Dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông

TH VIN B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Lấ THNH T DY HC GII HN HU HN CA HM S TRNG PH THễNG Chuyờn ngnh : Lý lun v phng phỏp dy hc Toỏn Mó s : 60 14 10 LUN VN THC S GIO DC HC NGI HNG DN KHOA HC TS Lấ THI BO THIấN TRUNG Thnh ph H Chớ Minh 2010 LI CM N T ụi xin trõn trng cm n PGS TS Lờ Th Hoi Chõu, PGS TS Lờ Vn Tin, TS Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung, TS Trn Lng Cụng Khanh ó b nhiu thi gian v cụng sc ging dy, truyn th cho chỳng tụi nhng tri thc cn thit v quan trng ca b mụn didactic Toỏn, giỳp chỳng tụi cú hnh trang tip thu b mụn didactic Toỏn ny Tụi cng xin chõn thnh cm n: Ban lónh o v chuyờn viờn Phũng Khoa hc cụng ngh - Sau i hc Trng HSP Thnh ph H Chớ Minh Ban ch nhim v cỏc ging viờn Khoa Toỏn Trng HSP Thnh ph H Chớ Minh Tt c nhng hc viờn cựng khúa ó giỳp tụi hc v nghiờn cu v b mụn didactic Toỏn sut khúa hc Ban Giỏm hiu cựng cỏc Thy Cụ t Toỏn Trng THPT Bự ng ó to nhiu iu kin v giỳp tụi cú thi gian hc v tin hnh nghiờn cu thc hnh ging dy gii hn hu hn ca hm s ca giỏo viờn c bit, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh n TS Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung, ngi ó nhit tỡnh hng dn tụi thc hin v hon thnh lun ny Cui cựng, tụi xin c chia s nim hnh phỳc n nhng ngi thõn yờu gia ỡnh, nhng ngi ó v luụn ng viờn tụi sut quỏ trỡnh hc TễI XIN CHN THNH CM N Lờ Thnh t DANH MC CC CH VIT TT BT : Bi CLHN : Chnh lớ hp nht CT : Chng trỡnh GD & T : Giỏo dc v o to GV : Giỏo viờn HS : Hc sinh THPT : Trung hc ph thụng SGK : Sỏch giỏo khoa SGK M : Sỏch giỏo khoa M SGK 11.CB : Sỏch giỏo khoa 11 c bn SGK 11.CLHN : Sỏch giỏo khoa 11 chnh lớ hp nht nm 2000 SGK 11.NC : Sỏch giỏo khoa 11 nõng cao SGK 12.CB : Sỏch giỏo khoa 12 c bn SGK 12.NC : Sỏch giỏo khoa 12 nõng cao VD : Vớ d T VN I Nhng ghi nhn ban u v cõu hi xut phỏt Trong li ta ca tỏc phm Vers linfini pas pas, approche heuristique de lanalyse Manuel pour lộlốve Bruxelles : De Boeck (Nhúm AHA, 1999), mt cõu hi c t : Gii tớch toỏn hc l gỡ? Theo cỏc tỏc gi ca Group AHA : Gii tớch c xõy dng qua nhiu th k v thụng qua nhiu khỏc nhau, ú phn ln cỏc liờn quan n Vt lớ (vn tc tc thi, gia tc) v Hỡnh hc (bi toỏn tip tuyn, tim cn, din tớch v th tớch) ng thi c nhỡn nhn theo hai hng : cú th c nhỡn rt gn (qua tip tuyn), cú th nhỡn rt xa (qua vic nghiờn cu cỏc hnh vi tim cn) Suy cho cựng chớnh l khỏi nim gii hn [] Nh vy, khỏi nim gii hn chớnh l khỏi nim c bn ca Gii tớch thc Khng nh ny cng c th hin mt cỏch khỏ rừ rng chng trỡnh toỏn hc ph thụng Vit Nam vi vai trũ l cụng c nghiờn cu cỏc khỏi nim c s ca Gii tớch nh : khỏi nim hm s liờn tc, khỏi nim o hm, khỏi nim ng tim cn Trong chng trỡnh hin hnh hon ton vng mt ngụn ng ; nh ngha gii hn ca dóy s v gii hn ca hm s Bờn cnh ú chỳng tụi ghi nhn s cú mt ca nhng hot ng v kiu bi toỏn xp x nghiờn cu khỏi nim gii hn b sỏch giỏo khoa c bn, ng thi mỏy tớnh b tỳi c chng trỡnh hin hnh s dng mt cỏch chớnh thc tớnh cỏc giỏ tr gn ỳng Trong lun thc s ca Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung (2004), tỏc gi ó xõy dng mt ỏn didactic vi mc tiờu ging dy khỏi nim gii hn hm s quan im xp x v mụi trng mỏy tớnh b tỳi vi gi thuyt cụng vic : Cỏc xp x s cho phộp hiu c ngha ca khỏi nim gii hn theo ngha topo cú mt mt cỏch hỡnh thc nh ngha bng ; : quan im xp x c xut hin nh cỏc thc nghim s. (trang 33) Trong thc t dy hc trng ph thụng, giỏo viờn v hc sinh chc chn gp nhiu khú khn t chc dy v hc khỏi nim gii hn thụng qua cỏc bi toỏn xp x cú mt chng trỡnh hin hnh, vỡ õy l mt nhng im mi so vi cỏc chng trỡnh trc ú Nhng nhn xột trờn dn chỳng tụi ti cõu hi u sau : - Nu khụng s dng ngụn ng ; nh ngha gii hn dóy s v gii hn hm s, thỡ vic gii thiu khỏi nim gii hn hu hn ca hm s c th ch hin hnh t chc thc hin nh th no ? - Nhng bi toỏn xp x no c xut hin cỏc sỏch giỏo khoa hin hnh xõy dng v trỡnh by khỏi nim gii hn hu hn ca hm s ? Nhng khú khn v thun li no giỏo viờn v hc sinh cú th gp phi lm vic trờn nhng bi toỏn ny ? Cỏc ni dung liờn quan n tri thc gii hn hm s c chng trỡnh hin hnh sp xp trỡnh by mt cỏch rừ rng vi hai ch riờng bit : gii hn hu hn ca hm s - gii hn vụ cc ca hm s thụng qua cỏc hot ng c th xõy dng v hỡnh thnh cỏc khỏi nim Trong gii hn v thi gian v khuụn kh ca mt lun thc s v nghiờn cu cú th hon thnh tt, chỳng tụi gii hn phm vi nghiờn cu ca mỡnh vo khỏi nim gii hn hu hn ca hm s II Khung lớ thuyt tham chiu Chỳng tụi t nghiờn cu ca mỡnh phm vi ca Didactic Toỏn C th, im ta lý thuyt s l nhng khỏi nim c bn ca lý thuyt nhõn chng hc Sau õy chỳng tụi trỡnh by mt cỏch túm tt nhng khỏi nim lý thuyt c bn m chỳng tụi s dng cho nghiờn cu ca mỡnh lun Mt s yu t ca thuyt nhõn hc Nhng thut ng c bn O : i tng X : cỏ nhõn I : th ch R(X, O) : quan h cỏ nhõn ca X vi O R(I, O) : quan h th ch vi O Mt i tng l mt cỏi gỡ ú tn ti ớt nht i vi mt cỏ nhõn hay vi mt th ch Quan h ca cỏ nhõn X vi mt i tng tri thc O, ký hiu R(X, O) l hp nhng tỏc ng qua li m X cú th cú vi O nh: thao tỏc nú, s dng nú, ngh v nú, núi v nú, R(X, O) ch rừ cỏch thc m X bit v O, v tựy theo thi gian v hon cnh m mi quan h R(X, O) ny cú th thay i Theo thi gian, h thng cỏc mi quan h cỏ nhõn ca X tin trin : nhng i tng trc õy khụng tn ti i vi X bõy gi bt u tn ti, mt s khỏc ngng tn ti, i vi nhng i tng khỏc thỡ quan h cỏc nhõn ca X thay i Trong s tin trin ny, cỏi bt bin l cỏ nhõn, cỏi thay i l ngi (Chavallard 1992) Theo quan im ny, vic hc ca cỏ nhõn X v i tng tri thc O l s iu chnh mi quan h ca X i vi O Hoc quan h ny bt u c thit lp (nu nú cha tng tn ti), hoc b bin i (nu nú ó tn ti) S hc ny lm thay i ngi Th nhng, mt cỏ nhõn khụng th tn ti c lp õu ú m luụn luụn phi ớt nht mt th ch I, t ú dn n vic thit lp hay bin i mi quan h R(X,O) phi c t mt th ch I no ú cú s tn ti ca X, nh vy gia I v O cng phi cú mt quan h xỏc nh gi l quan h th ch vi i tng O, ký hiu l R(I, O) Quan h ny l mt rng buc (th ch) i vi quan h ca mt cỏ nhõn vi cựng i tng O, cỏ nhõn l ch th ca th ch I v nú ph thuc vo v trớ m cỏ nhõn chim th ch I Chevallard dựng thut ng quan h th ch I vi tri thc O, ký hiu R(I,O), ch hp cỏc mi rng buc m th ch I cú vi tri thc O R(I, O) cho bit O xut hin õu, bng cỏch no, tn ti sao, úng vai trũ gỡ I Trong mt th ch I, quan h R(X,O) hỡnh thnh hay thay i di cỏc rng buc ca R(I,O) T chc toỏn hc Theo Chavallard, mi praxộologie l mt b gm thnh phn T , , , ú : T l mt kiu nhim v phi gii quyt, l k thut cho phộp gii quyt T, l cụng ngh cho phộp gii thớch k thut , l lý thuyt gii thớch cho , ngha l cụng ngh ca cụng ngh Mt praxộologie m ú T l kiu nhim v toỏn hc c gi l mt t chc toỏn hc (organisation mathộmatique), ký hiu l OM Theo Bosch.M v Chevallard.Y, vic nghiờn cu mi quan h th ch I vi mt i tng tri thc O cú th c tin hnh thụng qua nghiờn cu cỏc t chc toỏn hc gn lin vi O Mi quan h th ch vi mt i tng [] c nh hỡnh v bin i bi mt hp nhng nhim v m cỏ nhõn [chim mt v trớ no ú th ch ny] phi thc hin, nh vo nhng k thut xỏc nh (Bosch M v Chevallard Y., 1999) Hn th, cng theo Bosch M v Chevallard.Y, vic nghiờn cu cỏc t chc toỏn hc gn lin vi O cũn cho phộp ta hỡnh dung c mt s yu t ca quan h cỏ nhõn ca mt ch th X tn ti O, bi vỡ : Chớnh vic thc hin nhng nhim v khỏc m cỏ nhõn phi lm sut cuc i mỡnh nhng th ch khỏc nhau, ú nú l mt ch th (ln lt hay ng thi), dn ti lm ny sinh mi quan h cỏ nhõn ca nú vi i tng núi trờn T chc didactic T chc didactic l mt praxộologie, ú kiu nhim v cu thnh nờn nú l kiu nhim v thuc loi nghiờn cu C th hn, mt t chc didactic l mt cõu tr li cho cõu hi thuc kiu nghiờn cu tỏc phm O nh th no ? Theo Chevallard, phõn tớch thc hnh ca giỏo viờn, nh nghiờn cu cn phi tr li hai cõu hi : Lm th no mụ t v phõn tớch mt t chc toỏn hc c xõy dng mt lp hc c th ? Lm th no mụ t v phõn tớch mt t chc didactic m mt giỏo viờn ó trin khai truyn bỏ mt t chc toỏn hc c th mt lp hc c th? Cụng c lý thuyt m Chevallard a giỳp nh nghiờn cu tr li hai cõu hi trờn chớnh l khỏi nim cỏc thi im nghiờn cu Theo ụng, dự khụng phi l mi t chc toỏn hc u c t chc nghiờn cu theo mt cỏch thc nht, thỡ cú mt s nhng thi im nghiờn cu nht thit phi cú mt cho dự di nhng hỡnh thc rt khỏc C th, ụng cho rng mt tỡnh hc núi chung bao gm thi im nghiờn cu (moment dộtude) hay thi im didactic (moment didactique) Thi im th nht : l thi im gp g ln u tiờn vi t chc toỏn hc OM c din di hỡnh thc thụng bỏo hoc di hỡnh thc gii quyt mt kiu nhim v c th ú chớnh l mc tiờu t cho vic hc liờn quan n i tng O S gp g nh vy cú th xy theo nhiu cỏch khỏc Tuy nhiờn, cú mt cỏch gp (hay ô gp li ằ) hu nh khụng th trỏnh l cỏch gp thụng qua mt hay nhiu kiu nhim v Ti cu thnh nờn O (tr ngi ta cha thc s quan tõm n vic nghiờn cu O) S ô gp g ln u tiờn ằ vi kiu nhim v Ti cú th xy qua nhiu ln tựy vo mụi trng toỏn hc v didactic to s gp g ny, c th : ngi ta cú th khỏm phỏ li mt kiu nhim v ging nh khỏm phỏ li mt ngi m ngi ta ngh rng mỡnh ó bit rừ Cú hai cõu hi cn xem xột thi im ny : Cỏi gỡ c gp ln gp u tiờn vi t chc toỏn hc liờn quan n O? Ln gp u tiờn cú th xy di nhng hỡnh thc no? Thi im th hai : l thi im nghiờn cu kiu nhim v Ti v xõy dng nờn mt k thut i cho phộp gii quyt kiu nhim v ny c din di cỏc hỡnh thc: giỏo viờn thụng bỏo k thut v hc sinh gii quyt nhim v, hc sinh t xõy dng k thut gii quyt nhim v, Nh th, nghiờn cu mt bi toỏn cỏ bit, lm mu cho kiu nhim v cn nghiờn cu, l mt cỏch thc tin hnh trin khai vic xõy dng k thut tng ng K thut ny li l phng tin v cụng c gii quyt mi bi toỏn cựng kiu Thi im th ba : l thi im xõy dng mụi trng cụng ngh - lý thuyt [/] liờn quan n i , ngha l to nhng yu t lý thuyt cho phộp gii thớch k thut ó c thit lp Thi im th t : l thi im lm vic vi k thut Thi im ny l thi im hon thin k thut bng cỏch lm cho nú tr nờn hiu qu nht, cú kh nng hnh tt nht vic gii quyt kiu nhim v liờn quan, iu ny núi chung thng ũi hi chnh sa li cụng ngh ó c xõy dng cho n lỳc ú ng thi õy cng l thi im lm tng kh nng lm ch k thut bng cỏch cho hc sinh lm vic vi mt s nhim v khỏc thuc kiu nhim v ny, lm c iu ny ũi hi phi xột mt hp thớch ỏng c v s lng ln cht lng cỏc nhim v Thi im th nm : l thi im th ch húa Mc ớch ca thi im ny l ch mt cỏch rừ rng cỏc kiu bi toỏn liờn quan n kiu nhim v, cỏc k thut c u tiờn gii, cỏc yu t cụng ngh - lý thuyt ca k thut ú, c bit, phi phõn bit nhng yu t ca t chc toỏn hc ó tham gia vo quỏ trỡnh xõy dng ny vi nhng yu t ca t chc toỏn hc thc s mun nhm n, s phõn bit ny c th hin qua vic hc sinh tỡm cỏch lm rừ s cn thit phi bit hay khụng mt kt qu ca mt bi toỏn hay mt quy trỡnh no ú Thi im th sỏu : l thi im ỏnh giỏ Thi im ny cú mc ớch xem xột tm nh hng ca cỏc k thut liờn quan vi kiu nhim v : k thut no cú th gii quyt c phn ln cỏc nhim v thuc kiu nhim v trờn ? K thut no d s dng ? Thi im ỏnh giỏ ni khp vi thi im th ch húa Trong thc t, vic dy hc phi i n mt thi im m ú ngi ta phi ôim li tỡnh hỡnhằ : cỏi gỡ ó hc c, cỏi gỡ cú giỏ tr, Sỏu thi im nghiờn cu nờu trờn cho phộp mụ t k thut thc hin kiu nhim v T : dy mt t chc toỏn hc nh th no ? Phõn tớch mt t chc didactic cú ngha l phõn tớch cỏch thc m sỏu thi im nghiờn cu trờn ó c thc hin (hay khụng c thc hin) Trong ú ba thi im u tng ng vi giai on nghiờn cu bi hc ca hc sinh ỏnh giỏ mt t chc toỏn hc ỏnh giỏ cỏc kiu nhim v : vic ỏnh giỏ da trờn cỏc tiờu chun Tiờu chun xỏc nh: cỏc kiu nhim v Ti ó c nờu rừ cha, c bit ó c th hin qua hp s lng mu nhiu v sn cú s dng cha ? Hay ngc li, chỳng ch c bit n qua mt vi mu tiờu biu? Tiờu chun v lý tn ti : lý tn ti ca cỏc kiu nhim v Ti ó c núi rừ cha ? Hay ngc li, chỳng dng nh khụng cú lý gỡ tn ti ? Tiờu chun tha ỏng : nhng kiu nhim v c xem xột cú tha ỏng vi nhu cu toỏn hc ca hc sinh hin ti v tng lai hay khụng ? Hay ngc li, dng nh chỳng rt bit lp vi cỏc nhu cu toỏn hc ca hc sinh ? ỏnh giỏ k thut : K thut c ngh gii quyt kiu nhim v Ti ó thc s c xõy dng cha, hay ch mi l phỏc tho ? Nú cú d s dng v d hiu khụng ? Nú cú gii quyt c phn ln cỏc nhim v thuc kiu nhim v c th khụng ? Tng lai ca nú v nú cú th tin trin theo mt cỏch thc thớch hp hay khụng ? ỏnh giỏ cụng ngh : Vi mt thụng bỏo c a gii thớch cho k thut thỡ gii thớch nú cú c t hay khụng ? Hay ngi ta tha nhn thụng bỏo ny mt cỏch hin nhiờn, ó c bit rừ ? Cỏc hỡnh thc gii thớch m ngi ta ó s dng cú gn gi v d hiu vi cỏc hỡnh thc chun toỏn hc khụng ? Cỏch gii thớch ú cú phự hp vi hon cnh v iu kin s dng nú khụng ? III Phng phỏp nghiờn cu Vi khung lý thuyt tham chiu trờn, phng phỏp nghiờn cu m chỳng tụi la chn l : - Tng hp mt s kt qu nghiờn cu v khoa hc lun lch s ca khỏi nim gii hn lm rừ cỏc c trng khoa hc lun ca khỏi nim ny, qua ú ghi nhn mt s kt qu nghiờn cu th ch i vi khỏi nim gii hn trc õy dựng lm c s tham chiu cho vic nghiờn cu th ch hin hnh - Phõn tớch v so sỏnh chng trỡnh - SGK hin hnh vi chng trỡnh - SGK chnh lớ hp nht nm 2000 lm rừ nhng tin trin ca th ch hin hnh vic dy hc gii hn hu hn ca hm s so vi cỏc th ch trc Bờn cnh ú phõn tớch mt b SGK M lm c s tham chiu so sỏnh vic xõy dng v trỡnh by tri thc gii hn hu hn vi cỏc b SGK Vit Nam, nhm lm rừ nhng la chn s phm khỏc cú th s dng vic ging dy khỏi nim gii hn hu hn ca hm s trng ph thụng T ú cho phộp xõy dng v b sung t chc toỏn hc mi cho th ch Vit Nam di ỏnh sỏng ca kt qu phõn tớch tri thc lun - Tin hnh quan sỏt v xõy dng protocol nhng tit dy ca giỏo viờn cú ni dung liờn quan n vic ging dy gii hn hu hn ca hm s ( gúc l i tng nghiờn cu), sau ú phõn tớch v ỏnh giỏ cỏc t chc toỏn hc, t chc didactic ca cỏc tit hc c quan sỏt Trong phn ny chỳng tụi s lm rừ cỏc : Cỏc t chc toỏn hc c giỏo viờn xõy dng tit dy Cỏc thi im nghiờn cu cu thnh nờn t chc didactic m giỏo viờn trin khai xõy dng cỏc t chc toỏn hc ú ỏnh giỏ cỏc t chc toỏn hc c giỏo viờn xõy dng lp hc IV T chc ca lun Lun gm phn : PHN T VN Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by nhng ghi nhn ban u v cõu hi xut phỏt, khung lý thuyt tham chiu, phng phỏp nghiờn cu v t chc nghiờn cu ca lun CHNG Trỡnh by túm tt cỏc kt qu nghiờn cu khoa hc lun ó cú ca khỏi nim gii hn, qua ú lm rừ cỏc c trng khoa hc lun ca khỏi nim gii hn lch s tin trin ca nú ng thi nờu lờn cỏc t chc toỏn hc tham chiu liờn quan n khỏi nim gii hn ca hm s Trong chng gm cỏc mc : 1.1 c trng khoa hc lun ca khỏi nim gii hn 1.2 Tng hp cỏc kt qu nghiờn cu v khỏi nim gii hn chng trỡnh ci cỏch giỏo dc v chng trỡnh chnh lớ hp nht nm 2000 1.3 Nghiờn cu cỏc ỏn didactic ó c xõy dng 1.4 Mt s kt lun v cõu hi nghiờn cu Q1 CHNG Phõn tớch chng trỡnh v sỏch giỏo khoa Toỏn ph thụng lm rừ mi quan h th ch vi khỏi nim gii hn hu hn ca hm s u tiờn, chỳng tụi phõn tớch b sỏch giỏo khoa ca chng trỡnh chnh lớ hp nht nm 2000 v hai b sỏch giỏo khoa ca chng trỡnh hin hnh, qua ú lm rừ mi quan h th ch vi gii hn hu hn ca hm s, ng thi cng lm rừ nhng tin trin vic dy hc gii hn hu hn ca hm s th ch hin hnh so vi cỏc th ch trc Tip theo, chỳng tụi i phõn tớch mt b sỏch giỏo khoa M lm rừ cỏc rng buc ca th ch v hp ng didactic gn lin vi gii hn hu hn ca hm s ng thi so sỏnh v tng hp vi vic nghiờn cu th ch Vit Nam, qua ú cỏc gi thuyt nghiờn cu nh l h qu ca vic phõn tớch khoa hc lun chng v phõn tớch quan h th ch chng Trong chng ny gm cỏc mc : 2.1 Phõn tớch chng trỡnh 2.2 Phõn tớch sỏch giỏo khoa 2.3 Kt lun v so sỏnh 2.4 Cõu hi nghiờn cu Q2 v gi thuyt nghiờn cu CHNG Trỡnh by vic nghiờn cu thc t ging dy gii hn hu hn hm s ca giỏo viờn Vit Nam thụng qua vic : phõn tớch t chc toỏn hc cn ging dy v t chc didactic m giỏo viờn s dng ging dy cỏc khỏi nim gii hn hu hn Qua ú kim chng tớnh tha ỏng ca cỏc gi thuyt nghiờn cu m chỳng tụi ó t cui chng Trong chng gm cỏc mc : 3.1 Cỏc t chc toỏn hc cn xõy dng 3.2 T chc didactic m giỏo viờn s dng ging dy cỏc khỏi nim gii hn hu hn 3.3 ỏnh giỏ t chc toỏn hc 3.4 Mt s kt lun KT LUN Túm tt nhng kt qu t c chng 1, chng 2, chng xut hng nghiờn cu cú th m t lun ny TI LIU THAM KHO PH LC CHNG TNG HP CC KT QU NGHIấN CU KHI NIM GII HN V CC VN T RA Mc tiờu ca chng Chng ny cú mc tiờu l : túm li tt nhng c trng khoa hc lun ca khỏi nim gii hn lch s ó c tng hp t cỏc cụng trỡnh nghiờn cu trc õy; Ghi nhn mt s kt qu ni bt t vic phõn tớch mi quan h th ch vi khỏi nim gii hn ca hm s chng trỡnh chnh lớ hp nht T ú chỳng tụi s dng cỏc kt qu ny lm c s tham chiu cho vic nghiờn cu th ch hin hnh v t cỏc cõu hi nh hng cho nghiờn cu chng Chỳng tụi trung tham kho v phõn tớch hai cụng trỡnh nghiờn cu nc v khỏi nim gii hn (2004) : Mt l lun thc s ca Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung; Hai l lun thc s ca Nguyn Thnh Long Ghi nhn cỏc kt qu v s vụ hn lun thc s ca Nguyn Th Phng Mai (2005), cỏc kt qu liờn quan n khỏi nim gii hn lun ỏn ca Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung (2007) 1.1 c trng khoa hc lun ca khỏi nim gii hn 1.1.1 Chng ngi khoa hc lun chớnh ca khỏi nim gii hn ú chớnh l khớa cnh vụ tn (vụ hn) khỏi nim ny Tin trỡnh vụ hn khỏi nim gii hn ch l mt trng hp c bit ca khỏi nim vụ hn núi chung Nh vy cú nhng quan nim th no v s vụ hn ? T vic phõn tớch v tng hp cỏc kt qu ca mt s cụng trỡnh nghiờn cu v khoa hc lun lch s ca khỏi nim vụ hn, lun ca Nguyn Th Phng Mai (2005), tỏc gi ó rỳt nhng quan im khỏc v vụ hn : ô Vụ hn ch mt dng vt cht khụng xỏc nh l c s u tiờn ca th gii Vụ hn i vi cỏc s l mt s ln hn tt c cỏc s hoc nh hn tt c cỏc s Vụ hn l mt quỏ trỡnh liờn tc, khụng cú im kt thỳc Vụ hn l ph nh ca hu hn Vụ hn l mt cỏi gỡ ú khụng cú b, mờnh mụng, vt qua tt c nhng gii hn ó bit, khụng xỏc nh c ranh gii Vụ hn c hiu mt cỏch trc giỏc bng hỡnh nh xa hai u ca mt ng thng Vụ hn l i lng dựng ch lc lng ca mt hp vụ hn ằ [8, tr.19-20] i vi mt tin trỡnh vụ hn thỡ cỏc quy tc i s i vi cỏc tin trỡnh hu hn khụng cũn hp thc Vic dng vụ tỡnh nhng quy tc ca hu hn vo quỏ trỡnh vụ hn ó dn n sai lm th hin qua mt s nghch lớ nh : ô Nghch lý Asin ui rựa : Gi s A-sin chy vi tc 100km/h, rựa chy vi tc 1km/h Lỳc xut phỏt, rựa cỏch A-sin quóng ng l 100km Hi nu A-sin v rựa xut phỏt cựng mt lỳc thỡ A-sin cú ui kp rựa khụng? D Zenon lý gii rng, A-sin chy n v trớ A (100km) thỡ rựa ó chy n v trớ A1 (1km), A-sin chy n A1 thỡ rựa ó chy n v trớ A2 ( km ), Do vy A-sin khụng bao gi ui kp rựa Nghch lớ ny 100 xut phỏt t quan nim cho rng tng ca mt dóy s vụ hn khụng th l mt s hu hn ằ [8, tr.10] ô Nghch lớ chia ụi : Nu cú th ct ụi mt i tng, bng cỏch lp quy trỡnh ny mt cỏch vụ hn, thỡ v mt Toỏn hc luụn cũn li mt on no ú Ngc li v mt vt lý ta bit rng s cú mt thi im ta khụng cũn cú th ct ụi c na! Khú khn l ch ta khụng th tr mt s vụ hn cỏc di ngy cng v khú khn quan nim tng ny cú th l mt s hu hn ằ [8, tr.7] ô Nghch lớ = : Xột S = + + + Ta cú : S = (1 1) + (1 1) + + (1 1) + = (1) S = + (-1 + 1) + (-1 + 1) + + (-1 + 1) + = (2) T (1) v (2) suy = 0! Nghch lý -2 l s dng: Cho n 3 x (3) 2 x n 3 (4) 2 x l tng cỏc s dng nờn x > Nhng ly (3) (4) ta cú x = -2 hay -2 l s dng! ằ [6, tr.121] Cỏc nghch lớ trờn ch rng cỏc phộp toỏn v quy tc i s khụng hon ton hp thc cho vic nghiờn cu cỏc quy trỡnh vụ hn Trong lun ca mỡnh, tỏc gi Nguyn Th Phng Mai cng a mt nhn nh : Vi khỏi nim gii hn thỡ vụ hn cú vai trũ va nh mt chng ngi va nh mt ng c Khụng th hiu c khỏi nim gii hn nu khụng cú quan nim tha ỏng v vụ hn. [8, tr.9] 1.1.2 Cỏc quan im khoa hc lun v khỏi nim gii hn ca hm s Da vo vic phõn tớch v tng hp cỏc kt qu nghiờn cu v lch s hỡnh thnh v phỏt trin khỏi nim gii hn ca cỏc tỏc gi nc, cú ba quan im khoa hc lun v khỏi nim gii hn ca hm s lim f ( x) l ó c trỡnh by lun ỏn ca Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung xa (2007), sau tỏc gi tng hp cỏc kt qu nghiờn cu ca Cornu B (1983) v Trouche (1996) : ô Quan im i s : Theo quan im ny khỏi nim gii hn ch l vic tớnh toỏn cỏc gii hn bng cỏc quy tc i s Tht vy, quan im ny cho phộp thao tỏc trờn cỏc nh lớ v s dng cỏc kt qu liờn quan n cỏc gii hn thụng dng m khụng cn lm rừ bn cht ca khỏi nim Quan im ny l kt qu ca vic mụ hỡnh húa cỏc quy tc i s v s chuyn qua gii hn cỏc phộp toỏn hm s Nú cho phộp trỏnh vụ hn ca khỏi nim gii hn v gn ký hiu lim f ( x) hoc vi mt s thc hoc xa vi vụ cựng Quan ủieồm xp x x : Theo quan im ny, s xp x x n a kộo theo s xp x f x n l Nu mt i lng bin thiờn x tin v mt giỏ tr a (theo ngha l nú ly nhng giỏ tr ngy cng gn giỏ tr a), thỡ mt i lng y ph thuc vo x (y l mt hm s ca i lng x) tin v mt giỏ tr l Nu x dn dn xớch li gn a kộo theo i lng y xớch li gn l (BKOUCHER 1996) Quan im xp x f x : Theo quan im ny, xp x f x vi l mong mun s quyt nh xp x x vi a nh ngha theo ( ) khụng gỡ khỏc hn l s h thng húa quan im xp x ny (BKOUCHER 1996)ằ [13, tr.1-2] 1.1.3 T chc Toỏn hc tham chiu Trong lun ca Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung (2004), tỏc gi túm tt mt vi kt qu t nghiờn cu ca Bosch, Espinoza v Gascon (2002) v hai t chc toỏn hc a phng tham chiu OM1 v OM2 ca khỏi nim gii hn nh sau : ô OM1 : Xoay quanh i s ca cỏc gii hn, c th hin qua kiu nhim v T1 : Tớnh lim f ( x) ( õy a l mt s thc, hoc l vụ cc) K thut liờn quan n xa kiu nhim v ny l vic s dng cỏc nh lý v cỏc gii hn thụng dng tớnh gii hn Yu t cụng ngh gii thớch cho cỏc k thut c xõy dng qua h thng cỏc nh lớ tng, hiu, tớch, thng v khai cn cựng mt s cỏc kt qu ca gii hn c bit OM2 : Xoay quanh bn cht tụpụ ca khỏi nim gii hn, tr li ch yu cho cõu hi v s tn ti gii hn ca mt biu thc xỏc nh hm s Cõu hi ny c x lý qua kiu nhim v T2 : Chng minh tn ti (hay khụng tn ti) lim f ( x) K thut v yu t xa cụng ngh liờn quan n kiu nhim v T2 l vic dng nh ngha khỏi nim gii hn ằ [12, tr.4-5] T cỏc kt qu nghiờn cu khoa hc lun v khỏi nim gii hn, cho phộp cỏc tỏc gi t cỏc cõu hi nh hng cho vic nghiờn cu th ch chnh lớ hp nht : Trong chng trỡnh chnh lớ hp nht tn ti nhng quan im khoa hc lun no ca khỏi nim gii hn ? Quan im no chim u th ? Cỏc kiu nhim v l vt ca cỏc t chc Toỏn hc OM1 v OM2 xut hin nh th no ? c bit vt ca OM2 cú sng c th ch ca chng trỡnh hay khụng ? Cú nhng quy tc hp ng no vic dy hc khỏi nim gii hn ? 1.2 Tng hp cỏc kt qu nghiờn cu v khỏi nim gii hn chng trỡnh chnh lớ hp nht nm 2000 T vic phõn tớch v tng hp cỏc kt qu nghiờn cu v khỏi nim gii hn ca hai tỏc gi : Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung (2004) v Nguyn Thnh Long (2004) cho phộp chỳng tụi rỳt mt s kt lun tr li cho cỏc cõu hi c nờu phn trờn : Quan im xp x f x xut hin nh ngha gii hn ca dóy s, quan im xp x x th hin nh ngha gii hn ca hm s, quan im i s th hin hu ht chng trỡnh qua vic tớnh gii hn ca dóy s (hm s) bng cỏc quy tc i s V nhỡn mt cỏch tng th, quan im i s c th hin mt cỏch rừ rng v chim v trớ gn nh tuyt i vic dy hc khỏi nim gii hn iu ny th hin qua nhng nhn nh ca hai tỏc gi : ô Vic xõy dng v t chc cỏc kin thc cn ging dy v khỏi nim gii hn da gn nh tuyt i trờn quan im i s húa ằ [7, tr.49] ô Sỏch giỏo khoa hin hnh ch to thun li cho vic thit lp quan im i s v khỏi nim gii hn hc sinh Ch cú vi du vt nh ca cỏc quan im khoa hc lun khỏc sỏch giỏo khoa ny ằ [12, tr.19] Kiu nhim v ch dựng n phộp toỏn i s gii hn chim hu ht chng trỡnh chnh lớ hp nht nm 2000, theo thng kờ ca tỏc gi Nguyn Thnh Long ô kiu nhim v ny chim 80,6% cỏc vớ d v 87% phn bi tp; S kiu nhim v cho phộp thao tỏc cỏc k thut bn cht gii tớch chim 16,1% cỏc vớ d v 9,1% phn bi ; Kiu nhim v cho phộp cp vi yu t ca quan im xp x x gi v trớ yu nht, chim 3,2% cỏc vớ d v 3,9% phn bi ằ [7, tr.48] Cng nhn xột ny, chỳng tụi ghi nhn thờm khụng cú loi bi no liờn quan n yu t th ca biu thc hm s cn tớnh gii hn, õy l mt nhng im khỏc bit gia chng trỡnh hin hnh so vi cỏc chng trỡnh m c hai tỏc gi nghiờn cu Ngoi vi vic s dng hai t chc toỏn hc a phng tham chiu OM1 v OM2 gii thớch cho cỏc t chc toỏn hc cn ging dy, tỏc gi Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung nhn nh : ô Vt ca OM2 chng trỡnh chnh lớ hp nht giai on 2000 2005 rt yu so vi vt ca OM1 (8 nhim v so vi 43 nhim v) T ú d oỏn kh nng sng c ca cỏc ni dung toỏn hc l vt ca OM2 gn nh khụng cú ằ [12, tr.18] ng thi c hai tỏc gi cng nht trớ vi cỏc quy tc hp ng didactic : ô Trong cỏc bi toỏn liờn quan n gii hn hu hn, hc sinh khụng cú trỏch nhim kho sỏt hm s phi tớnh gii hn, khụng phi d oỏn gii hn, khụng xem xột hm s v khụng quan tõm n tớnh thớch ỏng ca bi toỏn, nhim v ca h l tớnh gii hn bng cỏch nhn dng chỳng, sau ú thc hin cỏc quy tc hnh ng thớch ng tớnh gii hn ca hm s Th ch m bo gii hn ú tn ti ằ [7, tr.50], [12, tr.21] Qua vic phõn tớch v tng hp cỏc kt qu nghiờn cu trờn, chỳng tụi t cõu hi : Vi vic phõn tớch mi quan h th ch i vi khỏi nim gii hn c ging dy chng trỡnh, cỏc tỏc gi ó xõy dng nhng ỏn didactic dy hc khỏi nim gii hn nhm hỡnh thnh quan im xp x hc sinh da trờn nhng yu t no ? Hiu qu ca cỏc ỏn didactic ú ? Cỏc no cũn t ? tr li, chỳng tụi i vo nghiờn cu cỏc ỏn didactic 1.3 Nghiờn cu cỏc ỏn didactic ó c xõy dng 1.3.1 ỏn didactic lun ca Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung (2004) Qua tng hp cỏc nghiờn cu v s dng mỏy tớnh b tỳi ging dy Gii tớch núi chung v ging dy khỏi nim gii hn núi riờng Phỏp, v qua kt qu nghiờn cu th ch nc v mi quan h cỏ nhõn ca hc sinh vi mỏy tớnh b tỳi Tỏc gi Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung xõy dng mt ỏn didactic vi mc tiờu l ging dy khỏi nim gii hn hm s quan im xp x v mụi trng mỏy tớnh b tỳi vi cỏc gi thuyt cụng vic : - Cỏc xp x s cho phộp hiu c ngha ca khỏi nim gii hn theo ngha topo cú mt mt cỏch hỡnh thc nh ngha bng ( ; ) : quan im xp x c xut hin nh cỏc thc nghim s - Trong mt s trng hp, cỏc kin thc toỏn hc c xõy dng mt cỏc ng thi vi vic ny sinh cụng c [12, tr.40] Trờn c s gi thit cụng vic, tỏc gi xõy dng ỏn didactic vi ni dung: Cho hm s f x x 0,1x 0, 02 c t chc qua hot ng : 0, 25 x 0, 01 Hot ng vi yờu cu : Gii phng trỡnh f x Hot ng vi yờu cu c ghi trờn Phiu 2A : Tỡm ba giỏ tr ca x cho 2,99 f x 3,01 Phiu 2B : Tỡm ba giỏ tr ca x cho 2,99 f x 3,01 Hot dng vi yờu cu ghi trờn Phiu 3A : Hóy ngh mt cp s x; f ( x) cho giỏ tr f ( x ) gn s nht m em cú th tỡm c v x 0, Phiu 3B : Hóy ngh mt cp s x; f ( x) cho giỏ tr f ( x ) gn s nht m em cú th tỡm c v x 0, Tỏc gi Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung tin hnh thc nghim lp 11 sau hc sinh ó hc xong khỏi nim gii hn ca hm s Kt qu ca vic thc hin ỏn didactic chng t rng : ô Vic ging dy khỏi nim gii hn cú l l c hi cho s tr li cn thit trờn hp cỏc s thc, trờn bn cht ca cỏc s thc, trờn ý ngha ca s thp phõn húa chỳng v ý ngha ca cỏc yu t lõn cn v khong cỏch ằ [12, tr.55] T ú tỏc gi cng t cỏc thc hin mt ỏn didactic khỏc : ô xỏc nh nhng u t cn thit v cỏc yu t c trng hon thnh ỏn didactic (di nhng rng buc ca th ch Vit Nam), cho s kim soỏt cỏc kt qu hin th mỏy tớnh b tỳi c thc hin bng cỏch iu chnh cỏc kin thc v s thc s i kốm vi vic ging dy khỏi nim gii hn trờn quan im xp x ằ [12, tr.55] 1.3.2 ỏn didactic lun ca tỏc gi Nguyn Thnh Long Da vo kt qu nghiờn cu khoa hc lun v khỏi nim gii hn, tỏc gi Nguyn Thnh Long cho rng tớnh din tớch hỡnh phng l mt nhng ng c hỡnh thnh ngha ca khỏi nim gii hn hm s t quan im xp x f x T ú tỏc gi a gi thuyt cụng vic : ô V mt toỏn hc tớnh din tớch hỡnh phng l c s ca vic thit lp nhng tỡnh cho phộp ny sinh mt s yu t cu thnh nờn ngha ca khỏi nim gii hn t quan im xp x f(x) ằ [7, tr.6] Trờn c s gi thuyt cụng vic v nhng rng buc ca mi quan h th ch, tỏc gi Nguyn Thnh Long xõy dng nhng tỡnh v cụng on didactic v tớnh din tớch hỡnh phng da trờn tỡnh c s : ô Cho hm s y f x liờn tc v khụng õm trờn on a; b vi a Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi th ca hm s ó cho, trc honh Ox v hai ng thng v xa x b ằ [7, tr.6] Mc ớch nhm kim nh tớnh ỳng n ca gi thuyt nghiờn cu : ô Cỏc tỡnh tớnh din tớch hỡnh phng cho phộp lm ny sinh hc sinh mt vi yu t cu thnh nờn ngha ca khỏi nim gii hn t quan im xp x f(x), s vng mt ca nh ngha hỡnh thc theo ngụn ng ; ằ [7, tr.7] Thc nghim c tỏc gi Nguyn Thnh Long trin khai vo cui thỏng 11/2003 lp 11 trc cp n chng gii hn Qua phõn tớch tỏc gi thy xut hin hc sinh cỏc yu t sau : - Xp x hỡnh hc - Tng hu hn xp x mt i lng : xp x din tớch mt hỡnh (cha tớnh c) vi tng mt s rt ln cỏc hỡnh rt nh (ó cú th tớnh c) - Vụ cựng : th hin yờu cu sai s v tớnh gn ỳng [7, tr.81] Kt thỳc lun nghiờn cu ca mỡnh, tỏc gi Nguyn Thnh Long nhn nh : ô i s húa v xp x l hai mt bin chng v khỏi nim gii hn núi riờng v v gii tớch núi chung Trong rng buc th ch dự nhn mnh n quan im i s húa cú th tip cn c quan im xp x ằ [7, tr.88] T quan im ú, tỏc gi mnh dn t : ô cú th nghiờn cu xõy dng mt h thng cỏc tỡnh nhm tng cng quan im xp x dy hc gii tớch trng THPT ằ 1.4 Mt s kt lun v cõu hi nghiờn cu Q1 Trờn c s ca vic tng hp cỏc kt qu nghiờn cu v phõn tớch cỏc ỏn didactic dy hc khỏi nim gii hn ca hm s chng trỡnh chnh lớ hp nht nm 2000, chỳng tụi rỳt mt s kt lun sau : Trong cỏc nghiờn cu v khỏi nim gii hn, cỏc tỏc gi tht s quan tõm n vic dy hc khỏi nim gii hn theo quan im xp x thụng qua cỏc bi toỏn hoc liờn quan n xp x s (nghiờn cu ca tỏc gi Lờ Thỏi Bo Thiờn Trung), hoc liờn quan n xp x hỡnh hc (nghiờn cu ca tỏc gi Nguyn Thnh Long), iu ny hon ton trựng khp vi hng tip cn b mụn Gii tớch li ta ca tỏc phm Vers linfini pas pas, approche heuristique de lanalyse Manuel pour lộlốve Bruxelles : De Boeck m chỳng tụi ó cp phn u ca lun Cỏc ỏn dy hc ó xõy dng v thc hin ch trung n vic dy hc gii hn ca hm s ti mt im v khụng xột n khớa cnh th ca biu thc hm s cn tớnh gii hn Qua ú cho phộp chỳng tụi t mt s cõu hi nghiờn cu cn gii quyt chng sau, c th : Q1: Mi quan h th ch vi khỏi nim gii hn hu hn ca hm s chng trỡnh hin hnh ó c xõy dng nh th no? V cú nhng tin trin gỡ so vi chng trỡnh chnh lớ hp nht trng THPT ? c bit, s xut hin ca nhng bi toỏn xp x s v xp x hỡnh hc nh hng nh th no n s tin trin ny ? CHNG MI QUAN H TH CH VI GII HN HU HN CA HM S TRONG DY HC TON TRNG THPT Mc ớch ca chng Nghiờn cu mi quan h ca th ch hin hnh i vi vic dy hc gii hn hu hn ca hm s trng THPT v so sỏnh vi cỏc chng trỡnh trc lm rừ nhng tin trin ca th ch hin hnh liờn quan n vic dy hc khỏi nim gii hn ca hm s Phõn tớch kh nng sng c ca nhng kiu bi toỏn xp x s v xp x hỡnh hc liờn quan n gii hn hu hn ca hm s cú mt th ch hin hnh Phõn tớch mt b SGK M lm c s tham chiu so sỏnh vic xõy dng v trỡnh by tri thc gii hn hu hn vi cỏc b SGK Vit Nam Qua ú nhm lm rừ nhng la chn s phm khỏc cú th s dng vic ging dy khỏi nim gii hn hu hn ca hm s trng ph thụng Cỏc ti liu dựng phõn tớch ca chng bao gm : Sỏch giỏo khoa i s v Gii tớch 11 chnh lớ hp nht nm 2000 (11.CLHN) Sỏch giỏo khoa i s v Gii tớch 11 (c bn) nm 2007 (11.CB) Sỏch giỏo khoa i s v Gii tớch 11 (nõng cao) nm 2007 (11.NC) Ti liu hng dn ging dy toỏn 11 B giỏo dc v o to, NXBGD 2001 Chng trỡnh giỏo dc ph thụng Boọ GD & T, NXBGD 2005 (CT) Sỏch giỏo viờn i s v Gii tớch 11 (chng trỡnh chun) nm 2007 Sỏch bi i s v Gii tớch 11 (chng trỡnh chun) nm 2007 Sỏch giỏo khoa Gii tớch 12 chnh lớ hp nht nm 2000 (12.CLHN) Sỏch giỏo khoa Gii tớch 12 (c bn) nm 2008 (12.CB) 10 Sỏch giỏo khoa Gii tớch 12 (nõng cao) nm 2008 (12.NC) 11 Precalculus : Graphical, Numerical, Algebraic year 12 (SGK.M) 2.1 PHN TCH CHNG TRèNH Trong chng trỡnh hin hnh, hai khỏi nim c s ca Gii tớch l gii hn v o hm c a vo chng IV v chng V ca b sỏch giỏo khoa lp 11 Trong chng trỡnh chnh lớ hp nht thỡ tri thc o hm ca hm s mói n lp 12 mi bt u c trỡnh by V khỏi nim gii hn, phn kin thc, chng trỡnh hin hnh yờu cu: ôBit khỏi nim gii hn ca dóy s (thụng qua vớ d c th) v khỏi nim gii hn ca hm s (thụng qua ngụn ng gii hn ca dóy s), khụng dựng ngụn ng nh ngha gii hn ;