Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH OAI TRƢỜNG THCS CAO VIÊN -*** - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lĩnh vực: Khoa học tự nhiên / Mơn: Tốn Tác giả: Lê Thị Hải Yến Chức vụ: Giáo viên Năm học :2012 - 2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc 000 - SƠ YẾU LÍ LỊCH Họ tên: Lê Thị Hải Yến Ngày tháng năm sinh: 29 / / 1975 Năm vào nghành: 1996 Chức vụ: Giáo viên Trình độ chuyên môn: Đại học Đơn vị công tác: Trường THCS Cao Viên Bộ mơn giảng dạy: Tốn Khen thưởng: Lao động tiên tiến cấp huyện năm học 2011- 2012 Năm học: 2012 - 2013 Sáng kiến kinh nghiệm -1- Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến A PHẦN MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học mơn khoa học tự nhiên, đóng vai trị quan trọng lĩnh vực nghiên cứu khoa học sống hàng ngày Ở bậc học phổ thơng, tốn học coi môn học bản, tảng để em học sinh phát huy lực thân, tiền đề để em học tốt mơn khoa học khác Tốn học nghiên cứu đa chiều phong phú dạng, phải kể đến toán bất đẳng thức Đây tốn hay khó Bài tốn bất đẳng thức ứng dụng nhiều dạng tốn khác tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình đặc biệt, sử dụng nhiều ôn tập, ôn thi, kì thi học sinh giỏi đặc biệt thi học sinh giỏi khối 8, khối Vì vậy, học sinh cần thiết phải nắm kiến thức bất đẳng thức phương pháp chứng minh bất đẳng thức biết vận dụng để giải tập Là người đồng hành với em q trình học tốn với vai trị người dẫn dắt định hướng nên tơi chọn đề tài với mục đích khắc phục phần tâm lí e ngại học sinh học bất đẳng thức, từ giúp em có hứng thú học bất đẳng thức nói riêng mơn Tốn nói chung II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Thực tế giảng dạy trường cho tơi thấy, học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức Lí tốn chứng minh bất đẳng thức thường khơng có cách giải mẫu, khơng theo phương pháp định nên học sinh không xác định hướng giải tốn Mặt khác nhận thức học sinh THCS nhiều hạn chế, khả tư chưa hồn chỉnh, em lúng túng chưa biết vận dụng kiến thức vào giải tập Trong nội dung đề tài, xin tập trung giới thiệu số phương pháp thường sử dụng chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, dùng bất đẳng thức biết, dùng biến đổi tương đương, phương pháp quy nạp số tập vận dụng khác III ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI ÁP DỤNG + Đề tài “Một số phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức “ áp dụng cho học sinh khối lớp 8, lớp thích hợp đối tượng học sinh khá, giỏi Sáng kiến kinh nghiệm -2- Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến + Đề tài thực trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi khối lớp IV CÁC PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp điều tra - Phương pháp kiểm tra có đối chứng - Phương pháp nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo - Tổng kết kinh nghiệm thân đồng nghiệp B: PHẦN NỘI DUNG : PHẦN I: THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Khi giảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức, tơi thấy học sinh cịn nhiều lúng túng việc làm tập hay định hướng cách làm, bao gồm học sinh có sức tiếp thu tốt Thực việc kiểm tra vài tập nội dung đề tài thấy Số lượng học sinh Trước thực đề tài 38 Điểm trung bình 31 81% Điểm trung bình 19% Trước vấn đề trên, tơi thấy cần thiết phải hướng dẫn học sinh số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng bất đẳng thức giải tốn Từ giúp học sinh có thêm kiến thức bất đẳng thức, tạo điều kiện thuận lợi cho em làm tập bất đẳng thức PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI I : CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1, Định nghĩa bất đẳng thức + a nhỏ b, kí hiệu a < b + a lớn b, kí hiệu a > b , + a nhỏ b, kí hiệu a b, + a lớn b, kí hiệu a b , 2, Một số tính chất bất đẳng thức : Sáng kiến kinh nghiệm -3- Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến 1, Tính chất 1: a > b b < a 2, Tính chất 2: Tính chất bắc cầu a > b b > c => a > c 3, Tính chất 3: Tính chất đơn điệu phép cộng a > b a + c > b + c Hệ : a > b a - c > b - c a + c > b a > b - c 4, Tính chất 4: Cộng vế hai bất đẳng thức chiều a > c b > d => a + b > c + d 5, Tính chất 5: Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều a > b c < d => a - c > b - d 6, Tính chất 6: Tính chất đơn điệu phép nhân a > b c > => ac > bc a > b c < => ac < bc 7, Tính chất 7: Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm a b ; c d => ac bd 8, Tính chất 8: Nâng lên lũy thừa a > b > => an > bn a > b an > bn với n lẻ |a| > |b| an > bn với n chẵn 9, Tính chất 9: So sánh nghịch đảo 1 a > b; ab > => < a b 10, Tính chất 10: So sánh hai lũy thừa Với m > n >0 a > am > an a =1 am = an < a < am < an 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : 1, Bất đẳng thức A2 với A; dấu '' = '' xảy A = 2, Bất đẳng thức Côsi: - Dạng không chứa dấu căn: a+b a2 + b2 2ab (a + b)2 4ab ( ) ab Dấu đẳng thức xảy : a = b - Dạng chứa dấu căn: Với số không âm a, b ta có: a b ab Dấu đẳng thức xảy : a = b a+b+c Dấu đẳng thức xảy : a = b =c 3, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki : - Mở rộng: với a, b, c khơng âm Sáng kiến kinh nghiệm -4- abc Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến Với số a; b; x; y ta có : ( ax + by )2 Dấu đẳng thức xảy a b x y (a2 + b2)(x2 + y2) 4, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : +) a b a b Dấu đẳng thức xảy khi: ab +) |a-b| |a| - |b| Dấu đẳng thức xảy khi: a b a b II : MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1.Phƣơng pháp 1: Dùng định nghĩa - Phương pháp: Để chứng minh A B, ta xét hiệu A - B chứng minh A-B - Ví dụ : VD 1.1: Chứng minh rằng: 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 với số thực a, b, c Giải : Ta xét hiệu: H = 3(a2 + b2 + c2) - (a + b + c)2 = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 Do (a -b)2 với a, b (b - c)2 với b, c (c - a)2 với a, c H với a, b, c Hay 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 với a, b, c Dấu “ = “ xảy a = b = c VD 1.2: a3 Với số a, b > 0, chứng minh rằng: a2 + ab - b2 b Giải : a3 a3-a2b-ab2+b3 (a-b)2(a+b) 2 Ta xét hiệu: H = - (a + ab - b ) = = b b b Do a, b > (a - b) => H với a, b a Hay a2 + ab - b2 với a, b > b Dấu xảy a = b VD 1.3 : Cho a, b, c, d, e số thực Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Giải : Xét hiệu : H = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) =( a b Sáng kiến kinh nghiệm )2 + ( a c )2 + ( a d -5- )2 + ( a e )2 Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Do ( a b )2 => H 0; ( Giáo viên: Lê Thị Hải Yến a c )2 0; ( a a )2 0; ( d e )2 với a, b, c, d, e với a, b, c, d, e Dấu '' = '' xảy b = c = d = e = a VD 1.4 : Chứng minh bất đẳng thức : a 2 b a b 2 Giải : Xét hiệu : H = a => H b 2 a b = (2 a = 2 2b 2(a a 2 b ) (a b 2 ab ) (a a ab b ) 4 với a, b => 2 b 2 b) với a, b a b Dấu '' = '' xảy a = b Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho a > b, chứng minh x5 - y5 x y4 - x4 y 1 Bài 2: Chứng minh + với a; b > a b a+b Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: a, a2 + b2 + c2 + 2(a + b + c) b, (a10 + b10)(a2 + b2) (a8 + b8)(a4 + b4) Phƣơng pháp 2: Dùng tính chất bất đẳng thức: - Phương pháp: Vận dụng hợp lí tính chất bất đẳng thức học (10 tính chất) để suy bất đẳng thức cần chứng minh - Ví dụ : VD 2.1: Cho a 2; b Chứng minh ab a + b Giải: Do a b > nên ab 2b (1) Do b a > nên ab 2a (2) Cộng vế hai bất đẳng thức chiều (1) (2), ta 2ab 2(a +b) Chia hai vế cho ta ab a + b VD 2.2: Cho < a, b, c, d < Chứng minh : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d Giải : Ta có : (1 - a)(1 - b) = - a - b + ab Do a, b > nên ab > => (1 - a)(1 - b) > - a - b Do c < nên - c > => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) Sáng kiến kinh nghiệm -6- Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến  (1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c + ac + bc Do < a, b, c, d < nên - d > 0; ac + bc > =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d + ad + bd + cd Do ad + bd + cd > => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > - a - b - c - d VD 2.3 : Cho < a, b, c < Chứng minh : 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a Giải : Do < a, b < => a3 < a2 < a < 1; b3 < b2 < b < Ta có: (1 - a2) (1 - b) > => + a2b > a2 + b => + a2b > a3 + b3 hay a3 + b3 < + a2b Tương tự: b3 + c3 < + b2c c3 + a3 < + c2a Cộng vế bất đẳng thức => 2a3 + 2b3 + 2c3 < + a2b + b2c + c2a VD 2.4: Cho a, b, c số dương thoả mãn : a + b + c = Chứng minh : (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Giải: Từ : (a + b)2 (a + b)2 4ab a b c => (a + b + c)2 = a b c => 16 4(a + b)c (vì a + b + c = ) => 16(a + b) 4(a + b)2c 16 abc => a + b abc Tương tự : b + c abc c + a abc Vì a, b, c > nên nhân vế ba bất đẳng thức => (a + b)(b + c)(c + a) a3b3c3 Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hai số x y thỏa mãn x + y = Chứng minh : x2 + y2 Bài 2: Cho số x, y, z không âm cho x + y + z = a CMR: (a - x)(a - y)(a - z) 8xyz Phƣơng pháp 3: Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng - Phương pháp: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Giả sử phải chứng minh A > B (1), ta biến đổi tương đương A > B A1 > B1 A2 B2 … C > D Nếu bất đẳng thức cuối bất đẳng thức (1) Sáng kiến kinh nghiệm -7- Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến Chú ý: Nếu chưa chứng tỏ bất đẳng thức cuối chưa thể kết luận bất đẳng thức - Ví dụ : VD : Cho a, b > a + b =1 Chứng minh : a 1 b (1) Giải: Dùng phép biến đổi tương đương: (1) 3(a + + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)  4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)  4ab +  4ab  (a + b)2 4ab  (a - b)2 Bất đẳng thức cuối Suy bất đẳng thức (1) Dấu “ = “ xảy  a = b = VD 3.2 : a Chứng minh bất đẳng thức: b 3 a b với a > 0; b > Giải : Dùng phép biến đổi tương đương : Với a > 0; b > => a + b > a b 3 a b 2  a b ( a a ab b b ) 2 a b 2 a  a2 - ab + b2 b 2  4a - 4ab + 4b  3(a2 - 2ab + b2)  (a - b)2 a2 + 2ab + b2 Bất đẳng thức cuối đúng, suy : a b 3 a b Dấu “ = “ xảy  a = b VD 3.3: Cho số a, b thoả mãn a + b = CMR a3 + b3 + ab Giải : Ta có : a3 + b3 + ab a3 + b3 + ab - (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - a + b = Sáng kiến kinh nghiệm -8- Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên a2 + b2 - Giáo viên: Lê Thị Hải Yến 2a2 + 2b2 - 2a2 + 2(a -1)2 - 4a2 - 4a + (2a - 1)2 0 ( b = a -1 ) Bất đẳng thức cuối Vậy a3 + b3 + ab Dấu '' = '' xảy a = b = VD 3.4 : Với a > 0, b > Chứng minh bất đẳng thức : a b a b b a Giải : Dùng phép biến đổi tương đương : a b a b b  (  (  (   a a a a) b ( a ( a ( a b) b) ab ( ab ( b )( a ab b )( a b )( a a b) b) ab ( ab a b) b) b) a b) 0 a Bất đẳng thức cuối với a, b > 0, suy : b a b b a Dấu “ = “ xảy  a = b Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hai số x y mà x + y = CMR : x2 + y2 Bài 2: Cho hai số a, b thỏa mãn ab 1, CMR: 2014 a Bài 3: Cho a>b>0 CMR: b 2014 a b 2014 a > 2014 a a 2013 b ab 2013 b 2013 2 (*) 2013 b Hướng dẫn: Để chứng minh bất đẳng thức (*) , ta chứng minh bất đẳng thức tổng quát sau: a Nếu a > b > m, n hai số tự nhiên mà m > n a m m b b m m a a n n b b n n (1) Thật ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh a (1) m b a 1- 2b a m m m 2b b m a m b m a m b n 2b Sáng kiến kinh nghiệm a n n n 2b b n n n b 2b n a m m b -9- 2b m a n n b n Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Giải A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Đặt t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - - Dấu „„ = ‟‟ xảy t =  x2 + x - =  (x - 1)(x + 2) =  x = -2; x = Vậy A = - x = -2 x = ; Bài 1.4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = a3 + b3 + ab, biết a b hai số thoả mãn: a + b = Giải B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 a+b = Ta lại có: a2 + b 2ab => 2(a2 + b2) (a + b)2 = => a2 + b2 Vậy B = 1 a = b = 2 x2-x+1 Bài 1.5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A = x +x+1 Giải Dễ thấy x2+x+1 > với x Ta có 2(x - 1)2 => 2x2 - 4x + => 3(x2 - x + ) x2 + x + x2-x+1 => Dấu “ = “ xảy x = x +x+1 Ta có 2(x + 1)2 => 2x2 + 4x + => 3(x2 + x + ) x2 - x + x2-x+1 => ≤ Dấu “ = “ xảy x = -1 x +x+1 1 Vậy A Do A = x = 1; Max A =  x = -1 3 Bài 1.6 : Cho ba số dương x, y, z thoả mãn : 1 + x 1 + y z Tìm giá trị lớn biểu thức P = xyz Hƣớng dẫn: Từ giả thiết suy x Tương tự : 1 y 1 (1- y y )= z z + y z yz (1 y )( z) zx (1 x )( z) xy z )+( 1- (1 x )( y) Nhân vế bất đẳng thức P = xyz => Max P = x = y = z = Sáng kiến kinh nghiệm - 19 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến Bài 1.7 : Cho số dương a, b, c thảo mãn: a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F = (a ) (b a ) (c b ) c Lƣợc giải: Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( a b 2 c )+6 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 Tương tự : ( a 1 b ) 3( c a b Mặt khác ta chứng minh ( => => Từ (1) (2) => 1 a b c ( ( 1 a b c a => F (1) ) 1 a b c ) )(a + b + c) 81 b c 9 a + b + c = 1 1 2 c 27 ) + 27 + = 33 Dấu '' = '' xảy : a = b = c = (2) 3 Vậy Min F = 33 a = b = c = Bài 1.8 Tìm giá trị lớn P = Giải TXĐ : 2x + 2x x 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki, ta có: (1 2x + 2x )2  2x + 2x hay P  x = (thỏa mãn TXĐ) Vậy Max P =  x = 2(2x - + - 2x) = Dấu “=” xảy  2x = 2x - Ứng dụng 2: Giải phƣơng trình: - Phương pháp: Biến đổi hai vế ( VT, VP ) phương trình, sau suy luận để nghiệm phương trình + Nếu VT = VP giá trị ẩn (thoả mãn TXĐ) => phương trình có nghiệm số số + Nếu VT > VP VT < VP giá trị ẩn => phương trình vơ nghiệm - Các ví dụ : Sáng kiến kinh nghiệm - 20 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến Bài 2.1: Giải phương trình : Giải : TXĐ : 2x + 2x - x2 + 4x - = (*) x 2 (*)  x + x = x2 - 4x + Ta có VP = (x - 2)2 + 2, dấu '' = '' xảy x = ( thoả mãn TXĐ ) VT (Bài - Ứng dụng 1) => VT = VP =  x = Vậy phương trình (*) có nghiệm x = Bài 2.2 : Giải phương trình : x + x = x2 - 6x + 13 Hƣớng dẫn: Với cách giải tương tự Bài 1, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được: VP Dấu '' = '' xảy x = VT Dấu '' = '' xảy x = x  x = => khơng có giá trị x để VT = VP => Phương trình vơ nghiệm Bài 2.3: Giải phương trình sau phương pháp dùng bất đẳng thức a, (x2 - 3x + 4)2 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 5) (1) x b, 4x 12 4x x = x2 - 4x + (2) Lƣợc giải a, Dễ nhận thấy (x2 - 2x + 3) > (x2 - 4x + 5) > Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: (x 2x 3) (x 2 4x 5) (x 2x 3)( x 4x 5) Hay (x2 - 3x + 4)2 (x2 - 2x + 3) (x2 - 4x + 5) Dấu “=” xảy  x2 - 2x + = x2 - 4x +  x = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = b, (2)  + (x 2) (x 2) VT + = (dấu “=” xảy  x = 2) VP (dấu “=” xảy  x = 2) Vậy VT = VP (= 4) x = hay phương trình có nghiệm x = Bài 2.4 : Ta thấy Giải phương trình : Hƣớng dẫn : 3x 12 x 16 2; Dấu '' = '' xảy : Sáng kiến kinh nghiệm 3x y 12 x 4y 16 13 x y  + y 4y => VT x y - 21 - 13 =5 Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến => phương trình có nghiệm: (x = 2; y = 2) 3- Ứng dụng 3: Giải hệ phƣơng trình - Phương pháp: Dùng bất đẳng thức để biến đổi phương trình hệ, suy luận kết luận nghiệm - Các ví dụ : Bài 3.1 : Giải hệ phương trình x x 2y 2 4y x y 2y Lƣợc giải : (1)  x3 = - - 2(y - 1)2  x3 (2)  x2 = 2y y (2) x -1 (vì 1+ y2 (1) 2y)  -1 - (*) x (**) Từ (*) (**) => x = -1 Thay x = -1 vào (2) ta có : y = => Hệ phương trình có nghiệm : (x = -1; y = 1) Bài 3.2 : Giải hệ phương trình : x x y y z z xyz Lƣợc giải : Áp dụng bất đẳng thức: A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy A = B Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mặt khác : x2y2 + y2z2 2xy2z y2z2 + z2x2 2xyz2 x2y2 + z2x2 2x2yz => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz (**) 4 Từ (*) (**) => x + y + z xyz Dấu '' = '' xảy : x = y = z mà x + y + z = nên : x = y = z = Vậy hệ phương trình có nghiệm : x = y = z = Ứng dụng 4: Giải phƣơng trình nghiệm nguyên - Phương pháp: Sử dụng hợp lí tính chất bất đẳng thức toán nghiệm nguyên để tìm nghiệm phương trình - Các ví dụ : Bài 4.1 : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 1 x y z x y , ta có : z =2 Giải : Khơng tính tổng qt , ta giả sử x Sáng kiến kinh nghiệm - 22 - y z => Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên 2= 1 x y z z Giáo viên: Lê Thị Hải Yến , mà z nguyên dương => 2z Vậy z = Thay z = vào phương trình ta : Theo giả sử x y, nên = 1 x y y 1 x y y nguyên dương nên y = y = Với y = khơng thích hợp Với y = ta có : x = Vậy (2 ; ; 1) nghiệm phương trình Hốn vị số trên, ta nghiệm phương trình : (x; y; z) = (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Bài 4.2 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 3(x + y) = xy (1) 1 Hướng dẫn: (1)  + = Giải tương tự Bài x y Bài 4.3 Tìm số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Ta có: x + y + z = xyz (1) Khơng tính tổng qt , ta giả sử x y z => xyz = x + y + z 3z Chia hai vế bất đẳng thức xyz 3z cho số dương z ta có : xy 1; ; Suy xy + Với xy = x = ; y = Thay vào (1) ta có z = -2 (loại) + Với xy = x = ; y = Thay vào (1) ta có z = + Với xy = x = ; y = Thay vào (1) ta có z = (loại trái với giả sử y z) Vậy ba số cần tìm 1; 2; Ứng dụng 5: Chứng minh tốn có nội dung hình học - Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức tam giác: với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b c a p (p a c b) c p c b p (p a a a) 4 1 2( b p p p (với x; y > 0), ta được: x+y c p ) 4( c 1 a b c ) => điều phải chứng minh Dấu '' = '' xảy : p - a = p - b = p - c  a = b = c Khi tam giác ABC tam giác Bài 5.2: Cho a, b, c , độ dài ba cạnh tam giác CMR: (a + b - c)(b + c - a)(c + a -b) abc Giải: Bất đẳng thức ba cạnh tam giác cho ta viết b c a a c a b b a b c c 2 (b c) (c a) (a b) a b c 2 a b c Từ => a ( b c ) b ( c a ) c ( a b ) (a+b-c) (a-b+c) (b-c+a) (b+c-a) (c-a+b) (c+a-b) a b c (a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)2 a b c (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (Vì a, b, c, ba cạnh tam giác nên a + b - c > 0; b + c a > 0; c + a - b > abc > ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 5.3 : CMR tam giác nhọn, tổng độ dài đường trung tuyến ln lớn lần bán kính đường tròn ngoại tiếp 2 2 2 2 2 Sáng kiến kinh nghiệm 2 2 - 24 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến Giải: Gọi ma , mb , mc độ dài ba đường trung tuyến R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC, ta phải chứng minh ma + mb +mc > 4R Vì ABC tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O nằm tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC tâm O nằm ba tam giác GAB, GAC, GBC Giả sử tâm O nằm GAB OA + OB = 2R GA+ GB > 2R 2 3 mà GA= ma , GB = mb (tính chất đường trung tuyến) Nên GA + GB > 2R (ma + mb ) > 2R ma + mb > 3R Trong OCF có CF > OC mc > R Do ma + mb + mc > 3R + R = 4R IV:BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 3 Bài 2: Cho hai số dương x,y x + y = x - y CMR: x2 + y2 < Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, C = x x Bài 1: Cho hai số x y mà x + y = CMR : x4 + y4 b, E = x x x x Bài 4: Cho số x, y thoả mãn điều kiện: x + y = Chứng minh rằng: x4 + y4 Bài Cho a 0, b 0, c CMR: a4 + b4 + c4 abc (a + b + c) Bài 6: Cho a, b, c > tho¶ m·n a + b + c = 2 Chøng minh 1 1 a b c abc Bài 7: CMR: Nếu a 1; b a b a b Bài 8: Chứng minh bất đẳng thức Cô si tổng quát với n số không âm phương pháp quy nạp toán học : ( a1 a2 n an ) n a a a n Bài 9: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: a) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc +ca) b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2) > a b c c) + + b+c-a c+a-b a+b-c Bài 10: Giải phương trình sau phương pháp bất đẳng thức: a) 5x-2 + 7-5x = x2 - 10x + 35 Sáng kiến kinh nghiệm - 25 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên x b) x 2 6x 6x Giáo viên: Lê Thị Hải Yến 2x 6x V : KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU : Sau áp dụng đề tài sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy thấy học sinh có tiến tích cực Các em xác định loại toán cách giải, nhiều em học sinh vận dụng tương đối tốt phương pháp để giải tập bất đẳng thức Kết thúc đề tài, qua kiểm tra đối chứng thấy chất lượng học tập nâng lên rõ rệt Cụ thể: * Đề kiểm tra khảo sát sau thực đề tài: Bài 1: Cho x x 0, chứng minh 0; y y ( x y ) Bài : Cho số dương a, b, c thoả mãn : a + b + c = 2013 Chứng minh : 1 a b c 671 Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức x x x D= x Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5(x + y) = xy 2 Đáp án: Bài Xét hiệu H x y ( (x x y ) 4(x y )( x 2 y )( x 2 xy y ) (x y ) xy 4y x 2 xy y ) 3( x y )( x y) Với x 0; y H hay x y ( x y ) Dấu „„ = ‟‟ xảy  x = y Bài Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: Ta có : 1 a a b c Sáng kiến kinh nghiệm b c =1 a b b a a a b b c a - 26 - với a, b > b c c c a b Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên = Vậy ( a b b a ) ( b c c b a a hay Giáo viên: Lê Thị Hải Yến b b ) ( c a a c => c c 1 a b c 671 ) 3+2+2+2=9 1 a b c 2013 671 Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức D = a + b + c = 2013 Dấu ''='' xảy : a = b = c = Ta có: D = x x Dấu “ = “ xảy  (x x 2 x x ) ( x x 2 x x 6) x x 2 x x x x 11 (vì x2 + x + = (x + )2 + > 0)  (x + 3)(x - 2)  -3 x Vậy D nên D =  -3 x Bài Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5(x + y) = xy (1) 1 1 (1)  + = Khơng tính tổng qt, giả sử x y => x y x y 1 => = + => y 10 x y y 1 Mặt khác < => y > y  x2 + x - 6 ; ; ; ;1 Suy < y 10 => y Thay giá trị y vào phương trình (1) ta y x 30 loại loại loại 10 10 Hoán vị số trên, ta nghiệm phương trình : (x ; y) = (6 ; 30), (30 ; 6), (10 ; 10) * Kết kiểm tra sau áp dụng đề tài: Số lượng học sinh Trước thực đề tài 38 Sau thực đề tài Sáng kiến kinh nghiệm 38 Điểm trung bình Điểm trung bình 31 82% 18% 16% 32 84% - 27 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến C BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KẾT LUẬN I BÀI HỌC KINH NGHIỆM: Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức Mỗi toán bất đẳng thức lại có số liệu riêng, địi hỏi cách giải riêng phù hợp Một toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải khác có phải phối hợp nhiều phương pháp giải cách hợp lí Qua việc hướng dẫn học sinh làm tập cho thấy phần kiến thức đề tài phần kiến thức mở giáo viên đưa vào cuối luyện tập, tự chọn nên nội dung học sinh cịn phức tạp, khó hình dung Vì giáo viên cần đưa kiến thức cho học sinh làm từ dễ đến khó, kết hợp ơn tập, giao tập nhà, kiểm tra học sinh … Sau hướng dẫn xong nội dung chuyên đề cho học sinh, cần cho học sinh kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện kỹ làm tập cho học sinh Giáo viên cần đưa nội dung vào dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức cách thụ động dẫn đến đạt kết không mong muốn II KẾT LUẬN: Các tập bất đẳng thức tương đối khó học sinh, sau hướng dẫn xong đề tài “Một số phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức”, thấy học sinh tiếp nhận toán bất đẳng thức tự tin hơn, đứng trước toán dù dạng tập em có hướng suy nghĩ tập suy luận độc lập Qua đề tài “Một số phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức” tham vọng giải hết dạng lực thân hạn chế mà muốn giúp học sinh có thêm số phương pháp chứng minh bất đẳng thức để từ em bớt tâm lí e ngại học bất đẳng thức III KHUYẾN NGHỊ: Mục đích giáo dục dạy tốt - học tốt nên giáo viên tình u nghề, u trẻ cịn phải ln tự trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, nắm bắt yêu cầu đổi giáo dục, tìm hiểu tài liệu liên quan tới giảng nhằm trang bị cho kiến thức tốt để truyền tải tới học sinh Bên cạnh tơi đề nghị: - Phịng giáo dục cấp quan tâm đầu tư thêm phòng môn để phục vụ công tác giảng dạy tốt - Phòng giáo dục tạo điều kiện cho giáo viên dự nhiều chuyên đề Sáng kiến kinh nghiệm - 28 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến - Phòng giáo dục nhà trường cung cấp thêm tài liệu, sách tham khảo cho giáo viên học sinh Trên đúc rút kinh nghiệm thân đồng nghiệp giảng dạy chuyên đề “ Một số phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức” Mặc dù cố gắng kết nghiên cứu cịn hạn chế, tơi mong góp ý thầy giáo, bạn đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Thanh Oai, ngày 25 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Lê Thị Hải Yến Sáng kiến kinh nghiệm - 29 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến MỤC LỤC *SƠ YẾU LÍ LỊCH A PHẦN MỞ ĐẦU I II III IV Trang Lí chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu phạm vi áp dụng Các phƣơng pháp nghiên cứu 1 2 B PHẦN NỘI DUNG Phần I: Thực trạng vấn đề nghiên cứu Phần II: Nội dung đề tài I.Các kiến thức cần nhớ II.Một số phƣơng pháp chứng minh bất đẳng thức - Phƣơng pháp 1: Dùng định nghĩa - Phƣơng pháp 2: Dùng tính chất bất dẳng thức - Phƣơng pháp 3: Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng - Phƣơng pháp 4: Dùng bất đẳng thức thông dụng - Phƣơng pháp 5: Chứng minh phản chứng 12 - Phƣơng pháp 6: Xét khoảng giá trị biến 14 - Phƣơng pháp 7: Đổi biến số 14 - Phƣơng pháp 8: Quy nạp toán học 15 - Phƣơng pháp 9: Dùng tính chất tỉ số 16 III.Ứng dụng bất đẳng thức 17 - Ứng dụng 1: Giải toán tìm cực trị 17 - Ứng dụng 2: Giải phƣơng trình 20 - Ứng dụng 3: Giải hệ phƣơng trình 21 - Ứng dụng 4: Giải phƣơng trình nghiệm nguyên 22 - Ứng dụng 5: Chứng minh toán có nội dung hình học IV.Bài tập đề nghị 24 V.Kết nghiên cứu 23 C BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KẾT LUẬN I II III Bài học kinh nghiệm Kết luận Khuyến nghị Sáng kiến kinh nghiệm 25 26 27 - 30 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến Phòng GD - ĐT huyện Thanh Oai Trƣờng THCS Cao Viên Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Phiếu nhận xét, xếp loại sáng kiến kinh nghiệm Đề tài: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Mơn: Tốn Tác giả: Lê Thị Hải Yến Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Tổ Tự nhiên, trường THCS Cao viên HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƢỜNG THCS CAO VIÊN Nhận xét: Xếp loại: Cao Viờn, ngy thỏng nm 2013 Chủ tịch hội đồng Sáng kiến kinh nghiệm - 31 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD-ĐT HUYỆN THANH OAI Nhận xét: Xếp loại: Thanh Oai, ngày thỏng nm 2013 Chủ tịch hội đồng Sỏng kin kinh nghiệm - 32 - Năm học 2012-2013 Trường THCS Cao Viên Giáo viên: Lê Thị Hải Yến HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI Nhận xét: Xếp loại: Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Chủ tịch hội đồng Sỏng kin kinh nghim - 33 - Năm học 2012-2013 ... 8xyz Phƣơng pháp 3: Phƣơng pháp biến đổi tƣơng đƣơng - Phương pháp: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức bất đẳng thức chứng minh Giả sử phải chứng minh A > B (1),... đương trực tiếp bất đẳng thức cần chứng minh Phƣơng pháp 4: Dùng số bất đẳng thức thông dụng - Phương pháp: Dùng số bất đẳng thức thông dụng như: Côsi, Bunhiacôpxki, bất đẳng thức chứa dấu giá... NGHIỆM: Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức Mỗi toán bất đẳng thức lại có số liệu riêng, đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Một tốn chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải