SANG KIEN KINH NGHIEM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ TRONG THI HỌC SINH GIỎI

CNG HềA X HI CH NGHA VIT NAM cX lpHI - TCH - Hnh phỳc CNG HềA NGHA VIT NAM c lp - T - Hnh phỳc TấN TI TấNGII TI MT VI CCH TèM HN CA DY S MT VI CCH TèM GII HN CA DY S H v tờn: Chc v: Mc lc Phn m u 1.1 Lớ chn ti Gii hn l mt phn c bn ca gii tớch, chớnh nhng khỏi nim v cỏc phộp toỏn v gii hn v tớnh liờn tc l c s cho vic nghiờn cu ca cỏc phộp toỏn nh o hm, Tớch phõn chng trỡnh hc ca mụn toỏn THPT hin Do ú vic hc v khai thỏc nú l cn thit v cú ý ngha Tuy nhiờn phn ln cỏc kin thc liờn quan n gii hn rt tru tng v khú hiu i vi hc sinh, iu ny s lm cho nú tr nờn rt khú tip cn v hp dn i vi ngi hc Vi nhng lớ ú chỳng tụi chn ti Mt vi cỏch tỡm gii hn ca dóy s Qua ti ny chỳng tụi s h thng li mt s kin thc lớ thuyt, cng nh trỡnh by mt vi cỏch gii n gin ca mt s bi gii hn thng gp cỏc kỡ thi cho hc sinh lp 11 ti ny c trỡnh by trờn c s mt phn nh lớ thuyt phn gii hn ca dóy s c trỡnh by sỏch giỏo khoa i s v gii tớch 11 v ni dung ch yu l tỡm gii hn ca dóy s da vo cỏc nh lớ c bn c trỡnh by (khụng chng minh) nh mc 2.1.4b di õy 1.2 Phm vi ỏp dng ti, sỏng kin, gii phỏp ti ny ch yu c s dng quỏ trỡnh ging dy chn i tuyn thi hc sinh gii cp Tnh lp 11, vi mc ớch h thng húa mt ớt kin thc giỳp cỏc em d tip cn vi bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s trng hp s hng tng quỏt cha cho bit c th Phn ni dung 2.1 Thc trng ca Trong quỏ trỡnh ging dy, hc sinh thng hay gp khú khn v b tc i vi nhng bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s m un cha bit c th Di õy chỳng tụi s trỡnh by mt vi cỏch tỡm gii hn ca dóy s cỏc trng hp ú 2.1 Túm tt lý thuyt Phn lớ thuyt ny chỳng tụi xin trỡnh by túm tt mt s ni dung cn thit cho ti, phn cỏc quy tc tớnh gii hn ca dóy s, cp s cng, cp s nhõn xem nh ó bit 2.1.1 nh ngha dóy s a) nh ngha Mt hm s u xỏc nh trờn hp cỏc s nguyờn dng dóy s vụ hn (hay cũn gi tt l dóy s) N * c gi l mt b) Tờn gi v kớ hiu Mi giỏ tr ca hm s u c gi l mt s hng ca dóy s; u(1) c gi l s hng th nht (hay s hng u); gi l s hng th n ca dóy s Ngi ta thng kớ hiu cỏc giỏ tr s u(2) c gi l s hng th hai; u(n) c u(1) , u(2) , tng ng bi u1 , u2 , v dóy u = u (n) bi (un ) v gi un l s hng tng quỏt ca dóy s Mi hm s u xỏc nh trờn M = {1,2,3,, m} vi m N* c gi l mt dóy u(1) s hu hn, ú c gi l s hng th nht (hay s hng u); c gi l s hng cui u(m) 2.1.2 Cỏc cỏch cho mt dóy s Mt dóy s c coi l xỏc nh nu ta bit cỏch tỡm mi s hng ca dóy s ú Ngi ta thng cho dóy s bng mt cỏc cỏch sau õy: Cỏch 1: Dóy s cho bng cụng thc ca s hng tng quỏt Cỏch 2: Cho dóy s bi h thc truy hi Cỏch 3: Din t bng li cỏch xỏc nh mi s hng ca dóy s 2.1.3 Dóy s tng, dóy s gim v dóy s b chn Dóy s (un) c gi l: Dóy n iu tng nu un+1 > un, vi mi n = 1, 2, Dóy n khụng gim nu un+1 un, vi moi n = 1, 2, Dóy n iu gim nu un+1 < un, vi mi n = 1, 2, Dóy n iu khụng tng nu un+1 un, vi mi n = 1, 2, Dóy s (un) c gi l Dóy s b chn trờn nu tn ti s M cho un < M, vi mi n = 1, 2, Dóy s b chn di nu tn ti s m cho un > m, vi mi n = 1, 2, Dóy s b chn nu va b chn trờn va b chn di 2.1.4 Gii hn hu hn ca dóy s a) nh ngha Dóy s nh un = a (un ) gi l cú gii hn bng a, v kớ hiu lim n > 0, tn ti s nguyờn dng n0 cho (u ) (hay lim un = a ) nu n > n0 thỡ un a < nh ngha ny c hiu nh sau: Dóy s n gi l cú gii hn bng a nu vi mi s dng nh tựy ý cho trc, mi s hng ca dóy, k t s hng no ú tr i, un a nh hn s dng ú T nh ngha ta cú cỏc nhn xột sau: Nu (un ) hi t thỡ lim un+ = lim un+ = = lim un (u ) Nu dóy n hi t thỡ b chn (iu ngc li hin nhiờn khụng ỳng) b) Cỏc nh lớ c bn Cú rt nhiu nh lớ liờn quan n gii hn ca dóy s, di õy chỳng tụi xin trỡnh by ba nh lớ c bn (khụng chng minh), thng hay s dng gii cỏc bi dóy s cỏc thi HSG nh lớ Dóy s thc (un ) tng v b chn trờn thỡ hi t nh lớ Dóy s thc (un ) gim v b chn di thỡ hi t Chỳ ý: Nu dóy s thc (un ) tng thỡ k = 1,2, ta cú uk lim un Nu dóy s thc (un ) gim thỡ k = 1,2, ta cú uk lim un Cho dóy v nu (un ) hi t Khi ú nu tn ti n0 N cho a un , n n0 thỡ a lim un b un , n n0 thỡ b lim un nh lớ (Nguyờn lớ kp) Nu ba dóy (un ), (vn ), (w n ) tha un w n , n > n0 v lim un = lim w n = L thỡ limv n = L 2.1.5 Gii hn vụ cc ca dóy s a) nh ngha ta núi dóy s (un ) cú gii hn l + Nu vi mt s thc A bt kỡ u tn ti s Tng t ta cú nh ngha cho lim un = v kớ hiu l n0 N cho lim un = + n n0 thỡ u n > A nh ngha ny c hiu nh sau: Ta núi dóy s (un ) cú gii hn l + v kớ hiu l lim un = + Nu (un ) cú th ln hn mt s dng bt kỡ, k t mt s hng no ú tr i b) Nhn xột Dóy s tng v khụng b chn trờn thỡ lim un = + Dóy s gim v khụng b chn di thỡ Nu ú lim un = + 1 = un un thỡ un lim un = tr nờn ln bao nhiờu cng c, l n ln Do tr nờn nh bao nhiờu cng c, l n ln Chỳ ý: Cỏc dóy s cú gii hn + v cc hay dn n vụ cc 2.2 c gi chung l cỏc dóy s cú gii hn vụ Mt s bi liờn quan n gii hn ca dóy s 2.2.1 Tỡm gii hn ca dóy s bng cỏch tỡm cụng thc s hng tng quỏt ca dóy s Cú rt nhiu phng phỏp tỡm SHTQ ca dóy s Di õy l mt vi cỏch n gin tỡm SHTQ ca dóy s chng hn nh: s dng quy np toỏn hc, a v cp s cng v cp s nhõn, tỡm cỏch i bin s Mt ó tỡm thy cụng thc ca s hng tng quỏt thỡ bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s tr nờn n gin Bi Cho cỏc dóy s sau u1 = a) (u n ) + un u = n + un + Tỡm lim u n u1 = b) (u n ) u = n + un + Tỡm lim u n Phõn tớch bi ny nh sau: Quan sỏt dng tng quỏt ca bi toỏn Tỡm cụng thc ca s hng tng quỏt (nu cú th) Tớnh gii hn ca dóy s ú Gii a) x n +1 = (1 2) = = (1 2)n un u = (1 2)2 n = un + u n + u1 = (1 2)n +1 u1 + 1 u n +1 = + (1 2)n +1 u n = + (1 2)n 2 lim u n = lim( + (1 2)n ) = 2 Cõu b lm tng t Bi x1 = (x n ) xn x = n +1 2(2n + 1)x n + n = 1,2 Hóy tớnh tng 2001 s hng u tiờn ca dóy s v tớnh gii hn ca dóy s ú Nhn xột: Vic tỡm cụng thc ca SHTT trng hp ny s lm cho bi toỏn tr nờn n gin Bi gii: x n > n = 1,2 T Nờn ta cú ẹaởt x n +1= xn 1 = 2(2n + 1) + 2(2n + 1)x n + x n +1 xn = u u1 = 3, u n +1 = 4(2n + 1) + u n xn n Khi ú un = an + bn + c thỡ ta cú ng nht thc hai v ca nờn n = 1,2 (*) g (n + 1) = 4(2n + 1) + g (n ) (*) u =3 u = 4n + c u = 4n + c n n ta tỡm c ú v un = n u n = (2 n 1)(2 n + 1), n = 1,2 xn = 2 1 = = u n (2n 1)(2n + 1) 2n 2n + Do ủoự: x1 + + x 2001 = 4002 4003 Bi Cho dóy s x1 = (x n ) 14x n 51 x = n 5x n + 18 n = n = 1,2 x a) Tớnh 2013 b) Tớnh lim xn Phõn tớch bi toỏn: o Bi toỏn ny cú yờu cu tớnh x2013 ú vic tỡm cụng thc SHTQ l cn thit v cú ý ngha o Cụng thc ca SHTQ c tỡm thy mt cỏch d dng Ta cú mt li gi cho bi toỏn ny nh sau Bi gii Ta cú: xn + = 14 xn 51 xn + +3= xn + 18 5( xn1 + 3) + = 5+ xn + xn1 + 5 + = 3( + ) = = 3n ( + ) xn + xn1 + x1 + 11 = 3n1 xn + xn + = n 11.3 10 xn = n 11.3 10 n õy vic gii bi ny hon ton n gin Nh vy vic tỡm cụng thc ca SHTQ gii quyt c, thỡ bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s tr nờn rt n gin Tuy nhiờn khụng phi iu ny luụn d dng mi trng hp ú chỳng ta phi tỡm thờm nhng cỏch khỏc gii quyt nhng bi ú Di õy l mt s cỏch khỏc 10 un (1 un+1 ) > n lim [ un (1 un+1 )] x(1 x) 1 1 limu n = ( x )2 x = x = 2 2 Vy Khi ú Trong bi ny khụng nht thit phi s dng quy np chng minh dóy s gim u0 > un u = ,n n + + u u lim un n Bi Cho dóy s ( n ) xỏc nh bi Tớnh Bi gii u0 >0 u + u Nhn xột rng n > vi mi n Tht vy, u > v u1 = uk > 0, k uk +1 = Gi s u n +1 uk > = < 1, n 2 u > 0) + uk u + u n Do ú n (vỡ n un+1 < un , n (un ) l dóy s gim v b chn di bi nờn ( un ) cú gii hn hu hn lim un+1 = lim t lim un = a, ú t h thc truy hi un a a= a3 + a = a a = 2 lim un = + un 1+ a Vy Di õy l mt s bi tng t 16 suy Bi Cho dóy (un) (n = 1, 2, ) xỏc nh bi: u1 = 2008 2007 u = (2007 u + ) n 2007 n +1 2008 u n Bi Tỡm iu kin ca (n 1) Tỡm gii hn ca dóy s u1 dóy s (un) cho di õy hi t v tỡm gii hn ú un+ = un2 + 3un + n = 1,2,3 Bi Cho dóy (un) (n = 1, 2, ) xỏc nh bi: un = 2n + a 8n3 + ( a R, n = 1,2 ) Tỡm a cho dóy s ó cho cú gii hn hu hn Bi Cho dóy (un) (n = 1, 2, ) xỏc nh bi: u = u = 3u n n (n 2) Tỡm gii hn ca dóy s 2.2.3 S dng nguyờn lớ kp tỡm gii hn ca dóy s S dng nguyờn lớ kp ụi lm gim phc ca bi toỏn, nhiờn s dng cn chỳ ý l cỏc bt ng thc mt bin trng hp ny l quan trng Ngoi i vi nhng dóy khụng tng, khụng gim thỡ õy l mt cụng c khỏ hu hiu gii Chỳ ý: chng minh dóy s (un ) un L yn , n > n0 lim yn = ú hi t v s thc iờự phi chng minh 17 L ta chng minh v s dng nghuyờn lớ kp ta cú Di õy l mt s vớ d u1 = (u n ) u = u n +1 n Bi Cho dóy s Tỡm gii hn ca dóy s Phõn tớch bi toỏn o Trc ht ta d thy o < un < a = a a = t thỡ o Xột un +1 a tỡm dóy ( yn ) ú lim yn = Bi gii Bng quy np ta chng minh c < un < u a = u a u + a < un a n + n n a = 2 t ú < u n < 0; < u n + a = u n + < 3) (vỡ n 3 u n +1 a < u n a < ữ u n a < < ữ u1 a ữ ữ Do ú: Nh vy ta cú 18 n < u n +1 a < ữ u a ữ n lim lim u n +1 a lim ữ u a = ữ Hay lim u n = u1 = m (u n ) u = 30 u +4 n + n Bi Cho m R Dóy Chng minh (u n ) n N * cú gii hn hu hn Tỡm gii hn ú o Phõn tớch bi toỏn: Dóy s cú gii hn hu hn nu nú tha chỳ ý trờn Do ú ta tỡm cỏch ỏnh giỏ s dng cỏc kt qu ú Bi gii Ta cú: t u n +1 a = 30 = a = 19 19 30 2 u n2 + a + = 15 15 u n2 a u n2 + u n2 + 2 + a2 + 15 15 30 u a n 2 + a + u n2 + a u n + a 15 15 (Vỡ ) 19 Do ú ta cú: un a 30 30 n1 un1 a ( ) m a 7 Hay dóy s ó cho cú gii hn hu hn v gii hn ú bng a u1 = 10 u = un , n Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi n +1 Tớnh limun Bi gii Bng quy np ta cú th chng minh un >1, vi mi n Mt khỏc theo bt ng thc Cụsi, ta cú Du = khụng xy vỡ un+1 = un = 1.un u1 = 10 > n ú un + < + un u , n un +1 < n , n 2 (*) Suy < un < Hay u n u n u1 < < < = n , n n 2 2 , < un < + , n 2n1 20 + un M lim( 1+ 2n1 ) = nờn theo nguyờn lớ kp ta cú limun = u1 = u = , n n + + u lim un n Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi Tớnh Bi gii Bng quy np ta chng minh c t x= < un < un +1 x = Xột 1 x un x un = = + un + x (1 + un )(1 + x) + 1 + un 1 < n u = u + n+1 n u , n n Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi lim Tớnh HD 1< un n un u < 1+ n n un = Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi Tớnh n2 + n < un < HD n2 + + + n2 + n n n2 + Bi Cho dóy s (un) xỏc nh bi Tớnh n2 + + lim un n HD un = n n lim un un = n n + + + + n + n n + n = n n Bi 10 Cho dóy s (un) xỏc nh bi un = 23 n n n + + + n2 + n2 + n2 + n Tớnh lim un n HD n n n n n u = + + + n n n2 + n n2 + n2 + n2 + n n2 + 2.2.4 Dóy tng Cú nhiu phng phỏp tỡm gii hn ca dóy tng, nhiờn ngi ta thng s dng hai cỏch sau õy tớnh gii hn ca dóy tng: o Rỳt gn hoc tỡm s hng tng quỏt ca dóy tng o So sỏnh vi mt dóy s khỏc v s dng nguyờn lớ kp Bi Xột dóy s (xn) (n = 1, 2, 3, ) xỏc nh bi: xn+1 = ( xn2 + 1) x1 = v vi mi n = 1, 2,3, Sn = t 1 + + + + x1 + x2 1+ xn Bi gii Ta chng minh bng quy np ta chng minh c Gi s ( xn ) l dóy tng lim x = lim( ( xn + 1)) n +1 ( xn ) b chn trờn ú t lim xn = a thỡ a = (a + 1) a = Hay ta cú (vụ lớ) 24 Vy ( xn ) khụng b chn trờn nờn lim xn = + T gi thit ta cú: 2( xn+1 1) = ( xn2 1) = (x n 1)( xn + 1) xn+1 = 1 xn xn + 1 1 = xn + xn xn+1 Sn = =( = 1 + + + = + x1 + x2 1+ x n 1 1 1 )+( ) + + ( )= x1 x2 x2 x3 xn xn+1 1 x1 xn+1 lim Sn = lim( n + 1 )= = x1 xn+1 x1 Bi u1 = a un2 (b + c)un + c u n +1 = bc Cho dóy (un) tha n Ta chng minh Bi gii 1 = u1 + c un+1 + c i =1 ui + b Sn = Tht vy 25 un2 (b + c)un + c un +1 = bc Ta cú un2 (b + c)un + bc (un + b)(un + c) un+1 + c = = b c bc Suy 1 = T ú un+1 + c un + c un + b 1 = u n + b u n + c u n +1 + c Khai trin v c lng c 1 = u1 + b u1 + c u2 + c 1 = u2 + b u2 + c u3 + c 1 1 = Sn = un + b un + c un+1 + c Do ú u1 + c un+1 + c Vớ d ỏp dng bi toỏn u1 = un2 un + un+1 = a) Cho dóy s (un) tha món: Sn = t 1 + + + + u1 + u2 2+ un Tỡm limSn b) Cho dóy s (un) tha món: 26 u1 = + un+1 = ( 2)un + (2 5)un + 3 1 + + + + u1 + u2 + un Sn = t Tỡm limSn (S: ) c) Cho dóy s (un) tha món: u1 = u = (un 7un + 25) n + Sn = 1 + + + u1 u2 u n t Tỡm limSn (S: 1/3) Bi (2 xn + 1)2012 xn+1 = + xn 2012 Cho dóy s (xn) c xỏc nh bi: x1 = 1; Vi n l s nguyờn dng (2 x1 + 1)2011 (2 x2 + 1)2011 (2 x3 + 1)2011 (2 xn + 1)2011 un = + + + + x + x + x + xn+1 + 3 t Bi gii 27 Ta cú x n +1 x n > nờn ( xn ) l dóy tng, gi s ( xn ) b chn trờn ú tn ti lim xn = a > Khi ú Vy a (2a + 1)2012 a= +a a= 2012 (loi) l nghim ca phng trỡnh lim xn = + Mt khỏc 2(x n +1 x n ) = 2x n + 2x n +1 + (2x n + 1)(2x n +1 + 1) = 2(2x n + 1)2012 = = 2012(2x n + 1)(2x n +1 + 1) (2x n + 1)2011 = 1006(2 x n +1 + 1) Do ú (2 x1 + 1)2011 (2 x2 + 1) 2011 (2 x3 + 1) 2011 (2 xn + 1) 2011 un = + + + + = x2 + x3 + x3 + xn+1 + n (2 x i + 1)2011 = = 1006 = 1006 ữ ữ xi +1 + xi +1 + i =1 i =1 xi + x1 + xn+1 + n lim un = n + 1006 Suy Di õy l mt s bi tng t Bi 28 u1 = u1 un (u n ) u n2 S = + + n u n +1 = u n + u2 u n +1 limSn 2010 Cho dóy s: t Tỡm u n +1 u n u n2 = u u 2010 u n +1.u n HD: n +1 n S: 2010 Bi i =1 u i + n Cho dóy (u n ):u n + = u n2 + 3u n + Tỡm lim HD: 1 = u n + u n + u n +1 + Bi u1 = (u n ) u n4 + Sn = u n +1 = u u + n n Cho dóy s: t limSn k =1 u k + Tỡm n HD: bng quy np chng minh c x n > n (s:1) Bi u1 = (u n ) u n2012 + 2x n + Sn = u n +1 = u 2011 x + n n Cho dóy s: t n u k =1 2011 k + Tỡm limSn (s:1) u = 2012 (u n ) u n +1 = 2012u n2 + u n Bi Cho dóy s: 29 lim( Tớnh u1 u u + + + n ) u2 u3 u n +1 Phn kt lun 3.1 í ngha ca ti nghiờn cu ti ó a mt vi cỏch tỡm gii hn ca dóy s da trờn mt s nh lớ c bn nhm h tr cho hc sinh tip cn vi vic hc d dng hn, cng nh to thờm phn hng thỳ, nhu cu tỡm hiu cho ngi hc ti ó tng hp thờm mt vi k nng tỡm gii hn ca dóy s, xõy dng v h thng c mt s bi in hỡnh giỳp HS ch ng hn vic hc õy l mt ti liu tham kho cho hc sinh v giỏo viờn quỏ trỡnh hc v ging dy 3.2 Kin ngh v xut Cỏc bi toỏn liờn quan n gii hn thng khú v cú rt nhiu dng toỏn khỏc nhau, ti ny mi ch cp n mt khớa cnh nh ca v tỡm gii hn ca dóy s Trong quỏ thc hin khụng trỏnh s sai sút vỡ vy rt mong nhn c s gúp ý ca hc sinh v ng nghip ti hon thin v cú giỏ tr hn 30 ... tuyn thi hc sinh gii cp Tnh lp 11, vi mc ớch h thng húa mt ớt kin thc giỳp cỏc em d tip cn vi bi toỏn tỡm gii hn ca dóy s trng hp s hng tng quỏt cha cho bit c th Phn ni dung 2.1 Thc trng ca Trong. .. cp n mt khớa cnh nh ca v tỡm gii hn ca dóy s Trong quỏ thc hin khụng trỏnh s sai sút vỡ vy rt mong nhn c s gúp ý ca hc sinh v ng nghip ti hon thin v cú giỏ tr hn 30 ... mụn toỏn THPT hin Do ú vic hc v khai thỏc nú l cn thit v cú ý ngha Tuy nhiờn phn ln cỏc kin thc liờn quan n gii hn rt tru tng v khú hiu i vi hc sinh, iu ny s lm cho nú tr nờn rt khú tip cn v hp