CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH học TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS

Đỗ Mạnh Thắng CC PHNG PHP CHNG MINH BNG NHAU SONG SONG, VUễNG GểC NG QUY, THNG HNG A.KIN THC C BN 1.Tam giỏc bng a) Khỏi nim: A = A '; B = B'; C = C' ABC = A 'B'C' AB = A'B'; BC = B'C'; AC = A 'C' b) Cỏc trng hp bng ca hai tam giỏc: c.c.c; c.g.c; g.c.g c) Cỏc trng hp bng ca hai tam giỏc vuụng: hai cnh gúc vuụng; cnh huyn v mt cnh gúc vuụng; cnh huyn v mt gúc nhn d) H qu: Hai tam giỏc bng thỡ cỏc ng cao; cỏc ng phõn giỏc; cỏc ng trung tuyn tng ng bng 2.Chng minh hai gúc bng - S dng hai gúc cú cựng s o -Dựng quan h gia cỏc gúc trung gian vi cỏc gúc cn chng minh: Hai gúc cựng bng mt gúc th 3; hai gúc cựng bự hoc cựng ph vi gúc - Hai gúc cựng bng tng, hiu ca gúc tng ng bng - S dng nh ngha tia phõn giỏc ca gúc - Hai gúc i nh -Dựng quan h cỏc gúc to bi cỏc ng thng song song (2 gúc ng v, gúc so le ) - gúc cựng nhn hoc cựng tự cú cnh tng ng vuụng gúc hoc song song - Hai gúc tng ng ca hai tam giỏc bng hoc hai tam giỏc ng dng, hai gúc ca tam giỏc cõn, u; hai gúc k ỏy ca hỡnh thang cõn, gúc i hỡnh bỡnh hnh, - Hai gúc ni tip cựng chn mt cung, h qu gúc ni tip - S dng cỏc tớnh cht ca tam giỏc, t giỏc ni, ngoi tip mt ng trũn - S dng cỏc t s lng giỏc sin, cos, tg, cotg ca gúc nhn 3.Chng minh hai on thng bng - Hai on thng cú cựng s o - on thng cựng bng mt on thng th - Hai on thng cựng bng tng, hiu, trung bỡnh nhõn ca on thng bng ụi mt - Hai cnh tng ng ca hai tam giỏc bng - ng dng tớnh cht c bit ca tam giỏc cõn, tam giỏc u, hỡnh thang cõn, hỡnh ch nht, hỡnh bỡnh hnh - Trung tuyn ng vi cnh huyn, cnh i din vi gúc 300 ca tam giỏc vuụng, - ng dng cỏc nh ngha: Trung im an thng, trung tuyn tam giỏc -S dng cỏc yu t ca ng trũn: hai dõy cung ca hai cung bng nhau, hai ng kớnh ca mt ng trũn, -Dựng tớnh cht ng trung bỡnh ca tam giỏc, hỡnh thang - Tớnh cht cỏc t s bng nhau; tớnh cht hai on thng song song chn gia ng thng song song 4.Chng minh hai ng thng, hai on thng song song - Dựng /n ng thng song song -Dựng mi quan h gia cỏc gúc: So le bng nhau, ng v bng nhau, cựng phớa bự nhau, -Dựng mi quan h cựng song song, vuụng gúc vi ng thng th ba -p dng nh lý o ca nh lý Talet -p dng tớnh cht ca cỏc t giỏc c bit (2 cnh i hỡnh bỡnh hnh, hỡnh ch nht, hỡnh thoi, hỡnh vuụng, hai cnh ỏy hỡnh thang, ng trung bỡnh ca tam giỏc, hỡnh thang - Hai ng thng phõn bit cựng vuụng gúc vi ng thng th - S dng kt qu ca ỏcc on thng t l suy cỏc ng thng tng ng song song (L Ta lột o) -Dựng tớnh cht hai dõy chn gia hai cung bng ca mt ng trũn Chng minh hai ng thng vuụng gúc - nh ngha ng thng vuụng gúc - Tớnh cht tia phõn giỏc ca hai gúc k bự - Dựng tớnh cht gúc nhn tam giỏc vuụng - Dựng /n tớnh cht ng cao, ng trung trc ca tam giỏc - Chng minh chỳng song song vi hai ng vuụng gúc khỏc -Dựng tớnh cht: ng thng vuụng gúc vi mt hai ng thng song song thỡ vuụng gúc vi ng thng cũn li -Dựng tớnh cht ca ng cao v cnh i din mt tam giỏc -ng kớnh i qua trung im ca dõy - Gúc ni tip chn na ng trũn - Tớnh cht tam giỏc cõn, tam giỏc u Đỗ Mạnh Thắng - nh lý Pitago - tớnh cht ng kớnh i qua trung im dõy khụng qua tõm hoc qua im chớnh gia mt cung - Tớnh cht tip tuyn ca ng trũn - ng ni tõm v dõy chung ca hai ng trũn 6.Chng minh ba im thng hng -Dựng tiờn clit: Nu AB//d; BC//d thỡ A, B, C thng hng -p dng tớnh cht cỏc im c bit tam giỏc: trng tõm, trc tõm, tõm ng trũn ngoi tip, -Chng minh tia to bi ba im to thnh gúc bt: Nu gúc ABC bng 1800 thỡ A, B, C thng hng -p dng tớnh cht: Hai gúc bng cú hai cnh nm trờn mt ng thng v hai cnh nm trờn hai na mt phng vi b l ng thng trờn -Chng minh AC l ng kớnh ca ng trũn tõm B Chng minh cỏc ng thng ng quy -p dng tớnh cht cỏc ng ng quy tam giỏc -Chng minh cỏc ng thng cựng i qua mt im: Ta ch hai ng thng ct ti mt im v chng minh ng thng cũn li i qua im ú -Dựng nh lý o ca nh lý Talet CC PHNG PHP CHNG MINH HAI TAM GIC NG DNG; H THC HèNH HC A.KIN THC C BN 1.Tam giỏc ng dng -Khỏi nim: A = A'; B = B'; C = C' ABC : A'B'C' AB AC BC A'B' = A'C' = B'C' -Cỏc trng hp ng dng ca hai tam giỏc: c-c-c; c-g-c; g-g -Cỏc trng hp ng dng ca hai tam giỏc vuụng: gúc nhn; hai cnh gúc vuụng; cnh huyn - cnh gúc vuụng *Tớnh cht: Hai tam giỏc ng dng thỡ t s hai ng cao, hai ng phõn giỏc, hai ng trung tuyn tng ng, hai chu vi bng t s ng dng; t s hai din tớch bng bỡnh phng t s ng dng 2.Phng phỏp chng minh h thc hỡnh hc -Dựng nh lớ Talet, tớnh cht ng phõn giỏc, tam giỏc ng dng, cỏc h thc lng tam giỏc vuụng, Gi s cn chng minh MA.MB = MC.MD -Chng minh hai tam giỏc MAC v MDB ng dng hoc hai tam giỏc MAD v MCB -Trong trng hp im ú cựng nm trờn mt ng thng thỡ cn chng minh cỏc tớch trờn cựng bng tớch th ba Nu cn chng minh MT2 = MA.MB thỡ chng minh hai tam giỏc MTA v MBT ng dng hoc so sỏnh vi tớch th ba Ngoi cn chỳ ý n vic s dng cỏc h thc tam giỏc vuụng; phng tớch ca mt im vi ng trũn CC PHNG PHP CHNG MINH T GIC NI TIP Phng phỏp chng minh -Chng minh bn nh ca t giỏc cựng cỏch u mt im -Chng minh t giỏc cú hai gúc i din bự -Chng minh hai nh cựng nhỡn on thng to bi hai im cũn li hai gúc bng -Chng minh tng ca gúc ngoi ti mt nh vi gúc i din bự -Nu MA.MB = MC.MD hoc NA.ND = NC.NB thỡ t giỏc ABCD nt tip (Trong ú M = AB CD; N = AD BC ) -Nu PA.PC = PB.PD thỡ t giỏc ABCD ni tip (Trong ú P = AC BD ) -Chng minh t giỏc ú l hỡnh thang cõn; hỡnh ch nht; hỡnh vuụng; Nu cn chng minh cho nhiu im cựng thuc mt ng trũn ta cú th chng minh ln lt im mt lỳc Song cn chỳ ý tớnh cht Qua im khụng thng hng xỏc nh nht mt ng trũn Đỗ Mạnh Thắng MT S BI TP VN DNG Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N 1.Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = Xác định 900 vị trí AB Chứng minh AC BD = Chứng minh OC // M để chu BM Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn đờng tứ giác ACDB kính CD đạt giá trị nhỏ Chứng minh MN AB vi Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC MB, BD MA, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn Đỗ Mạnh Thắng ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đờng tròn Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chứng minh AI = AH Chứng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chứng minh BE = BH + DE Bài 10 Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M 1.Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn 2.Chứng minh BM // OP 3.Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành 4.Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài 11 Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài 12 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M điểm đối xứng M qua AB S giao điểm hai tia BM, MA Gọi P chân đơng vuông góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn Gọi S giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PSM cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn Bài 13 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Đỗ Mạnh Thắng Tam giác DEF có ba góc nhọn DF // BC Tứ giác BDFC nội tiếp BD BM = CB CF Bài 14 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM (O) N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn P Chứng minh : Tứ giác OMNP nội tiếp Tứ giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định CD cắt Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Bài 16 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K) 1.Chứng minh EC = MN 2.Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) 3.Tính MN 4.Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 17 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác Bài 18 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thng CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chứng minh : 1.Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD 2.Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FB đồng quy  ... tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N 1 .Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = Xác định 900 vị trí AB Chứng minh AC BD = Chứng minh OC // M để chu BM Chứng minh AB tiếp tuyến đờng... BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M... tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi 5) Xác định vị trí M