Chương 2 giới hạn của dãy số và hàm số

1 Chương Giới hạn dãy số hàm số Lê Văn Trực Giải tích tốn học Tập NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Từ khoá: Giải tích tốn học, giải tích, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô bé, vô lớn, hàm số hợp, hàm số ngược Tài liệu Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác khơng chấp thuận nhà xuất tác giả Mục lục Chương Giới hạn dãy số hàm số 2.1.1 Định nghĩa dãy số 2.1.2 Các tính chất dãy hội tụ 2.1.3 Giới hạn vô hạn 2.2 Tiêu chuẩn hội tụ 2.2.1 Các định lý 2.2.2 Số e 10 2.2.3 Nguyên lý Cantor dãy đoạn thẳng lồng thắt lại 11 2.2.4 Sự hội tụ dãy bị chặn 12 2.2.5 Nguyên lý Cauchy hội tụ dãy số 13 2.2.6 Giới hạn giới hạn 14 2.3 Khái niệm hàm số biến số 16 2.3.1 Định nghĩa 16 2.3.2 Đồ thị hàm số 16 2.3.3 Hàm số hợp 18 2.3.4 Hàm số ngược 18 2.3.5 Các hàm lượng giác ngược 20 2.3.6 Các hàm số hypebol 22 2.3.7 Các hàm hypebol ngược 23 2.4 Giới hạn hàm số 25 2.4.1 Lân cận điểm 25 2.4.2 Các định nghĩa giới hạn 26 2.4.3 Giới hạn phía 29 2.4.4 Giới hạn vô 30 2.4.5 Các tính chất giới hạn 31 2.4.6 Tiêu chuẩn tồn giới hạn hàm số 31 2.4.7 Vô bé Vô lớn 32 2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ 35 2.5 Bài tập chương 46 Chương Giới hạn dãy số hàm số 2.1 Giới hạn dãy số 2.1.1 Định nghĩa dãy số Cho * ={1,2,3,…} tập hợp số tự nhiên Một ánh xạ f: * → dãy số thực Nếu đặt xn= f(n) ta biểu diễn dãy số dạng: x1 , x2 , x3 , , xn , gọi (2.1.1) Phần tử xn gọi số hạng thứ n dãy số Để cho gọn ta ký hiệu dãy số {xn} Chỉ số n số hạng xn vị trí số hạng dãy (2.1.1) Trước hết ta nêu vài ví dụ dãy: 1 1 ⎧1 ⎫ ⎨ ⎬ : x1 = 1, x2 = , x3 = , x4 = , , xn = , n ⎩n ⎭ (2.1.3) n ⎧ n ⎫ , ⎨ ⎬ : x1 = , x2 = , , xn = n +1 ⎩n + 1⎭ (2.1.4) ⎫ 1 1 ⎧1 , x2 n = , ⎨ , ⎬ : x1 = , x2 = 1, x3 = , , x2 n −1 = 2n 2n − ⎩ n 2n − ⎭ (2.1.5) Ta thấy số hạng dãy (2.1.3) dãy (2.1.5) gần tuỳ ý n tăng, số hạng dãy (2.1.4) gần tuỳ ý n tăng Ta nói dãy (2.1.3) dãy (2.1.5) có giới hạn 0, cịn dãy (2.1.4) có giới hạn Bây ta đưa định nghĩa xác giới hạn dãy Định nghĩa 1: Ta nói số a giới hạn dãy {xn} số dương ε bé tuỳ ý tìm số p ∈ * cho ∀n > p, n ∈ * ta có: |xn − a|< ε , tức a− ε < xn < a+ ε (2.1.6) Nếu a giới hạn dãy {xn} ta viết: lim xn = a hay xn → a n → ∞ n →∞ (2.1.7) Ta ý số p nói chung phụ thuộc vào việc chọn ε Để nhấn mạnh điều đơi thay cho p ta viết pε Khoảng mở (a− ε , a+ ε ) có tâm điểm a gọi lân cận điểm a Như vậy, để a giới hạn dãy {xn} với lân cận bé điểm a tất phần tử xn dãy số cần phải rơi vào lân cận (tức ngồi lân cận có số hữu hạn phần tử xn) Hình 2.1.1 Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói hội tụ, khơng có giới hạn gọi phân kỳ Ví dụ ⎧ n ⎫ Hãy chứng minh dãy ⎨ ⎬ có giới hạn ⎩n + 1⎭ Ta có: | xn − 1| = 1 Với ε cho trước ε ⇔n> ε −1 ⎡1 ⎤ Nếu ta lấy pε = ⎢ − 1⎥ + (phần nguyên ( − )) ∀n > pε ta có: |xn− 1|< ε ε ⎣ε ⎦ Do lim n →∞ n = n +1 Ví dụ Hãy dãy: {( −1)n } : −1,1, −1, , (2.1.8) khơng có giới hạn Giả sử dãy có giới hạn a Khi với ε =1, tồn số p cho với n>p ta có |xn – a|< ε =1 Ta chọn n lớn p, n+1>p, |xn+1 – a|p |xn – xn+1|= |(xn − a)+ ( a −xn+1)| ≤ | xn − a|+| xn+1 − a|n< 1+1 = điều mâu thuẫn với tính chất số hạng dãy (2.1.8) là: | xn – xn+1|= ∀n ∈ * 2.1.2 Các tính chất dãy hội tụ a) Tính Định lý 2.1.1 Mọi dãy hội tụ có giới hạn Chứng minh: Giả sử dãy: (2.1.1) có hai giới hạn khác a b với a< b Ta lấy số ε = ( b − a ) > Bởi vì, a giới hạn dãy (2.1.1), ta tìm số p1 cho với n> p1 ta có: |xn– a|< ε a – ε < xn < a+ ε tức (2.1.9) b giới hạn dãy (2.1.1), nên với số ε nói trên, ta tìm p2 cho với n>p2 ta có: |xn– b|< ε b – ε < xn < b+ ε tức (2.1.10) Nếu lấy n > max(p1, p2) b – ε < xn < a+ ε ⇒ b – ε < a+ ε ⇒ b–a < ε , điều mâu thuẫn với giả thiết b – a = ε Định lý 2.1.2 Mọi dãy hội tụ bị chặn Chứng minh: Giả sử lim xn = a Theo định nghĩa với ε =1, ta tìm số tự nhiên p cho với n →∞ số tự nhiên n ≥ p, ta có: xn − a < Do x n − a ≤ xn − a nên xn < a + Gọi k = max {|x1|,|x2|,|x3|,…,|xn|,|a|+1} Khi đó|xn| ≤ k ∀ n=1,2,3,…, tức dãy {xn } bị chặn Ta ý dãy bị chặn không thiết phải hội tụ Ví dụ: Dãy có số hạng tổng quát xn= (–1)n dãy bị chặn không hội tụ vì: xn → n = 2k → ∞; xn → −1 n = 2k + → ∞; Tuy nhiên |xn |=1, ∀ n b) Dãy Định nghĩa Giả sử { kn } dãy tăng số, tức k1 < k2 < k3 < Khi dãy với số hạng xk1 , xk2 , xk3 , (2.1.12) gọi dãy dãy (2.1.1) Hiển nhiên dãy dãy (2.1.12) dãy dãy (2.1.1) Ta ý kn ≥ n ∀ n ∈ * (2.1.13) Thật k1 ≥ 1, k2>1 k2 ≥ 2, k2 số tự nhiên Một cách tổng quát giả sử ta chứng minh kn ≥ n, ta nhận kn +1 > n kn +1 ≥ n + Các ví dụ dãy là: x2 , x4 , x6 , x8 , ,( k1 = 2, k2 = 4, , kn = 2n ) (2.1.14) x1 , x3 , x5 , x7 , ( k1 = 1, k2 = 3, , kn = 2n − 1) (2.1.15) x1 , x4 , x9 , x16 , ( k1 = 1, k2 = 4, , kn = n ) (2.1.16) x1 , x3 , x5 , x7 , x11 , x13 , x17 , ( xn = pn , pn số nguyên tố) (2.1.17) Định lý 2.1.3 Mọi dãy dãy hội tụ dãy hội tụ có giới hạn Chứng minh: Giả sử dãy (2.1.1) có giới hạn a { xk } dãy dãy (2.1.1) Ta n chứng minh dãy { xk } có giới hạn a Đặt yn= xkn n Giả sử cho trước ε >0 lim xn = a, nên tồn số p cho với n>p ta có n →∞ | xn − a| < ε Mặt khác với n>p kn>p (vì kn ≥ n) | yn − a| = xkn − a| < ε | Cho nên lim yn = a , điều phải chứng minh n →∞ c) Các phép toán giới hạn Định lí 2.1.4 Cho hai dãy hội tụ lim xn = a, lim yn = b n →∞ n →∞ Khi đó: (i) lim( xn + yn ) = a + b n →∞ (2.1.18) (ii) lim( c xn ) = ca ; lim( c + xn ) = c + a với c số (2.1.19) (iii) lim( xn yn ) = ab (2.1.20) n →∞ n →∞ n →∞ (iv) lim( 1 ) = với yn ≠ 0, b ≠ yn b (2.1.21) (v) lim( xn a ) = với yn ≠ 0, b ≠ yn b (2.1.22) n →∞ n →∞ Chứng minh: (i) Vì xn → a, yn → b với ε >0 ta tìm p1 p2 cho: n>p1 |xn – ε |yn −b|< a|< , n>p2 ε Gọi p = max(p1 , p2) n>p ta có: | ( xn + yn ) − ( a + b)| ≤ | xn − a| + | yn − b| < ε Từ suy điều phải chứng minh (ii) Chứng minh tương tự (iii) Ta có đẳng thức: xn yn − ab = ( xn − a )( yn − b) + a( yn − b) + b( xn − a ) Vì xn → a, yn → b , nên với ε > cho trước, tìm p1, p2 cho: n>p1 |xn − a|< ε , n>p2 |yn −b|< ε Gọi p =max(p1,p2) n>p ta có: | xn yn − ab| < ε + | a| ε + | b| ε , từ lim( xn yn − ab) = n →∞ (iv) Do y → b , nên ta chọn m cho n>m | yn − b |< | b| Ngoài n ||yn| −|b|| ≤ | yn − b |< | b| , 1 suy − | b| m |yn| > | b| (2.1.23) Mặt khác, yn → b nên với ε >0 cho trước tìm p >m cho n > p ta có | yn − b |< | b| ε (2.1.24) Do n>p ta có: 1 − = yn b yn − b 1 | yn − b| < ε , điều chứng tỏ < → n → ∞ byn yn b | b| (v) Kết luận hệ (iii) iv d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn bất đẳng thức Định lý 2.1.5 Giả sử lim xn < lim yn Khi tìm số p cho với n>p xn < yn n →∞ n →∞ Chứng minh: Đặt lim xn = a, lim yn = b ε = ( b − a ) Do a+ ε = b − ε Theo giả thiết n →∞ n →∞ tìm p1,p2 cho khi: n > p1 a − ε < xn < a + ε n > p2 b − ε < yn < b + ε Nếu gọi p =max( p1 , p2 ) bất đẳng thức: xn < a + ε = b − ε < yn , ∀n > p thoả mãn Do đó: xn < yn , ∀n > p Chú ý: Trường hợp đặc biệt yn = b, ∀n ∈ * ta có khẳng định sau: Nếu lim xn = a < b , ∃p cho ∀n > p ta có xn < b n →∞ Một cách tương tự lim yn = b > a , ∃p cho ∀n > p ta có yn > a n →∞ Định lý 2.1.6 Cho hai dãy số {xn} {yn} Khi đó: (i) Nếu xn ≥ yn vµ lim xn = a, lim yn = b t h×a ≥ b (ii) Nếu {zn} dãy thoả mãn n →∞ n →∞ xn ≤ yn ≤ zn ∀n vµ lim xn = lim zn = a t h× lim yn = a n →∞ n →∞ n →∞ Chứng minh: (i) Hãy chứng minh khẳng định phản chứng Giả sử a < b, tồn số r thoả mãn a< r p1 xn < r Tương tự ta tìm p2 cho n > p2 yn> r Nếu gọi p =max(p1,p2) n>p ta có xn r, nghĩa xn cho trước tìm p1 cho n >p1 thì: | xn − a| < ε hay a − ε < xn < a + ε Tương tự, zn → a , ta tìm p2 cho n>p2 ta có a − ε < zn < a + ε Từ đây, đặt p = max(p1,p2), n > p ta có a − ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε Suy a − ε < yn < a + ε , tức yn → a , điều phải chứng minh 2.1.3 Giới hạn vô hạn Định lý 2.1.7 Cho dãy số {xn} Nếu với M > lớn tuỳ ý, tồn số p cho ∀n > p, ta có xn>M, ta nói dãy {xn} có giới hạn cộng vơ ký hiệu lim xn = +∞ n →∞ Nếu với M >0 lớn tuỳ ý, tồn số p cho ∀n > p, ta có xn< – M, ta nói dãy {xn} có giới hạn trừ vơ ký hiệu lim xn = −∞ n →∞ Cuối ta ý dãy hội tụ có giới hạn hữu hạn Dãy có giới hạn ±∞ khơng xem dãy hội tụ 2.2 Tiêu chuẩn hội tụ 2.2.1 Các định lý Định nghĩa Dãy x1 , x2 , x3 , gọi tăng (2.2.1) xn ≤ xn +1 ∀n ∈ (2.2.2) * Nếu xn < xn +1∀n ∈ (2.2.3) * ta nói dãy (2.2.1) dãy thực tăng Tương tự, xn ≥ xn +1 ∀n ∈ (2.2.4) * dãy (2.2.1) giảm Nếu xn > xn +1 ∀n ∈ (2.2.5) * ta nói dãy (2.2.1) thực giảm Các dãy nói gọi chung dãy đơn điệu Tất dãy đơn điệu tạo nên lớp dãy quan trọng Bây dãy ta có hai định lý quan trọng sau Định lý 2.2.1 Giả sử dãy (2.2.1) không giảm Nếu dãy khơng bị chặn lim xn = +∞ (2.2.6) n →∞ Nếu dãy bị chặn có giới hạn hữu hạn lim xn = sup xn n →∞ n =1,2, (2.2.7) Chứng minh: (i) Giả sử dãy (2.2.1) không bị chặn Khi ∀M > lớn tuỳ ý, ta tìm số tự nhiên p cho xp>M (tức số hạng dãy lớn M) Bởi vì, dãy khơng giảm, nên n>p, ta có: xn ≥ x p xn>M, lim xn = +∞ n →∞ (ii) Giả sử dãy(2.2.1) bị chặn trên, ta đặt 10 a = sup xn (2.2.8) n =1,2, Theo định nghĩa xn ≤ a ∀n ∈ * Mặt khác, ∀ε > 0, ta tìm chẳng hạn phần tử xp dãy cho x p > a − ε Với n>p ta có xn ≥ x p , nên: a − ε < xn ≤ a < a + ε tức |xn −a|< ε lim xn = a n →∞ Hệ Nếu dãy (2.2.1) không giảm bị chặn xk ≤ lim xn ∀k ∈ * n →∞ (2.2.9) Tương tự ta có định lý sau Định lý 2.2.2 Giả sử dãy (2.2.1) không tăng Nếu khơng bị chặn lim xn = −∞ (2.2.10) n →∞ Nếu bị chặn dưới, có giới hạn hữu hạn lim xn = i nf xn n →∞ (2.2.11) n =1,2, Hệ Nếu (2.2.1) không tăng bị chặn xk ≥ lim xn ∀k ∈ n →∞ * (2.2.12) Định lý sau suy từ hai định lý Định lý 2.2.3 Dãy số đơn điệu hội tụ bị chặn Ta thấy dãy hội tụ bị chặn Tất nhiên, ta biết dãy bị chặn khơng thiết phải hội tụ Ví dụ dãy {( −1)n +1 } bị chặn không hội tụ Nhưng dãy bị chặn đơn điệu luôn hội tụ Ví dụ sau có vai trị quan trọng giải tích ứng dụng 2.2.2 Số e n ⎧ ⎫ 1⎞ ⎪ ⎪ ⎛ Xét dãy ⎨ xn = ⎜ + ⎟ ⎬ Ta chứng minh lim xn tồn n →∞ n⎠ ⎪ ⎝ ⎪ ⎩ ⎭ Chứng minh: 1⎞ ⎛ Trước hết xét dãy yn = ⎜ + ⎟ n⎠ ⎝ n +1 Ta thấy dãy {yn}là dãy giảm, tức 31 Ví dụ 7: Chứng minh sin x khơng có giới hạn x → +∞ Thật vậy, chọn dãy số xn = π (2n + 1) Rõ ràng n → ∞ xn → +∞ Khi dãy {sin xn} nhận giá trị −1,1, −1,…(−1)n, Dãy số phân kì, từ suy lim sin x không tồn Tương tự lim cos x khơng tồn x →∞ x →∞ 2.4.5 Các tính chất giới hạn Ta dễ dàng chuyển kết giới hạn dãy sang trường hợp giới hạn hàm, cụ thể, ta có định lý sau Định lý 2.4.3 Nếu hàm f(x) có giới hạn a giới hạn Định lý 2.4.4 Giả sử tập A cho hai hàm f(x), g(x) a điểm tụ A (a hữu hạn vơ hạn) Ngồi giả sử hai hàm có giới hạn hữu hạn lim f ( x ) = L1 , lim g( x ) = L x→a x→a Khi hàm cf(x) với c số f ( x ) ± g( x ), f ( x ) g( x ), f ( x) có giới hạn g( x ) hữu hạn (trong trường hợp thương có thêm giả thiết L ≠ ), cụ thể là: i) lim cf (x )=cL1 ; ii ) lim [ f (x )+g(x )] = L1 ± L ; x →a x→a i i i ) lim [ f (x ).g(x )] = L1 L ; x→a i v ) lim x→a f (x ) L1 = ( L ≠ 0) g(x ) L Chú ý định lý chưa có kết luận trường hợp sau: Trong trường hợp ii), L1= +∞ L2=− ∞ mặt hình thức ta có dạng vơ định ∞ − ∞ Trong trường hợp iii), L1=0( ∞ ) L2= ∞ (0) mặt hình thức ta có dạng vơ định ∞ Cuối trường hợp iv), L1=0( ∞ ) L2=0( ∞ ), mặt hình thức ta có dạng vơ định ∞ ∞ 2.4.6 Tiêu chuẩn tồn giới hạn hàm số Sau ta phát biểu định lý nói tồn giới hạn hàm số Định lý 2.4.5 Cho A ⊂ R x0 điểm tụ tập A Giả sử ba hàm số thoả mãn đẳng thức: f ( x ) ≤ g( x ) ≤ h( x ) ∀x ∈ A 32 Khi lim f ( x ) = lim h( x ) = L lim g( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 Định lý 2.4.6 (Tiêu chuẩn Cauchy) Hàm số f có giới hạn x0 ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x′ x′′ ∈ A, < x′ − x0 | < δ , < x′′ − x0 | < δ ta có | | | f ( x′) − f ( x′′)| < ε Định lý 2.4.7 (Tiêu chuẩn giới hạn hàm đơn điệu) i) Giả sử hàm f(x) hàm tăng [ x , x0 ) , f bị chặn trên [ x , x0 ) hàm f có giới hạn trái x0 ii) Nếu f(x) hàm giảm [ x , x0 ) , f bị chặn [ x , x0 ) f có giới hạn trái x0 Chứng minh: Giả sử f(x) hàm tăng [ x , x0 ) Gọi L = sup f ⎡ x , x0 ) ⎣ Khi ∀ε > 0, ∃x1 ∈ [ x , x0 ) cho L − ε < f ( x1 ) ≤ L Do hàm tăng ∀x ∈ ( x1 , x0 ) ta có L − ε < f ( x1 ) ≤ f ( x ) ≤ L Chọn δ cho x1 = x0 − δ Khi ∀ε > 0, ∃δ > cho ∀x ∈ ( x0 − δ , x0 ) L − ε < f ( x) < L + ε ⇒ | f ( x) − L | < ε lim f ( x ) = L − x → x0 2.4.7 Vô bé Vô lớn a) Khái niệm: Cho A ⊂ R , x0 điểm tụ A, f : A → (x0 hữu hạn hay vơ hạn) Ta nói f vô bé (viết tắt VCB) x → x0 , lim f ( x ) = x → x0 Ta nói f vô lớn (viết tắt VCL) x → x0 lim| f ( x )| = +∞ Ta dễ x → x0 dàng kiểm tra tính chất sau Tính chất Nếu f, g VCB x → x0 , f ± g, fg VCB x → x0 Tính chất Nếu f, g VCL x → x0 , fg VCL x → x0 Tính chất 33 Nếu f VCB x → x0 , x → x0 , VCL x → x0 Ngược lại, g VCL f VCB x → x0 g Tính chất Cho A ⊂ , x0 điểm tụ A, f : A → bị chặn, f.g VCB x → x0 Ví dụ 8: Hàm f ( x ) = ( x − 1)sin VCB x → x0 g : A → hàm 1 VCB x → , tức lim( x − 1)sin = x →1 x −1 x −1 Thật vậy, lim( x − 1) = nên hàm x − VCB x → x →1 Mặt khác hàm sin ( x ≠ ) bị chặn x −1 ⎛ ⎞ ≤ ∀x ≠ ⎟ ⎜ sin x −1 ⎝ ⎠ Do hàm f(x) VCB x → b) So sánh vô bé Để xét kỹ tốc độ hội tụ số khơng VCB q trình x → x0 ta xét tỉ số chúng Cho f1 , f hai VCB x → x0 , ta nói i) f1 có bậc cao f (hoặc f có bậc thấp f1 ) lim x → x0 f1 ( x ) = ký hiệu f2 ( x) f1 = ο ( f ) , x → x0 ii) f1 có bậc với f trình x → x0 lim x → x0 f1 ( x ) = c ≠ , c f2 ( x) số, kí hiệu f1 = O( f ) , x → x0 iii) Đặc biệt, lim x → x0 f1 ( x ) = , ta nói f1 tương đương với f x → x0 viết f2 ( x) f1 ∼ f , x → x0 Nếu f1 ∼ f , x → x0 f ∼ f , x → x0 f1 ∼ f3 , x → x0 Ví dụ: Ta có sinx~x, tgx~x nên sin x ∼ t gx 34 Chú ý: Nếu không tồn lim x → x0 f1 ( x ) ta nói hai vơ bé không so sánh f2 ( x) với nhau, ví dụ hai VCB f1 ( x ) = x sin , f ( x ) = x x → x0 không so sánh x với Để thuận tiện khử dạng vơ định người ta thường sử dụng tính chất sau Định lý 2.4.8 Nếu trình x → x0 ta có f ∼ f g ∼ g f ( x) f ( x) = lim x → x0 g( x ) g( x ) i) lim ii ) lim f ( x ) g( x ) = lim f ( x ) g( x ) x → x0 x → x0 x → x0 Chứng minh: Thật lim x → x0 f ( x) f ( x ) f ( x ) g( x ) f ( x) = lim = lim g( x ) x→ x0 f ( x ) g( x ) g( x ) x→ x0 g( x ) Ví dụ 11: Tìm sin a x + x2 ax + x2 a = lim = , x → x0 x → x0 t gbx bx b 1) lim 2) lim x →0 x + sin x x + x2 = lim = 3 x → x0 sin x − x sin x − x 3) lim x →0 (1 + α x )(1 + β x ) − t gγ x Dễ thấy: 1+αx ∼ 1+ α x, + β x ∼ + α ⎛ ⎜1 + (1 + α x )(1 + β x ) − = lim ⎝ lim x →0 x →0 t gγ x β x,t gγ x ∼ γ x nª n β ⎞ ⎞⎛ x ⎟ ⎜1 + x ⎟ − α +β ⎠ ⎠⎝ = 2γ γ x ( x + x2 ) + x + x2 − 1 4) lim = lim = x →0 x →0 sin x 2x Trong xét nhiều đại lượng VCB, người ta chọn đại lượng làm sở so sánh VCB khác với luỹ thừa đại lượng sở Ta quy ước VCB f x → VCB cấp k (đối với VCB sở x x → f xk (k>0)) vô bé bậc Chẳng hạn VCB 1- cosx VCB cấp hai VCB x x → VCB tgx – sinx VCB cấp ba VCB x x → 35 lim x →0 − cos x t gx − sin x = , lim = x →0 2 x x3 c) So sánh vô lớn Ta quay lại trường hợp xét vơ lớn Ví dụ 1: Hàm số f ( x ) = + sin x VCL x → x 1 , k=1,2,3…, cos x → Tại điểm yk = π x x + kπ f(yk)=0 ∀k = 1,2,3 Khi k → ∞, yk → 0, f ( yk ) → , f(x) khơng phải VCL x → Ví dụ 2: Xét hàm số f ( x ) = Cho A ⊂ x → x0 x0 điểm tụ A Ngoài cho hàm f , g : A → VCL f f VCL x → x0 có nghĩa lim = +∞ , ta nói f VCL bậc cao x → x0 g g g x → x0 i) Nếu ii) Nếu lim x → x0 f ( x) = l ≠ , ta nói f g hai VCL bậc x → x0 g( x ) Đặc biệt l = 1, ta nói f g VCL tương đương x → x0 Trong xét nhiều đại lượng VCL người ta chọn đại lượng làm sở so sánh VCL khác với luỹ thừa đại lượng sở Chẳng hạn, tất đại lượng hàm x trở thành VCL x → x0 dùng làm VCL sở người ta lấy|x|nếu x0= ±∞ lấy x0 hữu hạn x − x0 2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ sin x =1 a ) lim x →0 x x 1⎞ ⎛ b) lim ⎜ + ⎟ = e x →+∞ x⎠ ⎝ x 1⎞ ⎛ c) lim ⎜ + ⎟ = e x →−∞ x⎠ ⎝ d ) lim(1 + x ) x = e x →0 Chứng minh: Giới hạn a) trình bày bậc phổ thơng Bây ta chứng minh giới hạn b) n 1⎞ ⎛ Giới hạn b): Thật vậy, ta chứng minh lim ⎜ + ⎟ = e n →∞ n⎠ ⎝ 36 Bây ta để ý với số dương x tồn số tự nhiên n ( n ≠ ) cho n x n +1 1 1 ⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ≤ ⎜1 + ⎟ ≤ ⎜1 + ⎟ n ≤ x ≤ n + nghĩa ≤ ≤ từ ⎜ + n +1⎟ x⎠ n⎠ n +1 x n ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức kép ta suy x 1⎞ ⎛ lim ⎜ + ⎟ = e n →+∞ x⎠ ⎝ Giới hạn c): Sử dụng phép biến đổi x = − y ta được: y ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ lim ⎜ + ⎟ = lim ⎜ − ⎟ y →−∞ x →+∞ y⎠ x⎠ ⎝ ⎝ −x x ⎛ x −1 ⎞ = lim ⎜ ⎟ x →+∞ ⎝ x ⎠ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ lim = lim ⎜ + ⎟ = x→+∞ ⎜ + x − ⎟ x →+∞ x −1 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ x −1 −x ⎛ x ⎞ = lim ⎜ x →+∞ x − ⎟ ⎝ ⎠ x ⎞ ⎛ ⎜1 + x − ⎟ = e ⎝ ⎠ (theo giới hạn b)) Từ suy giới hạn c) chứng minh Giới hạn d): Để chứng minh giới hạn d) ta đặt y = áp dụng giới hạn b) giới hạn c) x Nói chung h1 ( x ) có tính chất tơng tự với cosx, h2 ( x ) có tính chất tơng tự với sinx Khi a = e ta gọi hàm thứ cosinhypebol, ký hiệu chx, hàm thứ hai sinhypebol, kí hiệu shx, nh ch x = ex + e− x ex − e− x , sh x = 2 (2.3.15) Ta cịn có hàm hypebol khác xác định tơng tự nh hàm lợng giác tơng ứng, chẳng hạn t hx = sh x ch x , ct h x = ch x sh x (2.3.16) Trên hình vẽ Hình 2.3.10 biểu diễn đồ thị hàm thx cthx y = ct h x y = t hx y = ct h x 37 Hình 2.3.10 Từ định nghĩa ta suy công thức nêu dới đây, mang tên định lý cộng: ch a − sh a = ch a + sh a = ch2a ch( a + b) = ch a.ch b + sh a.sh b sh( a + b) = sh a.ch b + ch a.sh b (2.3.18) Ví dụ, ta chứng minh hai cơng thức cuối (2.3.18) viết: ch( a + b) = ea eb + e− a e− b ea eb − e− a e− b , sh( a + b) = 2 sử dụng hệ thức: ea = ch a + sh a, e− a = ch a − sh a eb = ch b + sh b, e− b = ch b − sh b 2.4.9 Các hàm hypebol ngược a) Hàm y= Argshx lên nên có hàm ngợc, ta ký hiệu y=Argshx Vậy Hàm số shx ánh xạ tập y=Argshx ⇔ x=shy với x ∈ , y ∈ y = Ar gsh x Hình 2.3.11 Bây ta biểu diễn hàm y=Argshx dới dạng lôga Ta thấy y=Argshx tơng đơng với x = sh y = ey − e− y Đặt e = t hay y =lnt x = y t = t − Vậy x cho trớc t nghiệm phơng 2t t− trình bậc hai t2− 2tx−1=0 Với x ∈ , phơng trình có hai nghiệm, có nghiệm dơng ( t = e > 0) : t = x + x2 + y Vậy với x ∈ ta có Argsh x = ln( x + x2 + 1) (2.3.19) b) Hàm y =Argchx Hàm y=chx ánh xạ khoảng [0, +∞ ) lên khoảng [1, +∞ ) , ta xác định hàm ngợc, ký hiệu Argchx Vậy y=Argchx, x ∈ [1, +∞ ), y ∈ [0, +∞ ) ⇔ x = ch y, y ∈ [0, +∞ ), x ∈ [1, +∞ ) Đồ thị hàm số y = Argchx suy từ đồ thị y=chx, x ≥ phép lấy đối xứng qua đờng phân giác góc phần t thứ y = Ar gch x Hình 2.3.12 Bây ta biểu diễn ngợc dới dạng lôga Ta thấy y = Ar gch x ⇔ x = ch y = ey + e− y ví i y ≥ Đặt ey =t hay y=lnt, ta có x= t = t +1 2t t+ Vậy với x ≥ cho trớc t nghiệm phơng trình bậc hai t2−2tx+1=0 Với x ≥ phơng trình có hai nghiệm dơng mà tích chứng Vậy hai nghiệm nghiệm lớn có lơga dơng ta có ey = t = x + x2 − y=Argchx =ln( x + x2 − ) Với x ≥ đồ thị hàm số y=Argchx trùng với đồ thị hàm số y= ln( x + x2 − ) Một cách tơng tự, hàm thx ánh xạ khoảng ( −∞, +∞ ) lên khoảng (−1,1) ta xét hàm ngợc y=Argthx Trong khoảng (−1,1) hàm y=Argthx tơng đơng với hàm y= 1+ x ln 1− x khoảng x 1, hàm y=Argcthx tơng đơng với hàm y= Argcthx= 1+ x ln 1− x 45 2.5 Bài tập chương 2.1 Chứng minh dãy xn ( n = 1,2,3, ) có giới hạn khơng cách sử dụng ngôn ngữ " ε " 1) xn = n n +1 ( −1)n +1 2) xn = n 3) xn = 2n n +1 4) xn = n! 5) xn = ( −1)n 0,999 n 2.2 Sử dụng định nghĩa chứng minh dãy sau có giới hạn vơ cực n → +∞ 1) xn=(−1)n n(n=1,2,3,…) 2) xn = n ( n = 1,2,3, ) 3) xn = ln(ln n ) ( n = 1,2,3, ) 2.3 Tìm lim xn với n →+∞ cos n π 1) xn = ( −1) n n +1 2) xn = 3) xn = 2n + ( −1)n n 4) xn = − n.a.cos nπ , a=const n n +4 2.4 Tìm giới hạn sau 1) lim ( 2) lim ( n →+∞ n →+∞ n +1 − n ) n +1 − n ) n+ ⎛ 1 ⎞ + + + 3) lim ⎜ ⎟ n →+∞ 2n ⎠ n +1 ⎝ n ⎛ 1 ⎞ + + 4) lim ⎜ + n →+∞ n ( n + 1) (2n )n ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ 1 5) lim ⎜ + + + ⎟ 2 n →+∞ n +1 n +n ⎠ ⎝ n +1 2.5 Chứng minh k lim n →+∞ ∑a i i =0 n + i = k ∑a i =0 i =0 2.6 Tìm giới hạn sau ⎛ 1 ⎞ + + + 1) lim ⎜ n →+∞ 1.2 2.3 n( n + 1) ⎟ ⎝ ⎠ 2) lim n→+∞ ( 2n ) n n →+∞ 2n 3) lim ⎛ 12 32 (2n − 1)2 ⎞ 4) lim ⎜ + + + ⎟ n →+∞ n n n3 ⎝ ⎠ 2n − ⎞ ⎛1 5) lim ⎜ + + + n →+∞ 2 2n ⎟ ⎝ ⎠ ( −1)n −1 n 6) lim − + + + n →+∞ n n n n 2.7 Chứng minh ⎛1 2n − ⎞ = 0, 1) lim ⎜ n →+∞ 2n ⎟ ⎝ ⎠ 2) lim qn = n →+∞ nÕ | q 0, xn +1 = 1 ( xn + ), n ∈ N Hãy tìm lim xn n →∞ xn 2.12 Cho dãy xn = − ; n = 1,2,3, n Hãy tìm lim xn vµ lim xn n →∞ n →∞ 1⎞ ⎛ 2.13 Cho dãy xn = ( −1)n −1 ⎜ + ⎟ n⎠ ⎝ Hãy tìm lim xn , lim xn n →∞ n →∞ 2.14 Các dãy số: x0 , x1 , , xn , y0 , y1 , , yn , đợc xác định công thức: x0 = a, y0 = b với a > 0, b > 0; xn +1 = xn yn , yn +1 = xn + yn Chứng minh rằng: 1) {xn} dãy tăng, {yn} dãy số giảm 2) Các dãy số hội tụ có giới hạn 2.15 Tìm tập xác định tập giá trị hàm sau 1) y = + x − x2 3) y = ar ccos 2) y = lg(1 − cos x ) ⎛ 2x + x2 4) y = ar csin ⎜ lg ⎝ x ⎞ 10 ⎟ ⎠ 2.16 Cho f xác định tập A=(0,1) Tìm tập xác định hàm số 1) f (sin x ) ⎛| x | ⎞ 2) f (ln x ) 3) f ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ 2.17 Tìm cận dới cận hàm số f ( x) = x miền ≤ x < +∞ 1+ x thỏa mãn đẳng thức 2.18 Cho hàm f(x) xác định khoảng ( −∞, +∞ ) f ( x + T ) = kf ( x ) , k T số dơng Chứng minh f ( x ) = a xϕ ( x ) , a số dơng ϕ ( x ) hàm tuần hồn với chu kỳ T 2.19 Xét tính tuần hoàn chu kỳ hàm số sau 1) f ( x ) = 2t g x x x 3x − 3t g 2) f ( x ) = cos cos 2 3) f ( x ) = sin x + sin α x ví i α lµ sè vơ tỉ 4) f ( x ) = sin x | + | cos x | | 5) f ( x ) = cos x2 6) f ( x ) = x + sin x 2.20 Chứng minh hàm u ⎧1 nÕ x h÷u t Ø χ ( x) = ⎨ u ⎩0 nÕ x v« t Ø 2.21 Cho f ( x ) = hàm tuần hồn x −1 Hãy tính f [ f ( x )], f { f [ f ( x )]} 2.22 Giả sử f n ( x ) = f ( f ( f ( x ))) Hãy tính f n ( x ) f ( x ) = 2.23 Tìm hàm số ngợc hàm số sau 1) y = x2 + ví i a ) − ∞ < x ≤ 0, b) ≤ x < +∞ 2) y = 1− x , x ≠ −1 1+ x 3) y = − x2 ví i a) − < x ≤ 0, b) ≤ x < 49 x + x2 → 2.24 Tìm hàm số ngợc g : hàm số f : → cho ⎧ x3 x ≤ 0, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ x x > ⎩ 2.25 1) Cho hàm số f : → đợc xác định x 1+ | x| f ( x) = Chứng minh hàm số f(x) có hàm ngợc tìm hàm ngợc 2) Tìm hàm f(x) biết 1 x ≠ 0, x ≠ ( x − 1) f ( x ) + f ( ) = x x −1 2.26 Tìm hàm số f(x) biết đợc xác định với giá trị x thoả mãn hệ thức f ( x + y ) + f ( x − y ) = f ( x )cos y với x y 2.27 Tìm giới hạn sau m x −1 x →1 n x −1 1) lim + cos x sin x 2) lim+ x →π 3) lim x→ π (m,n số nguyên dơng) sin x − cos2 x − cos x − sin x 2.28 Tìm giới hạn sau 1) lim x→ ar csin(1 − x ) x2 − −1 ⎡ sin(2 − x ) ⎤ ( x − 2)2 +2 2) lim ⎢ ⎥ x →2 ⎢ x −4 ⎥ ⎣ ⎦ ar csin( x + 2) x →−2 x2 + x sin x 4) lim x →0 + x sin x − cos x 3) lim 2.29 Tìm giới hạn sau ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − 1) lim ⎜ ⎟ x →0 sin x x ⎜ sin ⎟ 2⎠ ⎝ ⎛ sin x ⎞ − t g2 x ⎟ 2) lim ⎜ π cos2 x x→ ⎝ ⎠ 2.30 Tìm giới hạn sau 1) lim x →0 + x sin x − cos2 x sin x 2) lim x x →0 + 2x − 3) lim cos x →0 π ( x + 1) x +1 x2 sin 4) lim x →0 x x 5) lim x + ( x − − x ) x →0 2.31 Tìm giới hạn sau ⎡1 ⎤ 1) lim x ⎢ ⎥ x →0 ⎣x⎦ 2) lim x→a x x − aa ví i a > x−a 2.32 Tìm giới hạn sau 1) lim sin(π n + 1) n →+∞ 2) lim sin (π n + n ) n →+∞ n 3) lim ∑ sin n →+∞ k =1 ka n2 2.33 Chứng minh lim (cos π x )2 m tồn với giá trị x tìm giới hạn m →∞ 2.34 1) Tìm giới hạn l im si n si n sin x n →∞ 2) Tìm giới hạn lim[ lim (cos(π n !) x ) m ] n →∞ m →∞ 51 ... hàm số hypebol 22 2. 3.7 Các hàm hypebol ngược 23 2. 4 Giới hạn hàm số 25 2. 4.1 Lân cận điểm 25 2. 4 .2 Các định nghĩa giới hạn 26 2. 4.3 Giới. .. , x2 = 1, x3 = , , x2 n −1 = 2n 2n − ⎩ n 2n − ⎭ (2. 1.5) Ta thấy số hạng dãy (2. 1.3) dãy (2. 1.5) gần tuỳ ý n tăng, số hạng dãy (2. 1.4) gần tuỳ ý n tăng Ta nói dãy (2. 1.3) dãy (2. 1.5) có giới hạn. .. } dãy tăng số, tức k1 < k2 < k3 < Khi dãy với số hạng xk1 , xk2 , xk3 , (2. 1. 12) gọi dãy dãy (2. 1.1) Hiển nhiên dãy dãy (2. 1. 12) dãy dãy (2. 1.1) Ta ý kn ≥ n ∀ n ∈ * (2. 1.13) Thật k1 ≥ 1, k2>1