SANG KIEN KINH NGHIEM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRONG THI HỌC SINH GIỎI

Qua đề tài này chúng tôi sẽ hệ thống lại một số kiến thức lí thuyết, cũng nhưtrình bày một vài cách giải đơn giản của một số bài tập giới hạn thường gặptrong các kì thi cho học sinh lớp

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÊN ĐỀ TÀI MỘT VÀI CÁCH TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Họ và tên: ……….

Chức vụ: ……….

Mục lục

1 Phần mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Giới hạn là một phần cơ bản của giải tích, chính những khái niệm và các phéptoán về giới hạn và tính liên tục là cơ sở cho việc nghiên cứu của các phép toánnhư Đạo hàm, Tích phân… trong chương trình học của môn toán ở THPT hiệnnay Do đó việc học và khai thác nó là cần thiết và có ý nghĩa

Tuy nhiên phần lớn các kiến thức liên quan đến giới hạn rất trừu tượng và khóhiểu đối với học sinh, điều này sẽ làm cho nó trở nên rất khó tiếp cận và hấp dẫn

đối với người học Với những lí do đó chúng tôi chọn đề tài “Một vài cách tìm giới hạn của dãy số”

Qua đề tài này chúng tôi sẽ hệ thống lại một số kiến thức lí thuyết, cũng nhưtrình bày một vài cách giải đơn giản của một số bài tập giới hạn thường gặptrong các kì thi cho học sinh lớp 11

Đề tài này được trình bày trên cơ sở một phần nhỏ lí thuyết trong phần giới hạncủa dãy số được trình bày trong sách giáo khoa đại số và giải tích 11 và nộidung chủ yếu là tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lí cơ bản được trìnhbày (không chứng minh) như ở mục 2.1.4b dưới đây

1.2 Phạm vi áp dụng đề tài, sáng kiến, giải pháp

Đề tài này chủ yếu được sử dụng trong quá trình giảng dạy chọn đội tuyển thihọc sinh giỏi cấp Tỉnh lớp 11, với mục đích hệ thống hóa một ít kiến thức giúpcác em dễ tiếp cận với bài toán tìm giới hạn của dãy số trong trường hợp số hạngtổng quát chưa cho biết cụ thể

2 Phần nội dung

2.1 Thực trạng của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy, học sinh thường hay gặp khó khăn và bế tắc đối với

những bài toán tìm giới hạn của dãy số mà unchưa biết cụ thể.

Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày một vài cách tìm giới hạn của dãy số trong cáctrường hợp đó

2.1 Tóm tắt lý thuyết

Phần lí thuyết này chúng tôi xin trình bày tóm tắt một số nội dung cần thiết cho

đề tài, phần các quy tắc tính giới hạn của dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân…xem như đã biết

2.1.1 Định nghĩa dãy số

a) Định nghĩa

Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* được gọi là một

dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)

b) Tên gọi và kí hiệu

• Mỗi giá trị của hàm số uđược gọi là một số hạng của dãy số; u (1)được gọi là số

hạng thứ nhất (hay số hạng đầu); u (2)được gọi là số hạng thứ hai; … u (n)được

gọi là số hạng thứ n của dãy số…

• Người ta thường kí hiệu các giá trị u (1), u (2), … tương ứng bởi u1, u2, … và dãy

số u u n = ( )bởi ( ) un và gọi un là số hạng tổng quát của dãy số.

• Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m∈N* được gọi là một dãy

số hữu hạn, trong đó u (1)

được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu); u (m)được gọi là số hạng cuối

2.1.2 Các cách cho một dãy số

Một dãy số được coi là xác định nếu ta biết cách tìm mọi số hạng của dãy số đó.Người ta thường cho dãy số bằng một trong các cách sau đây:

• Cách 1: Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

• Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi

• Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số

2.1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

 Dãy số (u n ) được gọi là:

 Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, …

 Dãy đơn không giảm nếu un+1 ≥ un, với moi n = 1, 2, …

 Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2, …

 Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1 ≤ un, với mọi n = 1, 2, …

 Dãy số (u n ) được gọi là

 Dãy số bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M, với mọi n = 1, 2, …

 Dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un > m, với mọi n = 1, 2, …

 Dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

2.1.4 Giới hạn hữu hạn của dãy số

như ∀ > ε 0, tồn tại số nguyên dương n0 sao cho ∀ > n n0 thì un− < a ε

Định nghĩa này được hiểu như sau: Dãy số ( ) un gọi là có giới hạn bằng a nếu với

mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy, kể từ số hạng nào đó

trở đi, un − a nhỏ hơn số dương đó.

Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau:

• Nếu ( ) un hội tụ thìlim un+1 = lim un+2 = = lim un

Định lí 1 Dãy số thực ( ) un tăng và bị chặn trên thì hội tụ

Định lí 2 Dãy số thực ( ) un giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Chú ý:

• Nếu dãy số thực ( ) un tăng thì ∀ = k 1,2, ta có uk ≤ lim un

• Nếu dãy số thực ( ) un giảm thì ∀ = k 1,2, ta có uk ≥ lim un

• Cho dãy ( ) un hội tụ Khi đó nếu tồn tại n0∈ N sao cho a u ≤ n, ∀ ≥ n n0 thì a ≤ lim un

u v ≤ ≤ ∀ > n n và lim un = lim wn = L thì limvn = L

2.1.5 Giới hạn vô cực của dãy số

a) Định nghĩa ta nói dãy số ( ) un có giới hạn là +∞ và kí hiệu là lim un = +∞

Nếu với một số thực A bất kì đều tồn tại số n0∈ N sao cho ∀ ≥ n n0

thì u An >

Tương tự ta có định nghĩa cho lim un = −∞

Định nghĩa này được hiểu như sau:

Ta nói dãy số ( ) un có giới hạn là +∞ và kí hiệu là lim un = +∞ Nếu ( ) un có thể

lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi

b) Nhận xét

• Dãy số tăng và không bị chặn trên thì lim un = +∞

• Dãy số giảm và không bị chặn dưới thì lim un = −∞

• Nếu lim un = +∞ thì un trở nên lớn bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn Do

2.2 Một số bài tập liên quan đến giới hạn của dãy số

2.2.1 Tìm giới hạn của dãy số bằng cách tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

Có rất nhiều phương pháp để tìm SHTQ của dãy số Dưới đây là một vài cáchđơn giản để tìm SHTQ của dãy số chẳng hạn như: sử dụng quy nạp toán học,đưa về cấp số cộng và cấp số nhân, tìm cách đổi biến số… Một khi đã tìm thấycông thức của số hạng tổng quát thì bài toán tìm giới hạn của dãy số trở nên đơngiản

Bài 1 Cho các dãy số sau

Phân tích bài tập này như sau:

Quan sát dạng tổng quát của bài toán.

Tìm công thức của số hạng tổng quát (nếu có thể).

Tính giới hạn của dãy số đó.

Giải

− +

− +

1 1

2

n n

u

lim = lim( 2 + 1 (1 − 2) ) = 2.

2

n n

n

n n

Hãy tính tổng 2001 số hạng đầu tiên của dãy số và tính giới hạn của dãy số đó.

Nhận xét: Việc tìm ra công thức của SHTT trong trường hợp này sẽ làm cho bài toán trở nên đơn giản

a) Tính x2013.

b) Tính lim xn

Phân tích bài toán:

o Bài toán này có yêu cầu tính x2013 do đó việc tìm công thức SHTQ là cần thiết và

11.3 104

Đến đây việc giải bài tập này hoàn toàn đơn giản

Như vậy việc tìm ra công thức của SHTQ giải quyết được, thì bài toán tìm giớihạn của dãy số trở nên rất đơn giản Tuy nhiên không phải điều này luôn dễdàng trong mọi trường hợp do đó chúng ta phải tìm thêm những cách khác đểgiải quyết những bài tập đó Dưới đây là một số cách khác

2.2.2 Phương pháp chứng minh dãy số un+1= f u ( )n hội tụ và tìm giới hạn của nó

bằng cách sử dụng định lí 1 và định lí 2 (trong đó f (u) là hàm liên tục).

Có nhiều cách để giải bài tập có dạng như trên, dưới đây chúng tôi trình bày cácbước thường sử dụng trong một lời giải cho bài toán đó và một số bài tập vậndụng

a) Cách giải:

Bước 1: Dự đoán xem dãy số tăng hay dãy số giảm bằng cách tính một vài số

hạng của dãy Tiếp theo giải phương trình L f L = ( )

Nếu dự đoán dãy tăng thì chứng minh u Ln ≤

Nếu dự đoán dãy giảm thì chứng minh u Ln ≥

(Để chứng minh hai kết quả vừa nêu, người ta thường sử dụng phương pháp quynạp toán học)

Bước 2: Sử dụng kết quả ở bước 1 để khẳng định tính đơn điệu của dãy số đãcho

Bước 3: Sử dụng định lí 1 và định lí 2 để chứng minh dãy số hội tụ, đồng thời sửdụng tính liên tục của hàm f (u) ta có kết quả chính là nghiệm của phương trình

2 u 1

hay u + > +

Vậy theo nguyên lí quy nạp, có un+1 > un.

Như vậy ta đã chứng minh được ( ) un là dãy tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới

Giải phương trình ta được x = 2 hay lim un = 2.

Bài 2 Cho dãy số ( ) un dau can

Xét sự hội tụ của dãy số và tìm

Phân tích bài toán

o Từ đó ta có một lời giải cho bài toán này hoàn toàn tương tự với bài toán trên và

đi đến kết quả ( ) un luôn hội tụ với mọi số a > 0và limun 1 1 4 2 .

Trong đó a > 0 và vế trái có bao nhiêu dấu căn cũng được.

Bài 3 Cho dãy số ( ) un

2 1

Hay ( ) un là dãy giảm và

bị chặn dưới nên hội tụ và ta đặt limun = x

Khi đó

2 1

Sau đây là một ví dụ cụ thể cho bài toán tổng quát trên

Bài 4 Cho dãy số ( ) un 1

1 > +

u u

+ = < ∀ +

⇒ un < ∀ ⇒ u nn un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên (un) có giới hạn

hữu hạn Đặt limun= a, khi đó từ hệ thức truy hồi suy ra

Bài 6 Cho dãy (un) (n = 1, 2, …) xác định bởi:

u Tìm giới hạn của dãy số.

Bài 7 Tìm điều kiện của u1để dãy số (u

n) cho dưới đây hội tụ và tìm giới hạn đó

Tìm giới hạn của dãy số

2.2.3 Sử dụng nguyên lí kẹp để tìm giới hạn của dãy số

Sử dụng nguyên lí kẹp đôi khi làm giảm độ phức tạp của bài toán, tuy nhiên khi

sử dụng cần chú ý là các bất đẳng thức một biến trong trường hợp này là quantrọng

Ngoài ra đối với những dãy không tăng, không giảm thì đây là một công cụ kháhữu hiệu để giải

Chú ý: Để chứng minh dãy số ( ) un hội tụ về số thực L ta chứng minh

0

0 ≤ − ≤ ∀ > u L y n nn n, trong đó lim yn = 0 và sử dụng nghuyên lí kẹp ta có

điêù phải chứng minh

13( )

Tìm giới hạn của dãy số

Phân tích bài toán

n n

Chứng minh ( ) un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.

o Phân tích bài toán:

• Dãy số có giới hạn hữu hạn nếu nó thỏa mãn chú ý ở trên Do đó ta tìm cách đánhgiá để sử dụng các kết quả đó

Bài giải

Ta có: Đặt

19 2.

Do đó ta có:

1 1

Hay dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và giới hạn đó bằng a

Bài 4 Cho dãy số (un) xác định bởi

1 1

Mà lim( 1

9 1

2 −

+ n

) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1

Bài 5 Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1

1 1

Ngoài ra với bài tập này ta có thể tìm ra công thức của SHTQ sau đó tiến hành tìm giới hạn của dãy số

1n 2n 2014n 2014.n n

Có nhiều phương pháp để tìm giới hạn của dãy tổng, tuy nhiên người ta thường

sử dụng hai cách sau đây để tính giới hạn của dãy tổng:

o Rút gọn hoặc tìm số hạng tổng quát của dãy tổng

o So sánh với một dãy số khác và sử dụng nguyên lí kẹp

Bài 1

Xét dãy số (xn) (n = 1, 2, 3, …) xác định bởi:

x1 = 2 và

2 1

1 ( 1) 2

a = a + ⇔ =

(vô lí)

Vậy ( ) xn không bị chặn trên nên lim xn = +∞

Từ giả thiết ta có:

2 1

95

2 1

(2 1) 2012

Ta có xn+1− > xn 0 nên ( ) xn là dãy tăng, giả sử ( ) xn bị chặn trên khi đó tồn tại

1( )

1 3

n n

1 4

n n

2012 ( )

2012

n

u u

3.1 Ý nghĩa của đề tài nghiên cứu

 Đề tài đã đưa ra một vài cách để tìm giới hạn của dãy số dựa trên một số định lí

cơ bản nhằm hỗ trợ cho học sinh tiếp cận với việc học dễ dàng hơn, cũng nhưtạo thêm phần hứng thú, nhu cầu tìm hiểu cho người học

 Đề tài đã tổng hợp thêm một vài kỹ năng tìm giới hạn của dãy số, xây dựng và

hệ thống được một số bài tập điển hình giúp HS chủ động hơn trong việc học

 Đây là một tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên trong quá trình học tập

và giảng dạy

3.2 Kiến nghị và đề xuất

Các bài toán liên quan đến giới hạn thường khó và có rất nhiều dạng toán khácnhau, đề tài này mới chỉ đề cập đến một khía cạnh nhỏ của vấn đề về tìm giớihạn của dãy số Trong quá thực hiện không tránh khỏi sự sai sót vì vậy rất mongnhận được sự góp ý của học sinh và đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện và có giátrị hơn