diễn đàn Toán học http://mathscope.org, http://mathlinks.ro 95 ... 1WWW.MATHVN.COM số nguyên an -Tài liệu Toán 11 Nâng cao- www.MATHVN.com nπ a) Viết số hạng đầu dãy b) Chứng minh dãy số nhận hữu hạn giá trị Cho dãy số (un) xác định sau: un số dư chia n cho a) Xác định số. .. Đi tìm cơng thức tổng qt dãy số Trần Duy Sơn Giới thi u Dãy số phần Đại số Giải tích tốn học Dãy số đóng vai trò quan trọng toán học nhiều lĩnh vực đời sống Trong kì thi HSG quốc gia, IMO (Olympic... Bài Giả sử cosθ số hữu tỉ Chứng minh với ∀n ∈ * , cos nθ số hữu tỉ HD + cos(n + 1)θ = cos nθ cos θ − sin nθ sin θ HD + a + = 3a ⇔ a + Dạng Toán dãy số *Tìm số hạng dãy số Cho dãy số (un) xác định