Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số

Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số A.Phần mở đầu Trong đời học sinh người, chí giáo viên tiếp xúc với nội dung bất đẳng thức quan tâm đến nguồn gốc xuất phát toán chứng minh bất đẳng thức Trong công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, thân gặp tình mà học sinh đưa “ Tại người ta lại nghĩ toán chứng minh bất đẳng thức “ ; “ Tại để tính giới hạn người ta thêm bớt lượng không được, thêm bớt lượng lại giải “ Những câu hỏi xuất tâm trí nhắc nhở phải tìm hiểu Hình ảnh trực quan tiếp tuyến đường cong sở để giải thích câu hỏi em học sinh Cũng từ nảy sinh việc nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số mà gọi phương pháp tiếp tuyến Phương pháp thể nguồn gốc xuất phát toán nên chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số “ với mục đích cung cấp phương pháp giải toán cho em học sinh quan trọng giúp em nhìn thấy chất việc, tượng, thấy sáng tạo toán đẹp từ kiến thức bản, từ hình ảnh trực quan Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số phương pháp rõ ràng dễ áp dụng để giải lớp toán chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số, nội dung mà học sinh gặp kì thi hầu hết em học sinh gặp Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải Hi vọng phương pháp xoá tan tâm lí “ sợ “ gặp toán chứng minh bất đẳng thức tìm giới hạn hàm số học sinh Chính mà đề tài cần thiết cho đối tượng em học sinh đội tuyển học sinh giỏi, em học sinh chuẩn bị cho kì thi đại học tất em học sinh muốn tìm hiểu hướng sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức giới hạn hàm số B.Phần nội dung 1.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức a.Cơ sở lí thuyết : Nếu y  ax  b tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A  x0 ; f  x0   ( A điểm uốn ), tồn  ;   chứa x0 cho f ( x)  ax  b x   ;   f ( x)  ax  b x   ;   Đẳng thức xảy x  x0 Từ ta có f  x1   f  x2    f  xn   a ( x1  x2   xn )  nb f  x1   f  x2    f  xn   a ( x1  x2   xn )  nb với x1 , x2 , , xn   ;   đẳng thức xảy x1  x2   xn  x0 Nếu x1  x2   xn  k ( k không đổi ) f  x1   f  x2    f  xn   ak  nb f  x1   f  x2    f  xn   ak  nb với x1 , x2 , , xn   ;   b.Thực trạng vấn đề : Bất đẳng thức vấn đề quan trọng khó học sinh cấp trung học phổ thông Học sinh gặp nhiều khó khăn việc xác định phương pháp giải phương pháp đường rõ ràng Có cách giải từ trời rơi xuống Học sinh hiểu người ta lại nghĩ toán vậy, lại có giải Trong đề tài xin trình bày phương pháp mà học sinh không nắm Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 sở lí luận không hiểu lại có lời giải vậy, học sinh nắm sở lí luận phương pháp việc sử dụng phương pháp thật rõ ràng cụ thể, em tự chứng minh lớp bất đẳng thức tự sáng tác toán chứng minh bất đẳng thức c.Các bước tiến hành Nếu gặp BĐT đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểm mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức dạng biến cô lập dạng f ( x1 )   f  xn    f ( x1 )   f  xn    Sau thực theo bước sau :  Xét xem dấu “=” xảy điều mong ước x1   xn  x0  Dựa vào hình thức BĐT, xét hàm số f ( x ) , viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) điểm có hoành độ x0 , giả sử phương trình tiếp tuyến y  g ( x) k  Viết f ( x)  g ( x)   x  x0  h( x) , h  x0   , k  2, k  , kiểm nghiệm f ( x)  g ( x)  0x  D f ( x)  g ( x)  0x  D  Từ đưa lời giải : ta có f ( xi )  g ( xi )  f ( xi )  g ( xi )  0xi  D , xi  D, i  1, n  Cộng n bất đẳng thức theo vế ta điều phải chứng minh Các ví dụ làm rõ phương pháp 2  2a  b  c    2b  a  c    2c  a  b   Ví dụ 1: Cho a, b, c  CMR: 2 2 2a   b  c  2b   a  c  2c   a  b  Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 Phân tích : Vì BĐT nên ta chuẩn hóa cách giả sử a  b  c  Khi BĐT cần chứng minh trở thành f (a)  f (b)  f (c)  với a, b, c   0;1 f ( x ) = x2  x  1 , x   0;1 Dấu “=” BĐT xảy a  b  c  3x  x  3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x  : y  4x    3x  1  x  1 Ta xét f ( x)   x   =  0x   0;1 3 3x  x   Vì ta có lời giải sau: Vì BĐT nên ta chuẩn hóa cách giả sử a  b  c   a  1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức 2a  (1  a )   b  1 2b  (1  b) a, b, c   0;1 , a  b  c   a  1 2    3a  1  4a  1  Ta có   4a     0a   0;1 2 2a  (1  a )  3 3a  2a  2 2  b  1    3b  1  4b  1    4b     0b   0;1 2 2b  (1  b )  3 3b  2b   c  1    3c  1  4c  1    4c     0c   0;1 2 2c  (1  c)  3 3c  2c  Cộng ba BĐT theo vế ta  a  1 2a  (1  a )2   b  1 2b  (1  b)   c  1 2c  (1  c)2   a  b  c   Ví dụ 2:Cho a, b, c   a  b  c  CMR: a b c    a  b  c  10   c  1 2c  (1  c) 8 , Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 Phân tích : Dấu “=” xảy a  b  c  Xét hàm f ( x)  y x , tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x 1 36 x  50 36 x    x  1 (4 x  3) Ta có f ( x)  =  0x   50 50  x  1 Vì ta có lời giải sau : a 36a    3a  1 (4a  3)  =  0a   2 a 1 50 50  a  1 b 36b    3b  1 (4b  3) =   0b   2 b 1 50 50  b  1 c 36c    3c  1 (4c  3)  =  0c   2 c 1 50 50  c  1 Cộng ba BĐT ta : a b c     a, b, c   a  b  c  a  b  c  10 Ví dụ 3:Cho a, b, c >0 a  b  c  CMR: a  b  c  ab  bc  ca Phân tích : Dấu “=” xảy a  b  c  BĐT  a  b  c   a  b2  c Xét hàm f ( x)  x  x Tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x ) điểm có hoành độ y  3x Ta có f ( x)  x  x  x  x =    x  x   0x   0;   x 1 Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 Suy a  a b2  b c  c  Suy BĐT chứng minh Bài tập rèn luyện: 1.Cho số thực a, b, c >0 thỏa a  b  c  1.CMR: a b c     bc  ac  ab 10 HD: Ta có bc   b  c  , tương tự… Ta có đánh giá sau: a b c 4a 4b 4c       bc  ac  ab a  2a  b  2b  c  2c  2.Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1       4    a b c abc  ab bc ca  Phân tích: Ví BĐT thần nên không làm tính tổng quát ta giả sử a  b  c  Khi BĐT viết lại : 1 1       4    Dấu “=”xảy a  b  c  a b c  1 a 1 b 1 c  Dẫn đến việc xét hàm f ( x ) = hoành độ  5x , tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có  x2  x y  18x  Ta xét 18 x3  21x  x   x  1  2 x  1 = f ( x)   18 x   =  x2  x x(1  x) a, b, c độ dài cạnh tam giác ,  a  b  c > 2a suy a, b, c   0;   suy f ( x)   18 x    0x   0;   2 Từ có lời giải toán ? 2 Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 3.Cho a, b, c >0.CMR: b  c  a  2 (b  c )  a   a  c  b 2 (a  c)  b  b  a  c  2 (b  a )  c  Phân tích : Vì BĐT cần chứng minh nên ta cần chứng minh BĐT với a, b, c >0 a  b  c  1  2a  BĐT viết lại thành 2  1  2b  2  1  2c  2 2a  2a  2b   2c  2c    1 27    2a  2a  2b  2b  2c  2c  Dấu “=” xảy a  b  c Từ liên tưởng đến hàm f ( x ) = hàm số điểm có hoành độ Phương trình tiếp tuyến đồ thị 2x  x  54 x  27 y  25  3x  1 (12 x  2)  0x  0;1 54 x  27 Ta xét f ( x)  =   25 25  x  x  1 Từ ta có lời giải : Vì BĐT cần chứng minh nên ta cần chứng minh BĐT với a, b, c >0 a  b  c   3a  1 (12a  2)  0a  0;1 54a  27  =   2a  2a  25 25  2a  a  1 54b  27  3b  1 (12b  2)  0b  0;1 =    2b  2b  25 25  2b  2b  1  3c  1 (12c  2)  0c  0;1 54c  27  =   2c  2c  25 25  2c  2c  1 Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 Cộng ba BĐT theo vế ta 1 54a  27 54b  27 54c  27 27 + +    = 2a  2a  2b  2b  2c  2c  25 25 25 4.Cho a, b, c >0 CMR: 1 1 1 a  b2  c2       a  b  c  a2  b2  c2  3 a b c Phân tích : Vì BĐT bậc nên ta chuẩn hóa cách giả sử a  b2  c  Khi BĐT cần chứng minh trở thành f (a)  f (b)  f (c)  với a, b, c   0;1 f ( x)  1  x, x   0;1 Dấu “=” BĐT xảy a  b  c  3 x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ y : 1 22 x 3 1 22 Ta xét f ( x)  x = 3   1    0x   0;1 3x  3x Vì ta có lời giải sau: Vì BĐT bậc nên ta chuẩn hóa cách giả sử a  b2  c  Ta có  1 1 2 a  a = 3 a 1 1 22 b  b = 3 b 1 1 22 c  c = 3 c   1    0a   0;1 3a  3a  1    0b   0;1 3b  3b   1    0c   0;1 3c  3c Cộng ba BĐT theo vế ta Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt f ( a )  f (b )  f ( c )   Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 1 1 3  a  b2  c     a  b  c     3 Cho a, b, c  : a  b  c  CMR: a  b4  c  2(a  b3  c ) Phân tích: Dấu “=” BĐT xảy a  b  c  BĐT   a  2a    b4  2b3    c  2c3   Ta xét hàm f ( x)  x  x3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) điểm có hoành dộ y  x  16 Ta có f ( x)  (8 x  16) = x  x3  x  16 =  x    x  x    0x Vì ta có lời giải sau: Ta có a  2a3  8a  16 =  a    a  2a    0, a Tương tự ta có : b4  2b3  8b  16 =  b   b  2b    0b  c  2c3  8c  16 =  c    c  2c    0c  Cộng ba BĐT lại với ta : a  b  c  2(a  b3  c )  8(a  b  c)  48 Cho a, b, c >0 CMR: a b  c a  b  c  b  a  c b   a  c   abc a  b  c  a  b  c Cho a, b, c >0 CMR: a 2 b c   ab  bc  ca  c  a  b c   a  b   3 n 8.Cho n số thực dương thỏa mãn a i  n CMR: i 1 x1 x 1   n     x1  xn  x1  xn 9.Cho a.b.c.d>0 thỏa ab  bc  cd  da  CMR: a3 b3 c3 d3     bcd cd a d ab abc 9  Trường chuyên Huỳnh Mẫn Đạt 10 Cho a, b, c >0 CMR: Sáng kiến kinh nghiệm 2011-2012 a b  c  b  a  c  11 Cho a, b, c >0, a  b2  c  CMR: c a  b a  b  c  1     ab  bc  ca a b c 12 Cho a, b, c >0, a  b2  c  CMR:     a  b  c   a b c 13 Cho a, b, c >0, a  b2  c  CMR:     a  b  c   3  3a  b  c    3b  a  c    3c  a  b   375 14 Cho a, b, c >0 CMR: 3 3 11 3a   b  c  3b   a  c  3c3   a  b  a3 15 Cho a, b, c >0 CMR: a3   b  c  b3   b3   a  c  c3 c3   a  b 1 16 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1      a b c a b c b c  a c  a b 17 Cho a, b, c, d  a  b  c  d  CMR: a2 a  1  b2 b  1  18 Cho a, b, c >0 CMR: c2 c  1  d2 d 2a 2a   b  c  2   1  16 25 2b2 2b   a  c   n 19 Cho n số thực dương thỏa mãn a  CMR: i i 1 2c 2c   a  b  1 x1 x n   n   x1  xn n  20.Cho a, b, c >0 a  b  c  1.CMR: 10  a3  b3  c3    a5  b5  c5   21.Cho a, b, c số thực dương cho a  b2  c  CMR: 1   1 2 a   a b   b c   c2 22.Cho a, b, c >0 a  b  c  CMR: a  3a  23 Cho a, b, c >0, a  b4  c  CMR: 10  b  3b  1   1  ab  bc  ca  c  3c  3