SKKN phương pháp hàm số trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 MỤC LỤC - PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương Chương Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN MỘT SỐ GIẢI PHÁP Trang1 Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang PHẦN III KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Trang 14 KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 15 Trang 15 Trang 16 PHẦN I: MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU PHẠM VI NGHIÊN CỨU NHIỆM VỤ YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU THỜI GIAN NGHIÊN CỨU THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Trong chương trình tốn THPT, phần khó khăn giáo viên giảng dạy phần bất đẳng thức tốn phần đa dạng khó , đa số học sinh Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 hỏi phần thi trả lời khó khơng định hướng cách làm , mặt khác tâm lý chung em đặc biệt học sinh khối 12 thi đại học bỏ câu quan niệm em câu chốt lấy 10 điểm nên em có học lực khơng mặn mà cho nên em có học lực trở xuống thường bỏ qua câu này.Tuy nhiên hỏi em học sinh gặp toán liên quan tới bất đẳng thức cách giải em đại đa số em suy nghĩ tới việc xét hàm số để chứng minh bất đẳng thức, khó khăn chỗ mà em trả lời đưa toán ban đầu để đưa biến xét hàm số với nhiều năm dạy phần cho học sinh bắt đầu làm quen với bất đẳng thức Chính mà phần sáng kiến kinh nghiệm nêu cho em cách để đưa hàm số dạng biến đơn giản,giúp cho học sinh khơng thấy chán nản làm phần II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp , khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành chuyên đề: “ Phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức đối xứng’’ - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp dùng hàm số việc chứng minh bất đẳng thức đối xứng biến, biến số kỹ phát tính chất bất đẳng thức đối xứng Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, khơng mắc sai lầm biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp chứng minh bất đẳng thức III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Chứng minh bất đẳng thức thông qua kỹ thuật đặt ẩn phụ để dùng phương pháp hàm số việc chứng minh bất đẳng thức IV/ PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 - Nội dung phần chứng minh bất đẳng thức đối xứng hai biến, ba biến dùng cách đặt ẩn phụ để đưa phương pháp hàm số gải bất đẳng thức V/ NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI: - Xuất phát từ lý chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp toán chứng minh bất đẳng thức dạng đơn giản, giải cách dễ dàng Muốn người giáo viên phải hướng cho học sinh biết kỹ nhận biết sử dụng thành thạo phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức - Yêu cầu sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng không rườm rà lơgíc phù hợp với học sinh trường THPT Tĩnh gia 1, có sáng tạo đổi Giới thiệu cách đặt sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh bất đẳng thức - Trong đề tài đưa giải số dạng toán thường gặp tương ứng tập tự luyện VI/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối luyện thi đại học năm học từ 2004 đến 2013 VII/ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy luyện thi đại học trường THPT Tĩnh Gia từ năm 2004 đến PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG 1: CỞ SỞ LÝ LUẬN - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán chứng minh bất đẳng thức Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh cách định hướng chứng minh bất đẳng thức mà sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa biến nhằm sử dụng phương pháp hàm số,làm cho toán trở nên đơn giản giúp cho học sinh tìm cách giải nhanh Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Có thể nói phần bất đẳng thức phần khó chương trình sách giáo khoa THPT ,đây phần mà yêu cầu học sinh phải có tư nhạy bén, có tố chất làm , mặt khác đội ngũ thầy giáo trực tiếp giảng dạy cho học sinh lúng túng phân loại dạy cho em dạng , điều dễ hiểu thầy giáo dạy chương trình sách giáo khoa lượng tập cho phần BĐT không nhiều mặt khác thân học sinh không “ mặn mà” với phần để chứng minh toán cần phải khéo léo khâu để đưa toán chứng minh bất đẳng thức thành quen thuộc CHƯƠNG III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp: Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ biến đổi cách chứng minh bất đẳng thức thông qua việc dùng phương pháp hàm số CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1) Đa thức f ( x; y ) gọi đối xứng x y f ( x; y ) = f ( y; x), ∀x; y ∈ ¡ Mọi đa thức đối xứng f ( x; y ) biểu diễn qua cách đặt t= x + y v= xy 2) Đa thức f ( x; y, z ) gọi đối xứng với x,y,z f ( x , y , z ) = f ( x , z , y ) = f ( y , x, z ) = f ( y , z , x ) = f ( z , x , y ) = f ( z , y , x ) (a + b) ≥ 4ab 3) Các bất đẳng thức cần ý với a,b,c dương 1 (a+b+c)( + + ) ≥ a b c Trong tốn tơi xin trình bày số tốn tìm GTNN, GTLN biểu thức chứa hai biến, ba biến mà giả thiết biển thức Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 thể tính đối xứng Từ giúp học sinh có cách nhìn nhận để đặt ẩn phụ chuyển tốn thơng qua xét hàm số Tìm GTLN-GTNN bất đẳng thức đối xứng có chứa hai biến 2 Bài toán 1: Cho x + y = x + y Tìm GTNN,GTLN biểu thức sau 3 2 P= x + y + x y + xy Phân tích: Do tính chất đối xứng x,y nên ta đặt t= x+y Hướng dẫn t2 − Đặt t = x+y Từ giả thiết ta có xy= Ta có (x + y) ≤ 2(x + y ) = 2(x + y) hay t2 ≤ 2t ⇔ t ∈ [ 0;2 ] Khi biểu thức P = (x + y) − 2xy(x+y) = t Do GTLN P = t=2 hay x+y=2 xy=1 suy (x;y) = (1;1) GTNN P = t= hay (x;y)= (0;0) Bài Toán 2: 2 Cho x,y∈ ¡ thõa mãn x + y ≠ −1 x + y + xy = x + y + Tìm GTNN,GTLN biểu thức P = xy x + y +1 Hướng dẫn Đặt t = x+y từ giải thiết ta có xy=t − t −  −2  2 Sử dụng bất đẳng thức (x + y) ≥ 4xy nên ta có t ≥ 4(t − t − 1) t ∈  ;2  3  t2 − t −1 Khi P = t +1 t2 − t −1  −2  Ta xét hàm số f (t) = với t ∈  ;2  t +1 3  Lập bảng biến thiên ta có t -2/3 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 f’(t) - f(t) + 1/3 1/3 -1 Từ bảng biến thiên GTNN P = -1 đạt (x;y) =(-1;1); (1;-1) GTLN P = 1/3 (x;y )= (-1/3;-1/3); (1;1) Bài Toán 2 Cho x, y hai số thực khác khơng thỗ mãn: ( x + y ) xy = x + y − xy ; 1 Tìm GTLN biểu thức: A= x3 + y (KA:2006) Phân tích: Do bất đẳng thức thõa mãn đ/k bất đẳng thức đối xứng hai biến, nên ta đặt t= x+y sau biểu thị xy qua t để đưa toán tới xét hàm số theo t Hướng dẫn (x + y)(x − xy + y )  x + y  2 = Ta có A = ( ( x + y ) xy = x + y − xy ) ÷ 3 xy  xy  2 đặt x+y = t ( x + y ) xy = x + y − xy nên ta có xy = t2 , mặt khác ta có t +3 4t  t +3 (x + y) ≥ 4xy nên ta có t ≥ ⇔ t ≥ Ta xét hàm số f (t) =  ÷ hàm số t +3  t  2 nghịch biến với t ≥ nên f (t) ≤ f (1) = 16 giá trị lớn A 16 t=1 hay x=y= Bài toán 2 Cho x,y > thõa mãn x + y = tìm GTNN biểu thức sau Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 1 P = (1 + x)(1 + ) + (1 + y)(1 + ) y x Hướng dẫn Đặt t = x+y t2 −1 ta có xy = t >1 áp dụng bất đẳng thức (x + y) ≤ 2(x + y ) ta có < t ≤ x+y t2 + t t2 + t )= Khi P = (1 + x + y + xy)( xét hàm số f(t) = với xy t −1 t −1 ( t ∈ 1;  Lập bảng biến thiên ta có GTNN P = + dấu xảy x=y= Bài toán 5: : Cho x, y thõa mãn (x + y) + 4xy ≥ Tìm GTNN biểu thức A= 3(x + y + x y ) − 2(x + y ) + ( KB- 2009) Hướng dẫn Ta biến đổi biểu thức A sau 3 A= (x + y ) + (x + y ) − 2(x + y ) + Áp dụng bất đẳng thức 2 (x + y ) x +y ≥ ta có 4 A ≥ (x + y ) − 2(x + y ) + 2 Lúc ta đặt x + y = t Xuất phát từ giả thiết ta có (x+y)3 + 4xy ≥ ⇔ (x+y) + (x + y) + 4xy ≥ 2+4xy (do (x + y) ≥ 4xy) ⇔ (x+y)3 + (x + y) ≥ ⇔ (x + y − 1)((x + y) + (x + y) + 2) ≥ ⇔ (x + y) ≥ Ta lại có x + y ≥ (x + y) 2 ⇔ x + y2 ≥ Xét hàm số f (t) = t − 2t + với t ≥ 1 hay t ≥ 2 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 GTLN A = x= y= 1/2 16 Trong phần tơi xin trình bày số dạng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chưá ba biến đối xứng cách đặt ẩn phụ hai biến qua biến lại Từ chuyển tốn dạng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Bài toán Cho x, y,z > thõa mãn x+y+z = Chứng minh 1 + ≥ 16 zx yz Hướng dẫn Đặt t = x+y Từ giả thiết ta có z=1-(x+y)=1-t 0 f’(t) hàm đồng biến với t ∈ 0;  3  3  1  1 ta lại có ∀t ∈ 0;  ; t ≥ hàm đồng biến f (t) ≥ f (0) = 2, ∀t ∈ 0;   3  3 Vậy GTNN M = ab = bc = ca  Dấu xảy ab + bc + ac = ⇔ (a;b;c) = (1;0;0);(0;1;0);(0;0;1) a + b + c =  Các Bài Tập Áp Dụng Bài 1:Cho x, y > x+y =1 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức S = (4x + 3y)(4y + 3x)+25xy (ĐH B.2009) Bài 2:Cho a, b, c số thực dương thoả mãn: a+ b+ c= CMR: + > 14 2 a + b + c ab + bc + ca Bài 3: Cho x,y,z số thực dương chứng minh xyz + 2( x + y + z ) + ≥ 5( x + y + z ) (THTT-số 356) 13 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Bài 4: cho x ≠ 0, y ≠ 2(x3 + y3 ) + x3y3 = 6x2y2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ  1 biểu thức A = 4 + ÷ +  x y  xy Bài 5: Cho a,b,c thõa mãn a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca a + b + c + a2 + b2 + c2 Bài 6: Cho x,y >0 thõa mãn xy+y+x=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 y2 xy Q= + + y+ x+ x+ y 1 + + = Chứng minh x y z ≤ (ĐH A.2005) Bài 7: Cho x, y, z số dương thỏa mãn 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Bài 8: Cho x,y,z thõa mãn x,y,z∈ [ 1;4] ; x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ P= x y z + + ( ĐH A.2011) 2x + 3y y + z z + x 2 Bài 9: Cho a, b số thực dương thõa mãn 2(a + b ) + ab = (a + b)(ab + 2) a b3 a b2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4( + ) − 9( + ) (ĐH B 2011) b a b a Bài 10: Cho a,b,c số thực dương thõa mãn a+b+c=1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 14(a2 + b2 + c2 ) + PHẦN III: ab + bc + ca a b + b2c + c2a KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1/ Kết luận: Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Tĩnh Gia 14 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Bất đẳng thức nội dung quan trọng chương trình mơn toán Nhưng học sinh lại mảng khó, phần nhiều thầy giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 12 đặc biệt luyện thi Đại Học học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả sử dụng để giải toán CM bất đẳng thức Được em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 12 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ chứng minh tốt lấy kết Học sinh Khối 12 năm gần Năm học Lớp Tổng số Điểm trở lên Số Tỷ lệ Điểm từ đến Số Tỷ lệ Điểm Số Tỷ lệ lượng lượng lượng 2012 12A3 38 18 % 20 53 % 11 29 % 12A2 36 14 % 17 47 % 14 39 % 2013 2013 12A2 39 11 28 % 22 57 % 15 % 12A3 42 21 % 23 55 % 10 24 % 2014 Như thấy phương pháp có hiệu tương đối Theo tơi dạy phần chứng minh BĐT giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị đề xuất: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ 15 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 12 - Nhà xuất giáo dục + Sáng tạo Bất Đẳng Thức (Phạm kim Hùng Sách NXB Hà Nội) + Toán nâng cao đại số 12- Phan Huy Khải + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước +Kiến thức ôn tập kinh nghiệm làm thi đạt điểm cao ( Nguyễn Phú KhánhSách NXB Đại học sư phạm) + Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT Thi ĐHCĐ( nhà xuất Giáo Dục)   XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 27 tháng năm 2014 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) 16 Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 17 ... kiến thức thành chuyên đề: “ Phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức đối xứng ’ - Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp dùng hàm số việc chứng minh bất đẳng thức đối. .. toàn diện phương pháp chứng minh bất đẳng thức III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU : - Chứng minh bất đẳng thức thông qua kỹ thuật đặt ẩn phụ để dùng phương pháp hàm số việc chứng minh bất đẳng thức IV/... sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán chứng minh bất đẳng thức Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh cách định hướng chứng minh bất đẳng thức mà sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa