Sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

A: Đặt vấn đề Toán học môn khoa học tự nhiên , toán học có vai trò quan trọng lình vực khoa học , toán học nghiên cứu nhiều đa dạng phong phú , toán bất đẳng thức toán khó , để giải đ-ợc toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức, phải nắm đ-ợc ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều ph-ơng pháp để chứng minh bất đẳng ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng ph-ơng pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng đ-ợc nhiều ph-ơng pháp giải khác , có phải phối hợp nhiều ph-ơng pháp cách hợp lí Bài toán chứng minh bất đẳng thức đ-ợc vận dụng nhiều vào dạng toán giải biện luận ph-ơng trình, bất ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình đặc biệt , tìm giá trị lớn , nhỏ biểu thức đ-ợc sử dụng nhiều ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì học sinh cần thiết phải nắm đ-ợc kiến thức bất đẳng thức Trong thực tế giảng dạy tr-ờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức , toán chứng minh bất đẳng thức th-ờng cách giải mẫu , không theo ph-ơng pháp định nên học sinh không xác định đ-ợc h-ớng giải toán Mặt khác nhận thức học sinh THCS có nhiều hạn chế khả t- ch-a tốt học sinh lúng túng nhiều vận dụng kiến thức vào giải dạng tập khác Trong nội dung đề tài xin đ-ợc tập trung giới thiệu số ph-ơng pháp hay đ-ợc sử dụng chứng minh bất đẳng thức nh- : dùng định nghĩa , biến đổi t-ơng đ-ơng , dùng bất đẳng thức đà biết , ph-ơng pháp phản chøng vµ mét sè bµi tËp vËn dơng , nh»m giúp học sinh bớt lúng túng gặp toán chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh tự định h-ớng đ-ợc ph-ơng pháp chứng minh hứng thú học bất đẳng thức nói riêng môn Toán nói chung Qua đề tài ((một số ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )) muốn giúp học học sinh có thêm số ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài , nghiên cứu không tránh khỏi hạn chế mong đ-ợc góp ý thày cô giáo để đề tài đ-ợc hoàn thiện , xin chân thành cảm ơn B giải vấn đề phần I: điều trathực trạng tr-ớc nghiên cứu Khigiảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức thấy học sinh nhiều lúng túng việc làm tập ,hay định h-ớng cách làm ,đặc biệt học sinh học mức độ trung bình Thực việc kiểm tra vài tập nội dung đề tài thấy Số l-ợng học sinh 30 Điểm giỏi Điểm §iĨm trung §iĨm u §iĨm b×nh kÐm 13 Tr-ớc vấn đề thấy việc cần thiết phải h-ớng dẫn học sinh số ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức việc cần thiết cho học sinh , ®Ĩ gióp häc sinh cã thªm kiÕn thøc vỊ bÊt đẳng thức , taođiều kiện cho học sinh làm tập bất đẳng thức Phần II: ph-ơng pháp nghiên cứu Ph-ơng pháp điều tra Ph-ơng pháp đối chứng Ph-ơng pháp nghiên cứu tài liệu Phần III: nội dung đề tài i : Các kiến thức cần l-u ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhá h¬n b , kÝ hiƯu a < b + a lín h¬n b , kÝ hiƯu a > b , + a nhỏ b , kí hiệu a < b, + a lớn b , kÝ hiÖu a > b , 2, Mét số tính chất bất dẳng thức : a, TÝnh chÊt 1: a > b b < a b, TÝnh chÊt 2: a > b vµ b > c => a > c c, TÝnh chÊt 3: a > b a + c > b + c HƯ qu¶ : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c d, TÝnh chÊt : a > c vµ b > d => a + c > b + d a > b vµ c < d => a - c > b - d e, TÝnh chÊt : a > b vµ c > => ac > bd a > b vµ c < => ac < bd f, TÝnh chÊt : a > b > ; c > d > => ac > bd g, TÝnh chÊt : a > b > => an > bn a > b an > bn víi n lỴ h, TÝnh chÊt : a > b ; ab > => 3, Mét sè bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Côsi : a Với số d-ơng a , b ta có : b ab Dấu đẳng thức xảy : a = b b, Bất đẳng thức Bunhiac«pxki : Víi mäi sè a ; b; x ; y ta cã : ( ax + by )2 DÊu đẳng thức xảy a b x y (a2 + b2)(x2 + y2) c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : a b a b Dấu đẳng thức x¶y : ab II : Mét sè ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Ph-ơng pháp : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xÐt hiÖu A - B råi chøng minh A-B >0 - L-u ý : A2 víi mäi A ; dÊu '' = '' x¶y A = - VÝ dơ : Bµi 1.1 : Víi mäi sè : x, y, z chøng minh r»ng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) Gi¶i : Ta xÐt hiÖu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1) = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 Do (x - 1)2 víi mäi x (y - 1)2 víi mäi y (z - 1)2 víi mäi z => H víi mäi x, y, z Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) víi mäi x, y, z DÊu b»ng x¶y x = y = z = Bµi 1.2 : Cho a, b, c, d, e số thực : Chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Gi¶i : XÐt hiƯu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) =( a b )2 + ( Do ( a a )2 + ( c d )2 + ( )2 víi mäi a, b )2 víi mäi a, c b a 2 Do( a c Do ( a d )2 e )2 víi mäi a, e víi mäi a, d Do ( a => H víi mäi a, b, c, d, e DÊu '' = '' x¶y b = c = d = e = a Bµi 1.3 : Chứng minh bất đẳng thức : a b 2 a b 10 a e )2 Gi¶i : XÐt hiƯu : H = a b 2 a = 2(a = b 2 b ) (a 2 ab b ) (2 a 2b a b 2 ab ) (a b) Víi mäi a, b DÊu '' = '' x¶y a = b Ph-ơng pháp ; Dùng phép biến đổi t-ơng đ-ơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t-ơng đ-ơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đ-ợc chứng minh - Một số bất đẳng thức th-ờng dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2 (A-B)2=A2-2AB+B2 (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 …………………………… VÝ dơ : Bµi : Cho a, b hai số d-ơng cã tæng b»ng Chøng minh r»ng : a 1 b Gi¶i: Dïng phÐp biến đổi t-ơng đ-ơng ; 3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)  4(ab + a + b + 1) (v× a + b = 1)  4ab +  4ab (a + b)2 4ab Bất đẳng thức cuối Suy điều phải chứng minh Bài 2: Cho a, b, c số d-ơng tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Gi¶i: 4(a b )c Tõ : (a + b)2 4ab , (a + b + c)2 = ( a b ) c => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b) c 16 abc => a + b abc 11 T-¬ng tù : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bµi 2.3 : Chứng minh bất đẳng thức : a b 3 a b ; ®ã a > ; b > Gi¶i : Dïng phÐp biÕn ®ỉi t-¬ng ®-¬ng : Víi a > ; b > => a + b > a b 3 a b 2  a b ( a a ab b b ) a b 2 a  a2 - ab + b2 b  4a - 4ab + 4b  3a2 - 6ab + 3b2 2 a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2) a Bất đẳng thức cuối ; suy : b 3 a b Bài 2.4: Cho số a, b thoả mÃn a + b = CMR a3 + b3 + ab Gi¶i : Ta cã : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - 2 (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - a2 + b2 - V× a + b = 2a2 + 2b2 - 2a2 + 2(1-a)2 - ( v× b = a -1 ) 4a2 - 4a + ( 2a - )2 Bất đẳng thức cuối Vậy a3 + b3 + ab DÊu '' = '' x¶y a = b = Bµi 2.5 : Chứng minh bất đẳng thức : a b 12 3 a b Trong ®ã : a > , b > Gi¶i : Víi a > , b > => a + b > Ta cã : a 3 b a b 2 a b a ab b a b a b 2 a ab a b b 4a2 - 4ab + 4b2 a2 + 2ab + b2 3(a2 - 2ab + b2 ) 3(a - b)2 Bất đẳng thức => a b 3 a b DÊu '' = '' x¶y a = b Bµi 2.6 : Víi a > , b > Chứng minh bất đẳng thức : a b a b b a Gi¶i : Dïng phép biến đổi t-ơng đ-ơng : a b a b b  (  (  (  (  ( a a) a a b ( b) b) a b )( a a b )( a a b )( ab ( a b) ab ( a b) ab a b) ab b) b) ab ( a b) 0 Bất đẳng thức cuối ®óng ; suy : a b a b b a Ph-ơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc - Kiến thức : Dùng bất đẳng thøc quen thuéc nh- : C«si , Bunhiac«pxki , bÊt đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi chứng minh , 13 Một số hệ từ bất đẳng thức : x2 + y2 2xy Víi a, b > , a b b a Các ví dụ : Bài 3.1 : Giả sử a, b, c số d-ơng , chứng minh r»ng: a b b c c c a a b Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) a (b a  c) b 2a c a b c T-¬ng tù ta thu đ-ợc : b c 2b a a b c , c a 2c b a b c DÊu ba BĐT đồng thời xảy , có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nªn a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c số d-ơng ) a Từ suy : b b c c c a a b Bµi 3.2: Cho x , y lµ sè thùc tho¶ m·n : y x x2 + y2 = x y Chøng minh r»ng : 3x + 4y Giải : áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta cã : y x ) (x2 + y2)2 = ( x y ( x ; y 1) (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) => x + y2 Ta l¹i cã : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) 25 => 3x + 4y 2 2 x Đẳng thøc x¶y  y x 0, y x y  x y 5 14 §iỊu kiƯn : x 2 Bµi 3: Cho a, b, c a, a b b b, a b ; a + b + c = Chøng minh r»ng : c c a c ,5 Giải a, áp dụng bất dẳng thức Bunhiacôpxki với bé sè ta cã : a b a b b c c a 1 1 a b b c c a => => a b b c b c c a c ( a a 2b ac ) DÊu '' = '' x¶y : a = b = c = b, ¸p dụng bất đẳng thức Côsi , ta có : a (a 1) a T-¬ng tù : b b ; c c 2 Cộng vế bất đẳng thức ta đ-ợc : a b c a b c 3 ,5 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =0 trái víi gi¶ thiÕt : a + b + c = c ,5 VËy : a b Bài 3.4 : Cho số d-ơng a , b , c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : 1 a b c Gi¶i : Ta cã : Ta cã : a b b a ,a,b>0 1 a b c ( 1 a b c =1 = = a a b b c a => ) ( a b b a ) 1 a b c ( ( 1 a b c b c c c a b b c c b ) 15 ( ) (a + b + c) c a a c ) 3+2+2+2=9 a b b c c c a b a Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z x => a + b + c = y z y => a = z x z , b= x y x , c= y z Khi ®ã : a VT = b c = b ( c y x x y c a ) b a z x x z ( y = z x z x 2x ) ( y x y 2y z y y z ) z 2z 1 3 2 Bµi 8.2 : Chøng minh r»ng ; víi mäi sè thùc x, y ta cã bÊt ®¼ng thøc : - (x (1 2 y )( x y ) 2 x ) (1 y ) Gi¶i: x Đặt : a = y 2 (1 y ) 2 (1 y )( (1 vµ b = x )( (x => ab = x y 2 x )( y ) x y ) 2 x ) (1 y ) Ta cã dÔ thÊy víi mäi a, b th× : - (a b) ab 2 Mµ : (a - b) = x 2 (a + b) = y Suy : - 1 ab Bµi 8.3 : Cho a, b, c > ; a + b + c a Chøng minh r»ng : bc b 2 ca c ab Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z 22 (a b) Khi ®ã : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bài toán trë thµnh : Cho x, y, z > , x + y + z Cøng minh r»ng : 1 x y z 1 x y z 1 x y z Ta chứng minh đ-ợc : (x + y + z)( ) Theo bất đẳng thức Côsi Mà : x + y + z nªn suy 9.Ph-ơng pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứng minh bất đẳng thức với n > ph-ơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức với n = (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức với n = k > (k > n0) + Chøng minh bất đẳng thức với n = k + + Kết luận bất đẳng thức với n > (n > n0) - VÝ dơ : Bµi 9.1 : Chứng minh với số nguyên d-ơng n 2n > 2n + (*) Giải : + Víi n = , ta cã : 2n = 23 = ; 2n + = 2.3 + = ; > Vậy đẳng thức (*) với n = + Giả sử (*) với n = k (k N ; k 3) , tøc lµ : 2k > 2k + ta ph¶i chøng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + hay : 2k+1 > 2k + (**) + ThËt vËy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + ( theo giả thiết quy nạp ) : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + ( V× : 2k - > 0) VËy (**) ®óng víi mäi k + KÕt luËn : 2n > 2n + víi số nguyên d-ơng n 23 Bài 9.2 : Chøng minh r»ng : 2n 1 2n 3n (*) (n số nguyên d-ơng ) Giải : + Víi n = , ta cã : VT = VP = VËy (*) ®óng víi n = + Giả sử (*) với n = k 1 ta cã : 2k 2k 3k Ta cần chứng minh (*) với n = k + , tøc lµ : 2k 2k 2k 2(k 1) cần chứng minh : 3k 2k 3k 2(k 2k 2(k 1) 1 1) 3(k 1) dùng phép biến đổi t-ơng đ-ơng , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2  12k3 + 28k2 + 19k + 12k3 + 28k2 + 20k +4  k => (**) ®óng víi mäi k VËy (*) dóng víi mäi số nguyên d-ơng n 10 Ph-ơng pháp 10 : Chứng minh bất đẳng thức hình học phẳng Bài 10.1 :CMR tam giác nhọn tổng trung tuyến lớn 4lần bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp C A1 B1 G A B C1 Giải: Gọi ma, mb, mc độ dài ba đ-ờng trung tuyến R bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma+ mb+mc>4R Vì ABC tam giác nhọn nên tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác nằm tam giác ABCnếu G trọng tâm tam giác ABC tâm nằm ë mét ba tam gi¸c tam gi¸c GAB, tam giác GAC ,tam giác GBC Giả sử tâm 24 nằm tam giác GAB 0A +0B=2R GA+ GB > 2R 2 3 2 3 mµ GA= AA1= ma ,GB= BB1 = mb Nªn GA+GB > 2R (ma+mb) >2R ma+mb >3R Mà tam giác 0CC1 có CC1 >0C mc >R Do ®ã ma+ mb+ mc > 3R+R=4R VËy ma+mb+ mc >4R Bài 10 2: Một đ-ờng tròn tiếp xúc với hai cạnh tam giác vuông đỉnh A hai điểm B C , kẻ tiếp tuyến với đ-ờng tròn cắt cạnh AB AC M N , chứng minh AB AC MB+NC< AB AC Gi¶i A N C l M B Gọi I tiếp điểm tiếp tuyến MN với đ-ờng tròn tâm tính chất tiếp tuyên cho ta MB=MI ,NC=NI Từ MN=MB+NC nh-ng tam giác vuông AMN MN< AM+AN Nên 2MN < AM+AN +BM+ CN =AB +AC MN< AB AC Ngoµi tam giác vuông AMN ta có cạnh huyền MN>AM MN> AN 2MN > AM+AN Vì MN=BC+CN Nên 3MN > AM+AN +BM+CN ®ã 3MN > AB+AC MN > AB AC VËy AB AC MB+NC< AB AC 11 Ngoài có số ph-ơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh- : Ph-ơng pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng ph-ơng pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ đề tài không hệ thống ph-ơng pháp 25 iii : ứng dụng bất đẳng thức 1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị - Kiến thức : Nếu f(x) m f(x) có giá trị nhỏ m Nếu f(x) M f(x) có giá trị lớn M Ta th-ờng hay áp dụng bất đẳng thức thông dụng nh- : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra tr-ờng hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị biểu thức có dạng đa thức , ta hay sử dụng ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đ-ơng , đổi biến số , số bất đẳng thức Tìm cực trị biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Chó ý : A B A B X¶y dÊu '' = '' AB A DÊu ''= '' xảy A = Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = a3 + b3 + ab ; Cho biÕt a b thoả mÃn : a + b = Gi¶i B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 Ta cã : 2(a2 + b2) (a + b)2 = => a2 + b2 VËy B = a = b = Bài 2: a, Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc : A = (x2 + x)(x2 + x - 4) b, Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc : B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y Gi¶i a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt : t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - - DÊu b»ng x¶y : t =  x2 + x - = (x - 2)(x + 2) =  x = -2 ; x = => A = - x = -2 ; x = ; b, T-ơng tự 26 Bài : Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc a, C = x x b, D = x x x x c, E = x x Giải : a, áp dụng BĐT : x A x B A B DÊu '' = ''x¶y AB => C = x x x 2x 2  DÊu '' = '' x¶y (2x - 3)(1 - 2x) x VËy minC = x 2 b, T-¬ng tù : minD = : -3 x c, minE = : x Bµi : Cho a < b < c < d , t×m : Minf(x) = x a + x b + x c + x d H-íng dÉn : t-¬ng tù : minf(x) = d + c - b - a b Bµi : Cho ba số d-ơng x , y , z thoả m·n : 1 + x x c + y z Tìm giá trị lớn cđa tÝch : P = xyz Gi¶i : 1 (1 x 1 1 (1 x )( 1 y yz z (1 y )( z) z) xy z z z + zx y y )= y T-¬ng tù : )+(1- (1 Tõ ®ã suy : P = xyz x )( y) MaxP = x = y = z = Bµi : Cho sè d-¬ng a, b, c th¶o m·n : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : F = (a a ) (b ) b 27 (c c ) Gi¶i: Ta cã : F = (a2 + b2 + c2) + ( a 2 b c )+6 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki , ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 T-¬ng tự : ( Mặt khác : a b c 1 a b c a b b a 1 a b c =3+( => => => ( ( a b c a ) a b c b c c b ).1 = ( )+( ) c 1 a b c c a a c ) )(a + b + c) 3+2+2+2=9 81 c F b 1 b )+( 1 a ( 3( ) 27 ) + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = Vậy MinF = 33 1 : a = b = c = Bài : Cho G = yz x zx y xy z xyz Tìm giá trị lớn G : Giải : Tập xác định : x ; y x Ta cã : G = y + z + y x Theo BĐT Cơsi ta có : 2; z 3 z x x 1 => y T-¬ng tù : y => G 2 VËy MaxG = 2 2 x z 2 z ; x 2 đạt đ-ợc x = ; y = ; z = 28 x Bµi a, Tìm giá trị nhỏ H = x b Tìm giá trị lớn K = với x > x x HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi làm t-ơng tự nh- : - Dùng bất đẳng thức để giải ph-ơng trình - Kiến thức : Nhờ vào tính chất bất đẳng thức , ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến ®ỉi hai vÕ ( VT , VP ) cđa ph-¬ng trình sau suy luận để nghiệm ph-ơng trình Nếu VT = VP giá trị ẩn ( thoả mÃn TXĐ) => ph-ơng trình có nghiệm Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn => ph-ơng trình vô nghiệm - Các ví dụ : Bài : Giải ph-ơng trình : 13 x + x = 16x Giải: Điều kiện : x (*) Cách : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 13 x + = 13.2 x + 3.2 x x 1 13( x - + ) + 3(x + + ) = 16x DÊu '' = '' x¶y  x x x= thoả mÃn (*) Ph-ơng trình (1) cã nghiƯm  dÊu '' = '' ë (2) x¶y VËy (1) cã nghiÖm x = Bài 2: a, Tìm giá trị lớn L = x b Giải ph-ơng trình : x + 29 + 2x 2x - x2 + 4x - = (*) Gi¶i : a Tãm t¾t : ( x +  2x + 2x => MaxL = x = b TX§ : 2x )2 2(2x - + - 2x) = x 2 (*)  x + x = x2 - 4x + VP = (x - 2)2 + 2 , dÊu '' = '' x¶y x = => với x = ( thoả mÃn TXĐ ) VT = VP = => ph-ơng trình (*) cã nghiƯm x = Bµi : Giải ph-ơng trình : x + x = x - 6x + 13 Giải : TXĐ : -2 x VP = (x - 3)2 + 4 DÊu '' = '' x¶y x = VT2 = ( x + x 1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16 => VT , dÊu '' = '' x¶y x = x x = => giá trị x để VT = VP => Ph-ơng trình vô nghiệm Bài : Giải ph-ơng trình : y y 13 = 3x 12 x 16 + 2 HD : 3x 12 x 16 DÊu '' = '' x¶y : 2; y 4y x y 13  => VT x y => ph-ơng trình cã nghiÖm : x = ; y = - Dùng bất đẳng thức để giải hệ ph-ơng trình : - Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi ph-ơng trình hệ , suy ln vµ kÕt ln nghiƯm L-u ý : Mét sè tÝnh chÊt : a, a2 + b2 2ab b a + c < ; c > => a < b c a b nÕu a > b > - Các ví dụ : Bài : Giải hệ ph-ơng trình : 30 x x 2y 2 4y x y 2y -1 x (1)  x3 = - - 2(y - 1)2  x3 2y (2)  x2 y ( v× + y2 2y) - (*)  -1 x (**) Tõ (*) vµ (**) => x = -1 Thay x = -1 vµo (2) ta cã : y = => Hệ ph-ơng trình có nghiệm : x = -1 ; y = - Kiến thức : Biến đổi ph-ơng trình hệ , sau so sánh với ph-ơng trình lại , l-u ý dùng bất đẳng thức quen thuộc Bài : Giải hệ ph-ơng trình : x x y y z z xyz Giải : áp dụng : BĐT : A2 + B2 2AB dÊu '' = '' x¶y A = B Ta cã : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mắt khác : x2y2 + y2z2 2x2yz y2z2 + z2x2 2xy2z x2y2 + z2x2 2xyz2 => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz (**) Tõ (*) vµ (**) => x4 + y4 + z4 xyz DÊu '' = '' x¶y : x = y = z mµ x + y + z = nªn : x = y = z = Vậy hệ ph-ơng trình có nghiệm : x = y = z = C¸ch 2: ¸p dụng BĐT Côsi ; - Kiến thức : Dùng ph-ơng pháp Bài : Giải hệ ph-ơng trình x ( y 1 2x 3y 6z z )( 14 x y z ) Gi¶i : 31 (víi x, y, z > 0) ¸p dơng : NÕu a, b > th× : (2)  ( x y z  6( x y y x )( x ) 3( 2y x z z x a b b a z) ) 2( Mặt khác : x, y, z > nªn 36 y z z y 6( 3( x y y x ) 3( x z z x ) 22 x y y x x z z ( ) 2( ) 12 ) ; x y z z y ) 2( z y y z ) 22 DÊu '' = '' x¶y x = y = z , thay vào (1) ta đ-ợc : x + x2 + x3 = 14 (x - 2)(x2 + 3x + 7) = x - = x = VËy hƯ ph-¬ng tr×nh cã nghiƯm nhÊt : x = y = z = Dùng bất đẳng thức để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Ngoài có số ứng dụng khác bất đẳng thức , đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo giải , học sinh phải nắm đ-ợc kiến thức bất đẳng thức vận dụng đ-ợc Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải ph-ơng trình nghiệm nguyên Bài : Tìm nghiệm nguyên d-ơng ph-ơng trình : 1 x y z =2 Giải : Không tính tổng quát , ta giả sử x 2= 1 x y z z => 2z y z , ta có : , mà z nguyên d-ơng VËy z = Thay z = vµo ph-ơng trình ta đ-ợc : 1 x y Theo giả sử , x y , nên = 1 x y y Y nguyên d-ơng nên y = hc y = Víi y = không thích hợp Với y = ta cã : x = VËy (2 ; ; 1) nghiệm ph-ơng trình 32 Hoán vị số , ta đ-ợc nghiệm ph-ơng trình : (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) IV:Bài tập áp dụng Bài 1: Cho hai số x vµ y mµ x+y=1 CMR : a) x2 +y2 b) x4+y4 Bµi 2: Cho a,b, c, d ,e số thực CMR a2+b2+c2+d2+e2=a(b+c+d+e) Bài 3: Cho hai số d-ơng x,y x3+y3 =x-y CMR: x2 +y2 2n+1 Bài 11: Cho a,b,c độ dài cạnh tam gi¸c 33 CMR: a b b c c a a b b c c a V : kết đạt đ-ợc Qua việc áp dụng kinh nghiệm vào giảng dạy cho học sinh thấy học sinh đà xác định đ-ợc loại toán cách làm ,nhiều em học sinh đà làm đ-ợc tập bất đẳng thức đà có h-ớng thú học toán Kết kiểm tra sau áp dụng đề tài Số l-ợng học sinh Điểm Giỏi Điểm Điểm trung Điểm yếu bình Điểm 30 12 Vi:bµi häc kinh nghiƯm Qua viƯc h-íng dÉn häc sinh lµm bµi tËp cho thÊy phần kiến thức đề tài phần kiến thức mở giáo viên đ-a vào cuối luyện tập , tự chọn nên nội dung học sinh phức tạp , khó hình dung , cần đ-a kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao bµi tËp vỊ nhµ , kiĨm tra häc sinh Sau h-ớng đẫn xong nội dung chuyên đề cần cho học sinh kiến thức cần thiết , đồng thời rèn luyện kỹ làm tập cho học sinh Cần đ-a nội dung vào dạy cho phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức cách thụ động mà đạt kết không mong muốn VII: Phạm vi áp dụng đề tài Chuyên đề ((một số ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )) đ-ợc áp dụng cho học sinh lớp 8, thích hợp học sinhlớp với đối t-ợng học sinh giỏi C: Kết luận Các tập bất đẳng thức th-ờng t-ơng đối khã ®èi víi häc sinh , nh-ng h-íng dÉn học sinh xong đề tài ((một số ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thøc )), häc sinh sÏ thÊy r»ng viƯc lµm bµi toán bất đẳng thức rễ Đồng thời đứng tr-ớc 34 toán khó cho dù dạng tập học sinh có h-ớng suy nghĩ tập suy luận , em có tự tin Chuyên đề còn nhiều thiếu sót , mongđ-ợc ủng hộ thày cô giáo để đề tài ngày hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Tháng năm 2008 Mục lục 35 trang đặt vấn ®Ò 36 ... phép biến đổi t-ơng đ-ơng - Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh t-ơng đ-ơng với bất đẳng thức bất đẳng thức đà đ-ợc chứng minh - Một số bất đẳng thức th-ờng dùng : (A+B)2=A2+2AB+B2...Qua đề tài ( (một số ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức )) muốn giúp học học sinh có thêm số ph-ơng pháp chứng minh bất đẳng thức lý chọn đè tài , nghiên... abc>0 Vậy bất đẳng thức dẫ đ-ợc chứng minh Ph-ơng pháp : Chứng minh phản chứng - KiÕn thøc : Gi¶ sư ph¶i chøng minh bất đẳng thức , ta hÃy giả sử bất dẳng thức sai , sau vận dụng kiến thức đÃ