Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ DUNG ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ DUNG ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành Mã số : LL PPDH môn Toán : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Dũng HÀ NỘI – 2017 LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Khách thể đối tượng nghiên cứu Giả thuyết khoa học ý nghĩa việc nghiên cứu 4.1 Giả thuyết khoa học 4.2 Ý nghĩa khoa học việc nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Giới hạn phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Cơ sở lý luận 1.1.1 Định hướng đổi PPDH 1.1.2 Lý luận dạy học định lý dạy học khái niệm 1.2 Cơ sở thực tiễn 31 1.2.1 Nội dung Giới hạn tính liên tục hàm số chương trình môn Giải tích trường ĐHSP 31 1.2.2 Nội dung Giới hạn tính liên tục hàm số phân phối chương trình môn Toán trường THPT 33 1.2.3 Những điểm khác biệt việc trình bày nội dung phổ thông đại học 34 1.2.4 Một số điều cần lưu ý dạy học nội dung Giới hạn tính liên tục hàm số 36 TÓM TẮT CHƯƠNG I 38 Chương : GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 39 2.1 Khó khăn sai lầm mà giáo viên học sinh gặp phải dạy học nội dung giới hạn liên tục hàm số lớp 11 trường THPT 40 2.1.1 Khó khăn mà giáo viên học sinh gặp phải dạy học nội dung giới hạn liên tục 40 2.1.2 Một số sai lầm mà giáo viên học sinh mắc phải dạy học nội dung giới hạn tính liên tục hàm số 42 2.2 Một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục số khó khăn sai lầm dạy học nội dung Giới hạn tính liên tục hàm số 54 2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức seminar “Bàn dạy học chủ đề Giới hạn tính liên tục hàm số” tổ môn Toán 54 2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức hoạt động dự hội giảng, chuyên đề…, với mục đích thực hóa vấn đề thảo luận seminar 60 2.2.3 Biện pháp 3: Trực quan hóa khái niệm trừu tượng dạy học nội dung Giới hạn tính liên tục hàm số việc sử dụng phần mềm hỗ trợ dạy học môn Toán 62 2.2.4 Biện pháp 4: Tăng cường khai thác sử dụng phản ví dụ dạy học khái niệm định lí giới hạn tính liên tục hàm số; với mục đích giúp HS tiếp nhận củng cố nội hàm khái niệm trừu tượng, ý nghĩa điều kiện áp dụng định lí 70 2.2.5 Biện pháp 5: Xây dựng hệ thống tập có tính chất phân bậc cho nội dung cụ thể dạy học chuyên đề Giới hạn tính liên tục hàm số; với mục đích giúp HS tiếp nhận củng cố khái niệm trừu tượng 74 KẾT LUẬN CHƯƠNG 80 Chương : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 81 3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 81 3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 81 3.3 Nội dung, cách thức tổ chức thực nghiệm sư phạm 82 3.3.1 Thực nghiệm sư phạm đợt 82 3.3.2 Thực nghiệm sư phạm đợt 84 3.4 Kết luận chung thực nghiệm 91 KẾT LUẬN 93 PHỤ LỤC 95 Phụ lục số : phiếu điều tra GV 95 Phụ lục số : Phiếu thăm dò ý kiến GV 97 Phụ lục số : Giáo án thực nghiệm 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu độc lập, trích dẫn luận văn xác trung thực.Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Văn Dũng, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Xin cảm ơn quý lãnh đạo, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Tôi xin gởi lời cảm ơn đến BGH trường THPT Mỹ Lộc tập thể học sinh lớp 11A5 giúp đỡ thời gian tiến hành thực nghiệm luận văn Cuối xin chân thành biết ơn người thân gia đình người bạn thân thiết cỗ vũ động viên suốt trình học tập DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT SGK :Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông GV : Giáo Viên HS : Học sinh TXĐ : Tập xác định MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Thứ nhất: Xuất phát từ mục tiêu, yêu cầu giáo dục phổ thông Trong công đổi đất nước, Đảng Nhà nước ta nhấn mạnh yếu tố người, phát triển người toàn diện để đáp ứng yêu cầu nghiệp công nghiệp hóa, đại hóa đất nước thích nghi với xu toàn cầu Điều mục 27 chương luật GD 2005 quy định: “Mục tiêu giáo dục THPT nhằm giúp học sinh củng cố phát triển kết THCS, hoàn thiện học vấn phổ thông, có hiểu biết thông thường kỹ thuật hướng nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển phát huy lực cá nhân, tiếp tục học CĐ-ĐH, trung học chuyên nghiệp học nghề vào sống lao động” Nhu cầu định hướng đổi phương pháp dạy học cho thấy việc dạy học không đơn giản cung cấp tri thức có sẵn mà phải giúp cho học sinh có tư duy, khả sáng tạo, lực tổng hợp chuyển đổi ứng dụng thông tin vào hoàn cảnh để giải vấn đề đặt ra, thích ứng với thay đổi sống, có lực hợp tác chuyển đổi lực Thứ hai: Xuất phát từ thực tiễn Một phần quan trọng Toán học Giải tích, Douglas(1986) viết: “Giải tích tảng Toán học, Giải tích đường trung tâm Toán học, sở cho việc nghiên cứu nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác” Đề cập đến vai trò chủ đề Giới hạn SKG Đại số Giải tích 11 (nâng cao) viết: “Giới hạn vấn đề Giải tích Có thể nói Giới hạn Giải tích, hầu hết khái niệm Giải tích liên quan đến Giới hạn” Khi HS tiếp thu tri thức pháp khắc phục Hoạt động trao đổi phương pháp giải số tập khó, có tính chất đặc thù Hoạt động thực phân tích học (một số) Chương, cử người dạy mẫu cho ý kiến việc soạn dạy mẫu III Ý kiến đóng góp giáo viên nội dung buổi seminar ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Xin chân thành cảm ơn Thầy Cô ! 99 Phụ lục số : Giáo án thực nghiệm Bài 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC I.MỤC TIÊU : Qua học này, HS cần đạt mục tiêu: 1.Kiến thức :  Phân tích định nghĩa hàm số liên tục điểm  Phát biểu đựơc định nghĩa hàm số liên tục khoảng, đoạn  Phân tích định lí giá trị trung gian 2.Kỹ năng:  Vận dụng định nghĩa, định lí học để xét tính liên tục điểm hàm số đơn giản  Vận dụng định lí giá trị trung gian để chứng minh phương trình có nghiệm Tư duy, thái độ: Khả phán đoán, phân tích, tổng hợp, Định hướng lực cần phát triển cho học sinh  Năng lực chung:  Năng lực tự học: Học sinh xác định đắn động thái độ học tập; tự đánh giá điều chỉnh kế hoạch học tập; tự nhận sai sót cách khắc phục sai sót  Năng lực giải vấn đề : Biết tiếp nhận câu hỏi, tập có vấn đề đặt câu hỏi Phân tích trường hợp đếm 100  Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc thân trình học tập vào sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho thành viên nhóm, thành viên tự ý thức nhiệm vụ hoàn thành nhiệm vụ giao  Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực giao tiếp  Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói viết xác ngôn ngữ Toán học  Năng lực chuyên biệt:  Năng lực tự học: Đọc trước chủ đề Liên tục  Năng lực tính toán: Hs biết xét tính liên tục hàm số điểm II.CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS GV: soạn giáo án , chuẩn bị phiếu học tập, bảng phụ HS: ôn tập kiến thức cũ giới hạn hàm số III TIẾN TRÌNH BÀI HỌC: *Ổn định lớp, giới thiệu: Phiếu học tập:  x  2, khix  1  Cho hàm số f(x) = x2 g(x) = 2,   x   x  2, khix   a, Tính giá trị hàm số x = so sánh giới hạn (nếu có) hàm số x 101 b, Nêu nhận xét đồ thị hàm số điểm có hoành độ x = (GV treo bảng phụ) Sau HS trả lời hai câu hỏi trên, GV nêu nhận xét: Hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện lim f ( x)  f (1) gọi liên tục điểm x = Vậy x1 hàm số liên tục điểm x0 bất kì? Để trả lời cho câu hỏi này, vào tìm hiểu nội dung học ngày hôm H3: Làm để em biết hàm số liên tục hay không điểm? H4: Em phát biểu định nghĩa hàm số f(x) liên tục điểm x0 theo cách hiểu không ? GV nhắc lại định nghĩa hàm số liên tục điểm SGK H5: Để hàm số g(x) liên tục x = em phải thay số số nào? H6: Qua ví dụ trên, theo em hàm số f(x) gọi không liên tục điểm? *Bài mới: Hoạt động 1: Định nghĩa hàm số liên tục điểm Hoạt động GV Hoạt động Nội dung HS I Hàm số liên tục điểm GV nêu câu hỏi: Qua ví dụ trên, em HS nêu Định nghĩa Định nghĩa1: cho biết hàm hàm số liên tục Cho hàm số y = f(x) xác số liên tục điểm? điểm 102 định khoảng K x0  K Hàm số y = f(x) gọi liên tục x0 lim f ( x)  f ( x0 ) x  x0 * Hàm số y = f(x) không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm Ví dụ 1:.Xét tính liên tục hàm số: Tìm TXĐ hàm số? f(x)= Xét tính liên tục TXĐ D = R\ {3} TXĐ : D = R\{3} hàm số x0 = ta kiểm tra điều gì? lim f ( x)  f (2) ? 2x 2.2   4 x2 x  23 lim f ( x)  lim x2 x 2 Hãy tính lim f ( x) ? x f(2)=? Kết luận tính liên 2x x0 = x3 2.2  4 23 lim f ( x)  4 f(2) = f(2) = -4  lim f ( x)  f (2) x2 x 2 tục hàm số x0 = Hàm số liên tục Vậy hàm số liên tục x0 x0 = 2? =2 Ví dụ 2: Cho hàm số + Tìm TXĐ ? + TXĐ: D = R +Tính f(1)? + f(1) = a f ( x) ? +Tính lim x1 f ( x)  + lim x 1  x 1 x   f(x) =  x   a x  Xét tính liên tục hàm số 103 x0= TXĐ: D = R + a = ? hàm số liên +hàm số liên tục f(1) = a tục x0=1? x0 =  lim f ( x)  f (1)  x 1 + a = ? hàm số gián a = đoạn x0 = 1? x2 1 lim f ( x)  lim x 1 x 1 x 1 ( x  1)( x  1)  lim x 1 x 1 + a  hàm số gián đoạn x =1 ( x  1)  = lim x 1 + a =2 lim f ( x)  f (1) x 1 Vậy hàm số liên tục x0 = + a  lim f ( x)  f (1) x 1 Vậy hàm số gián đoạn Tìm TXĐ? x0 = Hàm số liên tục x0 = TXĐ : D = R nào? Ví dụ 3: Cho hàm số Tính f(0)? lim f ( x)  lim f ( x)  f (0) x 0  x 0 Tính lim f ( x) ? x 0  x  x   x x  f(x) =  Xét tính liên tục hàm số  x = f(0) = Tính lim f ( x) ? lim f ( x)  lim x  x 0 x 0 x 0 Nhận xét lim f ( x) Bài giải: TXĐ: D = R f(0) = x 0  104 lim f ( x) ? x 0  lim f ( x)  lim ( x  1)  lim f ( x)  lim x  x 0  x 0 x 0 Kết luận gì? lim f ( x)  lim ( x  1)  x 0  lim f ( x)  lim f ( x) x 0 x 0 x 0  x 0 Vì lim f ( x)  lim f ( x) x 0  x 0  Hàm số không liên tục x0= f ( x) không tồn Nên lim x hàm số không liên tục x0 = Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x)  x  Xét tính liên tục hàm số điểm x = GV đưa ví dụ thứ Bài giải: phản ví dụ để HS nhận sai lầm kịp Lời giải HS: + TXĐ: D = 1;  Ta có: f(1) = +f(1) = thời sửa chữa sai lầm nhầm lẫn giới hạn bên với giới + hạn hàm số điểm trường hợp lim f ( x) x1 lim x   x1 f ( x) = = + lim x1 +không tồn lim f ( x) x1 f ( x) = f(1) = ⇒ f(1) = 0= lim f ( x) hàm số xác định ⇒ lim x1 x1 nửa đoạn Vậy hàm số liên ⇒hàm số f(x) không liên tục Thông qua phản ví dụ tục x=1 điểm x = 1, mà liên tục này, HS củng cố phải x=1 105 lại kĩ tính giới hạn hàm sốkhi xét tính liên tục hàm số điểm HS ý theo dõi GV hướng dẫn GV hướng dẫn HS tìm ghi chép lời giải sau HS mắc sai lầm GV: hàm số f(x) thỏa mãn: lim f ( x) =f(1)=0 x1 Được gọi liên tục phải điểm x=1 Hoạt động 2: Hàm số liên tục khoảng Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung HĐTP 1: Định nghĩa hàm HS đọc định nghĩa II Hàm số liên tục liên tục khoảng khoảng GV gọi HS đọc định nghĩa Định nghĩa 2: (SGK) hàm số liên tục Hàm số liên tục đoạn khoảng, đoạn GV ghi tóm tắt định nghĩa HS phát biểu [a; b] hàm số liên tục khoảng (a; b) bảng lim f ( x )  f ( a ) xa  Yêu cầu HS phát biểu định lim f ( x )  f (b ) xb nghĩa trường hợp 106 nửa khoảng GV gọi HS nêu nhận xét HS dựa vào hình vẽ III Một số định lý đồ thị hàm liên tục nêu nhận xét Định lý 1: không liên tục a) Hàm đa thức liên tục khoảng toàn tập số thực HĐTP 2: Một số định lý b) Hàm số phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục GV liên hệ sang mục III tập xác định Để biết hàm số có liên Định lý 2: SGK tục khoảng hay HS phát biểu định lý Ví dụ 1: không ta phải chứng a) Cho hàm số minh liên tục điểm thuộc khoảng  x3  ,x   g  x   x  5 ,x   Người ta chứng minh hàm số đa thức liên tục điểm Xét tính liên tục hàm số thuộc R tập xác định nó? Yêu cầu HS phát biểu định LG: lý 1, TXĐ: D = R Ta với x2 HS suy nghĩ thực x3  hàm phân g ( x)  x2 ví dụ thức hữu tỷ có tập xác định GV đưa ví dụ áp dụng định lý xét Yêu cầu hs thảo luận tìm hướng giải ví dụ GV gọi đại diện nhóm nêu định hướng giải HS nêu định hướng 107  ;2   2;   nên liên tục khoảng  ;2 &  2;   toán giải GV đặt vài câu Tại x = 2: ta có lim g  x   lim x 8 x 2 x 2 x  hỏi giúp định hướng + Trước tiên ta phải tìm lim( x  x  4)  12 x2 TXĐ hàm số? + Muốn xét tính liên tục g (2) = hàm số ta sử dụng  lim g ( x)  g   x2 định lý nào? Hàm số y = g(x) không liên Gv yêu cầu hs thực HS suy nghĩ trả tục x0  lời hoạt động nhóm Vậy hàm số liên tục HĐ SGK khoảng  ;2  &  2;   gián đoạn x = b)Xét tính liên tục hàm số sau TXĐ nó:  x  5x  x   f ( x)   x  2 x  x   c) Cho hàm số  x  x-2  f ( x)   x  5  x  Sau làm xong câu a x  x  GV yêu cầu HS độc lập tiến HS suy nghĩ, độc lập Hàm số f(x) có liên tục R hành làm câu b c vào tiến hành làm câu b, hay không? c vào GV gọi Hs có câu trả lời 108 nhanh lên bảng trình HS lên bảng trình bày lời giải bày lời giải câu b, c GV nêu nhận xét, chỉnh sửa sai lầm HS (nếu có) Định lý 3: (SGK) Sau giải ví dụ 1: GV hướng dẫn HS theo dõi Hs ý theo dõi định lý SGK định lý SGK y f(a) c b x a f(b) y = f(x) GV gọi HS nêu định lý GV vẽ hình minh họa giúp HS hiểu rõ định lý GV đưa dạng phát biểu khác định lý Ví dụ 2:a) Chứng minh Hs thực ví dụ Củng cố định lý có nghiệm GV đưa ví dụ GV định hướng cho HS phương trình x  x   LG: HS ý theo dõi, Xét hàm số f ( x)  x3  x  + Bài toán ta sử trả lời câu hỏi dụng định lý để chứng 109 Ta có f(0) = -5 minh phương trình có GV f(2) nghiệm = Do f (0) f (2)  35  + Trước tiên ta xét hàm số HS trả lời f ( x)  x3  x  Các em có y = f(x) hàm đa thức nên nhận xét tính liên tục f(x) liên tục đoạn [0 ; 2] Đại diện nhóm trả lời hàm số ? hàm số liên tục Do Từ suy phương trình + Hãy tìm hai số a, b f(x) = có nghiệm x0 cho f(a) f(b) trái dấu ?  (0 ; 2) Ta có đpcm + Từ định lý suy nghiệm thuộc khoảng (a; b) vừa tìm GV yêu cầu nhóm thảo luận đưa kết b) Cho f ( x)  2x  4x  x  GV gọi đại diện nhóm chứng minh phương trả lời chỉnh sửa sai lầm HS thảo luận, trao trình f(x) = có it n hất đổi làm câu b nghiệm thuộc khoảng (0;2) HS (nếu có) GV đưa phản ví dụ ví dụ LG : nhằm mục đích để HS mắc Lời giải HS: Ta có : dễ dàng nhận thấy sai lầm, thông qua sai +f(0)=1>0 tổng hệ số ohương lầm HS, GV giúp HS +f(2)=3>0 trình : 2-4+1+1=0 +f(1)=0 Do phương trình có hiểu điều kiện f(a).f(b)0 phải điều kiện đủ để f(0).f(1)=f(1).f(2)=0 phương trình có nghiệm tìm nghiệm x=1 ⇒ =  x  1. 2x  2x  1 Nghĩa f(a).f(b)>0 khoảng (a;b) ⇒ phương trình f(x)=0 cho 110 2x  4x  x  2x  4x  x  =0 x 1  phương trình f(x)=0  2x  2x   có nghiệm vô nghiệm f(a).f(b)