Sáng kiến kinh nghiệm một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

sở giáo dục đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, / 2011 sở giáo dục đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, / 2011 mở đầu Giải ph-ơng trình toán có nhiều dạng giải linh hoạt, với nhiều học sinh kể học sinh đ-ợc cho giỏi nhiều lúng túng tr-ớc việc giải ph-ơng trình; có ph-ơng trình chứa thức đ-ợc coi khó Nên chọn đề tài: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình vô tỷ để làm sáng kiến kinh nghiệm Với mục đích mong muốn đề tài góp phần giúp học sinh có thêm kỹ cần thiết để giải ph-ơng trình chứa thức nói riêng dạng ph-ơng trình nói chung, đồng thời mong muốn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm đến môn toán Kiến thức thể sáng kiến kinh nghiệm hoàn toàn ch-ơng trình Toán bậc THPT hành Một phần sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để chuyển sang phần bất ph-ơng trình đ-ợc; xong chuyển sang bất ph-ơng trình có phần đ-ợc mở rộng để có toán hay Do ng-ời nghiên cứu sử dụng sáng kiến kinh nghiệm vào nhiều mục đích giáo dục khác đ-ợc Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm có ph-ơng pháp giải toán khác Nguyn Quc Hon THPT Nguyn Gia Thiu Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình vô tỷ Bi toỏn m u x x2 x x (*) (Trớch H QGHN, A nm 2000) Gii iu kin x * Cỏch 1: (*) 2 x x x x 4 x x2 x x2 x x x x Gii phng trỡnh x x2 x x2 x x2 x x2 x x2 x x2 x x x x x x x x x x x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x * Cỏch 2: Nhn xột: x x c biu din qua x x x v x nh vo ng thc x x2 Vy cú cỏch t t x x , t H1 Nguyn Quc Hon THPT Nguyn Gia Thiu t2 xx Phng trỡnh (*) tr thnh t2 t 3t t t , khụng tho t t 3t t x x x x x2 x x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x t 1, cú * Cỏch 3: Nhn xột: x v x cú mi quan h c bit, c th x x Vy ta cú cỏch T (*) ta cú x x x x 3 x x 9 vỡ thay x vo phng trỡnh khụng tho món) 4 3t t t x , nờn x 2t x (x 3t Li cú x x , nờn t t 2 2 t 4t 12t 9t 18t 4t 12t 2 4t 12t 14t 6t t 2t 6t 7t t t 2t 4t t x t x x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x * Cỏch 4: Cựng nhn xột trờn, ta cú thờm cỏch khỏc a 0, b t a x , b x , ab a b 2ab a b Ta cú h phng trỡnh a b a b 2ab H2 (1) (2) Nguyn Quc Hon THPT Nguyn Gia Thiu Thay (1) vo (2) cú a b a b a b a b Vi a b 1, cú a b a b a b a b a b x x 3 Vi a b , cú a b , khụng tn ti a , b (Vỡ 22 ) 2 x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x Nhn xột: bn cht ca cỏch gii ny l cỏch t n ph cỏch * Cỏch 5: Cng nh x x Ta cú thờm cỏch sau: t x sin a , 0a 1, ta ngh n ng thc sin a cos2 a 2 Phng trỡnh (*) tr thnh sin a sin a sin a sin a 2sin a.cos a 3sin a 3cos a (Vỡ cos a ) sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin a +cos a a a a a a a sin a cos a 2sin cos 2sin sin cos sin 2 2 2 a a sin a 2sin cos a 2 sin x a tan sin a x tan a a tan x 0, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 0, x Qua vớ d trờn ta thy cú rt nhiu cỏch khỏc gii mt phng trỡnh vụ t Tuy nhiờn cỏc cỏch ú u da trờn c s l loi b cn thc v a v phng trỡnh n gin hn m ta ó bit cỏch gii Sau õy tụi xin i vo mt s phng phỏp c th H3 Nguyn Quc Hon THPT Nguyn Gia Thiu Phng phỏp 1: Phng phỏp bin i tng ng Bi toỏn 1: Gii cỏc phng trỡnh sau 1) x 17 3x 2) x 3x (1) (2) x x x3 x x (3) 3) 4) x2 x2 3x x 8x (4) 3 5) 12 x 12 x x (5) 6) x x (6) Bi toỏn 2: Tỡm m phng trỡnh x 2mx m (I), cú nghim Bi toỏn 3: Tỡm m phng trỡnh x m x (II), cú hai nghim phõn bit Bi toỏn 4: Gii cỏc phng trỡnh 1) x x x 3x (1) 2) x 3x x x (2) 3) x x3 x x2 x x (3) x3 x3 4) x x (4) x 4x 5) x 3x x x (5) Gii Bi toỏn 1) Nhn xột: ta thy v trỏi luụn khụng õm, ú nu v phi õm thỡ phng trỡnh vụ nghim, nờn ta ch cn gii phng trỡnh v phi khụng õm, tc l 1 3x x Khi ú hai v u khụng õm v bỡnh phng hai v ta c phng trỡnh tng ng: x 17 3x vi x Do vy ta khụng cn t iu kin cho x 17 (1) x x x 17 3x x 17 x x x x x 16 x x 16 x Vy phng trỡnh cú mt nghim x H4 x Nguyn Quc Hon THPT Nguyn Gia Thiu f ( x) g ( x) Ta lm nh sau Chỳ ý: Dng tng quỏt ca phng trỡnh trờn l g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Bi toỏn ny cú th gii bng cỏch t n ph t x 17 vi t 2) iu kin x (2) x 3x x x 3x x x x x x x x x 2x x32 x x x Vy phng trỡnh cú mt nghim x x x x 3x x , tha iu kin x x 3) 3 x x x x x x x 3x x 1 x 3x 3 x x (1 3x) x x x x x x x x x x x x x x x , tha iu kin x x Vy phng trỡnh cú mt nghim x (3) Chỳ ý: x x x3 x Trong bi ny ta khụng cn t iu kin x x H5 Nguyn Quc Hon THPT Nguyn Gia Thiu x 4) iu kin x x (4) x x 3x x2 8x x2 x2 3x x x 3x x 8x x x x x x 5x x x x x x x 2 2 x x x x x x 2 x x x x 12 x 36 x x 3x 16 x 44 x x x 22 x x x x 1, x tho iu kin Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 1, x Chỳ ý : Bi ny cú th gii bng cỏch nh sau (4) x x x x x x * Trng hp 1: x , tha phng trỡnh (4) * Trng hp 2: x 1, phng trỡnh (4) tr thnh x x x x x x x x x 2 x x x H6 x x x2 x x x 3x 16 x 44 x7 Nguyn Quc Hon THPT Nguyn Gia Thiu x x2 x2 22 x x , tha iu kin trng hp * Trng hp 3: x , phng trỡnh (4) tr thnh x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Phng trỡnh vụ nghim (Vỡ x x x 0, x ) * Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 1, x Nhn xột: Khi gii bng cỏch ny thng mc sai lm: ng thc Cũn (5) 5) ab a b ab a b a v b ab a b a v b x 12 x 12 x 3 x x 12 x 12 x 3 12 x 12 x 3 12 x 12 x x 12 x 12 x 3 12 x 12 12 x x 3 x 3( x 1) (5*) 12 x x x 27 x x x 3x x x +1 x x x x x x x x Thay x 1, x vo phng trỡnh (5) u tho Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x 1, x Chỳ ý : (5*) l khụng tng ng, (5*) l phng trỡnh h qu ca phng trỡnh (5) Do ú nghim ca phng trỡnh (5*) phi c thay vo phng trỡnh (5) kim tra li H7