ĐẶT VẤN ĐỀ I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong lời tựa của tác phẩm “Vers l’infini pas à pas, approche heuristique de l’analyse. Manuel pour l’élève. Bruxelles : De Boeck” (Nhóm AHA, 1999), một câu hỏi được đặt ra : “ Giải tích toán học là gì? ”. Theo các tác giả của Group AHA : “Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thông qua nhiều vấn đề khác nhau, trong đó phần lớn các vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc…) và Hình học (bài toán tiếp tuyến, tiệm cận, diện tích và thể tích). Đồng thời được nhìn nhận theo hai hướng : có thể được nhìn rất gần (qua vấn đề tiếp tuyến), có thể nhìn rất xa (qua việc nghiên cứu các hành vi tiệm cận). Suy cho cùng chính là khái niệm giới hạn …. Như vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ bản của Giải tích thực” Khẳng định này cũng được thể hiện một cách khá rõ ràng ở chương trình toán học phổ thông Việt Nam với vai trò là công cụ để nghiên cứu các khái niệm cơ sở của Giải tích như : khái niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm đường tiệm cận … Trong chương trình hiện hành hoàn toàn vắng mặt ngôn ngữ ; khi định nghĩa giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số. Bên cạnh đó chúng tôi ghi nhận sự có mặt của những hoạt động và kiểu bài toán xấp xỉ khi nghiên cứu khái niệm giới hạn trong bộ sách giáo khoa cơ bản, đồng thời máy tính bỏ túi được chương trình hiện hành sử dụng một cách chính thức để tính các giá trị gần đúng. Trong luận văn thạc sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), tác giả đã xây dựng một đồ án didactic với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan điểm xấp xỉ và trong môi trường máy tính bỏ túi với giả thuyết công việc : “Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghĩa của khái niệm giới hạn theo nghĩa topo có mặt một cách hình thức trong định nghĩa bằng ; : quan điểm xấp xỉ được xuất hiện nhờ các thực nghiệm số.” (trang 33) Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên và học sinh chắc chắn gặp nhiều khó khăn khi tổ chức dạy và học khái niệm giới hạn thông qua các bài toán xấp xỉ có mặt trong chương trình hiện hành, vì đây là một trong những điểm mới so với các chương trình trước đó. Những nhận xét trên dẫn chúng tôi tới câu hỏi khởi đầu sau : Nếu không sử dụng ngôn ngữ ; để định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, thì việc giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số được thể chế hiện hành tổ chức thực hiện như thế nào ? Những bài toán xấp xỉ nào được xuất hiện trong các sách giáo khoa hiện hành khi xây dựng và trình bày khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ? Những khó khăn và thuận lợi nào giáo viên và học sinh có thể gặp phải khi làm việc trên những bài toán này ? Các nội dung liên quan đến tri thức giới hạn hàm số được chương trình hiện hành sắp xếp trình bày một cách rõ ràng với hai chủ đề riêng biệt : “giới hạn hữu hạn của hàm số giới hạn vô cực của hàm số” thông qua các hoạt động cụ thể để xây dựng và hình thành các khái niệm. Trong giới hạn về thời gian và khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ và để nghiên cứu có thể hoàn thành tốt, chúng tôi giới hạn phạm vi nghiên cứu của mình vào khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. II. Khung lí thuyết tham chiếu Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán. Cụ thể, điểm tựa lý thuyết sẽ là những khái niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học. Sau đây chúng tôi trình bày một cách tóm tắt những khái niệm lý thuyết cơ bản mà chúng tôi sử dụng cho nghiên cứu của mình trong luận văn.
THƯ VIỆN BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH LÊ THÀNH ĐẠT DẠY HỌC GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN T ôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh bỏ nhiều thời gian công sức để giảng dạy, truyền thụ cho tri thức cần thiết quan trọng môn didactic Toán, giúp có đủ hành trang để tiếp thu môn didactic Toán Tôi xin chân thành cảm ơn: Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh Ban chủ nhiệm giảng viên Khoa Toán Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh Tất học viên khóa giúp đỡ học tập nghiên cứu môn didactic Toán suốt khóa học Ban Giám hiệu Thầy Cô tổ Toán Trường THPT Bù Đăng tạo nhiều điều kiện giúp đỡ có thời gian học tập tiến hành nghiên cứu thực hành giảng dạy giới hạn hữu hạn hàm số giáo viên Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người nhiệt tình hướng dẫn thực hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin chia sẻ niềm hạnh phúc đến người thân yêu gia đình, người động viên suốt trình học tập TÔI XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN Lê Thành Đạt DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BT : Bài tập CLHN : Chỉnh lí hợp CT : Chương trình GD & ĐT : Giáo dục Đào tạo GV : Giáo viên HS : Học sinh THPT : Trung học phổ thông SGK : Sách giáo khoa SGK M : Sách giáo khoa Mỹ SGK 11.CB : Sách giáo khoa 11 SGK 11.CLHN : Sách giáo khoa 11 chỉnh lí hợp năm 2000 SGK 11.NC : Sách giáo khoa 11 nâng cao SGK 12.CB : Sách giáo khoa 12 SGK 12.NC : Sách giáo khoa 12 nâng cao VD : Ví dụ ĐẶT VẤN ĐỀ I Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong lời tựa tác phẩm “Vers l’infini pas pas, approche heuristique de l’analyse Manuel pour l’élève Bruxelles : De Boeck” (Nhóm AHA, 1999), câu hỏi đặt : “ Giải tích toán học gì? ” Theo tác giả Group AHA : “Giải tích xây dựng qua nhiều kỷ thông qua nhiều vấn đề khác nhau, phần lớn vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc…) Hình học (bài toán tiếp tuyến, tiệm cận, diện tích thể tích) Đồng thời nhìn nhận theo hai hướng : nhìn gần (qua vấn đề tiếp tuyến), nhìn xa (qua việc nghiên cứu hành vi tiệm cận) Suy cho khái niệm giới hạn […] Như vậy, khái niệm giới hạn khái niệm Giải tích thực” Khẳng định thể cách rõ ràng chương trình toán học phổ thông Việt Nam với vai trò công cụ để nghiên cứu khái niệm sở Giải tích : khái niệm hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm đường tiệm cận … Trong chương trình hành hoàn toàn vắng mặt ngôn ngữ ; định nghĩa giới hạn dãy số giới hạn hàm số Bên cạnh ghi nhận có mặt hoạt động kiểu toán xấp xỉ nghiên cứu khái niệm giới hạn sách giáo khoa bản, đồng thời máy tính bỏ túi chương trình hành sử dụng cách thức để tính giá trị gần Trong luận văn thạc sĩ Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), tác giả xây dựng đồ án didactic với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số quan điểm xấp xỉ môi trường máy tính bỏ túi với giả thuyết công việc : “Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu nghĩa khái niệm giới hạn theo nghĩa topo có mặt cách hình thức định nghĩa ; : quan điểm xấp xỉ xuất nhờ thực nghiệm số.” (trang 33) Trong thực tế dạy học trường phổ thông, giáo viên học sinh chắn gặp nhiều khó khăn tổ chức dạy học khái niệm giới hạn thông qua toán xấp xỉ có mặt chương trình hành, điểm so với chương trình trước Những nhận xét dẫn tới câu hỏi khởi đầu sau : - Nếu không sử dụng ngôn ngữ ; để định nghĩa giới hạn dãy số giới hạn hàm số, việc giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số thể chế hành tổ chức thực ? - Những toán xấp xỉ xuất sách giáo khoa hành xây dựng trình bày khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số ? Những khó khăn thuận lợi giáo viên học sinh gặp phải làm việc toán ? Các nội dung liên quan đến tri thức giới hạn hàm số chương trình hành xếp trình bày cách rõ ràng với hai chủ đề riêng biệt : “giới hạn hữu hạn hàm số - giới hạn vô cực hàm số” thông qua hoạt động cụ thể để xây dựng hình thành khái niệm Trong giới hạn thời gian khuôn khổ luận văn thạc sỹ để nghiên cứu hoàn thành tốt, giới hạn phạm vi nghiên cứu vào khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số II Khung lí thuyết tham chiếu Chúng đặt nghiên cứu phạm vi Didactic Toán Cụ thể, điểm tựa lý thuyết khái niệm lý thuyết nhân chủng học Sau trình bày cách tóm tắt khái niệm lý thuyết mà sử dụng cho nghiên cứu luận văn Một số yếu tố thuyết nhân học – Những thuật ngữ O : đối tượng X : cá nhân I : thể chế R(X, O) : quan hệ cá nhân X với O R(I, O) : quan hệ thể chế với O Một đối tượng tồn cá nhân hay với thể chế Quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O) tập hợp tác động qua lại mà X có với O như: thao tác nó, sử dụng nó, nghĩ nó, nói nó, … R(X, O) rõ cách thức mà X biết O, tùy theo thời gian hoàn cảnh mà mối quan hệ R(X, O) thay đổi “Theo thời gian, hệ thống mối quan hệ cá nhân X tiến triển : đối tượng trước không tồn X bắt đầu tồn tại, số khác ngừng tồn tại, đối tượng khác quan hệ nhân X thay đổi Trong tiến triển này, bất biến cá nhân, thay đổi người” (Chavallard 1992) Theo quan điểm này, việc học tập cá nhân X đối tượng tri thức O điều chỉnh mối quan hệ X O Hoặc quan hệ bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), bị biến đổi (nếu tồn tại) Sự học tập làm thay đổi người Thế nhưng, cá nhân tồn độc lập mà luôn phải thể chế I, từ dẫn đến việc thiết lập hay biến đổi mối quan hệ R(X,O) phải đặt thể chế I có tồn X, I O phải có quan hệ xác định gọi quan hệ thể chế với đối tượng O, ký hiệu R(I, O) Quan hệ ràng buộc (thể chế) quan hệ cá nhân với đối tượng O, cá nhân chủ thể thể chế I phụ thuộc vào vị trí mà cá nhân chiếm thể chể I Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để tập hợp mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O R(I, O) cho biết O xuất đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trò I Trong thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi ràng buộc R(I,O) Tổ chức toán học Theo Chavallard, praxéologie gồm thành phần T , , , : T kiểu nhiệm vụ phải giải quyết, kỹ thuật cho phép giải T, công nghệ cho phép giải thích kỹ thuật , lý thuyết giải thích cho , nghĩa công nghệ công nghệ Một praxéologie mà T kiểu nhiệm vụ toán học gọi tổ chức toán học (organisation mathématique), ký hiệu OM Theo Bosch.M Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với đối tượng tri thức O tiến hành thông qua nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O “Mối quan hệ thể chế với đối tượng […] định hình biến đổi tập hợp nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm vị trí thể chế này] phải thực hiện, nhờ vào kỹ thuật xác định” (Bosch M Chevallard Y., 1999) Hơn thế, theo Bosch M Chevallard.Y, việc nghiên cứu tổ chức toán học gắn liền với O cho phép ta hình dung số yếu tố quan hệ cá nhân chủ thể X tồn O, : “ Chính việc thực nhiệm vụ khác mà cá nhân phải làm suốt đời thể chế khác nhau, chủ thể (lần lượt hay đồng thời), dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân với đối tượng nói ” Tổ chức didactic Tổ chức didactic praxéologie, kiểu nhiệm vụ cấu thành nên kiểu nhiệm vụ thuộc loại nghiên cứu Cụ thể hơn, tổ chức didactic câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu “nghiên cứu tác phẩm O ?” Theo Chevallard, để phân tích thực hành giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời hai câu hỏi : Làm để mô tả phân tích tổ chức toán học xây dựng lớp học cụ thể ? Làm để mô tả phân tích tổ chức didactic mà giáo viên triển khai để truyền bá tổ chức toán học cụ thể lớp học cụ thể? Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi khái niệm thời điểm nghiên cứu Theo ông, dù tổ chức toán học tổ chức nghiên cứu theo cách thức nhất, có số thời điểm nghiên cứu thiết phải có mặt cho dù hình thức khác Cụ thể, ông cho tình học tập nói chung bao gồm thời điểm nghiên cứu (moment d’étude) hay thời điểm didactic (moment didactique) Thời điểm thứ : thời điểm gặp gỡ lần với tổ chức toán học OM diễn hình thức thông báo hình thức giải kiểu nhiệm vụ cụ thể Đó mục tiêu đặt cho việc học tập liên quan đến đối tượng O Sự gặp gỡ xảy theo nhiều cách khác Tuy nhiên, có cách gặp (hay « gặp lại ») tránh khỏi cách gặp thông qua hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu thành nên O (trừ người ta chưa thực quan tâm đến việc nghiên cứu O) Sự « gặp gỡ lần » với kiểu nhiệm vụ Ti xảy qua nhiều lần tùy vào môi trường toán học didactic tạo gặp gỡ này, cụ thể : người ta khám phá lại kiểu nhiệm vụ giống khám phá lại người mà người ta nghĩ biết rõ Có hai câu hỏi cần xem xét thời điểm : Cái gặp lần gặp với tổ chức toán học liên quan đến O? Lần gặp xảy hình thức nào? Thời điểm thứ hai : thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti xây dựng nên kỹ thuật i cho phép giải kiểu nhiệm vụ diễn hình thức: giáo viên thông báo kỹ thuật học sinh giải nhiệm vụ, học sinh tự xây dựng kỹ thuật để giải nhiệm vụ, … Như thế, nghiên cứu toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, cách thức tiến hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng Kỹ thuật lại phương tiện công cụ để giải toán “cùng kiểu” Thời điểm thứ ba : thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết [/] liên quan đến i , nghĩa tạo yếu tố lý thuyết cho phép giải thích kỹ thuật thiết lập Thời điểm thứ tư : thời điểm làm việc với kỹ thuật Thời điểm thời điểm hoàn thiện kỹ thuật cách làm cho trở nên hiệu nhất, có khả vận hành tốt việc giải kiểu nhiệm vụ liên quan, điều nói chung thường đòi hỏi chỉnh sửa lại công nghệ xây dựng lúc Đồng thời thời điểm làm tăng khả làm chủ kỹ thuật cách cho học sinh làm việc với số nhiệm vụ khác thuộc kiểu nhiệm vụ này, để làm điều đòi hỏi phải xét tập hợp thích đáng số lượng lẫn chất lượng nhiệm vụ Thời điểm thứ năm : thời điểm thể chế hóa Mục đích thời điểm cách rõ ràng kiểu toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật ưu tiên giải, yếu tố công nghệ - lý thuyết kỹ thuật đó, … Đặc biệt, phải phân biệt yếu tố tổ chức toán học tham gia vào trình xây dựng với yếu tố tổ chức toán học thực muốn nhắm đến, phân biệt thể qua việc học sinh tìm cách làm rõ cần thiết “phải biết” hay không kết toán hay quy trình Thời điểm thứ sáu : thời điểm đánh giá Thời điểm có mục đích xem xét tầm ảnh hưởng kỹ thuật liên quan với kiểu nhiệm vụ : kỹ thuật giải phần lớn nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ ? Kỹ thuật dễ sử dụng ? Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa Trong thực tế, việc dạy học phải đến thời điểm mà người ta phải «điểm lại tình hình» : học được, có giá trị,… Sáu thời điểm nghiên cứu nêu cho phép mô tả kỹ thuật thực kiểu nhiệm vụ T : dạy tổ chức toán học ? Phân tích tổ chức didactic có nghĩa phân tích cách thức mà sáu thời điểm nghiên cứu thực (hay không thực hiện) Trong ba thời điểm đầu tương ứng với giai đoạn nghiên cứu học học sinh Đánh giá tổ chức toán học Đánh giá kiểu nhiệm vụ : việc đánh giá dựa tiêu chuẩn Tiêu chuẩn xác định: kiểu nhiệm vụ Ti nêu rõ chưa, đặc biệt thể qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều sẵn có để sử dụng chưa ? Hay ngược lại, chúng biết đến qua vài mẫu tiêu biểu? Tiêu chuẩn lý tồn : lý tồn kiểu nhiệm vụ Ti nói rõ chưa ? Hay ngược lại, chúng dường lý để tồn ? Tiêu chuẩn thỏa đáng : kiểu nhiệm vụ xem xét có thỏa đáng với nhu cầu toán học học sinh tương lai hay không ? Hay ngược lại, dường chúng biệt lập với nhu cầu toán học học sinh ? Đánh giá kỹ thuật : Kỹ thuật đề nghị để giải kiểu nhiệm vụ Ti thực xây dựng chưa, hay phác thảo ? Nó sử dụng dễ hiểu không ? Nó có giải phần lớn nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ cụ thể không ? Tương lai tiến triển theo cách thức thích hợp hay không ? Đánh giá công nghệ : Với thông báo đưa giải thích cho kỹ thuật vấn đề giải thích có đặt hay không ? Hay người ta thừa nhận thông báo cách hiển nhiên, biết rõ ? Các hình thức giải thích mà người ta sử dụng có gần gũi dễ hiểu với hình thức chuẩn toán học không ? Cách giải thích có phù hợp với hoàn cảnh điều kiện sử dụng không ? … III Phương pháp nghiên cứu Với khung lý thuyết tham chiếu trên, phương pháp nghiên cứu mà lựa chọn : - Tổng hợp số kết nghiên cứu khoa học luận lịch sử khái niệm giới hạn để làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm này, qua ghi nhận số kết nghiên cứu thể chế khái niệm giới hạn trước để dùng làm sở tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế hành - Phân tích so sánh chương trình - SGK hành với chương trình - SGK chỉnh lí hợp năm 2000 để làm rõ tiến triển thể chế hành việc dạy học giới hạn hữu hạn hàm số so với thể chế trước Bên cạnh phân tích SGK Mỹ để làm sở tham chiếu so sánh việc xây dựng trình bày tri thức giới hạn hữu hạn với SGK Việt Nam, nhằm làm rõ lựa chọn sư phạm khác sử dụng việc giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số trường phổ thông Từ cho phép xây dựng bổ sung tổ chức toán học cho thể chế Việt Nam ánh sáng kết phân tích tri thức luận - Tiến hành quan sát xây dựng protocol tiết dạy giáo viên có nội dung liên quan đến việc giảng dạy giới hạn hữu hạn hàm số (ở góc độ đối tượng nghiên cứu), sau phân tích đánh giá tổ chức toán học, tổ chức didactic tiết học quan sát Trong phần làm rõ vấn đề : Các tổ chức toán học giáo viên xây dựng tiết dạy Các thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà giáo viên triển khai để xây dựng tổ chức toán học Đánh giá tổ chức toán học giáo viên xây dựng lớp học IV Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần : PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ Trong phần trình bày ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát, khung lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu tổ chức nghiên cứu luận văn CHƯƠNG Trình bày tóm tắt kết nghiên cứu khoa học luận có khái niệm giới hạn, qua làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn lịch sử tiến triển Đồng thời nêu lên tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến khái niệm giới hạn hàm số Trong chương gồm mục : 1.1 Đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn 1.2 Tổng hợp kết nghiên cứu khái niệm giới hạn chương trình cải cách giáo dục chương trình chỉnh lí hợp năm 2000 1.3 Nghiên cứu đồ án didactic xây dựng 1.4 Một số kết luận câu hỏi nghiên cứu Q1 CHƯƠNG Phân tích chương trình sách giáo khoa Toán phổ thông để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số Đầu tiên, phân tích sách giáo khoa chương trình chỉnh lí hợp năm 2000 hai sách giáo khoa chương trình hành, qua làm rõ mối quan hệ thể chế với giới hạn hữu hạn hàm số, đồng thời làm rõ tiến triển việc dạy học giới hạn hữu hạn hàm số thể chế hành so với thể chế trước Tiếp theo, phân tích sách giáo khoa Mỹ để làm rõ ràng buộc thể chế hợp đồng didactic gắn liền với giới hạn hữu hạn hàm số Đồng thời so sánh tổng hợp 60 GV: “Đúng rồi, quan trọng thay un vào biểu thức biểu thức n trên? Vì sao?” 61 Một HS: “Thay vào biểu thức un ” GV: “Khi lim f un ? ” Một HS khác: “Bằng 1” 62 GV: “Vận dụng tương tự trên, lim f ? ” GV gọi HS Thoa cuối lớp, HS 2 trả lời: “ lim f lim ” (GV không hỏi lý HS lại có kết n vậy, công nhận kết quả) 63 GV: “Từ kết trên, em có nhận xét lim f x ? x0 64 Dưới lớp ồn ý kiến khác kết quả, HS xung phong trả lời 65 GV tiếp tục: “Ta thấy dãy số un có giới hạn 0, lim f un lim f khác Theo nội dung định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm ta kết luận không tồn lim f x Được chưa, em ghi lời giải vào x 0 BT” 66 HS tiến hành ghi chép lời giải Một số HS không ghi, GV đến nhắc nhở phải ghi lại lời giải Ở đây, dễ dàng nhận thấy kỹ thuật phản định nghĩa không dễ sử dụng với hầu hết học sinh lớp quan sát Giáo viên không thật quan tâm đến việc hình thành kỹ thuật học sinh lớp giảng dạy Cụ thể sau thực giải xong tập 2, giáo viên không đưa thêm tập với yêu cầu tương tự để học sinh làm việc với kỹ thuật Hơn nữa, học sinh đưa câu trả lời “ có hay không tồn giới hạn hàm số x a ? ” giáo viên chưa thể đưa lời giải thích rõ ràng lại kết luận “ tồn hay không tồn lim f ( x) ” Điều cho phép hợp thức giả thuyết H2 : Giáo viên x a học sinh thiếu yếu tố công nghệ để giải thích cho kỹ thuật phản định nghĩa để đưa kết luận cho toán thuộc kiểu nhiệm vụ “ chứng minh không tồn giới hạn hàm số ” Thời điểm làm việc với kỹ thuật đại số liên quan đến kiểu nhiệm vụ “tính lim f ( x) ” (67 – xa 70) Thời điểm diễn hình thức giáo viên gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải, sau tổ chức cho lớp nhận xét kết toán : 67 GV tiếp tục công việc: “Thầy mời bạn lên bảng giải BT lấy điểm: Câu 3b, 3c 3f; Câu 4a, 4b 4c Ai xung phong không?” Nhiều HS giơ tay, Nhi Nam gọi lên bảng để thực lời giải Trong GV xuống lớp học để kiểm tra tập HS, đồng thời nhắc nhở hai HS bảng ý trình bày giải cách cẩn thận Sau hai HS bảng thực xong lời giải, GV tổ chức cho HS nhận xét lời giải bảng 68 Đầu tiên với câu 3b GV dạng vô định yêu cầu HS nêu phương pháp tìm giới hạn HS trí với việc phân tích x x x sau đơn giản 2 x 69 Đến câu 3c GV đặt câu hỏi: “để khử dạng vô định trường hợp ta làm nào?” HS trả lời nhân chia với biểu thức liên hiệp x , GV gọi HS đứng chổ nhận xét nhanh lời giải Nhi HS nhận xét GV cho điểm HS Nhi điểm 70 Với lời giải Nam, HS đưa kết toán nên GV yêu cầu Nam lên bảng tự tổ chức hướng dẫn cho HS lớp hiểu lại đưa kết BT4 HS không lên, nên GV không cho điểm bắt đầu hướng dẫn HS lớp giải lại kết BT4 Ở thời điểm này, nhận thấy học sinh sử dụng kỹ thuật đại số để giải toán thuộc kiểu nhiệm vụ “ tính lim f ( x) ” tương đối dễ dàng, tuyệt đối vắng mặt hoàn toàn kỹ x a thuật định nghĩa Qua rõ : quan điểm đại số khái niệm giới hạn hoàn toàn lấn át quan điểm xấp xỉ kiểu nhiệm vụ “ tính lim f ( x) ” x a Thời điểm làm việc với kỹ thuật đồ thị (71 – 76) Thời điểm thực qua việc giáo viên tổ chức hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tập (SGK 11.CB, tr.133) hình thức gợi mở : 71 Công việc lại GV tổ chức tiếp tục: “Chuyển qua BT5, tất quan sát đồ thị trả lời câu hỏi sau: giá trị hàm số f(x) dần đâu x ?; x 3 ?; x 3 ? ” 72 Có tiếng thảo luận kết quả, GV gọi HS bàn đầu đứng dậy nêu câu trả lời HS: “ x f ( x) ” Nhiều HS khác nói kết sai cho f ( x) 73 GV yêu cầu HS vừa trả lời xem lại đồ thị GV nói lại kết quả: x f ( x) 74 GV tiếp tục công việc: “Khi x 3 nghĩa x , f x có giá trị nào?” Một số HS: “ f ( x) ” 75 GV: “Khi x 3 f x ? ” HS: “ f ( x) ” 76 GV yêu cầu HS kiểm tra lại kết cách tính lim f x ; lim f ( x); x x 3 lim f ( x) nháp, HS thực yêu cầu GV hầu hết đồng ý với x 3 kết lúc đầu Ở có nhận xét sau : Vì thực nghiệm số kèm, nên vấn đề tổ chức thực nghiệm đồ thị gặp nhiều khó khăn học sinh Hơn nữa, giáo viên không thật quan tâm đến việc hình thành kỹ thuật học sinh, cụ thể : giáo viên không làm rõ cho học sinh biết cách làm dựa vào đồ thị để có câu trả lời hoàn toàn Trong kiểu nhiệm vụ tính giới hạn hàm số, SGK 11.CB tồn hoạt động tính giới hạn kỹ thuật đại số, kèm với hệ thống biểu đạt đồ thị Mặc dù loại nhiệm vụ có số lượng (2/41 nhiệm vụ) Quan điểm khoa học luận khái niệm giới hạn thể quan điểm xấp xỉ x, ngầm ẩn bên quan điểm đại số yêu cầu sử dụng kỹ thuật đại số để kiểm tra lại kết tìm Thời điểm đánh giá kỹ thuật đồ thị (77 – 78) Thời điểm xuất ngắn vào cuối tiết dạy 56, giáo viên đặt câu hỏi khả sử dụng kỹ thuật đồ thị để tìm giới hạn hàm số : 77 GV: “Như vậy, ta dựa vào đồ thị để nhận xét giới hạn hàm số Bây x f x ? ” 78 Một số HS suy nghĩ trả lời: “Thưa Thầy f x ” 3.3 Đánh giá tổ chức toán học 3.3.1 Đánh giá kiểu nhiệm vụ Tiêu chuẩn xác định Kiểu nhiệm vụ T2 : chứng minh tồn (hay không tồn tại) lim f ( x) xác định tương đối xa rõ ràng qua yêu cầu : chứng minh lim f ( x) a ; quan sát đồ thị nêu nhận xét xa lim f ( x) lim f ( x) (nếu có) Kiểu nhiệm vụ T2 thể lim f ( x) ; tìm lim f ( x), xa xa xa x a qua số lượng nhiệm vụ tương đối (4 nhiệm vụ) Kiểu nhiệm vụ T1 : Tính lim f ( x) với a số thực, xác định rõ ràng xa qua yêu cầu tính giới hạn, thể qua số lượng nhiệm vụ lớn (14 nhiệm vụ) Tiêu chuẩn lý tồn : lý tồn kiểu nhiệm vụ T1 T2 không nói rõ, đặc biệt câu hỏi «việc tìm lim f ( x) dùng để làm gì?» không nêu Tuy nhiên xa hai kiểu nhiệm vụ hoàn toàn có tính thỏa đáng mặt nhu cầu toán học học sinh việc xét tính liên tục hàm số, tính đạo hàm hàm số học tiếp 3.3.2 Đánh giá kỹ thuật Các kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ T2 soạn thảo chế hóa chữ viết, không thật dễ sử dụng tầm ảnh hưởng không cao thể qua số lượng mẫu Đồng thời tương lai, xét đến toán có liên quan đến giới hạn hữu hạn hàm số : xét tính liên tục hàm số điểm, tính đạo hàm hàm số điểm … kỹ thuật không sử dụng đến Các kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ T1 soạn thảo có số kỹ thuật thể chế hóa chữ viết, kỹ thuật dễ sử dụng tầm ảnh hưởng tương đối lớn Đồng thời tương lai, sử dụng giới hạn hữu hạn hàm số nghiên cứu khái niệm khác kỹ thuật đại số sử dụng 3.3.3 Đánh giá công nghệ Thông báo công nghệ liên quan đến kỹ thuật kiểu nhiệm vụ đưa dạng định nghĩa định lí để học sinh ghi vào Tuy nhiên, vấn đề biện minh giải thích cho yếu tố công nghệ không đặt ra, người ta xem thông báo mặc nhiên, biết rõ (thể qua việc thừa nhận không chứng minh nội dung định lí giới hạn hữu hạn hàm số) Đặc biệt yếu tố công nghệ để giải thích cho kỹ thuật đồ thị kỹ thuật phản định nghĩa liên quan đến T2 không xây dựng 3.4 Một số kết luận Qua việc phân tích tổ chức toán học, tổ chức didactic đánh giá tổ chức toán học giáo viên giảng dạy, rút kết luận sau : Trong hoạt động xây dựng định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm SGK 11.CB, giáo viên không quan tâm tổ chức cho học sinh thực thực nghiệm số với giá trị hàm số f(x) ứng với giá trị cụ thể biến x, mà qua hình thành quan điểm xấp xỉ x khái niệm giới hạn Ở giáo viên quan tâm đến mục đích hình thành định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số ngôn ngữ khái niệm dãy số mà học sinh học trước hình thành kỹ thuật để giải nhiệm vụ “chứng minh lim f ( x) L ” “dùng định nghĩa tìm xa lim f ( x) ” Điều cho phép hợp thức giả thuyết H1 xa Trong hoạt động xây dựng định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số vô cực, giáo viên có tổ chức cho học sinh quan sát đồ thị nêu nhận xét giới hạn hàm số thể mặt hình thức để dễ dàng phát biểu nội dung định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số vô cực (cụ thể không làm rõ cho học sinh phát lại trả lời sai, để có câu trả lời đúng), hoàn toàn vắng mặt thực nghiệm số kèm Vì hoạt động này, nhận thấy quan điểm xấp xỉ x khái niệm giới hạn khó có hội xuất qua vấn đề thực nghiệm đồ thị, từ cho phép hợp thức giả thuyết H1 Liên quan đến tổ chức toán học giới hạn hữu hạn hàm số : Kỹ thuật GV thật quan tâm mong muốn HS nắm vững tìm giới hạn hàm số kỹ thuật đại số Kỹ thuật định nghĩa giáo viên yêu cầu học sinh thực đứng trước kiểu toán : chứng minh lim f ( x) L dùng định nghĩa tìm lim f ( x) xa xa Kỹ thuật đồ thị không quan tâm nhiều thiếu vấn đề thực nghiệm số, việc làm giúp học sinh qua tìm câu trả lời quan sát đồ thị hàm số Đặc biệt kỹ thuật phản định nghĩa để chứng minh không tồn giới hạn hàm số (bằng cách hai dãy số un , dần tới a lim f (un ) lim f (vn ) ) không GV quan tâm hình thành cho học sinh Lí giáo viên kết luận không tồn giới hạn hàm số (trong tập 2, trang 132 SGK 11.CB) không giải thích cách thỏa đáng, theo “ thiếu yếu tố lý thuyết kỹ thuật ” Điều cho phép hợp thức giả thuyết H2 Liên quan đến quan điểm khoa học luận khái niệm giới hạn tồn thể chế hành, kết luận : quan điểm đại số khái niệm giới hạn hàm số hoàn toàn sống thể chế hành, quan điểm xấp xỉ khả sống thể chế hành tồn toán xấp xỉ kiểu nhiệm vụ vết tổ chức toán học OM2 KẾT LUẬN Việc phân tích đối chiếu sách giáo khoa Mỹ sách giáo khoa 11.CB Việt Nam cách xây dựng trình bày tri thức giới hạn hữu hạn hàm số, đồng thời kết hợp với nghiên cứu thực hành giảng dạy giáo viên cho phép có câu trả lời thỏa đáng cho câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2 hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu đặt luận văn Sau số kết nghiên cứu : Phân tích chương I luận văn làm rõ đặc trưng khoa học luận khái niệm giới hạn lịch sử, đồng thời ghi nhận số kết việc phân tích mối quan hệ thể chế công trình nghiên cứu trước khái niệm giới hạn hàm số Phân tích chương II luận văn làm rõ : Cách thức lựa chọn trình bày kiến thức giới hạn hữu hạn thể chế hành sách giáo khoa Mỹ ; kiểu nhiệm vụ đặc trưng giới hạn hữu hạn hàm số yếu tố kỹ thuật, công nghệ liên quan đến kiểu nhiệm vụ Cụ thể : Việc phân tích nghiên cứu mối quan hệ thể chế hành cho thấy đâu quan điểm khoa học luận trội khái niệm giới hạn hàm số, thể qua số lượng nhiệm vụ kỹ thuật ưu tiên sử dụng việc tính giới hạn hàm số Đồng thời qua làm rõ tiến triển liên quan đến việc dạy học giới hạn hữu hạn hàm số thể chế hành so với thể chế trước Việc phân tích sách giáo khoa Mỹ để làm sở tham chiếu so sánh việc xây dựng trình bày tri thức giới hạn hữu hạn với SGK Việt Nam, làm rõ lựa chọn sư phạm khác sử dụng việc giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn hàm số trường phổ thông Việt Nam Kết nghiên cứu chương II dẫn đến giả thuyết nghiên cứu : Giả thuyết H1 (Hợp đồng didactic liên quan đến hoạt động dạy học định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số) : R1 : Giáo viên không bị bắt buộc phải đảm bảo việc thực nghiệm số hoạt động (trang 123) hoạt động (trang 127) sách 11.CB Như vậy, thể chế không trọng hình thành quan điểm xấp xỉ x khái niệm giới hạn hàm số học sinh trình giảng dạy kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số trường THPT R2 : Trong kiểu nhiệm vụ chứng minh giới hạn hàm số định nghĩa, học sinh trách nhiệm phải thực thực nghiệm số việc tính toán giá trị hàm số f(x) tương ứng với dãy cụ thể giá trị biến x, mà phải thực việc tính giá trị hàm số từ dãy số hình thức biến Giả thuyết H2 (liên quan đến kỹ thuật phản định nghĩa kiểu nhiệm vụ T 22 : Chứng minh không tồn lim f ( x) ) : xa Giáo viên học sinh thiếu yếu tố công nghệ để giải thích cho kỹ thuật phản định nghĩa để đưa kết luận cho toán thuộc kiểu nhiệm vụ « chứng minh không tồn giới hạn hàm số » Phân tích chương III làm rõ tổ chức didactic giáo viên sử dụng để giảng dạy phản ánh thực tế giảng dạy kiến thức giới hạn hữu hạn hàm số trường THPT Kết nghiên cứu cho thấy : Giáo viên tập trung vào việc xây dựng củng cố kỹ thuật đại số việc tính giới hạn hàm số, thông qua việc áp dụng kỹ thuật để giải toán vết tổ chức toán học OM1 Hầu giáo viên không trọng đến kiểu nhiệm vụ vết OM2 kỹ thuật liên quan đến việc hình thành quan điểm xấp xỉ khái niệm giới hạn hàm số Đặc biệt không trọng đến vấn đề thực nghiệm số hoạt động hoạt động (trang 123, 127 SGK 11_CB) Kết nghiên cứu chương III luận văn cho phép hợp thức hóa giả thuyết nghiên cứu đặt Cuối cùng, qua việc phân tích SGK Mỹ, ghi nhận có nhiều kiểu toán tìm giới hạn hàm số liên quan đến vấn đề thực nghiệm số quan sát đồ thị hàm số, sách chương trình hành Việt Nam xuất kiểu hoạt động tập tìm giới hạn liên quan đến đồ thị hàm số liên quan đến thực nghiệm số (những dạng toán có số lượng ít, không đáng kể) Trên sở đặt hướng nghiên cứu mở từ luận văn: xây dựng đồ án didactic dạy học giới hạn hữu hạn hàm số nhằm hình thành quan điểm xấp xỉ khái niệm giới hạn học sinh phổ thông Việt Nam mà bao gồm thực nghiệm số đồ thị hàm số TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Demana, Waits, Foley, Kennedy (2007), Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic Boston, Massachusetts Upper Saddle River, New Jersey Tiếng Việt Văn Như Cương – Trần Văn Hạo – Ngô Thúc Lanh (2001), Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11, NXBGD, Hà Nội Nguyễn Bá Đô (chủ biên) – Đặng Khánh Hội – Nguyễn Văn Túc (2002), Các câu chuyện Toán học, tập 4, Hữu hạn vô hạn, NXBGD Trần Văn Hạo – Cam Duy Lễ (phần I) Ngô Thúc Lanh – Ngô Xuân Sơn – Vũ Tuấn (phần II) (2001), Đại số Giải tích 11 , NXBGD Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn – Đào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến – Vũ Viết Yên (2008), Đại số Giải tích 11, NXBGD Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn (2008), Giải tích 12, NXBGD Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) (2008), Sách giáo viên Đại số Giải tích 11, NXBGD Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic khái niệm giới hạn dạy học Toán trường THPT, Luận án thạc sĩ, TP.HCM Nguyễn Thị Phương Mai (2005), Quan niệm giáo viên học sinh khái niệm vô hạn, Luận án thạc sĩ, TP.HCM Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2008), Đại số Giải tích 11 nâng cao, NXBGD 10 Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn Toán trường phổ thông (các tình dạy học điển hình), NXBĐHQG – TP.HCM 11 Vũ Tuấn (chủ biên) (2008), Bài Tập Đại số Giải tích 11, NXBGD 12 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu khái niệm giới hạn hàm số dạy – học Toán: Đồ án didactic môi trường máy tính bỏ túi, Luận văn thạc sĩ, TP.HCM 13 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2008), Một số kết tri thức luận …, Luận án Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007), Trường ĐHSP_TP Hồ Chí Minh 14 Bộ giáo dục đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, NXBGD BIÊN BẢN DỰ GIỜ CÁC TIẾT DẠY (PHỤ LỤC TRANG 73) PROTOCOLE GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiết 53) Lớp học quan sát lớp 11 gồm có 45HS Theo nhận định GV lớp ngoan, trình độ không đồng Giờ học quan sát vào ngày 8/1/2010, từ 7g50 đến 8g35 27 GV bắt đầu giới thiệu dạy: “Chúng ta kết thúc giới hạn dãy số Hôm bước sang 2: Giới hạn hàm số” GV vừa nói vừa ghi tiêu đề: I- Giới hạn hữu hạn hàm số điểm – Định nghĩa 28 GV ghi lên bảng: “Cho h/s f ( x ) x2 x n 1 Cho xn , tìm f xn ” GV đặt câu hỏi: “Để tìm n x 1 f xn theo n ta làm nào?” 29 Một số HS: “Thay xn n 1 vào x ” n 30 GV: “Đúng rồi, tất tính f xn ” 31 Một HS: “ f ( xn ) 2n ” n 32 GV vừa nói vừa ghi lên bảng: “ 2n 2(n 1) xn Hãy tính lim xn , lim f ( xn ) theo n?” n n 33 HS tính toán bên dưới, số HS đưa kết quả: “ lim xn 1, lim f xn ” 34 GV: “Khi ta nói hàm số f ( x ) x2 x có giới hạn x Tất mở SGK trang 124 x 1 ghi nội dung định nghĩa 1” 35 HS làm theo lời GV 36 GV: “Tất ghi xong chưa? Bây vận dụng định nghĩa để giải ví dụ sau: Cho h/s f x x2 Cm: lim f x 6 ” x 3 x3 37 GV: “Tìm TXĐ hàm số trên?” Một số HS: “ x 3 ” 38 GV vừa nói vừa viết bảng: “ ( xn ), xn 3 xn 3 n Ta có lim f xn ? ” Trong lớp số tiếng xì xào lên câu trả lời GV tiếp tục: “Vận dụng tương tự toán lúc nãy, thay x xn tính lim f xn ” HS bắt đầu tính đưa câu trả lời: lim f xn 6 39 GV: “Theo nội dung định nghĩa ta có lim f x ? ” Một số HS: “Bằng -6” x 3 40 GV: “Chúng ta có nhận xét sau: lim x x0 ; lim c c ” HS ghi lại nhận xét x x0 x x0 41 GV: “Về giới hạn hữu hạn hàm số, ta có định lí tổng, hiệu, tích, thương khai giống giới hạn dãy số Chúng ta xem SGK Và áp dụng nội dung định lí để tìm giới hạn hàm số” 42 GV 3) lim x 1 ghi lên bảng: “Tính giới hạn sau: 1) lim x x 1 ; 2) lim x 1 x 2 2x x5 x2 4x x 5x ” ; 4) lim x 2 x 1 x2 43 HS ghi đề bảng vào tập Một số HS hỏi làm để tính giới hạn 44 GV hướng dẫn: “với BT1 vận dụng định lí giới hạn tổng tổng giới hạn, ta có nào?” 45 Hầu hết HS trả lời: lim 3x2 x lim 3x lim x lim x 1 x 1 x 1 x 1 46 GV tiếp tục: “bây áp dụng giới hạn đặc biệt nãy, ta có kết BT bao nhiêu?” Một số HS: “kết 5” GV nhận xét lại kết đồng thời hướng dẫn HS lại có kết đó, trình bày nhanh lời giải 47 GV: “muốn áp dụng định lí giới hạn thương cần điều kiện gì?” HS trả lời: “mẫu số khác không” GV tiếp tục: “BT2 có áp dụng định lí không? Vì sao?” HS trả lời x mẫu số khác GV yêu cầu HS áp dụng định lí tìm giới hạn BT2, HS vận dụng giải kết BT2 48 Đến BT3 có số ý kiến: “Thầy ơi, Thầy?”.GV xuống xem xét lời giải vài HS sau lên bảng giải thích: “Ở BT3 x mẫu số có giới hạn 0, nên ta chưa thể áp dụng định lí để tìm giới hạn BT3 được” Có vài câu hỏi bên dưới: “Thầy ơi,vậy để giải?” GV tiếp tục: “khi x ta thấy tử mẫu có giới hạn 0, ta gọi dạng toán dạng vô định Muốn tìm giới hạn ta phải khử dạng vô định này” 49 Một số HS lớp nói để khử GV nêu phương pháp cách liệt kê thành bước ghi bảng: “B1: phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; B2: đơn giản tử số mẫu số; B3: thay giá trị x để tính giới hạn” HS ghi lại phương pháp 50 Một số HS hỏi phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, GV trình bày hai cách: chia đa thức cho đa thức, sơ đồ hosner Sau GV hướng dẫn HS vận dụng phương pháp ghi để giải BT3 BT4, HS thực yêu cầu GV để tìm lời giải BT 51 GV: “chúng ta thấy cách tìm giới hạn định nghĩa định lí, cách dễ thực hơn?” 52 Đa số HS có lựa chọn dùng định lí GV gật đầu đồng ý nhắc nhở lại HS phải ghi nhớ điều kiện định lí giải toán 53 Cuối GV yêu cầu HS nhà giải BT1, SGK HS đánh dấu BTVN Trống đánh, học kết thúc PROTOCOLE GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiết 54) Lớp học quan sát lớp 11 gồm có 45HS Theo nhận định GV lớp ngoan, trình độ không đồng Giờ học quan sát vào ngày 9/1/2010, từ 7g đến 7g45 50 GV kiểm tra cũ: “Tính: a) lim x3 x x 12 x3 ” Một số HS giơ tay, GV gọi ; b) lim x 1 x x x3 Nam lên bảng HS giải đúng, GV cho HS điểm 51 GV giới thiệu công việc: “Chúng ta tiếp tục nội dung giới hạn hàm số, phần tiếp theo: Giới hạn bên” 52 HS ghi tiêu đề học Có tiếng HS Nam: “Sao Thầy cho em điểm, em xung phong mà” GV giải thích: “Vì câu hỏi dễ, giải toán sau x x x Tính lim f x ” 10điểm” GV ghi lên bảng: “Cho h/s f x x x x1 x x 1 53 Dưới lớp có nhiều tiếng xì xào, có tiếng đó: “Thầy ác quá, có đến hai biểu thức biết tính” GV nghe thấy giải thích: “Vậy xứng đáng điểm 10 Thôi, tạm ngưng BT lại, mở SGK trang 126 đọc cho Thầy nội dung định nghĩa 2” 54 HS mở SGK GV gọi HS đứng chổ đọc định nghĩa yêu cầu HS xem SGK 55 GV tiếp tục công việc: “Trong phần giới hạn bên, cần ghi nhớ nội dung định lí sau: lim f ( x) L lim f ( x) lim f ( x) L ” xx x x x x 0 56 Một số HS: “ x0 x0 thầy ?” GV: “ x0 nghĩa giới hạn bên phải hàm số, x0- giới hạn bên trái hàm số” HS lại tiếp tục ghi nội dung định lí vào 57 GV: “Bây quay lại toán vừa rồi, tìm lim f ( x ) lim f ( x) ” GV x 1 x 1 tiếp tục: “ x 1 , nghĩa x hàm số cho biểu thức nào?” HS : “ x x ” GV: “Lúc giới hạn hàm số bao nhiêu?” Một số HS: “Bằng 3” 58 GV: “Cả lớp có đồng ý với kết không?” Hầu hết HS trả lời: “Đồng ý” GV: “Vậy tiếp tục tìm lim f ( x) , trước hết cần phải biết điều gì?” Một HS: “phải x 1 biết lúc x 1, hàm số cho biểu thức tính giới hạn” GV gật đầu yêu cầu HS giải tiếp toán cho kết 59 GV: “Vậy lim f ( x) ? ” Một số tiếng tranh luận kết quả, GV gợi ý: “Chúng ta xem lại x 1 định lí , lim f ( x) L nào?” Một HS trả lời: “Không có lim f ( x) ”, GV hỏi HS đó: x 1 x x0 “Vì em lại nói lim f ( x) ? ” HS: “Vì x 1 60 GV: “ Đúng rồi, muốn có lim f ( x) x 1 lim f ( x) lim f ( x) ” x 1 x 1 lim f ( x) lim f ( x ) Chúng ta nhớ rõ điều x 1 x 1 nhé!” 61 GV: “Chúng ta qua phần tiếp theo: Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực” HS ghi tiêu đề vào tập 62 GV: “Tất nhìn vào hình 52 trang 127, đồ thị hàm số f x Chúng ta x2 thấy x giá trị f x biểu diễn đồ thị dần đến giá trị hình vẽ?” 63 Một số HS: “Dần đến 2” GV: “Không phải, giá trị x , nhìn lại thật kỹ x , tức x nhận giá trị ngày xa gốc tọa độ phía bên phải, f x ? ” Một số HS: “Dần tới 0” 64 GV: “Đúng rồi, tương tự x f x ? ” Một số HS: “ f x ” 65 GV: “Như ta nói lim f ( x) lim f ( x) Chúng ta vào nội dung định x x nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số vô cực” 66 GV: Gọi HS đứng chổ đọc nội dung định nghĩa, sau GV yêu cầu HS xem học thuộc định nghĩa SGK 67 GV tiếp tục: “Bây ghi vài ý: c lim c c; lim 0” x x x k 68 HS ghi ý vào tập Một số tiếng thở dài có tiếng HS than mệt GV: “Thôi nào, cố gắng lên Chúng ta xét ví dụ sau: Tìm x2 x lim ” x 3x x 69 Một HS: “Làm để tính Thầy?” 70 GV: “Chúng ta làm giống giới hạn dãy số Bậc cao tử mẫu bao nhiêu?” HS: “2” GV: “Ta chia tử mẫu cho x mũ mấy?” HS: “Chia x ” GV: “Đúng rồi, tính giới hạn đi” 71 HS tính toán cho kết GV nhận xét kết cho thêm vài ví dụ: tính 3 x2 x x3 x ; b) lim ; x x x x x3 x giới hạn sau a) lim c) lim x 2x2 x x x2 ; d ) lim 4x x x 72 HS thực giải Đến câu d), có nhiều HS đưa kết nên GV hướng dẫn: “vì x nên rút x bên ta cần phải đặt thêm dấu – vào trước căn, kết xác câu d) bao nhiêu?”, số HS kiểm tra lại kết đồng ý với đáp số 73 GV dặn dò HS cần ý với việc đưa biến số x dấu thức x yêu cầu nhà làm BT4 SGK PROTOCOLE GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ (tiết 56) Lớp học quan sát lớp 11 gồm có 45HS Theo nhận định GV lớp ngoan, trình độ không đồng Giờ học quan sát vào ngày 16/1/2010, từ 7g50 đến 8g35 79 GV giới thiệu công việc: “Chúng ta bắt đầu sửa tập giới hạn hàm số Các em mở SGK trang 132, lên bảng thực giải BT1 câu a) SGK?” 80 Nhiều HS lớp giơ tay, GV gọi HS Mai lên bảng HS giải kết toán, GV cho học sinh điểm 81 GV tiếp tục công việc: “bây đến BT2, em làm BT rồi?” 82 Không có HS giơ tay GV nói cho điểm giải có lời giải thích hợp lý kết toán 83 GV hướng dẫn HS giải BT2: “Vậy bắt tay giải BT2 Đầu tiên với un 1 , lim un ?;lim ? ” n n 84 HS: “ lim un 0;lim ” 85 GV: “Tiếp theo làm để tính f un , f ?” n n 86 Một số HS: “Thay x un , ” 87 GV: “Đúng rồi, quan trọng thay un vào biểu thức biểu thức trên? Vì n sao?” 88 Một HS: “Thay vào biểu thức un ” GV: “Khi lim f un ? ” Một HS khác: “Bằng 1” 89 GV: “Vận dụng tương tự trên, lim f ? ” GV gọi HS Thoa cuối lớp, HS trả lời: 2 “ lim f lim ” (GV không hỏi lý HS lại có kết vậy, công n nhận kết quả) 90 GV: “Từ kết trên, em có nhận xét lim f x ? x0 91 Dưới lớp ồn ý kiến khác kết quả, HS xung phong trả lời 92 GV tiếp tục: “Ta thấy dãy số un có giới hạn 0, lim f un lim f khác Theo nội dung định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm ta kết luận không tồn lim f x Được chưa, em ghi lời giải vào BT” x 0 93 HS tiến hành ghi chép lời giải Một số HS không ghi, GV đến nhắc nhở phải ghi lại lời giải 94 GV tiếp tục công việc: “Thầy mời bạn lên bảng giải BT lấy điểm: Câu 3b, 3c 3f; Câu 4a, 4b 4c Ai xung phong không?” Nhiều HS giơ tay, Nhi Nam gọi lên bảng để thực lời giải Trong GV xuống lớp học để kiểm tra tập HS, đồng thời nhắc nhở hai HS bảng ý trình bày giải cách cẩn thận Sau hai HS bảng thực xong lời giải, GV tổ chức cho HS nhận xét lời giải bảng 95 Đầu tiên với câu 3b GV dạng vô định yêu cầu HS nêu phương pháp tìm giới hạn HS trí với việc phân tích x x x sau đơn giản x 96 Đến câu 3c GV đặt câu hỏi: “để khử dạng vô định trường hợp ta làm nào?” HS trả lời nhân chia với biểu thức liên hiệp x , GV gọi HS đứng chổ nhận xét nhanh lời giải Nhi HS nhận xét GV cho điểm HS Nhi điểm 97 Với lời giải Nam, HS đưa kết toán nên GV yêu cầu Nam lên bảng tự tổ chức hướng dẫn cho HS lớp hiểu lại đưa kết BT4 HS không lên, nên GV không cho điểm bắt đầu hướng dẫn HS lớp giải lại kết BT4 98 Công việc lại GV tổ chức tiếp tục: “Chuyển qua BT5, tất quan sát đồ thị trả lời câu hỏi sau: giá trị hàm số f(x) dần đâu x ?; x 3 ?; x 3 ? ” 99 Có tiếng thảo luận kết quả, GV gọi HS bàn đầu đứng dậy nêu câu trả lời HS: “ x f ( x) ” Nhiều HS khác nói kết sai cho f ( x) 100 GV yêu cầu HS vừa trả lời xem lại đồ thị GV nói lại kết quả: x f ( x) 101 GV tiếp tục công việc: “Khi x 3 nghĩa x , f x có giá trị nào?” Một số HS: “ f ( x) ” 102 GV: “Khi x 3 f x ? ” HS: “ f ( x) ” 103 GV yêu cầu HS kiểm tra lại kết cách tính lim f x ; lim f ( x); x x 3 lim f ( x) nháp, HS thực yêu cầu GV hầu hết đồng ý với kết x 3 lúc đầu 104 GV: “Như vậy, ta dựa vào đồ thị để nhận xét giới hạn hàm số Bây x f x ? ” 105 Một số HS suy nghĩ trả lời: “Thưa Thầy f x ” Trống đánh, học kết thúc GV dặn dò HS làm tiếp BT lại SGK [...]... triển của thể chế hiện hành trong việc dạy khái niệm giới hạn của hàm số so với thể chế trước đây Nhắc lại rằng trong khn khổ của luận văn, chúng tơi chỉ phân tích nội dung Giới hạn hữu hạn của hàm số và xét dưới hai góc độ : Giới hạn hữu hạn của hàm số hoạt động dưới dạng đối tượng nghiên cứu 1 ; Giới hạn hữu hạn của hàm số hoạt động dưới dạng cơng cụ nghiên cứu 2.1 2.2.1.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số. .. chương trình chỉnh lí hợp nhất ở trường THPT ? Đặc biệt, sự xuất hiện của những bài tốn xấp xỉ số và xấp xỉ hình học ảnh hưởng như thế nào đến sự tiến triển này ? CHƯƠNG 2 MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TRONG DẠY HỌC TỐN Ở TRƯỜNG THPT Mục đích của chương Nghiên cứu mối quan hệ của thể chế hiện hành đối với việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường THPT và so sánh với các... tích ở nội dung giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, chúng tơi rút ra một số kết luận sau : - Quan điểm xấp xỉ x có thể được hình thành trong cách định nghĩa giới hạn của hàm số trong cả ba bộ SGK thơng qua hoạt động thực nghiệm số - Quan điểm đại số thể hiện qua nội dung định lí tổng, hiệu, tích, thương của giới hạn hàm số và áp dụng vào trong các bài tốn tìm giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn của. .. mất của các định lí về tính duy nhất của giới hạn dãy số, điều kiện cần và điều kiện đủ để một dãy số có giới hạn, định lí giới hạn kẹp của giới hạn dãy số Về giới hạn của hàm số Trong chương trình hiện hành có sự xuất hiện và tồn tại các bài tốn xấp xỉ số và xấp xỉ hình học liên quan đến việc xây dựng và hình thành khái niệm giới hạn của hàm số Chương trình hiện hành phân biệt hai khái niệm giới hạn. .. xuất hiện ở đây là quan điểm xấp xỉ x và quan điểm đại số 2.2.1.2 Giới hạn hữu hạn của hàm số hoạt động dưới dạng Cơng cụ Trong chương trình tốn học phổ thơng Việt Nam, giới hạn hữu hạn của hàm số có mối quan hệ mật thiết và được xem là cơng cụ để nghiên cức các khái niệm khác của Giải tích như : hàm số liên tục tại một điểm; đạo hàm của hàm số tại một điểm; đường tiệm cận của đồ thị hàm số Để làm... đồ thị C của hàm số - Quan sát đồ thị và nhận xét giá trị của hàm số khi x a - Kiểm tra nhận xét bằng cách tính lim f x bằng phép tốn đại số xa Cơng nghệ 2 : - Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, tại vơ cực - Định nghĩa giới hạn một bên của hàm số - Các định lí về giới hạn hữu hạn : tổng, hiệu, tích, thương, khai căn - Các giới hạn đặc biệt Ví dụ : Cho hàm số f ( x) x2... điểm; giới hạn một bên của hàm số; giới hạn của hàm số tại » [CT, tr.162-164] Tiếp theo là khái niệm hàm số liên tục trong chương IV và khái niệm đạo hàm trong chương V để nêu lên một số ứng dụng của khái niệm giới hạn hàm số trong việc xét tính liên tục và tính đạo hàm của hàm số So với chương trình chỉnh lí hợp nhất, điểm khác nhau cơ bản giữa hai chương trình là : Về giới hạn của dãy số Chương... « giới hạn của hàm số tại vơ cực »: Chương trình chỉnh lí hợp nhất tồn tại định nghĩa giới hạn của hàm số f x khi x , chương trình hiện hành chỉ tồn tại định nghĩa giới hạn của hàm số f x khi x , x , khơng tồn tại định nghĩa giới hạn của hàm số f x khi x Điểm khác biệt giữa SGK 11.CB so với SGK 11.NC và 11.CLHN thể hiện trong cách xây dựng định nghĩa giới hạn của hàm số. .. 3 vào trong q trình xây dựng định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực, chúng tơi đi phân tích SGV của chương trình chuẩn, đối với hoạt động 3 trong SGK 11.CB, SGV nêu nhận định : « Do cách định nghĩa khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại tương tự với cách định nghĩa giới hạn của hàm số đã biết trước đó (định nghĩa qua giới hạn của dãy số) và do hạn chế về thời gian, nên SGK chỉ đưa vào... rõ những tiến triển của thể chế hiện hành liên quan đến việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số Phân tích khả năng “ sống được ” của những kiểu bài tốn xấp xỉ số và xấp xỉ hình học liên quan đến giới hạn hữu hạn của hàm số có mặt trong thể chế hiện hành Phân tích một bộ SGK Mỹ để làm cơ sở tham chiếu so sánh việc xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn với các bộ SGK ở Việt Nam Qua đó nhằm