Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 87 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
87
Dung lượng
3,65 MB
Nội dung
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 CHƯƠNG GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC GIỚI HẠN BÀI GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa (Giới hạn hàm số điểm) Giả sử ( a ; b ) khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định tập hợp ( a ; b ) \ x0 Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số ( xn ) tập hợp ( a ; b ) \ x0 mà lim xn = x0 ta có lim f ( xn ) = L Khi ta viết lim f ( x ) = L f ( x ) → L x → x0 x→ x Định nghĩa (Giới hạn hàm số vô cực) Giả sử hàm số f xác định khoảng ( a ; + ) Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần tới + với dãy số ( xn ) khoảng ( a ; + ) mà lim xn = + ta có lim f ( xn ) = L Khi ta viết lim f ( x ) = L f ( x ) → L x → + x →+ GIỚI HẠN HỮA HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt Giới hạn đặc biệt 1) lim x = x0 1) lim x k = + c =0 xk 1 3) lim− = − 4) lim+ = + x →0 x x →0 x + k ( k ) 5) lim x k = x →− − k x → x0 2) lim c = c ( c x →+ ) x → x0 Định lí 2) lim x → Định lí Nếu lim f ( x ) = L lim g ( x ) = M Nếu lim f ( x ) = L lim f ( x ) = 1) lim f ( x ) g ( x ) = L M x → x0 + L lim g ( x ) x → x0 lim f ( x ) g ( x ) = x → x0 g ( x) − L xlim → x0 x → x0 x → x0 2) lim f ( x ) g ( x ) = L.M x → x0 3) lim x → x0 x → x0 Nếu f ( x ) lim f ( x ) = L x → x0 lim f ( x ) = L lim f ( x) = L lim x → x0 f ( x) + L.g ( x ) = g ( x) − L.g ( x ) Page x → x0 x→ x0 Nếu lim g ( x ) = f ( x) L với M = g ( x) M x → x0 x → x0 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Giới hạn bên lim f ( x ) = L lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP Dạng Tính giới hạn vô định dạng , đó tử thức và mẫu thức là các đa thức Phương pháp giải: Khử dạng vô định cách phân tích thành tích cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo), rồi sau đơn giản biểu thức để khử dạng vơ định VÍ DỤ x + 3x − 14 x →2 x2 − Ví dụ Tính giới hạn A = lim Đs: A = 11 Lời giải 2(x − 2)(x + ) x + 3x − 14 = lim x + = 11 Ta có A = lim = lim x →2 x →2 (x − 2)(x + 2) x →2 x + x −4 ! Cần nhớ: f ( x) = ax + bx + c = a ( x − x1 )( x − x2 ) với x1 , x2 là nghiệm phương trình f ( x ) = Học sinh thường quên nhân thêm a x3 − x − x − Ví dụ Tính giới hạn A = lim x →2 x − 13x + x − Đs: A = 11 17 Lời giải ( x − 3) ( x2 + x + 1) x3 − x − x − x + x + 11 A = lim = lim = lim = x →3 x − 13 x + x − x →3 x − x − x + ( )( ) x→3 x2 − x + 17 Nhận xét: Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) sau: Phân tích x3 − x − x − thành tích số: x3 − x − x − = ( x − 3) ( x + x + 1) Page Phân tích x3 − 13x + x − thành tích số: Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 − 13x + x − = ( x − 3) ( x − x + 1) Ví dụ Tính giới hạn A = lim x →1 x100 − x + x50 − x + Đs: A = 49 24 Lời giải x ( x99 − 1) − ( x − 1) x100 − x + ( x100 − x) − ( x − 1) Ta có A = lim 50 = lim 50 = lim x →1 x − x + x →1 ( x − x) − ( x − 1) x →1 x x 49 − − x − ( ) ( ) = lim x →1 x ( x − 1) ( x98 + x97 + x96 + + x + 1) − ( x − 1) x ( x − 1) ( x 48 + x 47 + x 46 + + x + 1) − ( x − 1) ( x − 1) ( x99 + x98 + x97 + + x + x − 1) x →1 x − x 49 + x 48 + x 47 + + x + x − ( )( ) = lim = lim x →1 (x (x + x98 + x97 + + x + x − 1) 99 + x + x + + x + x − 1) 49 48 47 = 98 49 = 48 24 !Cần nhớ: Hằng đẳng thức x n − = ( x − 1) ( x n −1 + x n − + + x + x + 1) Chứng minh: Xét cấp số nhân 1, x, x , x3 , , x n−1 có n số hạng và u1 = 1, q = x Khi đó Sn = + x + x + + x n−1 = u1 qn −1 xn −1 = x n − = ( x − 1) (1 + x + x + + x n−1 ) q −1 x −1 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tính giới hạn sau: 1) A = lim x →2 x − 3x + ĐS: A = x −4 x − x + 12 3) A = lim ĐS: A = − x →3 x −9 x →1 x2 −1 ĐS: A = x + 3x − x − x + 20 4) A = lim ĐS: A = x →5 x − 5x 3x − 10 x + ĐS: A = x →3 x − x + 6) A = lim x2 + x − ĐS: A = 2x − x −1 x − 16 ĐS: A = −16 x →−2 x + x + 8) A = lim x −2 x −3 ĐS: A = − x −5 x + 5) A = lim 7) A = lim 9) A = lim x →2 x3 − ĐS: A = 12 x − 3x + x →1 x →1 x3 + 12 ĐS: A = x →−2 x + 11x + 18 10) A = lim Tính giới hạn sau: Page Bài 2) A = lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 − x + x + ĐS: A = −1 x →1 x2 − 2) A = lim x3 − 3x + ĐS: A = x − 4x + 3) A = lim x3 + x + x + ĐS: A = x →−1 x + x − x −1 4) A = lim x − x3 − x + ĐS: A = − x − 5x + x − 2 x3 − 3x + x + + 5) A = lim x →− 3 − x2 ĐS: A = 1) A = lim 6) A = lim x →3 x →1 18 + 19 x3 − x + 3x + ĐS: A = x4 − 8x2 − − x3 7) A = lim ĐS: A = x →1 x − x + 12 8) A = lim − ĐS: A = x →2 x − x −8 1 9) A = lim + x →2 x − 3x − x − 5x − 1 10) A = lim − x →1 x + x − x −1 Bài x →1 ĐS: A = −2 ĐS: A = Tính giới hạn sau: 1) A = lim x →1 3) A = lim x 20 − x + ĐS: A = 30 x − 2x +1 14 x n − nx + n − ( x − 1) x →1 4) A = lim x n +1 − ( n + 1) x + n ( x − 1) x →1 5) A = lim x →1 (Với n là số nguyên) 2) A = lim x →1 x50 − ĐS: A = −50 x − 3x + ĐS: A = n2 − n ĐS: A = n ( n + 1) n ( n + 1) x + x + x3 + + x n − n ( m, n là số nguyên) ĐS: A = m m ( m + 1) x + x + x + + x − m n m 6) A = lim − m x →1 − x − xn ĐS: A = m−n LỜI GIẢI Bài ( x − 1)( x − ) = lim x − = x − 3x + 1) Ta có A = lim = lim x →2 x → x −4 ( x − )( x + ) x→2 x + 2) Ta có A = lim x →1 ( x − 1)( x + 1) = lim x + = x2 − = lim x + 3x − x→1 ( x − 1)( x + ) x→1 x + Page ( x − 3)( x − ) = lim x − = − x − x + 12 3) Ta có A = lim = lim x →3 x →3 ( x − 3)( x + 3) x →3 x + x2 − Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 4) Ta có A = lim x →5 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( x − )( x − 5) = lim x − = x − x + 20 = lim x →5 x →5 x − 5x x ( x − 5) x ( 3x − 1)( x − 3) = lim 3x − = 3x − 10 x + = lim x →3 x − x + x →3 ( x − )( x − 3) x →3 x − 5) Ta có A = lim 6) Ta có A = lim x →1 ( x − 1)( x + 3) = lim x + = x2 + 2x − = lim 2 x − x − x→1 ( x − 1)( x + 1) x→1 x + ( x − 2)( x + 2) ( x + ) ( x − 2) ( x2 + 4) x − 16 = lim = lim = −16 x →−2 x + x + x →−2 x →−2 ( x + )( x + ) ( x + 4) 7) Ta có A = lim 8) Ta có A = lim x →1 x −2 x −3 = lim x − x + x→1 ( ( )( x − 1)( x −1 ) = lim ( x − 4) ( x +3 x →1 ) =−4 x − 4) x +3 x2 + 2x + 4) ( x − 2) ( x2 + x + 4) ( x3 − 9) Ta có A = lim = lim = lim = 12 x →2 x − x + x →2 x →2 ( x − )( x − 1) ( x − 1) ! Cần nhớ: Hằng đẳng thức a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) và a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) ( x2 − 2x + 4) = 12 x3 + = lim = lim x →−2 x + 11x + 18 x →−2 x →−2 ( x + )( x + ) ( x + 9) 10) Ta có A = lim Bài ( x − 1) ( x2 − 3x − 1) x3 − x + x + x − 3x − = lim = lim = −1 x →1 x →1 x →1 x2 − x +1 ( x − 1)( x + 1) 1) A = lim ( x − 1) ( x + ) = lim x + = x3 − 3x + = lim 2) A = lim x →1 x − x + x →1 ( x − 1) ( x + x + 3) x→1 x + x + 2 ( x + 1) ( x + 1) = lim x + = x3 + x + x + 3) A = lim = lim x →−1 x →−1 x3 + x − x − ( x + 1) ( x − 1) x→−1 x − 2 ( x − 1) ( x + x + 1) x − x3 − x + x2 + x + = lim = lim =− 4) A = lim x →1 x − x + x − x →1 x →1 x −3 ( x − 1) ( x − 3) )( ( ( ) ) x + 2x2 − + x + + 3 x3 − 3x + x + + 5) Ta có A = lim = lim − x →− x →− 3− x x+ 3−x ( ( )( ) ) 2x2 − + x + + 3 = 18 + 19 = lim − x →− 3−x ( x − 1)( x − 3) ( x − 1)( x − 3) = x3 − x + 3x + 6) Ta có A = lim = lim = lim x →3 x →3 x − x − 8x − ( )( x + 3) ( x2 + 1) x→3 ( x + 3) ( x2 + 1) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC − x − x − 1) ( x − 1) ( − x2 − x − 1) ( − x3 7) Ta có A = lim = lim = lim = 2 x →1 x − x + x →1 x − x + x − 3x − ( )( ) x→1 ( x + x − 3x − 3) 12 x3 − 12 x + 16 8) Ta có A = lim − = lim x →2 x − x − x →2 ( x − ) ( x − ) ( x + )( x − ) = lim x + = = lim x →2 ( x − ) ( x + x + ) x →2 x + x + 2 1 x − x − + x − 3x − + = lim 9) Ta có A = lim x →2 x − 3x − x − x − x→2 ( x − 3x − )( x − x − ) = lim x →2 ( x − 2) ( x − 2) ( x − 3)( x − 1) = lim x →2 ( x − 3)( x − 1) = −2 1 x3 − − x − x + x3 − x − x + − = lim = lim 10) Ta có A = lim x →1 x + x − x − x→1 ( x + x − )( x3 − 1) x→1 ( x + x − )( x3 − 1) ( x − 1) ( x + 1) x +1 = lim = lim = 2 x →1 x →1 x + ( ) ( x + x + 1) ( x − 1) ( x + ) ( x + x + 1) Bài x ( x19 − 1) − ( x − 1) x 20 − x − ( x − 1) x 20 − x + 1) Ta có A = lim 30 = lim 30 = lim x →1 x − x + x →1 x − x − ( x − 1) x →1 x x 29 − − x − ( ) ( ) ( x − 1) ( x19 + x18 + + x − 1) x →1 x x − x 28 + x 27 + + x + − x − ( )( ) ( ) x→1 ( x − 1) ( x29 + x28 + + x − 1) = lim x ( x − 1) ( x18 + x17 + + x + 1) − ( x − 1) (x = lim (x 19 x →1 29 + x18 + + x − 1) + x + + x − 1) 28 = = lim 18 = 28 24 ( x − 1) ( x49 + x48 + + x + 1) x50 − x 49 + x 48 + + x + 2) Ta có A = lim = lim = lim = −50 x →1 x − 3x + x →1 x →1 x−2 ( x − 1)( x − ) 3) Ta có A = lim x n − nx + n − n − 1) − n ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + + x + 1) − n ( x − 1) = lim x →1 ( x − 1) x →1 ( x − 1) (x = lim x →1 ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + + x + − n ) x n−1 + x n−2 + + x + − n = lim = lim x →1 x →1 x −1 ( x − 1) Page x n−1 − + x n−2 − + + x − + x − = lim x →1 x −1 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 = lim GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + + x + 1) + ( x − 1) ( x n−3 + x n−4 + + x + 1) + + ( x − 1) x −1 x →1 = lim ( x n −2 + x n −3 + + x + 1) + ( x n −3 + x n −4 + + x + 1) + + 1 = ( n − 1) + ( n − ) + + = x →1 4) Ta có A = lim x n+1 − ( n + 1) x + n n +1 − x ) − n ( x − 1) = lim x ( x n − 1) − n ( x − 1) x →1 ( x − 1) ( x − 1) x ( x − 1) ( x n−1 + x n−2 + + x + 1) − n ( x − 1) ( x − 1) ( xn + xn−1 + + x− n ) = lim = lim 2 x →1 x →1 ( x − 1) ( x − 1) x →1 ( x − 1) (x = lim n2 − n 2 x →1 x n + x n−1 + + x + x − n x n − + x n−1 − + + x − + x − = lim x →1 x →1 x −1 x −1 n −1 n−2 n−2 ( x − 1) ( x + x + + x + 1) + ( x − 1) ( x + x n−3 + + x + 1) + + ( x − 1) = lim x →1 x −1 = lim ( x n −1 + x n − + + x + 1) + ( x n − + x n −3 + + x + 1) + + 1 x →1 n ( n + 1) = n + ( n − 1) + ( n − ) + + = = lim x + x + x3 + + x n − n x n − + x n−1 − + + x − + x − = lim x →1 x + x + x3 + + x m − m x →1 x m − + x m −1 − + + x − + x − ( x − 1) ( xn−1 + xn−2 + + x + 1) + ( x − 1) ( x n−2 + x n−3 + + x + 1) + + ( x − 1) 5) Ta có A = lim = lim x →1 ( x − 1) ( xm−1 + xm−2 + + x + 1) + ( x − 1) ( xm−2 + xm−3 + + x + 1) + + ( x − 1) (x = lim (x x →1 n −1 m −1 + x n−2 + + x + 1) + ( x n−2 + x n−3 + + x + 1) + + + x m−2 + + x + 1) + ( x m−2 + x m−3 + + x + 1) + + n + ( n − 1) + ( n − ) + + n ( n + 1) = x →1 m + ( m − 1) + ( m − ) + + m ( m + 1) = lim n m n m − = lim − − − 6) Ta có A = lim m n m n x →1 − x − x x →1 − x − x − x − x m n = lim − − lim − m n x →1 − x − x x→1 − x − x m − (1 + x + x + + x m −1 ) (1 − x ) + (1 − x ) + + (1 − x m−1 ) m − = lim Và lim = lim x →1 − x m x →1 − x x →1 − xm 1− xm (1 − x ) 1 + (1 + x ) + + (1 + x + x + + x m−2 ) = lim x →1 (1 − x ) (1 + x + x + + x m−1 ) + (1 + x ) + + (1 + x + x + + x m− ) + + + + m − = lim x →1 + x + x + + x m −1 = m = m −1 n −1 n Tương tự ta có lim − = n x →1 − x 1− x Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page n m −1 n −1 m − n m Vậy lim − − = = x →1 − x m − xn 2 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC , đó tử thức mẫu thức có chứa thức Dạng Tính giới hạn vô định dạng Phương pháp giải: Nhân lượng liên hợp để khử dạng vơ định VÍ DỤ 3− x +3 x →6 x−6 Đs: B = − Ví dụ Tính giới hạn B = lim Lời giải ( )( 3− x +3 3+ x +3 3− x +3 = lim x →6 x →6 x−6 ( x − 6) + x + Ta có: B = lim = lim x →6 − ( x + 3) ( x − 6) (3 + x+3 Ví dụ Tính giới hạn E = lim ) = lim x →6 ( ) 6− x ( x − 6) (3 + x+3 ) ) = lim x →6 −1 −1 = =− 3+ x +3 3+ 6+3 3x + − x − x−2 x →2 Đs: E = −1 Lời giải Ta có E 3x 2 lim x 5x lim x 2 x 3x 2 x lim x 2 A A lim x 3x 2 x B x lim x 2 3x 2 2 5x x x 3x lim x x 2 Suy E A 5x B Ví dụ Tính giới hạn L = lim x →−1 B 2 3x lim 3x lim x x x lim x 3x lim x 5x x 2 3x x 2 lim 5x 5x x x 2 3x 4 x 5x 5x − + x +1 Đs: L = 12 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page Lời giải Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Ta có: L lim x 5x x 5x lim x x x lim x GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x 5x Ví dụ Tính giới hạn E = lim 5x 2 x lim x x 4 5x 3 x 12 3x + − 3x − x−2 x →2 Đs: E = −1 Đs: F = Lời giải Ta có E 3x x x 3x x 3x 3x 2 x 3x 2 x 2 3x lim 3x x 2 2 2 lim x 2 3x lim 3x x x 2 3x lim x 2 3x 2 2 x 3x 4 + 2x.3 + 4x −1 x Ví dụ Tính giới hạn F = lim x →0 3x 2 x x lim lim x x lim x 3x x 3x 2 lim x lim Lời giải F x 2x x 1 2x.3 x x lim lim x lim x x 4x 3 4x 4x x lim 4x 2x lim x lim x x 2x 4x lim x 2x x lim x x 2x 4x 1 2x x 0 x 2x 2x BÀI TẬP ÁP DỤNG Tính giới hạn sau: Page Bài Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 lim 3) B x 3x lim x 2x 5) B lim 7) B lim 9) B x 3x Đs: B x x 2x 2x lim x 2 Đs: B x 10 lim 16 6) B lim x Đs: B x x2 8) B lim 2x x x2 2) B lim x 4x 3x 4) B lim x 2x 6) B lim x x x Đs: B x 2 Đs: B x2 4) B 36 2x2 x 3x x2 x x x2 x 1 Đs: B 2 lim 16 54 Đs: B Đs: B Tính giới hạn sau: 1) B lim 3x x Đs: B x 3) B lim x x 5) B lim 7) B x x x x2 x 2x Đs: B x x2 2x x2 x x x Đs: B x x lim Đs: B x x x Đs: B 3x Đs: B x 4x Đs: B x 3 Tính giới hạn sau: 1) L lim 2) L lim 3) L lim 4) L lim 5) L lim x x x 16 5x x x 2x x x x 2x x x2 x 5x 2x x Đs: B 24 Đs: B Đs: L 2x x x x x 84 Đs: L Đs: L 74 Page Bài x x 2) B 10 Bài x Đs: B x 1) B x GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 15 15 x4 + − 2+ − x + x − 15 x x x x = lim = lim =2 I = lim x →− x →− x →− x +1 4 x 1 + 1 + x x 1 1 x2 + x − 4 + x7 − x x x x = lim = lim = I = lim x →+ x − x + ( ) ( ) x→+ x3 − 13 x 1 + x→+ − 13 x 1 + x x x x ( x2 + 1) ( x −1) ( x − 1) ( 5x + ) x →− ( 3x + 1) 2 I = lim 2 1 x 1 − x + x x = lim x →− 1 x4 + x 2 2 1 1 − + 25 x x = lim = x →− 81 1 3+ x 1 1 1 1 x 1 + x3 − 1+ − 2 ( x + 1) (1 − x ) x x = lim x x =−1 10 I = lim = lim 5 x →− ( x + ) ( x + 3) x→− x5 + x 1 + x→− + 1 + x x x2 x 2 2 2 x 1 + x 1 + x 1 + 1 + x + 2) ( x + 2) ( x x = lim x x = − 11 I = lim = lim 2 x →− x →− x →− 1 ( x + 1) (1 − x ) x + x − 1 + − x x x x 2 2 2 1 + 1 + x x (vì lim x = − , lim = ) x →− x →− + − 1 x x ( x + ) (1 − x ) I = lim x →− (1 − x ) x2 12 4 2 1 2 1 x + x − 1 + − 1 x x x x = lim = lim =− 5 x →− x →− 32 1 1 x − x − 2 x x x3 x2 − 13 I = lim x →− x − 3x + x3 ( 3x + ) − x ( 3x − ) x3 x2 x3 + x − = lim Ta có I = lim = lim x →− x − x →− x − x + x + x→− ) ( )( ( 3x − ) ( 3x + ) 4 4 x3 + 2+ x x = lim = lim = x →− x →− 4 2 2 x2 − x + − + x x x x 3 3 x2 − + − + 2 3x − x + x x x x x x = lim lim = 14 I = lim x →− x →− x →− 1 1 2x −1 x3 − − x x3 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page 73 Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Tính giới hạn sau: 2x − ĐS: − x →1 x − 2− x lim− ĐS: + x →3 − x x − 15 ĐS: − x →2 x − x −5 lim− ĐS: − x →4 ( x − 4) lim+ lim+ −3x + ĐS: + x →2 x−2 − 5x lim+ ĐS: − x →2 x − 3x − ĐS: − x →1 x − x +1 lim+ ĐS: + x →2 x − lim+ x →3 lim− x −3 ĐS: 5x − 15 11 lim− x →2 10 lim − x →( −3) 2− x ĐS: x − 5x + x −1 13 lim− ĐS: − x →1 x + x − 15 lim x2 − x −3 x →3 x−2 17 lim− x −1 −1 x →2 19 lim− x →2 21 lim+ x →3 ĐS: không tồn x−2 x −1 −1 3x − (3 − x ) 23 lim+ x→2 ĐS: x →( −1) x +1 − x −1 x →2 33 lim+ (1 − x ) x →1 x −3 x − 25 x ĐS: x −4 x+5 ĐS: x + 2x − x − −1 x + 25 − ĐS: x −x−2 81 24 lim+ x+ x ĐS: −1 x− x 26 lim+ x+2 x ĐS: −2 x− x x →0 x2 − x + ĐS: − x −9 28 lim− x →3 30 lim + x + 3x + ( ) ) 32 lim + x3 + x →( −1 x →1 x ĐS: x −1 x 1− x ĐS: 2 1− x +1− x 36 lim + x →( −3) Tài liệu biên soạn sưu tầm ĐS: x5 + x x →( −1) 34 lim− ĐS: −30 22 lim x →0 ĐS: ĐS: − x − 11 − x→2 1− x 35 lim+ x ĐS: x →0 x Fb: ThayTrongDGL x →4 x−4 ĐS: không tồn x + x − 20 x2 − x + 29 lim− ĐS: − x →1 − x + x − 31 lim+ ( x − ) 16 lim ĐS: x−2 x→2 x →5 ĐS: + ( x + )( x + 1) 14 lim+ 20 lim− − x2 25 lim+ ĐS: x →2 2− x 27 lim + x − 3x + x →3 ĐS: + x − 16 x →1 x −1 ĐS: 2x + x − 18 lim− ĐS: −3 3x + 12 lim+ x −1 ĐS: − x+3 x2 + 5x − ( x + 3) ĐS: − 74 lim− Page Bài GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 37 lim− − ĐS: − x →2 x − x −4 38 lim− x →1 x3 − 3x + ĐS: − x − 5x + Lời giải lim+ ( x − 3) = −1 x →1 2x − lim+ = − lim+ ( x − 1) = x →1 x − x →1 x − 0, x → 1+ lim+ ( x − 15 ) = −13 x →2 x − 15 lim+ = − lim+ ( x − ) = x →2 x − x→2 x − 0, x → 2+ lim− ( − x ) = −1 x →3 2− x lim− = + lim− ( − x ) = x →3 − x x →3 3 − x 0, x → 3− lim− ( x − ) = −1 x →4 x −5 lim− = − lim− ( x − ) = x → x →4 ( x − 4) ( x − )2 0, x → 4− lim− ( −3 x + 1) = −5 x →2 −3x + lim− = + lim− ( x − ) = x→2 x →2 x−2 x − 0, x → 2− lim− ( x − 1) = x →1 3x − lim− = − lim− ( x − 1) = x →1 x − x →1 x − 0, x → 1− lim+ ( − x ) = −4 x →2 − 5x lim+ = − lim+ ( x − ) = x→2 x →2 x − 4 x − 0, x → 2+ lim+ ( x + 1) = x →2 x +1 lim+ = + lim+ ( x − ) = x →2 x − x→2 x − 0, x → 2+ Do x → 3+ nên x − = x − suy lim+ x →3 x −3 x −3 1 = lim+ = lim+ = x → x → x − 15 x − 15 5 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page 75 lim ( x − 1) = −22 x →( −3)− x −1 = − lim − x + = 10 lim − x →( −3) x →( −3) x + x + 0, x → ( −3)− Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 11 Do x → 2− nên − x = − x suy lim− x →2 = lim− x →2 1 = 2x −1 12 Do x → 1+ nên x − = x − suy lim+ x →1 lim x →1+ 2− x 2− x = lim− x − x + x→2 ( x − 1)( x − ) 1 = 2x + 2x + x −1 x −1 = lim+ x + x − x→1 ( x − 1) ( x + x + 3) 13 Do x → 1− nên x − = − x suy lim− x →1 x −1 1− x = lim− x + x − x→1 ( x − 1) ( x + x + 3) −1 =− x →1 x + x + 14 Ta có x − 3x + = ( x − 1)( x − ) , x → 2+ nên x − 3x + , suy lim− lim+ x − 3x + x−2 x →2 = lim+ x →2 x2 − 15 Ta có lim = lim x −3 x →3 ( x − 1)( x − ) = lim x → 2+ x−2 ( x + 3)( x − 3) x →3 x −9 x −3 TH1: x ta có lim+ x →3 x −3 x2 − ( x − 1) = = lim+ x →3 ( x + 3)( x − 3) = lim x −3 x →3+ ( x + 3) = − ( x + 3)( x − 3) = lim− ( − x − 3) = −6 x →3 x →3 x − x →3 x −3 2 x −9 x −9 x −9 lim− Do lim+ nên không tồn lim x →3 x − x →3 x − x →3 x − x−4 x−4 16 Ta có lim = lim x →4 x + x − 20 x →4 ( x − )( x + ) TH2: x ta có lim− = lim− TH1: x , ta có lim+ x−4 x−4 1 = lim+ = lim+ = x + x − 20 x→4 ( x − )( x + 5) x→4 x + TH2: x , ta có lim+ x−4 x−4 −1 −1 = lim− = lim− = x + x − 20 x→4 ( − x )( x + 5) x→4 x + x →4 x →4 Do lim+ x →4 2 x−4 x−4 x−4 lim− nên không tồn lim x → x + x − 20 x → x + x − 20 x + x − 20 17 Do x → 2− nên x − = − x suy lim− x →2 lim x → 2− ( ) x −1 −1 = lim− ( x − 2) ( x →2 ) x −1 +1 x −1 −1 x −1 + = 18 Do x → 3− nên x − = − x suy lim− x →3 = lim− x−2 − ( x − 11 + 5 x − 11 − = lim− x →3 (3 − x ) ( x − 11 + ) x − 11 − Page 76 x →3 ) =−4 x −3 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 19 Do x → 2− nên x − = − x suy lim− (( = lim− − x →2 x →2 )) x−2 x −1 −1 = lim− (2 − x) ( x −1 −1 x →2 x − + x − + = −3 20 Ta có x − 25 = ( x − )( x + ) , x → nên x − 25 , suy lim− − ( 25 − x ) ( = lim− ) = lim ( − (5 + x)) − x →5 x →5 ( x →2 ( x + 1) x→2 x →0 x + 25 + 3 x + 25 + ) ) 81 = lim+ ( 3x + ) = x →2 3x + = + , lim+ x − 16 = x − 16 x →2 x − 16 0, x → 2+ 23 lim+ 24 lim+ ( x − −1 ) ( x − + x − + = −30 lim+ ( x − ) = x →3 3x − 21 lim+ = + , lim+ ( − x ) = x →3 (3 − x ) x →3 ( − x ) 0, x → 3+ x + 25 − 27 x + 25 − = lim 22 Ta có lim 2 x →2 x→2 x − x − ( x − )( x + 1) x + 25 + 3 x + 25 + x − 25 x − + x − +1 x − −1 x →5 = lim ) x −1 + x −1 + x+ x = lim x − x x → 0+ ( x( x ) = lim x − 1) x +1 x →0 x +1 = −1 x −1 + ( − x )( + x ) = lim − x + x = − x2 25 lim+ = lim+ ( ) x →2 x → 2+ − x x →2 2− x 26 lim+ x →0 x+2 x = lim x − x x → 0+ 27 Ta có lim + x →( −1) lim− x →3 ) = lim x − 1) x +2 ( x + )( x + 1) x +1 − x −1 x2 − x + = 28 Ta có ( x( x x →0 = lim + ( x − 3) x →( −1) + x +2 = −2 x −1 x + x +1 ( x +1 1− x +1 ) = lim + = x − , x → 3− nên x →( −1) x+2 = 1− x +1 x − x + = − x , suy x2 − x + x2 − x + 3− x −1 = lim = lim− = lim− =− 2 − x →3 x →3 ( x − 3)( x + 3) x →3 x + x −9 x −9 29 Do x → 1− nên x −1 , từ ta có lim− x →1 ( x − 1)( x − 3) 1− x − x x2 − x + 3− x = lim− = lim− = lim− − x + x − x →1 − ( x − 1)( x − ) x →1 − ( x − 1)( x − ) x→1 − x ( x − ) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page 77 3− x = lim− = − x →1 1− x x − Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 lim− x →1 30 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3− x lim− =− = + x → x −5 1− x lim + x + 3x + x5 + x x →( −1) 31 lim+ ( x − ) x →2 = lim + ( x + 1)( x + ) x →( −1) x x +1 x = lim ( x − ) x − x → 2+ ( ) ) x →( −1 x →( −1) x ( x − )( x + ) 32 Ta có lim + x3 + = lim + x + ( x + 2) =0 x2 x →2 x = lim + ( x + 1) ( x − x + 1) x − x→( −1) x ( x − 1)( x + 1) x ( x + 1) =0 x →( −1) x −1 33 Do x → 1+ nên − x , ta có ( x + )( x − 1)2 x+5 = lim lim (1 − x ) x →1+ x + x − x→1+ ( x − 1)( x + 3) x 1− x x 1− x 34 lim− = lim− x →1 − x + − x x →1 1− x + 1− x x ( x − 2) = x+2 = lim+ = lim + ( x − x + 1) ( ) = lim x→1+ = lim− x →1 ( x + 5)( x − 1) = x+3 x = + 1− x x (1 − x ) 1− x 2 = lim+ x (1 − x ) = = lim 35 lim+ x x →0 x →0 x x x→0+ ( x − 1)( x + 3) = lim x − = − x + 5x − = lim + 36 lim + 2 + x →( −3) x →( −3) x →( −3) x + ( x + 3) ( x + 3) x + −1 x +1 37 lim− = lim− − = lim− = − x →2 x − x − x→2 ( x − )( x + ) x →2 x + x − 38 Do x → 1− nên x −1 , suy x3 − 3x + = lim− lim x →1 x →1− x − x + 2 = lim− x →1 = x − = − x nên ta có (1 − x ) x + ( x − 1)( x + ) = lim− x →1 − x+2 =− x+4 Tính giới hạn sau: sin 5x ĐS: x →0 x 2) lim tan x ĐS: x →0 3x − cos x ĐS: x →0 x 4) lim − cos5x x →0 − cos3x 6) lim x sin ax a ) ĐS: ( x →0 − cos ax a 8) lim a2 − cos x ĐS: ; a ( ) x →0 x2 10) lim 1) lim sin 5x.sin 3x.sin x ĐS: x →0 45x 3) lim − cos2 x ĐS: x →0 x.sin x 5) lim 7) lim x →0 sin x − tan x ĐS: − x Page 9) lim a2 − cos ax ĐS: x →0 − cos bx b 78 Bài ( x + )( x − 1) ( x − 1)( x + ) ( x − 1) Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC tan x − sin x ĐS: x →0 sin x 12) lim cos x − cos b ĐS: − sin b x →b x −b 14) lim −1 1− 2x +1 ĐS: sin x cos ( a + x ) − cos ( a − x ) ĐS: −2sin a x →0 x 16) lim tan x − tan c ĐS: x−c cos c − cos3 x ĐS: x →0 x sin x 18) lim 11) lim 13) lim 15) lim sin x − sin a ĐS: cos a x →a x−a x →0 x →c sin x − sin a sin 2a ĐS: 2 x →a x −a 2a 17) lim − cos x − cos x ĐS: x →0 x2 x3 + ĐS:12 x →−2 tan ( x + ) 19) lim 20) lim sin ( a + x ) − 2sin ( a + x ) + sin a − cos x cos x cos3x ĐS: − sin ( ) ĐS:1422) lim x →0 x →0 x2 − cos x 21) lim sin ax + tan bx ;(a + b 0) ĐS: x →0 ( a + b) x 24) lim b2 − a − c cos ax − cos bx cos cx ĐS: x →0 − cos x 26) lim 23) lim 25) lim x + − x2 + ĐS: sin x 27) lim x →0 29) lim x →− cos x x+ ĐS: x →0 35) lim x → + cos x ( x − ) x →0 sin 2 x − sin x sin x ĐS: x →0 x4 28) lim x →0 37 − cos5 x cos x ĐS: 121 sin 11x 37) lim sin ( a + x ) − sin ( a − x ) ĐS: cos3 a x →0 tan( a + x) − tan( a − x) 30) lim + x − cos x ĐS: 31) lim x →0 x2 33) lim 33 cos3x − cos5 x cos x ĐS: − x →0 x ĐS: 32) lim x →0 + tan x − + sin x ĐS: x 34) lim x+3 −2 ĐS: tan( x − 1) 36) lim sin( x − 1) ĐS: − x − 4x + x →1 x →1 x + − cos x ĐS: x sin x − sin x ĐS: -1 x x 1 − sin 2 − cos x cos x ĐS: x →0 x 38) lim Lời giải sin x sin x = lim 5 = x →0 x →0 x 5x 79 1) lim tan x tan x = lim = x →0 x →0 3x 2x Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Page 2) lim Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 x x 2sin sin − cos x = lim = = lim 3) lim 2 x →0 x →0 x x x →0 x 4) lim x →0 sin x sin x sin x sin x sin x sin x = lim = x → 45 x 3x x 5x 2 5x 5x 3x sin − cos x = lim 25 = 25 = lim 5) lim x →0 − cos x x →0 x x →0 5x 3x sin 2sin 2sin − cos2 x sin 2 x 4sin x cos x sin x 6) lim = lim = lim = lim 4cos x = x →0 x → x → x → x sin x x sin x x x ax 1 x sin ax x sin ax sin ax = = lim = lim a 7) lim x →0 − cos ax x →0 x →0 ax a ax a ax 2sin sin 2 ax ax bx 2sin sin − cos ax = lim a = a = lim 8) lim x →0 − cos bx x →0 bx x →0 ax b bx sin b 2sin 2 ax ax 2sin sin 2 − cos ax = lim a = a = lim 9) lim x →0 x →0 x →0 x2 x2 ax sin x ( cos x − 1) sin x − tan x = lim x →0 x →0 x3 x3 cos x 10) Ta có lim x x −2sin x sin sin = lim − sin x = −1 = lim x →0 x →0 x cos x cos x x x sin x (1 − cos x ) tan x − sin x = lim = lim = x →0 x →0 cos x sin x − cos x sin x ( ) x→0 cos x (1 + cos x ) 2 cos x−a x+a x−a sin sin x + a = cos a 2 = lim cos x →a x−a x−a Page sin x − sin a = lim 12) Ta có lim x →a x−a x→a 80 11) lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 13) Ta có lim x →b 14) Ta có cos x − cos b = lim x →b x −b x−b x+b x −b sin sin = − sin b 2 = lim − sin x + b x →b x −b x −b ( x →0 x →0 −2sin 2x 1− 2x +1 − 2x −1 = lim − =− = lim x → x → sin x + x + sin x sin x + x + lim 15) Ta có lim GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC cos(a + x) − cos(a − x) = lim x →0 x ) −2sin a+x+a−x a+ x−a+ x sin 2 x sin x = lim −2sin a = −2sin a x →0 x 16) lim x →c 17) = lim sin ( x − c ) sin ( x − c ) tan x − tan c 1 = lim = lim = x → c x → c x−c cos x cos c cos c ( x − c ) cos x cos c x −c (1 − cos x ) (1 + cos x + cos x ) − cos3 x lim = lim x →0 x sin x x →0 x sin x Ta có 2sin x →0 x x + cos x + cos x ) sin ( + cos x + cos x 2 = = lim x →0 x x x x x sin cos cos 2 2 sin x − sin a 18) Ta có lim = lim x →a x →a x2 − a2 − cos x − cos 2a − 2 x − a x + a ( )( ) −2sin ( a + x ) sin ( a − x ) cos 2a − cos x = lim x →a 2( x − a )( x + a ) x →a 2( x − a)( x + a) = lim sin(a + x) sin(a − x) sin 2a = lim = x →a a−x 2a x+a lim 19) Ta có x →0 cos x − cos x = lim x →0 x2 −2sin ( + ) x sin ( − ) x 2 x2 ( + ) x ( − ) x sin − + sin − 2 = lim −2 = x →0 2 ( + ) x ( − ) x 2 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Page − cos x cos x cos3x − cos x + cos x(1 − cos x) + cos x cos x(1 − cos3x) = lim x →0 x →0 − cos x − cos x 21) Ta có lim 81 ( x + 2) ( x2 − 2x + 4) ( x + 2) = 12 x3 + 20) Ta có lim = lim = lim ( x − x + ) x →−2 tan ( x + ) x →−2 x →−2 tan( x + 2) tan( x + 2) Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 3x 2sin 2 2sin x = lim 1 + cos x + cos x cos x x →0 x x 2sin 2sin 2 2 3x x x sin sin x = + + = 14 = lim 1 + cos x + cos x cos x x →0 3x x x sin x sin sin 2 sin ( a + x ) − 2sin(a + x) + sin a 2sin ( a + x ) cos x − 2sin ( a + x ) = lim x →0 x →0 x2 x2 22) Ta có lim x −4sin ( a + x ) sin 2sin(a + x)(cos x − 1) = lim = lim 2 x →0 x → x x x sin = − sin a = lim −4sin ( a + x ) x →0 x sin ax + tan bx 23) Ta có lim = lim x →0 x →0 ( a + b) x ax sin ax tan bx sin ax tan bx + bx a b ax bx = lim ax bx = a + b = x →0 ( a + b) x a +b a +b cos3x − cos5 x cos x cos3x − cos5 x + cos5 x − cos5 x cos x = lim x →0 x →0 x x2 24) Ta có lim = lim x →0 2sin x sin x + cos x(1 − cos x) = lim x →0 x2 2sin x sin x − cos x sin 7x x2 7x sin x sin x sin 49 49 33 =8− = lim − cos x =− x →0 7x 4x x 2 25) Ta có lim x →0 = lim x →0 2sin cos ax − cos bx cos cx cos ax − cos bx + cos bx − cos bx cos cx = lim x → x x2 ( b − a ) x + cos bx(1 − cos cx) ( b − a ) x − 2cos bx sin cx ( a + b) x ( a + b) x sin 2sin sin 2 2 = lim x →0 x2 x2 Page 82 b − a) x ( ( a + b) x cx sin b − a sin sin b − a c b − a − c c2 2 = = lim − cos bx − = x →0 ( a + b) x cx 4 2 (b − a ) x Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC sin(a + x) − sin(a − x) = lim x →0 tan ( a + x ) − tan ( a − x ) x →0 26) Ta có lim cos a sin x sin x cos ( a + x ) cos ( a − x ) cos a cos ( a + x ) cos ( a − x ) = cos3 a x →0 cos x = lim 2x + − x2 + 2x + −1 + − x2 + = lim x →0 x →0 cos x sin x 2x −x + 2 x + + 1 + x2 + + x2 + lim 27) Ta có = lim x →0 = lim ) ( sin x 2x x − x + + 1 + x2 + + ( x2 + sin x x x →0 ) = sin x ( sin x − 2sin x cos x ) sin 2 x − sin x sin x = lim x →0 x →0 x x4 28) Ta có lim 3x x 4sin x sin x sin sin 2sin x sin x ( cos x − cos x ) 2 = lim = lim x →0 x →0 x4 x4 3x x sin x sin x sin sin = lim = x →0 3x x x 2x 2 sin x + cos x 2 29) lim = lim = x →− x →− x + x + 2 2 30) lim x →0 sin x (1 − 2cos x ) sin x − sin x sin x − 2cos x = lim = lim = −1 x →0 x →0 x cos x x cos x x x 1 − 2sin 2 31) Ta có lim x →0 + x − 1 − cos x + x − cos x + x − + − cos x = lim = lim + 2 x →0 x →0 x2 x2 x x x x sin 2sin + x2 −1 1 = + =1 = lim + = lim + x →0 x →0 x + x2 + x 2 + x2 + x ) Page 83 ( Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 32) lim x →0 = lim x →0 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC + tan x − + sin x + tan x − − sin x = lim 3 x → x x + tan x + + sin x ( sin x (1 − cos x ) x3 cos x = lim x →0 cos x ( ( + tan x + + sin x ) = lim x →0 ) 2sin x sin x3 cos x ( + tan x + + sin x x sin sin x x x + tan x + + sin x ) x 2 ) = 5x 7x 2sin 2 cos x sin − cos5 x + cos5 x − cos x ( ) = lim − cos5 x cos x + 33) lim = lim 2 x →0 x →0 x →0 sin 11x sin 11x sin 11x sin 11x 2 5x 7x 2 sin 25 sin 11x 49 2 11x = 25 + 49 = 37 = lim + cos x x →0 242 5x x sin11x 242 242 121 sin11x 242 34) lim x →1 x+3 −2 x +3− x −1 = lim = lim = x →1 tan ( x − 1) x →1 tan ( x − 1) x + + tan x − ( ) x + + ( ) − x 2 − x x 2sin sin cos 1 + cos x = = lim = lim 35) lim = lim 2 x → x → x → x → − x (x − ) (x − ) (x − ) 36) lim x →1 37) lim x →0 sin ( x − 1) sin ( x − 1) sin ( x − 1) = lim = lim =− x → x → x − 4x + x −3 ( x − 1)( x − 3) x −1 x + − cos x x + − + − cos x = lim x →0 x2 x2 x + − 1 − cos x x2 + −1 2sin x = lim + + = lim 2 x →0 x →0 x x + + x x x ) ( sin x = lim + 2 = +2= x →0 x x +1 +1 ) Page 84 ( − cos x + cos x − cos x − cos x cos x = lim x →0 x →0 x2 x2 38) lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 ( − cos x cos x − cos x = lim + x →0 x2 x2 x sin 1 = lim x →0 x + cos x ( Bài ) GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x cos x − cos x ( ) 2+ x2 x + cos x ) = lim 2sin x →0 ( ) x sin sin x = + = = lim x →0 + cos x x Tính giới hạn sau: cos3x − cos x ĐS: x →0 cos5 x − cos x 1) lim 3) lim x→ 5) lim x→ 7) lim x→ 9) lim x→ 2) lim x→ sin x − sin x ĐS: x →0 sin x + sin x + cos x ĐS: cos x − cos x ĐS: sin x − 4 − 2sin x ĐS: cos x − 24) lim − cos x ĐS: x →0 sin x 6) lim sin x − cos x ĐS: − sin 3x 8) lim tan x.tan − x ĐS: x→ 4 cos 3x + 2cos x + ĐS: sin 3x 10) lim tan x − ĐS: − 12 2sin x − x→ Lời giải sin x cos 3x − cos x −2sin x sin x sin x x 1) lim = lim = lim = lim = x →0 cos x − cos x x →0 −2sin x sin x x →0 sin x x →0 sin 3x 3 3x 2) lim x→ 3) lim x→ − 2sin x − 2sin x 1 = lim = lim = 2 4cos x − x→ − 4sin x x→ + 2sin x 6 + sin x + cos x 2cos x + sin x = lim = lim ( 2cos x + 2sin x ) = cos x cos x x→ x→ 2 sin x − sin 5x 2cos x sin x = lim = lim 2cos x = x →0 x →0 x →0 sin x sin x Page 85 4) lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2 − cos x cos − cos x 2 − cos x = lim = lim 5) lim x→ x→ x→ sin x − 4 sin x − sin x − 4 4 4 x x x −4sin + sin − 2sin + = lim 2 = = lim x x x x→ 2sin − cos − x → cos − 2 8 2 8 2 8 − cos x ) cos x ( − cos x 6) lim = lim x →0 x →0 tan x sin x 1 + cos x + cos x = lim x →0 cos x (1 + cos x ) 1 + cos x + cos x = 2sin 3 x − sin 3 x − 2sin x − sin x − cos x 3 = lim = lim = lim =− 7) lim sin 3x x→ x → sin ( x − + ) x→ x → − −sin 3 x − 3 3 sin 3 x − −3 3 x − 3 tan x tan x − tan x = lim = 8) lim tan x tan − x = lim 2 x→ x → 1 − tan x + tan x x → (1 + tan x ) 4 9) lim x→ cos 3x + cos x + cos3 x − 3cos x + cos x = lim sin 3x 3sin x − 4sin x x→ cos x − cos ( 2cos x + 3) cos x 3 = lim = lim x→ 2sin x + 2sin x − sin x x→ 3 ( ( 2cos x − 1)( 2cos x + 3) cos x )( ) x − sin + ( cos x + 3) cos x 2 6 = lim = x x→ cos + 2sin x + sin x ( ) ( tan x − 1) cos x tan x − 10) lim = lim 2sin x − tan x + tan x + 1 x→ x→ 4 (1 − tan x ) x→ − cos x (1 + tan x ) ( tan x ) Fb: ThayTrongDGL + tan x + 1 =− 12 Tài liệu biên soạn sưu tầm 86 = lim ) Page ( Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Bài 10 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Tính giới hạn sau: 1) lim cos x − ĐS: sin x 2) lim + sin x − cos x ĐS: −1 − sin x − cos x 3) lim sin x ĐS: −1 − sin x − cos x 4) lim − cos x ĐS: sin x x →0 x →0 x →0 sin 5x − sin 3x ĐS: x →0 sin x 5) lim 7) lim x→ 2 sin x − ĐS: − 2cos x − 6) lim − ĐS: x →0 sin x tan x sin − x 6 ĐS: 8) lim − 2sin x x→ 10) lim − cot x ĐS: x → sin x Page 87 sin − x ĐS: 9) lim x → − sin x x →0 Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! ... ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 Ví dụ Tính giới hạn B GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 3x x x3 lim x Đs: Lời giải x2 x3 B lim x x3 x3 Ví dụ Tính giới. .. 11x + 18 10) A = lim Tính giới hạn sau: Page Bài 2) A = lim Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x3 − x + x +... 54 72 Đs: L Tính giới hạn sau: n lim x ax x Đs: a n Page 1) F 11 Bài x 10) L Bài GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn sưu tầm Chúc em học tốt ! Tài liệu tự học dành cho HS