Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi

www.thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài Cho dãy số ( an )   a1 = a + a    an +1 = 2an − 2an − 3an − 4an − Chứng minh với số thực xác định :  a ≠ dãy ( an ) hội tụ Tùy theo a , tìm giới hạn dãy ( an ) Hướng dẫn giải Nếu a > a+ ≥2 (do bất đẳng thức AM-GM) a −a + 1 ≥2 a + ≤ −2 (do bất đẳng thức AM-GM) nên −a a Nếu a < Nếu * a = a1 = Ta chứng minh: an = 2, ∀ n ∈ ¥ Hiển nhiên a1 = 2.23 − 2.22 − ak = ⇒ ak +1 = =2 Giả sử 3.22 − 4.2 − Vậy lim an = lim = a >  * Nếu  a ≠ a1 > Ta chứng minh an > ∀n ∈ ¥   Rõ ràng a1 > Giả sử ak > Ta chứng minh ak + > 2ak − 2ak − 2 ak +1 > ⇔ > ⇔ ak ( a k − ) > 3ak − 4ak − ( đúng) Ta chứng minh ( an ) dãy giảm, : − an + 2an + an − − ( an − 1) ( an − ) ∀ n, an +1 − an = = 3an − 4an − > ⇔   2−  an <  Mà an > > ( an ) 2+ ⇒ an − a n − > ) giảm bị chặn ⇒ ( an ) có giới hạn L 2an − 2an − 2 L3 − L2 − lim an +1 = lim ⇒ 3an − 4an − 3L2 − L − ⇒ L = ( an > ⇒ L ≠ −1 ) Vậy lim an = Nếu a > a1 ≤ − Tương tự, ta có: − an + 2an + an − − ( an − 1) ( an − ) ∀ n, an +1 − an = = >0 3an − 4an − 3an − 4an − nên ( an ) tăng Hơn ( an ) bị chặn − , a k − ak − 2 ak + < − ⇔ < − ⇔ ( ak + 1) (2a − 3) < 3ak − 4ak − Vậy ( an ) tăng bị chặn ⇒ ( an ) có giới hạn L an < −1, ∀n , an +1 − an > 0, ∀n L= L3 − L2 − ⇒ L = −1 ( an < −1⇒ L ≠ ) 3L2 − L − Vậy lim an = − Tóm lại: + Nếu a = lim an = a >  + Nếu  a ≠ lim an = + Nếu a < lim an = − www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  x1 >  2015  *  xn +1 = xn + x + x + x + L + x 2015 ( n ∈ ¥ ) n n n n xác định  Tìm giới Cho dãy số ( xn ) Bài α hạn dãy nxn n → +∞ , với α  là số thực cho trước Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh xn > 0, ∀ n ≥ qui nạp Ta có  1 xn +1 > xn + , ∀ n ≥ 1 ⇒ xn2+1 >  xn + ÷ = xn2 + + > xn2 + 2 ; ∀ n ≥ xn xn  xn  Bởi ∀ n ∈ N, n ≥ xn > xn −1 + > xn− + > … > x1 + ( n − 1) 2 ⇒ xn > 1, ∀n ≥ 2 và  lim xn = +∞ n → +∞ Với  n ∈ N , đặt * xn +1 = xn + xn > 1; ∀n ≥ ⇒ < tn < 2 2015 + tn tn = + +…+ 2015 xn xn xn xn t xn2 , với t = + + … + 2014 + 2015  (1), suy 2 n +1 x   2t 1 − x =  xn + + tn ÷ − xn2 = + tn2 + + xntn + n → xn xn xn   n → +∞ n  b1 = x12     2 Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy ( bn )   với  bn = xn − xn −1 , ∀ n ≥ 2.  ta có lim bn = n → +∞ b1 + b2 + … + bn = lim bn = n →+∞ suy n→ +∞ n lim 2 2 2 n xn2 ( xn − xn−1 ) + ( xn−1 − xn− ) + … + ( x2 − x1 ) + x1 b1 + b2 + … + bn  lim =   = =    Mà n suy n→ +∞ xn n n n = n→+∞ x 2 sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro) Thật ta có thể chứng minh trực tiếp n  lim Xét dãy ( cn ) : c1 = x1 − 2; cn = xn − xn−1 − với n = 2,3… lim cn = n → +∞ 2 ε cn < , ∀  n ≥ m nên ∀ ε > 0   tồn m∈ N cho * { } Gọi M = max ci    với ≤ i ≤ m −1 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com ε Với  ( m − 1) M  ( m − 1) M ( m − 1) M < ε m′ =   +1 < m' ε   tồn ε hay m′ Xét n > max { m, m '} ta có | ∑ i =1ci | ≤ ∑ i =m ci lim | ∑ i =1ci | n n n n + ∑ m −1 i =1 | ci | n < ε + ( m − 1) M < ε + ( m − 1) M < ε + ε = ε o theo định n m′ 2 ( n − m + 1) n n nghĩa n → +∞ n =0 2 2 2 n xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn− ) + … + ( x2 − x1 ) + x1 c1 + c2 + … + cn  lim =   = = + 2  suy n→ +∞ xn n n n n.xnα = n.xn−2 →  khi n → +∞   Nếu α = − α α +2 −2 α α +2 −2 Nếu α > −2 n.xn = xn n.xn → +∞  khi n → +∞   Nếu α < −2 n.xn = xn n.xn → Bài Cho hai số a1 , b1 với < b1 = n → +∞ a < Lập hai dãy số ( an ) , ( bn ) với n = 1, 2, Theo quy tắc an+1 = (an + bn ) b = a b lim a lim b n +1 n Tính: n → ∞ n n → ∞ n sau: giải nghĩa là: , n +1 Hướng dẫn giải π Tính a2 , b2 với < b1 = a1 < ta có thể chọn < a < cho: b1 = cosa , Suy a1 = cos a 1 a a2 = (cos a + cos a) = cos a(cos a + 1) = cos a.cos 2 2 a a b2 = cos a.cos cos a = cos a.cos 2 Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a a a an = cos a.cos cos n −1 cos n −1 (1) bn = cos a.cos cos n −1 (2) 2 2 Nhân hai vế (1) (2) cho www.thuvienhoclieu.com sin a 2n −1 áp dụng công thức sin 2a được: Trang www.thuvienhoclieu.com a 2n −1 , a 2n.sin n −1 sin 2a.cos an = bn = sin 2a a 2n.sin n −1 Tính giới hạn: lim an = n→ ∞ sin 2a , 2a lim bn = n→ ∞ sin 2a 2a Cho dãy số ( an ) , a1 = Bài an+1 = an + a lim n = an Chứng minh: n→ ∞ n Hướng dẫn giải k +1 a n n −1 n −1 1 2 = a + + ⇒ ∑ = ∑ a j + ∑ + 2( n − 1) ak i=2 j =1 j =1 a j k n −1 2n − , ∀ n ≥ j =1 a j Vậy an > an2 = 2n − + ∑ ak2 > 2k − ∀ k ≥ ⇒ 1 1 < < = = 2 a k (2k-1) (2k-1) − 4k(k+1) 1 1 − ÷   k −1 k  n −1 1 1 n −1 1 < (1 − ) < ⇒ ∑ < 1+ = ∑ n −1 4 j =1 a j Suyra: k = ak n −1 n −1 1 ≤ ( n − 1) ∑j =1 a ∑j =1 a < (n − 1) (n ≥ 2) j j Suyra: Vậy: an2 < 2n − + Suyra: n ≥ 2; lim Dođó: n→∞ Bài 5(n − 1) (n ≥ 2) 2n-1 => un > ,∀n∈ N* un + − un = un / (1 + un2 ) − un = (−un3 ) / (1 + un2 ) < ∀ n ∈ N * ⇒ ( un ) dãy số giảm bị chặn ⇒ lim un = a (a ∈ R, a ≥ 0) n → +∞ Từ un + = un / (1 + un ), cho n → +∞ ta được: un = a = a / (1 + a ) ⇔ a = Vậy xlim → +∞ www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com * Đặt = 1/ (un + 1) − 1/ (un ), n ∈ N 2 Ta có = ((1 + un ) / un ) − 1/ (un ) = + un → n → +∞ ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có: 2 2 − v1 + v2 + … + u = ⇔ lim n →+ ∞ n →+ ∞ n n n +1 lim  1  − u un ⇔ lim  n +1 u lim n +1 − n Mà n→+∞ u n2 =2  1 ÷+ −  u n u1 = n n →+∞ 1 u12 v u2 = lim n = lim = lim = n →+∞ n ; n→+∞ n n→ +∞ n un2 1 lim = ⇒ lim = ⇒ lim (un n ) = n →+∞ n.u n → +∞ ⇒ n→+∞ n n Cho dãy { U n } Bài U1 =  *  U n2 + 2009U n ( n ∈ N ) U n +1 = 2010 xác định bởi:  n  Ui  S =  n ∑  lim S i =1 U i +1 −  Tính x →∞ n Ta lập dãy { S n } với  Hướng dẫn giải Tacó a1 = − Giả sử a0 >0 a1 , a2 , , an−1 > Tacó a0  an an −1  + + + n + =  1   1 1 ⇒ an =  − ÷an −1 +  − ÷an − + +  −  ÷a0 a a a 2 n n +       n − n −  + + + =  n Hay Do an = an −1 an− a0 a1 + + + + 1.2 2.3 (n − 1)n n (n + 1) a1 , a2 , , an−1 > nên www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com  an −1 an− a1   2an −1 3an− na  + + + + + + ÷  ÷ (n − 1) n   n −1  1.2 2.3 a a a  a2 ≥  n −1 + n− + + ÷ = 02 ( n − 1)  n  a a a1  a02 ⇒  n−1 + n− + + ≥ ÷ 3a na  (n − 1)n   2a  1.2 2.3 n  n −1 + n− + + ÷ n −1  Ta lại có 2an −1 3an− 3a na a   2a + + + = n  n−1 + n− + + ÷ n −1 2n n −1  n a a  a  a  ≤ n  n −1 + n − + + ÷ = n  − ÷ = − a0 n −1    n a a a1  a0 ⇒  n −1 + n − + + ÷≥ − ( n − 1) n  n  1.2 2.3 ⇒ an = an −1 an − a0 a a0 a1 + + + + ≥ − 02 + >0 1.2 2.3 (n − 1)n n(n + 1) n n(n + 1) Từ suy điều phải chứng minh Bài Cho dãy số ( un ) xác định u1 = 1, un +1 = + un2 − , ∀ n ≥ un a) Chứng minh: un = tan π , ∀ n ≥ n +1 b) Suy tính đơn điệu bị chặn ( un ) HƯỚNG DẪN GIẢI a) Chứng minh quy nạp toán học b) Nhận xét 0<  π π π ≤ , ∀ n ≥  0; ÷ hàm số tanx đồng biến   n +1 nên dãy số ( un ) giảm bị chặn số bị chặn số Bài tan tan = π = Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com x1 > 0; xn +1 = xn + 2014 2015 + + + + 2014 + 2015 , ∀ n ∈ ¥ * xn xn xn xn xn 1.Với n ∈ ¥ ,đặt * 2.Tìm số yn = n xn2 Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn α để dãy ( nxn ) có giới hạn hữu hạn giới hạn số khác α HƯỚNG DẪN GIẢI 1.Từ giả thiết suy xn +1 > xn + 1 > ⇒ xn2+1 > xn2 + + > xn2 + xn xn xn2+1 > xn2 + > xn2−1 + > > x12 + 2n lim xn = +∞ Suy Xét  2014 2015  2014 2015  xn2+1 − xn2 = ( xn +1 + xn ) ( xn +1 − xn ) =  xn + + + + + 2014 + 2015 ÷ + + + + 2014 + 2015 ÷ xn xn xn xn xn  xn xn xn xn xn    2014 2015   2014 2015  =  + + + + + 2015 + 2016 ÷ + + + + 2013 + 2014 ÷ xn xn xn xn xn   xn xn xn xn   Suy lim ( xn2+1 − xn2 ) = xn2 ( xn − xn −1 ) + ( xn −1 − xn − ) + + ( x2 − x1 ) + x1 = Ta có n n 2 2 2 Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có ( xn − xn−1 ) + ( xn−1 − xn−2 ) + + ( x2 − x1 ) + x1 = xn2 lim = lim n n lim Do 2.Xét 2 2 n = xn2 zn = nxnα = n α +2 xn xn2 Từ đó: +) Nếu α > −2 lim zn = +∞ +)Nếu α < −2 lim zn = www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com +) Nếu Vậy α = −2 α = −2 lim zn = giá trị cần tìm thỏa mãn đề Cho dãy số { yn } thỏa mãn y1 > 0, yn +1 = y1 + y2 + + yn , ∀n ≥ Bài 10  yn    Chứng minh dãy số  n  có giới hạn n → +∞ Hướng dẫn giải 3 Từ giả thiết ta có yn +1 = yn + yn , ∀ n ≥ , dãy số { yn } n≥ dãy tăng, yn +1 = yn + yn = yn ( yn + 1) < yn +1 ( yn + 1) 3 2 ⇒ yn2+1 < yn2 + , ∀ n ≥ ⇒ yn2+1 < yn2 + < < y22 + n − y22 + n − y22 + n −  yn +1  lim =0 ⇒ ÷ < (n + 1)2 (n + 1) Mà  n +1 nên theo định lý kẹp ta có y y  y  lim  n +1 ÷ = ⇒ lim n +1 = ⇒ lim n = n +1 n  n + 1 un ∈ (0;1) ∀n ≥  Tìm tất số c > cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: un +1 (1 − un ) > c Bài 11 hội tụ Với giá trị c tìm tính giới hạn dãy (un ) Hướng dẫn giải Ta xét trường hợp sau + Nếu c> cun c un +1 > = ≥ 4cun ; ∀n ≥ 1 − un un (1 − un ) , từ giả thiết, ta có n −1 c> Từ quy nạp, ta suy un > (4c) u1 Do 4c > nên un → +∞ n → +∞ Do đó, khơng thỏa mãn  − − 4c + − 4c   a(1 − b) > c a , b ∈ ;  ÷÷, a < b  0< c< 2   + Nếu cho  b(1 − a ) > c Thật vây, lấy , tồn  − − c + − 4c  a ∈  ; ÷÷, 2   đặt b = a + x ( x > 0) , www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com a −1 1 1 = = k +1 = − ak +1a  k  a a1a2 ak a1a2 ak +1 a1a2 ak a1a2 ak +1 k +1 2   ak +1 − Ta có n   1 Sn = ∑  − ÷= − a1a2 ak +1  a1 a1a2 an +1 k =1  a1a2 ak Suy Chứng minh lim ( a1a2 an +1 ) = +∞ n →+∞ Ta có : an > ∀ n ≥ n   ≠ n ⇒ an +1 > an + suy dãy cho tăng Như an > an −1 + > > a1 + n − Vậy lim ( a1a2 an +1 ) = +∞ n →+∞ Bài 21 , suy Cho dãy số ( un ) ; ( ) lim S n = n →+∞ a1 u1 = 3, v1 =  2 un +1 = un + 2vn  xác định sau  +1 = 2un lim 2n x→ ∞ ( ∀n ∈ N ) lim 2n u1.u2 un x→ ∞ Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải ( u + 2.vn +1 = un2 + 2vn2 + 2.un = un + 2.vn Ta có: ∀ n ∈ N : n +1 Áp dụng (1) ta suy ra: Theo quy nạp ta có: ( un + 2.vn = un −1 + 2.vn −1 ( un + 2.vn = u1 + 2.v1 Lập luận tương tự ta có: un − 2.vn = ) 2n−1 ( ) ( = 3+ 2 ) −1 ) ( ( www.thuvienhoclieu.com (1) ) 2n−1 2n (3) 2n 2n   1 u n =  + + −      n n v =  + − −  n  2   Từ (2) (3) ta suy ra:  ( ) ) ) ( Trang 76 ) = ( ) +1 2n (2) www.thuvienhoclieu.com 1 un =  2 Lại có: ( Tương tự ta có : ) (  −1  <  ( ) −( +1 = 2n +  2  ) +1 n n ( ) +1 ) −1 n 2n , từ suy ra:  >  ( ) +1 2n un < + 2n ⇒ 2n > 2n ( ) +1 2n Mặt khác ta có: < un Do ta có dãy bất đẳng thức sau: ( )   2n +1  ÷ = 8 n ( ) +1 2n < 2n < 2n un < + lim un = lim = + n Như theo định lí kẹp ta suy Hơn theo đề ta có: Suy ra: Vậy u1.u2 un = n →∞ n →∞ = lim 2n 2un lim 2n ( n →∞ )( = + Tóm lại ta có: Bài 22 n→ ∞ n n→ ∞ +1 = 2un ⇒ un = +1 2vn v2 v3 +1 +1 vn+1 = = 2v1 2v2 2vn 2n v1 2n +1 lim 2n u1.u2 un = lim 2n n →∞ +1 = lim 2n +1 lim 2n n +1 n +1 n→∞ n →∞ 2 n 1 = lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n +1 n +1 n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 2 ) + 1 = + 2 lim 2n = + n→ ∞ Cho dãy số ( an ) lim ( an − n ) = n →∞ lim 2n u1.u2 un = + 2 n→ ∞ xác định < a1 ≠ an + = a n + Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 = a1 + >2 a1 (do a1 ≠ ) Nhận xét: an > n, ∀ n ≥ Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật www.thuvienhoclieu.com Trang 77 n , ∀n ≥ an Chứng minh www.thuvienhoclieu.com Với n = ta có a2 > (đúng) Giả sử ak > k Ta có ak +1 = ak + k > k + ⇔ ak2 + k > ( k + 1) ak ak ⇔ ak2 − ( k + 1) ak + k > ⇔ ( ak − 1) ( ak − k ) > (đúng) Suy ak +1 > k + Như an > n, ∀ n ≥ (điều phải chứng minh) Mặt khác, = an +1 − ( n + 1) = an + an2 − ( n + 1) an + n an = n n − ( n + 1) = an − n + − an an ( an − n ) ( an − 1) an (1) Áp dụng (1) ta có  ( a2 − ) ( a2 − 1)  a3 − = a2   ( a − 3) ( a3 − 1)  a4 − = a3     ( an − n ) ( an − 1)  an +1 − ( n + 1) = an  Suy ( a3 − 3) ( a4 − ) ( an+1 − ( n + 1) ) = ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 3) ( a3 − 1) ( an − n ) ( an − 1) a2 a3 an ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 1) ( an − 1) a2 a3 an      ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷  a2  a3   an  n  1 ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ∏ 1 − ÷  (2) i =2  www.thuvienhoclieu.com Trang 78 www.thuvienhoclieu.com 1− Ta lại có Suy Từ (2) a −1 = n +1 = an +1 an +1 n  1 i =2  i n −1 an an + an+1 < n an an > n ⇒ < an +1 (do an ) a1 a2 an −1 a1 = an a n a3 ∏ 1− a ÷ < a  ⇒ an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) ⇒ < an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) a1 a < ( a2 − ) an n (vì an > n ) a1 n a1 a = ⇒ lim ( a2 − ) = n→ ∞ Mà n → ∞ n n lim Do lim ( an+1 − ( n + 1) ) = n →∞ hay lim ( an − n ) = n →∞ Cho trước số thực dương Bài 23 α xét dãy số dương ( xn ) thỏa mãn α n +1 x * n ∈ ¥ Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x ) = xα + , x > Xét hàm số x Ta có f ′( x) = α xα −1 − 1 α xα +1 − − = α +1 2 x x ; f ′( x ) = ⇔ x = x0 = α Ta có bảng biến thiên hàm f ( x ) : Suy f ( x ) ≥ f ( x0 ) = α Do x α n +1 − α α +1 +α α +1 = (α + 1)α − α α +1 α − 1 α +1 + < ( α + 1) α ≤ xαn +1 + xn xn+1 www.thuvienhoclieu.com Trang 79 α − α +1 + < ( α + 1) α xn với www.thuvienhoclieu.com Suy xn +1 < xn hay ( xn ) dãy giảm Kết hợp với xn > với n ta suy dãy ( xn ) hội tụ α − α +1 β + ≤ (α + 1)α ⇒ β = x0 β Đặt lim xn = β > Chuyển qua giới hạn ta α Vậy lim xn = α Bài 24 − α +1 u1 , u2 ∈ (0;1)   43 un + = un +1 + un , ∀n ≥ thỏa mãn Chứng minh dãy (un ) có Cho dãy số thực ( un ) giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải  x1 = { u1 , u2 }  ( xn ) :   xn +1 = xn + xn 5  Xét dãy Ta thấy xn ∈ (0;1) xn3 + xn + xn + xn + xn 133 43 xn +1 = xn + xn = ≥ xn > xn Ta có 5 Vậy dãy ( xn ) tăng, bị chặn nên hội tụ, lim xn = a (0 < a ≤ 1) a = a3 + a ⇒ a = Chuyển qua giới hạn ta được: Ta chứng minh xn ≤ u2 n −1 ; u2 n < (*) quy nạp theo n Ta có x1 ≤ u1 ; u2 < Giả sử xn ≤ u2 n −1 ; u2 n < 4 xn +1 = xn3 + xn ≤ u23n + u2 n−1 = u2 n +1 < Suy 5 5 4 xn +1 = xn3 + xn ≤ xn3+1 + xn ≤ u23n +1 + u2 n = u2 n + < 5 5 5 Vậy (*) với n nguyên dương Từ suy lim un = Bài 25  x1 = 2007   x = + xn ∀ n ≥  n+1 xn2 − x ( ) n Cho dãy số thực xác định bởi:  Chứng minh dãy số giới hạn tìm giới hạn www.thuvienhoclieu.com Trang 80 ( xn ) có www.thuvienhoclieu.com Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn > xn +1 = + Ta có: xn x −1 = n Vậy xn ≤ 2007 với f ( x) = + Xét n x x −1 + 1+ < 3+ x −1 ∀n ≥ n nên dãy bị chặn ⇒ f ′( x) = − (x − 1)  ⇒ f ′ ( x ) < 2 x > Ta có: x2 f ( x) = x ⇔ x = + ⇔ ( x − 3) = x −1 x2 − x ⇔ ( x − 3x) − 2( x − 3x) − =  x − x = −1 ( L) ⇔  x − x = x= + 15 =a Áp dụng định lý Lagrang có: n   xn +1 − a = f ( xn ) − f (a ) = f '(θ n ) xn − a < xn − a < <  →0 ÷ x1 − a  n →∞ 2 2 2 + 15 lim xn = a = Bài 26 Cho dãy số ( un )  u1 = e un2+1 lim 2  * xác định bởi:  un +1 = un − 2, ∀ n ∈ ¥ Tìm n→+∞ u1 u2 un Hướng dẫn giải u = a + , Vì u1 = e > nên đặt a a>1 1  u2 = u − =  a + ÷ − = a + a a  Ta có n Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh u n +1 = a + Xét www.thuvienhoclieu.com Trang 81 a2 n , ∀n ∈ ¥ Do www.thuvienhoclieu.com  i−1 ui = ∏  a + 2i−1 ∏ a i =1 i =1  n n −1    n  2i−1   ÷ =  a − a ÷  a − a ÷∏  a + 2i−1    i =1  a   1  n  a − ÷  a + 2n  u a  a ⇒ n2+1 =  u1 u2 un  2n   a − 2n ÷ a   −1   2n    = a −  ÷ a + 2n ÷ ÷ a   a     ÷  ⇒ lim 2 un2+1 1  1  =  a − ÷ =  a + ÷ − = e2 − 2 n →+∞ u u u a  a  n Bài Cho dãy số ( xn ) xác định  x1 = a  xn2 +   xn +1 = ( x + 3) , n = 1, 2,3, n  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn Hướng dẫn giải Theo Cơsy  1 16 ( x − 1) ( xn + ) ≤ xn =  xn + + − ÷ ≥ 1; xn +1 − xn = − n 2 xn +  ( xn + 3) dãy giảm, bị chặn 1, dãy có giới hạn Từ lim xn = a ⇒ a =  x1 =  2014  xn +1 = + , n = 1, 2,3  + xn Cho dãy số { xn } , xác định bởi:  Chứng minh dãy số { xn } có Bài 27 giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Xét hàm số f '( x ) = Ta có f ( x) = + − 2014 ( 1+ x) xn +1 = + f ( x3 ) ⇒ x2 > x4 ⇒ f ( x2 ) < f ( x4 ) ⇒ x3 < x5 ⇒ Suy dãy ( x2n +1 ) dãy đơn điệu tăng bị chặn, dãy ( x2n ) dãy đơn điệu giảm bị chặn, nên dãy ( x2 n +1 ) , ( x2n ) có giới hạn hữu hạn www.thuvienhoclieu.com Trang 82 www.thuvienhoclieu.com Giả sử lim x2 n +1 = a lim x2 n = b , ( a, b ≥ ) Từ x2 n +1 = f ( x2 n ) ⇒ lim x2 n +1 = lim f ( x2 n ) ⇔ b = f (a) x2 n + = f ( x2 n +1 ) ⇒ lim x2 n + = lim f ( x2 n +1 ) ⇔ a = f (b) 2014  b = + + a ⇔ a = b = 2015  2014 a = + 1+ b Vậy ta có hệ  Vậy lim xn = Bài 28 2015 Cho dãy số ( xn )  x1 = 2,1   xn − + xn2 + xn − ( *) , n = 1, 2,  xn +1 = xác định  với số n nguyên dương n, đặt yn = ∑ i =1 x − Tìm lim yn i Hướng dẫn giải Ta có kết sau: với số thực a > bất kì, ta có a − + a + 8a − a − + a + 4a + a − + ( a + ) > = =a 2 Do 2,1 < x1 < x2 < Suy dãy ( xn ) dãy tăng, giả sử bị chặn tức có giới hạn lim xn = L > Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x= x − + x2 + 8x − ⇔ x − = ( x + 3) ( x − ) phương trình khơng có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy ( xn ) tăng không bị chặn nên lim xn = +∞ xn − + xn2 + xn − xn +1 = ⇔ xn +1 − xn + = xn2 + xn − Ta có ⇔ ( xn+1 − xn + ) = xn2 + xn − ⇔ xn2+ − = ( xn + 3) ( xn − ) ⇔ x + xn + + 1 1 = 2n = = + xn − xn+1 − xn+1 − xn+1 − xn+1 − www.thuvienhoclieu.com Trang 83 www.thuvienhoclieu.com ⇔ 1 = − x − xn − xn+1 − n +1 n Suy yn = ∑ i =1 1 1 = − = 10 − x − x1 − xn +1 − xn+1 − i Vậy lim yn = 10  x0 = a ( ∀n ∈ ¥ )  x n ∈ ¥ x = x − ( ) ( )  n n + n Dãy số thực xác định bởi:  Tìm tất giá trị Bài 29 a để xn < với số tự nhiên n Hướng dẫn giải Giả sử xn < với Từ xn + = x n +1 Lại từ Suy Từ − ∀n∈ ¥ − < có − < xn +1 < 2 − 2− < xn2 − < − < xn < ⇒ − < xn < − , ∀ n ∈ ¥ có 2 xn − > xn + < 1, ∀n ∈ ¥ xn +1 + 1 1 = xn2 − + = xn2 − = xn − xn + > xn + , ∀n ∈ ¥ 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: n n 1  2 1  2  2 a + = x0 + < x1 + <  ÷ x2 + < <  ÷ xn + < ữ , n Ơ 2  3 2  3  3 n 1  2 a+ =0⇒a =− lim  ÷ = 2 Mà n→+∞   nên phải có Thử lại với Vậy a=− Bài 30 a=− 1 xn = − < 0, ∀ n 2 giá trị cần tìm  x1 = 2014  x − 6sin x , n ∈ ¥ * x =  n n n +  Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: www.thuvienhoclieu.com Trang 84 www.thuvienhoclieu.com Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức Xét hàm số x− x3 ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ f ( x ) = x − 6sin x , x > f '( x ) = Ta có: ( − cos x ) 33 ( x − 6sin x ) > 0, ∀x > ⇒ f(x) đồng biến với x > Do đó: f ( x ) > f ( ) = x > mà x2 = f ( x1 ) > x1 = 2014 > Vậy ta có xn +1 = f ( xn ) > 0, ∀ n ∈ N * xn+1 − xn = xn − 6sin xn − xn = Mặt khác: Vì x− x3 ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ ⇒ xn – sinxn − xn xn − 6sin xn − xn3 ( xn − 6sin xn ) + xn xn − 6sin xn + xn2 ⇔ x − x – 6sinx < 0, ∀ x > < xn > ⇒ xn+1 – xn < ⇒ ( xn ) dãy giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limxn = x( x ≥ 0) , ta có phương trình: x = x − 6sin x ⇔ x3 − x + 6sin x = Xét hàm số g ( x ) = x − x + 6sin x g ' ( x ) = x – + 6cosx g’’ ( x ) = x – sinx ≥ 0∀ x ≥ ⇒ g’ ( x ) ≥ g’ ( ) = Do g ( x ) đồng biến liên tục với x ≥ ⇒ phương trình g ( x ) = có nghiệm x= Vậy limxn = www.thuvienhoclieu.com Trang 85 www.thuvienhoclieu.com Cho hai dãy số dương ( an ) n≥ , ( bn ) n ≥ Bài 31 + an +1   an + bn = − a n +1  2  xác định bởi: a0 = 3, b0 =  an + = bn Với n = 0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải an = tan Ta chứng minh quy nạp a0 = = tan Với n = , ta có a1 = Với n = , ta có π , bn = , n = 0,1, 2, (*) n π 3.2 cos n 3.2 Thật π π = tan , b0 = = π 3.2 cos 3.2 , ( *) π π = tan = tan , b1 = = 3.2 3 cos π 3.21 , ( *) an = tan Giả sử khẳng định đến n = k , k ≥ , tức an +1 = tan Ta chứng minh + an +1 − an +1 π , bn = n π 3.2 cos n 3.2 π , bn +1 = n +1 π 3.2 cos n +1 3.2 Thật Từ ( 1) ta có π π π π π + 2sin n +1 cos n +1 + sin + cos n n +1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2n+1 = = = π π π cos n cos − sin n +1 3.2 3.2 3.2n +1 sin π π   π π π sin n +1 + cos n +1 tan n +1 +  sin n +1 + cos n+1 ÷ 3.2   3.2 3.2 3.2 = 3.2 = π π π π π  π π    cos n +1 − sin n +1 ÷ cos n +1 + sin n +1 ÷ cos 3.2n +1 − sin 3.2 n +1 − tan 3.2n +1 3.2 3.2  3.2 3.2   π ⇒ a n +1 = tan n +1 Khi từ 3.2 bn2+1 = an2+1 + = tan suy π 1 +1 = ⇒ bn +1 = n +1 π π 3.2 cos n +1 cos n +1 3.2 3.2 an = tan Như theo nguyên lý quy nạp www.thuvienhoclieu.com π , bn = , n = 0,1, 2, n π 3.2 cos n 3.2 Trang 86 ( 2) , www.thuvienhoclieu.com lim an = lim tan n →+∞ n → +∞ Do π 1 = tan = 0; lim bn = lim = =1 n n → +∞ π 3.2 cos n → +∞ cos n 3.2 lim an = 0; lim bn = Kết luận: n → +∞ Bài 32 u1 = 2014  2 Cho dãy số (un ) xác định sau: un +1 = un + (1 − 2a )un + a ; ∀n = 1, 2, Tìm điều kiện n → +∞ ■ a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có: un +1 − un = (un − a) ≥ ⇒ un +1 ≥ un ; ∀n = 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng knn; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn Giả sử lim un = L ( L ∈ ¡ ) n → +∞ , chuyển qua giới hạn hệ thức un +1 = un + (1 − 2a )un + a 2 ta có: L = L2 + (1 − 2a) L + a ⇔ L = a lim u = L = a * - Nếu có số k ∈ ¥ mà uk > a un > a; ∀ n ≥ k trái với kết n→ +∞ n Do đó: uk ≤ a với k = 1, 2, hay un − (1 − 2a )u n + a ≤ a, ∀n = 1, 2,3, 2 ⇔ a − ≤ u1 ≤ a ⇔ a − ≤ 2014 ≤ a * Đảo lại: Nếu a − ≤ 2014 ≤ a ⇒ a − ≤ u1 ≤ a ⇒ (u1 − a + 1)(u1 − a) ≤ ⇒ u12 + (1 − 2a)u1 + a − a ≤ ⇒ u2 ≤ a u1 ≤ u2 ⇒ a − ≤ u2 ≤ a Bằng quy nạp ta chứng minh a − ≤ un ≤ a, ∀ n = 1, 2,3, Như dãy (un ) tăng knn, bị chặn bới Kết luận: Với điều kiện Bài 33 a , dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim u = a a − ≤ 2014 ≤ a dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ n→ +∞ n u1 =   un +1 = un + − 2, ∀n ∈ ¥ *  un Cho dãy số (un ) xác định công thức truy hồi  Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Trang 87 www.thuvienhoclieu.com 1 f ( x) = x + − 2; g ( x) = f ( f ( x)) − x = + −2 x x x+ − Đặt x Khi  2 −2  x − ÷( x + 1)  1  g '( x) = ≤ ⇒ g ( x) < g ( ) = ⇒ f ( f ( x)) < x, ∀x ∈ ( ;1) (*) 2   x4  x + − ÷ x   Mặt khác f '( x) < 0, ∀ x ∈ ( ;1) nên 1 1 )= ⇒ f ( f ( x)) > f ( ) = , ∀ x ∈ ( ;1) (**) 2 2 f ( x) < f ( 1 < f ( f ( x)) < x, ∀ x ∈ ( ;1) Từ (*) (**) suy ra: Vậy: = u1 > u3 > lim u2 n −1 = n →∞ 1 ⇒ = u1 > u3 > u5 > , 2 Do (u2 n −1 ) đơn điệu giảm bị chặn nên tồn ( )   ;1 u2 n = f (u2 n−1 ) ⇒ lim u2 n = f lim u2 n−1 =  n →∞ n →∞ Vì f ( x) liên tục   nên Vậy dãy (un ) phân tích thành hai dãy hội tụ tới giới hạn Do dãy (un ) có giới hạn Bài 34 Cho dãy số ( un ) u1 =  n uk  lim u − u = u − u , ∀ n ≥ ∑ ( )  n +1 n 2014 n n xác định  Tính n→ ∞ k =1 uk +1 − Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có: un +1 = un ( un − 1) + un 2014 mà u1 = suy = u1 < u2 < u3 < dãy ( un ) dãy tăng lim u = L Giả sử dãy ( un ) bị chặn suy n→∞ n với ( L > ) www.thuvienhoclieu.com Trang 88 www.thuvienhoclieu.com un2 + 2013un L2 + 2012 L lim un +1 = lim ⇔ L= ⇔ n →∞ 2014 2014 Vô lý L = L =  L > Suy dãy ( un ) khơng bị chặn =0 n→∞ u n lim un = ∞ ⇒ lim n →∞ Ta có un2 + 2013un un +1 = ⇔ un ( un − 1) = 2014 ( un+1 − un ) 2014  un  ⇔ = 2014  − ÷ un +1 −  un − un+1 −   1  ⇒ S n = 2014  − ÷ ⇒ lim Sn = 2014  u1 − un +1 −  x →∞ Cho dãy số thực ( xn ) Bài 35  x1 = 2014  x = xn − 6sin xn , n ∈ ¥ * Tính lim xn ? xác định bởi:  n+1 Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức Xét hàm số x3 ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ f ( x ) = x − 6sin x , x > f '( x ) = Ta có: x− ( − cos x ) 33 ( x − 6sin x ) > 0, ∀x > ⇒ f(x) đồng biến với x > Do đó: f ( x ) > f ( ) = 0∀ x > mà x2 = f ( x1 ) > x1 = 2014 > Vậy ta có xn +1 = f ( xn ) > 0, ∀ n ∈ N * xn+1 − xn = xn − 6sin xn − xn = xn − 6sin xn − xn3 Mặt khác: Vì x− ( xn − 6sin xn ) x3 ≤ sin x ≤ x, ∀ x ≥ ⇔ x − x3 – 6sinx < ∀ x > ⇒ xn – 6sinxn − xn < xn > ⇒ xn+1 – xn < www.thuvienhoclieu.com Trang 89 + xn xn − 6sin xn + xn2 www.thuvienhoclieu.com ⇒ ( xn ) dãy giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limxn = x( x ≥ 0) , ta có phương trình: x = x − 6sin x ⇔ x3 − x + 6sin x = Xét hàm số g ( x ) = x − x + 6sin x g ' ( x ) = 3x – + 6cosx g ′′ ( x ) = x – 6sinx ≥ 0," x ≥ ⇒ g ′ ( x ) ≥ g ′ ( ) = Do g ( x ) ln đồng biến liên tục với có nghiệm x= Vậy limxn = www.thuvienhoclieu.com Trang 90 x ≥ ⇒ phương trình g ( x ) = ... xn xn xn 1.Với n ∈ ¥ ,đặt * 2.Tìm số yn = n xn2 Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn α để dãy ( nxn ) có giới hạn hữu hạn giới hạn số khác α HƯỚNG DẪN GIẢI 1.Từ giả thiết... =  u = u + 12 u { }  n + n Cho dãy số n ; (n = 1; 2;.) xác định bởi:  Chứng minh dãy số { un } có giới hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dự dốn giới hạn dãy số, bằng cách giải phương trình: a... =  xác định un +1 − 3un +1 = + un , ∀n ≥ Chứng minh dãy ( un ) Cho dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dãy số ( un ) u1 =  xác định  un +1 − 3un +1 = + un ,