Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển

Hình Chĩp đều Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau hay hình chóp đều là chóp có đáy là đa giác đều và tâm của đáy trùng với tâm đường tròn ngoại ti

A Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển

1 Phương pháp chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mp

a

( )

( )

c a

c b

c

a b

a, b



⇒ ⊥ α



∩ ≠ ∅



⊂ α 

b

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

P P

a P P





P2 P1

P

a

( )

( )

c

c a a





3 Cho O∉( )α , OH ⊥( )α ,(H∈( )α ), A;B ∈( )α Đoạn OH là đoạn vuông góc cũng là đoạn ngắn nhất , OA;OB là các đường xiên, HA;HB là các hình chiếu của các đường xiên

OA=OB⇔ HA=HB

OA>OB⇔ HA>HB

4 Phương pháp chứng minh mp vuơng gĩc với mp

c

b

a

αααα

H

O

B A

αααα

c

H

B

A

β α

P1 P

a

( )

( ) ( ) ( )





1

5

( ) ( ) ( ) ( )

β α

β α

⊥

⇒















⊥

⊂

∩

=

⊥

a c

a a c

Góc giữa ñường thẳng a và mp( )α là góc của a và hình chiếu a ′ của a trên

Kí hiệu (
( ) )

a, α

Khi (
( ) ) 0

a, α = 0 thì a ( )α hay a ⊂ α( )

a th× a,

2

π

Chú ý:

Tìm giao tuyến c của hai mp

Dựng ñoạn thẳng AB có hai ñầu mút ở trên hai mặt và vuông góc với

một mặt

Tìm hình chiếu vuông góc H của A hay B trên c

AHB
là góc phẳng của hai mp

0 ≤ (
( ) ( )α β ) ≤ π

2

c

a

ββββ αααα

( )

(
)

0

0 a ,

2

π

a

a

α

H O

Chú ý

Nếu đã cĩ sẳn đường thẳng d cắt hai mặt tại A , B và vuơng gĩc với giao tuyến c , khi đĩ ta tìm hình chiếu vuơng gĩc của A (hay B hay 1 điểm nào đĩ trên AB) trên c thành H Khi đĩ AHB
là gĩc của hai mp

B Một số hình thường gặp

1 Hình Chĩp

2 Hình Chĩp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau hay hình chóp đều là chóp có đáy là đa giác đều và tâm của đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

S xq bằng tổng diện các mặt bên

S xq = pd

2

1 với p là chu vi đáy,d là độ dài trung đoạn ( hình chóp đều )

3

1

= với B là diện tích đáy,h là chiều cao của hình chóp

3 Hình lăng trụ

Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là

c H B

A

β α

C

B

S

B

S

I

d

O

C

B A

S

I O

C

B A

S

D

hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.Hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′

ABCD,A′B′C′D′ là hai đáy

AB B′A′ ,BC C′B′ : là các mặt bên

A A′, B B ′ là các cạnh bên

AC C′A′ ,BD D′B′ là các mặt chéo

Trong hình lăng trụ:

Các cạnh bên song song và bằng nhau

Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành

Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp

Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật

Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương

Trong hình hộp các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.Trong lăng trụ đúng các cạnh là

đường cao,các mặt bên là hình chữ nhật

Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều,các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau

Hình hộp đứng là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với đáy

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.Ba độ dài của ba cạnh xuất phát

từ một đỉnh gọi là ba kích thướt của hình hộp chữ nhật

Đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng 2 2 2 2

c b a

d = + + với d là đường chéo a,b,c là ba kích thước

Với hình lập phương cạnh a: d = a 3

V= B.h với B là diện tích đáy, h là độ dài chiều cao ( Hình lăng trụ )

V = a.b.c với a, b , c là ba kích thước (hình hộp chữ nhật )

C'

B'

A'

C B

A

D

A

C

B

D

C B A

V = a 3 với a là cạnh ( hình lập phương ).

Bài 1:

Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC

a) CMR SA vuơng gĩc với BC

b) Tính thể tích khối chĩp S.ABI theo a ?

Bài 2:

Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác ABC vuơng tại B, đường thẳng SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) Biết AB = a, BC = a 3, SA = 3a Tính thể tích khối chĩp S.ABC

Bài 3:

Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, BC = 2a, SA = 2a, SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của SC

a) CMR tam giác MAB cân tại M

b) Tính thể tích khối chĩp SABC và thể tích khối chĩp S.AMB

D

C

A

B

D

C B

A

D

C

A

B

D

C B

A

D

C

A

B

D

C B

A

Bài 4:

Cho hình chóp S.ABC có ựáy ABC là tam giác vuông tại C, AB = 2a, góc CBA bằng

600, SA = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).K là hình chiếu của A trên SB a) CMR tam giác KAC là tam giác cân

b) Tắnh thể tắch khối chóp SABC và thể tắch khối chóp S.AKC

Bài 5:

Cho hình chóp tứ giác ựều S.ABCD có chiều cao SO =

3

6

a

,cạnh bên hợp với ựáy một góc 450

a) Tắnh góc giữa cạnh bên và cạnh ựáy

b) Tắnh diện tắch toàn phần và thể tắch của khối chóp S.ABCD

Bài 6:

Cho hình chóp S.ABC có ựáy ABC là tam giác ựều cạnh a, SA = a 3, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi J là trọng tâm tam giác SBC Tắnh thể tắch khối chóp J.ABC ?

Bài 7:

Cho hình chóp S.ABC ựáy ABC là tam giác cân tại A,SA⊥(ABC).Gọi G

là trọng tâm tam giác SBC Biết SA = 3a, AB = a , BC = 2a

a Chứnh minh AG⊥BC

b Tắnh thể tắch khối tứ diện GABC theo a

Bài 8:

Cho hình chóp ựều S.ABCD có ựáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng 2a Tắnh thể tắch của khối chóp theo a

Bài 9:

Cho hình chóp S.ABC có ựáy ABC là tam giác vuông cân tại ựỉnh B, AC a 2 = và

SB a 3 = đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tắnh theo a thể tắch khối chóp S.ABC

Bài 10:

Hình chóp S.ABC có ựáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a = , AC a 3 = , mặt bên SBC là tam giác cân tại S (SB SC 2a) = = và vuông góc với mặt phẳng ựáy Tắnh theo

a thể tắch khối chóp S.ABC

Bài 11:

Cho hình chóp S.ABCD có ựáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA SB 2a = = và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau Tắnh thể tắch khối chóp S.ABCD

Bài 12:

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt (ABC)

(SBC) tạo với ựáy góc 450 và SBA 30= 0 Tắnh thể tắch của khối chóp S.ABC

Bài 13:

Cho hình chóp ựều S.ABC có các cạnh bên SA SB SC a = = = Góc giữa cạnh bên và

Bài 14:

đáy ABC của hình chóp SABC là tam giác vuông cân (BA=BC) Cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng ựáy và có ựộ dài là a 3 Cạnh bên SB tạo với một góc 600 Tắnh diện tắch toàn phần của hình chóp

Bài 15:

Hình chóp S.ABC có các cạnh bên nghiêng ựều với ựáy một góc 600, ựộ dài các cạnh

Bài 16:

Hình chóp S.ABC có ựáy ABC là tam giác cân, cạnh ựáy BC a,BAC = = α Các cạnh bên nghiêng với ựáy một góc α Tắnh thể tắch hình chóp

Bài 17:

Cho hình chóp S.ABCD có ựáy là hình thoi cạnh a,  0 5

60 ,

2

a BAD= SA=SC= , SB = SD.Tắnh thể tắch khối chóp S.ABCD

Bài 18:

Cho hình chóp S.ABC có ựáy là tam giác vuông tại A, BC = a, SA =SB = SC = 3

2

a

và mặt bên SAB hợp với ựáy một góc bằng 600 Tắnh thể tắch của khối chóp S.ABC

Bài 19:

Cho hình chóp S.ABC có ựáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC),

ACB= BC=a SA=a Gọi M là trung ựiểm của SB Chứng minh (SAB) ⊥

(SBC) Tắnh thể tắch khối tứ diện MABC

Bài 20:

Cho hình chóp S.ABC có ựáy là tam giác ABC vuông tại B, AB=a BC, =a 3 Tam giác SAC ựều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ựáy.Tắnh thể tắch khối chóp S.ABC

Bài 21:

Cho laêng truỉ ựỏùng ABC.AỖBỖCỖ coù ựaùy laụ tam giaùc vuoâng , AB=BC=a, caỉnh beân

ABC.AỖBỖCỖ

Bài 22:

Cho khối lăng trụ ựứng ABC.AỖBỖCỖ có ựáy ∆ABC vuông tại A, AC = a, góc ACB bằng 600 đường thẳng BCỖ tạo với (AAỖCỖC) một góc 300

Tắnh thể tắch khối lăng trụ ựã cho

Bài 23:

đáy ABC của hình lăng trụ ABC.A'B'C' là tam giác ựều cạnh a Góc giữa cạnh bên

hình lăng trụ và mặt ựáy bằng 300 Hình chiếu vuông góc của ựỉnh A' trên mặt phẳng

ựáy (ABC) trùng với trung ựiểm H của cạnh BC Tắnh thể tắch hình lăng trụ

Bài 24:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.AỖBỖCỖ có BBỖ = a, góc giữa ựường thẳng BBỖ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 Hình chiếu vuông góc của ựiểm BỖ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tắnh thể tắch khối tứ diện AỖABC theo a

Bài 25: