A Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mp a c⊥a c⊥b ⇒ c ⊥ (α) a ∩ b ≠ ∅ a, b ⊂ ( α ) c b a α ( P1 ) ⊥ ( P ) b ( p2 ) ⊥ ( P ) ⇒ a ⊥ ( P ) a = ( P1 ) ∩ ( P2 ) a P1 P2 P Phương Pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc c ⊥ ( α ) ⇒c⊥a ∀a ⊂ ( α ) Cho O ∉ (α ) , OH ⊥ (α ) , (H ∈ (α )) , A;B ∈ (α ) Đoạn OH đoạn vuông góc đoạn ngắn , OA;OB đường xiên, HA;HB hình chiếu đường xiên O A OA = OB ⇔ HA = HB OA > OB ⇔ HA > HB B H α Phương pháp chứng minh mp vng góc với mp a P1 P a ⊥ ( P ) ⇒ ( P ) ⊥ ( P1 ) a ⊂ ( P1 ) α (α ) ⊥ (β ) c = (α ) ∩ (β ) ⇒ a ⊥ (β ) a ⊂ (α ) a a⊥c β c Góc đường thẳng mp Góc đường thẳng a mp ( α ) góc a hình chiếu a′ a Kí hiệu ( a, ( α ) ) Khi ( a, ( α ) ) = 00 a ( α ) hay a ⊂ ( α ) Khi a ⊥ ( α ) th× ( a, ( α ) ) = π 00 ≤ Chú ý: (a , ( α )) ≤ π O a α H a Góc hai mặt phẳng Tìm giao tuyến c hai mp Dựng đoạn thẳng AB có hai đầu mút hai mặt vng góc với mặt A Tìm hình chiếu vng góc H A hay B c AHB góc phẳng hai mp c β π H B 00 ≤ α , β ≤ (( ) ( )) α Chú ý Nếu có sẳn đường thẳng d cắt hai mặt A , B vng góc với giao tuyến c , ta tìm hình chiếu vng góc A (hay B hay điểm AB) c thành H Khi AHB góc hai mp A c β B Một số hình thường gặp Hình Chóp H B α S S D A C D C B B Hình Chóp S S d A B B A O I I O D C C Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên hay hình chóp chóp có đáy đa giác tâm đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Sxq tổng diện mặt bên Sxq = pd với p chu vi đáy,d độ dài trung đoạn ( hình chóp ) V = Bh với B diện tích đáy,h chiều cao hình chóp 3 Hình lăng trụ Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt phẳng song song gọi hai đáy tất cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau.Hình lăng trụ ABCD A′B ′C ′D ′ ABCD , A′B ′C ′D ′ hai đáy ABB ′A′, BCC ′B ′ : mặt bên AA′, BB ′ cạnh bên ACC ′A′, BDD ′B ′ mặt chéo Trong hình lăng trụ: Các cạnh bên song song Các mặt bên mặt chéo hình bình hành Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình vuông gọi hình lập phương Trong hình hộp đường chéo cắt trung điểm đường Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.Trong lăng trụ cạnh đường cao,các mặt bên hình chữ nhật Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác đều,các mặt bên hình chữ nhật A A B C B C D A B D C' A' B' C Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật.Ba độ dài ba cạnh xuất phát từ đỉnh gọi ba kích thướt hình hộp chữ nhật Đường chéo hình hộp chữ nhật d = a + b + c với d đường chéo a,b,c ba kích thước Với hình lập phương cạnh a: d = a V= B.h với B diện tích đáy, h độ dài chiều cao ( Hình lăng trụ ) V = a.b.c với a, b , c ba kích thước (hình hộp chữ nhật ) V = a3 với a cạnh ( hình lập phương ) B B C A C A D C D A C B D A C B C D B C B D A D A Bài Tập rèn luyện Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC a) CMR SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a ? Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a, BC = a , SA = 3a Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, BC = 2a, SA = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm SC a) CMR tam giác MAB cân M b) Tính thể tích khối chóp SABC thể tích khối chóp S.AMB Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C, AB = 2a, góc CBA 600, SA = 2a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC).K hình chiếu A SB a) CMR tam giác KAC tam giác cân b) Tính thể tích khối chóp SABC thể tích khối chóp S.AKC Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao SO = a ,cạnh bên hợp với đáy góc 450 a) Tính góc cạnh bên cạnh đáy b) Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp S.ABCD Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = a , SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi J trọng tâm tam giác SBC Tính thể tích khối chóp J.ABC ? Bài 7: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cân A, SA ⊥ ( ABC ) Gọi G trọng tâm tam giác SBC Biết SA = 3a, AB = a , BC = 2a a Chứnh minh AG ⊥ BC b Tính thể tích khối tứ diện GABC theo a Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên 2a Tính thể tích khối chóp theo a Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh B, AC = a SB = a ðường thẳng SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Bài 10: Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = a , AC = a , mặt bên SBC tam giác cân S (SB = SC = 2a) vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SA = SB = 2a hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) vng góc với Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với mặt (ABC) ðáy ABC tam giác cân đỉnh A, độ dài đường trung tuyến AM = a Mặt bên (SBC) tạo với đáy góc 450 SBA = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA = SB = SC = a Góc cạnh bên đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a Bài 14: ðáy ABC hình chóp SABC tam giác vng cân (BA=BC) Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy có độ dài a Cạnh bên SB tạo với góc 600 Tính diện tích tồn phần hình chóp Bài 15: Hình chóp S.ABC có cạnh bên nghiêng với đáy góc 600 , độ dài cạnh đáy CB = 3,CA = 4, AB = Tính thể tích V hình chóp Bài 16: Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân, cạnh đáy BC = a,BAC = α Các cạnh bên nghiêng với đáy góc α Tính thể tích hình chóp Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA = SC = a , SB = SD.Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, BC = a, SA =SB = SC = a mặt bên SAB hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, SA ⊥ (ABC), ACB = 600 , BC = a, SA = a Gọi M trung điểm SB Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) Tính thể tích khối tứ diện MABC Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, AB = a, BC = a Tam giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông , AB=BC=a, cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ Bài 22: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ∆ABC vng A, AC = a, góc ACB 600 ðường thẳng BC’ tạo với (AA’C’C) góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ cho Bài 23: ðáy ABC hình lăng trụ ABC.A'B'C' tam giác cạnh a Góc cạnh bên hình lăng trụ mặt đáy 300 Hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng đáy (ABC) trùng với trung điểm H cạnh BC Tính thể tích hình lăng trụ Bài 24: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vng C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Bài 25: