Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: Sinh viên: Lớp: Th.S Nguyễn Kế Tam Trần Thị Mỹ Hạnh Đại học Sư phạm Tốn K56 Quảng Bình, tháng năm 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực Đây cơng trình nghiên cứu tơi thực hướng dẫn thầy giáo ThS Nguyễn Kế Tam Chúng chịu hoàn toàn trách nhiệm nội dung khoa học cơng trình Quảng Bình, tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Mỹ Hạnh LỜI CẢM ƠN Sau thời gian cố gắng nỗ lực , em phần hoàn thành đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng” Ngoài có cố gắng thân, em nhận nhiều khích lệ từ phía thầy cơ, nhà trường, gia đình bạn bè Với tình cảm chân thành mình, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, cán bộ, giảng viên Trường Đại học Quảng Bình, giảng viên khoa Khoa học – Tự nhiên tận tình truyền đạt kiến thức kinh nghiệm cho chúng em suốt trình học tập Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.S Nguyễn Kế Tam, người tận tình giúp đỡ em kiến thức phương pháp suốt trình thực khóa luận Xin cảm ơn gia đình, bạn bè lo lắng, động viên ủng hộ em suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Cuối em xin kính chúc thầy, cô giáo nhiều sức khỏe thành công nghiệp trồng người cao quý Em xin chân thành cảm ơn! MỤC LỤC PHẦN I : MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất bất đẳng thức 1.3 Một số bất đẳng thức cần nhớ CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2.1 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa 2.2 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bất đẳng thức 2.3 Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển 11 2.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 11 2.3.2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BĐT Bunhiacopxki) 18 2.3.3 Bất đẳng thức Chebyshev 22 2.4 Phương pháp 4: Sử dụng phép biến đổi tương đương 27 2.5 Phương pháp 5: Sử dụng đạo hàm 30 2.6 Phương pháp 6: Sử dụng quy nạp 34 2.7 Phương pháp 7: Sử dụng tam thức bậc 37 2.8 Bài tập tương tự 40 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 44 3.1 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình 44 3.2 Dùng bất đẳng thức đề tìm cực trị 47 3.4 Bài tập tương tự 49 PHẦN III KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT BĐT : Bất đẳng thức CMR : Chứng minh ĐK : Điều kiện ĐPCM : Điều phải chứng minh GTLN : Giá trị lớn GTNN : Giá trị nhỏ VT : Vế trái VP : Vế phải LỜI NĨI ĐẦU Tốn học môn khoa học quan trọng đời sống ứng dụng rộng rãi Hoạt động giải tập tốn học phương tiện có hiệu thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức phát triển tư Một vấn đề toán học hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp, tính độc đáo phương pháp kĩ thuật giải, toán bất đẳng thức Để giải tốn bất đẳng thức đòi hỏi người học tốn khơng phải nắm vững kiến thức bản, mà biết áp dụng phương pháp phù hợp với đặc thù toán cụ thể Chính vậy, em chọn đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng” cho khóa luận Với đề tài này, em mong học sinh bớt lúng túng e ngại gặp toán chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng Qua đó, em định hướng tốt giải, đánh giá biểu thức, sử dụng cơng thức bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức bất đẳng thức,… để đến giải toán cách tốt Mong trình học tập, em học sinh thay ngại chạm trán với bất đẳng thức yêu thích, hứng thú say mê học giải toán bất đẳng thức Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Kế Tam thầy cô khoa Khoa học – Tự nhiên tận tình hướng dẫn giúp em hồn thành khóa luận Mặc dù cố gắng trình thực hiện, song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vậy em kính mong nhận thơng cảm góp ý chân thành thầy nội dung hình thức trình bày để khóa luận em hồn thiện có hiệu cao PHẦN I : MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nói đến Tốn học nói đến ngành khoa học tạo tảng cho ngành khoa học khác Trong chương trình giáo dục phổ thơng, mơn Tốn khơng giữ vai trò quan trọng nhằm trang bị cho người học hệ thống kiến thức bản, mà coi mơn thể thao trí tuệ góp phần phát triển lực toán học với thao tác tư duy, rèn luyện hoạt động trí tuệ học sinh Bất đẳng thức nội dung khó mơn Tốn trường phổ thơng, nhiên lĩnh vực hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi, sáng tạo Từ bất đẳng thức đơn giản tạo tốn khó có cách giải hay, độc đáo đơn giản cho toán phức tạp Bất đẳng thức xuất nhiều phận khác tốn phổ thơng việc giải tốn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức, xuất tốn hình học, lượng giác… Do bất đẳng thức công cụ quan trọng hiệu việc rèn luyện hoạt động trí tuệ phân tích, tổng hợp, khái qt hóa, trừu tượng hóa Là sinh viên đào tạo để trở thành giáo viên giảng dạy mơn Tốn, em ln tìm tòi cách giải hay tốn khó mà học sinh thường ngại làm Vấn đề đặt điều tốn bất đẳng thức mà em vướng mắc làm để giúp em nắm vững giải thành thạo toán chứng minh bất đẳng thức? Xuất phát từ lý em định chọn đề tài: “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu sâu vấn đề “bất đẳng thức” trường phổ thông Đưa số phương pháp chứng minh BĐT ứng dụng BĐT việc giải tốn Từ giúp học sinh hiểu nắm phương pháp chứng minh BĐT thông thường nâng cao Bên cạnh rèn luyện cho em kỹ tư tính tốn tốn chứng minh III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu khái qt hóa Phương pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp tài liệu Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa, sách tham khảo bất đẳng thức Tham khảo từ Internet: dienantoanhoc.net, toanmath.com,… Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Trong đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ứng dụng” em đưa số định nghĩa, tính chất,… tập vận dụng cho phương pháp chứng minh BĐT bao gồm chương sau: Chương 1: Cơ sở lý thuyết bất đẳng thức: Đây chương tóm tắt số kiến thức lý thuyết mà học sinh cần nắm để sử dụng trình chứng minh bất đẳng thức Chương 2: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, với phương pháp có lý thuyết cần nắm tập áp dụng để học sinh tự hình thành tư duy, cảm nhận phương pháp Chương 3: Ứng dụng bất đẳng thức: Trình bày ứng dụng phổ biến chứng minh bất đẳng thức PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1 Định nghĩa Định nghĩa : Cho hai số a b hai số thực Khi đó: a lớn b (kí hiệu a  b ) hiệu a  b số dương; a nhỏ b (kí hiệu a  b ) hiệu a  b số âm Ngược lại, hiệu a  b  ta nói a  b , a  b  a  b Vậy : a  b  a b  a  b  a  b  Ngồi ta có: a  b a  b  a  b  a  b   a  b a  b  a  b  a  b   Các mệnh đề “ a  b ”; “ a  b ”; a  b ”; a  b ” gọi bất đẳng thức a gọi vế trái, b vế phải bất đẳng thức Cũng mệnh đề logic khác, bất đẳng thức sai Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.2 Các tính chất bất đẳng thức a) Tính chất bắc cầu Với a, b, c  , ta có: a  b  a  c  b  c b) Tính chất đơn điệu phép cộng Với a, b, c  , ta có: a b  a c b c Bài 7: Với  x  CMR: 3  x(1  x) Hướng dẫn: Sử dụng đạo hàm ( tính đơn điệu hàm số) Bài 8: Cho a, b số dương tùy ý: CMR: 3a  2ab  3b  2(a  b ) ab Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi tương Bài 10: Cho ba số thực: x, y, z  CMR: x4 y4 z4    48 ( y  1)2 ( z  1)2 ( x  1) Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki lần Bài 11: Cho số thực a, b, c   0;1 a  b  c  CMR: 1    ab  bc  ca  a  b  c Hướng dẫn: Sử dụng tính chất BĐT Bài 12: Cho a, b hai số thực dương CMR: a b  1 2a  b a  2b Hướng dẫn: Sử dụng tính chất BĐT Bài 13: Chứng minh rẳng: 1 2014     2 2015 2015 Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp quy nạp Bài 14: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 1 1     2 n Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp quy nạp 42 Bài 15: Cho a, b hai số thực dương CMR: a 2b4  2(a  2)b2  4ab  a  4ab3 Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai Bài 16: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn b  c  d CMR: (a  b  c  d )2  8(ac  bd ) Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai Bài 17: Cho a, b, c số thực thỏa mãn 1  a, b, c  a  b  c  CMR: a  b2  c  Bài 18: Cho a, b, c hai số thực dương tùy ý CMR: a ab  b  b bc  c  c ca  a  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki Bài 19: Cho a, b, c hai số thực dương tùy ý CMR: a3 b3 c3 (a  b  c )    b  2c c  2a a  2b Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 43 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 3.1 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình 3.1.1 Lý thuyết Để giải phương trình, hệ phương trình ta đánh giá biểu thức tham gia phương trình, hệ phương trình - Để giải phương trình A  B : • Phương pháp 1: Chứng minh A  B ( A  B ) Dấu “ = ” đạt x0 x0 nghiệm A  B  A  m (1) • Phương pháp 2: Ta đánh giá hai vế phương trình:   B  m (2) Nếu dấu “ = ” (1) (2) đạt x0 x0 nghiệm phương trình A  B - Để giải hệ phương trình: • Phương pháp 1: Từ phương trình hệ, sử dụng đánh giá hai ẩn vào phương trình lại • Phương pháp 2: Kết hợp hai phương trình hệ, sử dụng đánh giá để tìm hệ thức hai ẩn vào phương trình hệ 3.1.2 Bài tập vận dụng Bài 1: Giải phương trình: x    x  x  8x  18 Giải: ĐK:  x  Ta có: ( x    x )  ( x  3)  (5  x)  ( x  3)(5  x)   ( x  3)(5  x)   ( x  3)  (5  x)   x    x  Dấu “ = ” xảy  x  44 (1) Lại có: x  x  18  ( x  4)   Dấu “ = ” xảy  x  Từ (1) (2) suy ra: x  (thỏa mãn đk )là nghiệm phương trình Bài 2: Giải phương trình: 2  x  x9 x 1 Giải: ĐK: x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2    2     x    x   x  2  x        x   x     x         Dấu “ = ” xảy  2  x 1  1 x x 1 Bài 3: Giải phương trình: 13 x  x  x  x  16 Giải: ĐK: 1  x  Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 4(1  x ) x  4(1  x )  x  3x 52  39 x   13 x  x  2 Tương tự, ta có: x 4(1  x )  13x  39 x  12  x2  x4  Từ suy ra: 13 x  x  x  x  52  39 x 39 x  12   16 4  4(1  x )  x 2 x Dấu “ = ” xảy   9 x  4(1  x ) 45 (2)   x 12  y  y (12  x )  12 Bài 4: Giải hệ phương trình:    x  8x   y   x, y   Giải: Ta có hệ:   x 12  y  y (12  x )  12 (1)  (2)   x  8x   y  ĐK: 2  x  3;  y  12 Theo BĐT Cauchy, ta có: x  12  y x 12  y  y  12  x y(12  x )  2 Từ suy ra: x 12  y  y(12  x )  12   x  Dấu “ = ” xảy    y  12  x Thay vào (2) ta có: x3  x   10  x  x3  x   2(1  10  x )   2( x  3)  ( x  3)  x  3x    10  x  Do x  nên x  x   2( x  3)  10  x 0 Suy x    x  Thay vào hệ đối chiếu nghiệm ta nghiệm: ( x; y )  (3;3) 46       x 1  y 1  Bài 5: Giải hệ phương trình:  x  y  xy    Giải: x  ĐK:  y   Ta có:   x 1  y 1   4 x   y   16 (*)   x  y  xy  x  y  xy      Cộng vế theo vế (*) ta có: x  y  xy  x   y   16    ( x  y  xy )  ( x   x   4)  ( y   y   4)   ( x  y )2  ( x   2)  ( y   2)   x y  Dấu “ = ” xảy   x    x  y    y   Thay vào hệ đối chiếu nghiệm ta nghiệm: ( x; y )  (3;3) 3.2 Dùng bất đẳng thức đề tìm cực trị 3.2.1 Lý thuyết Phương pháp: Ta sử dụng bất đẳng thức thông dụng như: BĐT Côsi, BĐT Bunhiacốpxki,… để đánh giá biểu thức P ( hàm số f ( x) ), từ suy giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn cần tìm - Nếu P  m f ( x) có giá trị nhỏ m - Nếu P  M f ( x) có giá trị lớn M Kiểm tra trường hợp xảy dấu đẳng thức để tìm cực trị 47 3.2.2 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:  a  b  c  P  1  1  1    b  c  a  Giải: Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 1 a a 2 b b 1 b b 2 c c 1 c c 2 a a Suy ra: abc  a  b  c   1  1  1    abc  b  c  a  Hay: P  Dấu “ = ” xảy  a  b  c  Vậy GTNN P là: Bài 2: Tìm GTNN hàm số thực sau: f ( x)  1 với  x   x 1 x Giải: Ta có: f ( x)   1 1 x x x   1 x           x 1 x x 1 x 1 x 1 x   x x  1 x x   x 1 x Áp dụng BĐT Cơsi ta có: 48 f ( x)  Dấu “ = ” xảy  1 x x 1 x x  22 24 x 1 x x 1 x 1 x x  x x 1 x Bài 3: Tìm GTLN GTNN của: A  x    x Giải ĐK:  x  Ta có : A2  ( x    x )2   x   x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: A2   x   x   x    x  Suy : 0 A Dấu “ = ” xảy  x    x  x  Vậy GTLN A là: ( thỏa mãn đk) Mặt khác: A2  ( x    x )2   x   x  Vì x   x  nên A   x 1 Dấu “ = ” xảy  ( x  1)(4  x)   ( thỏa mãn đk) x  Vậy GTNN A là: 3.4 Bài tập tương tự Bài 1: Giải phương trình: x  x  x   3x  x  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki để đánh giá 49 Bài 2: Giải phương trình: 27 x  24 x  28 27 1 x6 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Bài 3: Giải phương trình: 32 x  (4 x  1)4  27 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Bài 4: Giải phương trình: 2 13  x  3x     x  x     (5x  12 x  33)   Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki để đánh giá Bài 5: Giải phương trình: x y 1  y x 1  3xy Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Bài 6: Giải phương trình:  x2   1     x   x x  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki để đánh giá Bài 7: Giải phương trình: x   y   z   ( x  y  z  7) Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để đánh giá Bài 8: Giải phương trình: x y 1  y x 1  3xy Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để đánh giá 50 Bài 9: Giải hệ phương trình:   x 1  y 1   x  y  xy    Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để đánh giá Bài 10: Giải hệ phương trình:  x  xy  y    z  yz   Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để đánh giá Bài 11: Giải hệ phương trình: 1     12 x y z  x  y  3z   Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Bài 12: Giải hệ phương trình:  x  y   125 y  125 y  15  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Bài 13: Giải hệ phương trình:  xyz   3 x  y  z  x  y  z  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Bài 14: Giải hệ phương trình:  x4  y xy    x y  ( x  y)    4  x y Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki để đánh giá 51 Bài 15: Giải hệ phương trình:  ( x  y  1)( x  y   xy )  12 xy  2   y 3x  x   x  y  y  xy  Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá Bài 16: Cho a, b hai số dương thỏa mãn a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: F  (a  b3 )2  (a  b )  ab Hướng dẫn: Dựa vào tính chất bất đẳng thức để chứng minh F  15 16 Bài 17: Cho số x, y,z thỏa mãn x( x  1)  y ( y  1)  z ( z  1)  18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B 1   x  y 1 y  z 1 z  x 1 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc bất đẳng thức Cauchy để chứng minh B  Bài 18: Giả sử x, y,z thỏa mãn  x, y, z  x  y  z  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: M  x  y  z  12(1  x)(1  y )(1  z ) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ áp dụng bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh M  3, M  17 Bài 19: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  abc Tìm giá trị lớn biểu thức: S a bc(1  a )  b ca(1  b ) 52  c ab(1  c ) Hướng dẫn: Áp dụng phép biến đổi tương đương bất đẳng thức Cauchy để chứng minh S  Bài 20: Cho số dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức: c(ab  1)2 a(bc  1)2 b(ca  1) S   b (bc  1) c (ca  1) a (ab  1) Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh S  53 PHẦN III KẾT LUẬN Trong trình thực đề tài em cố gắng tìm tòi hệ thống lại số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tiêu biểu hai ứng dụng bất đẳng thức việc giải số toán cực trị phương trình vơ tỉ Ở phương pháp chứng minh bất đẳng thức em đưa kiến thức phần lý thuyết số tập phần vận dụng để em tiếp cận, tư sáng tạo, việc chứng minh bất đẳng thức Các toán đưa phương pháp chứng minh bất đẳng thức mang tính tương đối Vì với tốn có nhiều cách giải khác nhau, khơng dựa vào cách giải chung cho dạng toán mà nhiều lời giải riêng phù hợp với tốn Điều đòi hỏi người học cần phải cố gắng tìm tòi, suy nghĩ để tìm cách giải mới, hay, phù hợp điều vẻ đẹp sáng tạo toán học Sau hồn thành khóa luận này, em mong trở thành tài liệu bổ ích giúp em học sinh bạn ngành tiếp cận, tra cứu tìm hiểu bất đẳng thức cách dễ dàng Do điều kiện thời gian lực nghiên cứu thân hạn chế nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Bản thân em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài em hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Kế Tam thầy cô giáo Khoa Khoa học Tự nhiên có ý kiến đóng góp giúp em hồn thành khóa luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Kim Hùng (2010), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội [2] Trần Đức Tuyên (1993), Bất đẳng thức, NXB Trẻ [3] Võ Giang Mai (2002), Chuyên đề bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] www.diendantoanhoc.net [5] www.toanmath.com [6] www.toanhoc247.com 55 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN Giảng viên hướng dẫn (Ký, ghi rõ họ tên) NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN Phản biện (Ký, ghi rõ họ tên) NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN Phản biện (Ký, ghi rõ họ tên) 56 ... tắt số kiến thức lý thuyết mà học sinh cần nắm để sử dụng trình chứng minh bất đẳng thức Chương 2: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ...  b ” gọi bất đẳng thức a gọi vế trái, b vế phải bất đẳng thức Cũng mệnh đề logic khác, bất đẳng thức sai Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức 1.2 Các tính chất bất đẳng thức a) Tính... sử dụng linh hoạt tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức cần chứng minh Để chứng minh bất đẳng thức không sử dụng tính chất mà sử dụng nhiều tính chất bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức