Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi

Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề giới hạn của dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

a a

(do bất đẳng thức AM-GM)

Nếu a  thì 0

12

a a

 (do bất đẳng thức AM-GM) nên

12

a a

 

.Nếu a  thì 1 a  Ta chứng minh: 1 2 a n 2,   n *

tăng Hơn nữa  a n

bị chặn trên bởi1, thật vậy

khi n   , với  là số thực cho trước

Hướng dẫn giải

Dễ dàng chứng minh được x n 0,  bằng qui nạp.n 1

Ta có

, 2

2

n n

n x

  

Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp 2

1 lim

2

n n

n x

c n



   

n n

n x

  

.Nếu   thì 2

với n 1, 2, .Theo quy tắc

sau: giải nghĩa cái đó là: 1

  

Hướng dẫn giải

2 1



và áp dụng công thức sin 2a được:.

Ta có v n ((1u n2) / )u n 21/ ( ) 2u n2  u n2  2 khi n  Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:.?

2

2 n

1

2

20092010

U S

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 8. Cho dãy số u n

xác định bởiu 1 1,

2 1

, 1

n n

giảm và bị chặn dưới bởi số tan 0 0

và bị chặn trên bởi số tan 4 1.





Bài 9. Cho dãy số x n

.Chứng minh dãy số  y n

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

Suy ra

 2 2

1lim x n  x n 2

2

n

z 

.Vậy   là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài.2

đều hội tụ Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy ( ) u n

n

u

u u

4

x  x 

hay

1.2

n n

1

1,2013

n n

( 2013)( 2013)( 2013) ( 2013)

a a

   ( vô lí) Suy ra  u n không bị chặn trên, do đó limu  n

Vậy limv  n lim 1

2 2 2

1 2

lim

n n

Đặt a n  2 b n Từ giả thiết suy ra lim (5b n1 3 ) 0b n 

Với số dương  bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với n N thì ta có:

n n

Dãy số  u n

được xác định bởi

1 3

.Giả sử u k u k1 k  1 2u k  2u k1  u k31 3u k1u k32 3u k2

.12

n n

Do đó 2,1 x1 x2    x n là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn limx n L2.

Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình

x      x   x x

.phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2

Suy ra dãy  x n tăng và không bị chặn trên nên limx  n

Bài 21. Cho dãy số  x n

được xác định bởi x12016,x n1 x n2 x n 1,n1, 2,3, a)Chứng minh rằng  x n tăng và limx  n

b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt 1 2

Vậy (1) đúng với mọi n Từ  x n

tăng ngặt và x n    n 1, n 1 suy ra limx  n ..

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng x n     (1).n 1, n 1

Thật vậy, (1) đúng với n  Giả sử (1) đúng với 1 n n  ( 1) thì.

a n

u n

Thật vậy:

2 1

1( 1)

Suy ra: x k+2<x k +1 Vậy (x n) là dãy giảm.

(x n) lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.

n

x

x x

Vậy lim x n=1 .

Bài 25. Cho dãy số  u n

được xác định: { u 1 =2011 ¿ ¿¿¿

.Chứng minh rằng dãy số  u n

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó

=2011−1+(12)n−1

.Vậy lim un=2010 .

     b) Chứng minh rằng  u n

có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh:0 u n 1, n  1

    

có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.

Ta chứng minh:  u n là dãy tăng.

2 1

32

1 u k 2

    Vậy: 1 u n 2,   n 

    

.( vô lí vì  u n

là dãy đơn điệu tăng và u  ).1 1Suy ra: nlimu n

Từ hệ thức truy hồi suy ra 2 u u n n1u n22013

Bằng quy nạp chứng minh được u > 0, với mọi n n

n n

x x

9

3 46

Bài 31. Cho dãy số

1 2015 1

12015

n

x x

12015

a

(vô lý) Suy ra  x n không bị chặn trên Vậy limx  n .

Vậy 1

1limSn lim 2015 1 2015

1( 1)( 2)( 3) 1

n n

20162015

Vậy 1

2015 1 2015limS lim

n n

x x

9

3 46

3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

u x n



(n  *) hội tụ và giới hạn của nó khác 0.

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có dãy số  u n

là dãy số dương và tăng(1)

1

n n

v u

 (n   ), ta có * limv  n 0.

4

4 3

4khi

34

2 1

1

2 1,

được xác định như sau.

1

* 1

Bài 4. Cho dãy số thực  u n

12

1 0

n

x x

n n

y a

ta có y  và.1 1

2 2

n

n n a

a)

3 2 2

8lim

4

x

x x

2

2 48

lim

1

n x

a Lim

a/  

2

1 5 9 (4 3)lim

1 5 9 (4 3)

n

n n

cos5limcos3

x x x

x x

n i

n n i

( 1)(2 1)6

n i

1

( 1)2

n i

n n i

1 sin 0

0

cos 5 cos3lim 1

cos5 cos3 2sin 4 sin sin 4 sin 8

cos5limcos3

x x x

x

e x

n n

1 3

3 1

3 1 2 2lim

3 2011 20091

n n

y a

2 2

n

n n a

:

1 1

31

5 3 510

  

( c hữu hạn).

Cũng từ 1 2 2 1

n n

2 1

1 1 ( 1) (2 1)

6

n k k n

4( ) 1

suy ra dãy(x2n1) tăng và dãy(x2n)giảm suy ra (x2n1),(x2n) là các dãy hội tụ.

Giả sử limx2n a;limx2n1b a b ( , 1)

Từ x2n1f x( 2n) limx2n1 lim (f x2n) bf a( )

Từ x2n2 f x( 2n1) limx2n2 lim (f x2n1) af b( )

Giải hệ phương trình

41

411

k 

)k+1

31(1 )k

k



> (

13

k 

)k+1.Bất đẳng thức cuối này đúng vì :

 = 3

n n

Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương

5 10

,5

b) Chứng minh

,2

.lim

k k

u n

e

n

n u

có g x'  1 e x  với mọi 0 x    ;0nên hàm này đồng biến trên  ;0

e e

e e

e e e u

Quy nạp ta được dãy u2n1

giảm và dãy u 2n

tăng

Hơn nữa  1 u n 0, n 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử limu2n a,limu2n1b a b  ,  1;0 , lấy giới hạn hai vế ta được.

1

a a

b

ae b

.Hàm h t  2 1  t ln 1 t  1 tlnt t t ln nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm,nhận thấy

12

b 

.Vậy

1lim ln

2

n

u 

Bài 4. Cho dãy số  a n ,n 1

Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh

12

 (*) đúng với n  1

Giả sử (*) đúng tới n k  , k *, nghĩa là có :

1cot

Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1 Thật vậy

2 1



  

1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n  , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất 2 x n.

2)Xét dãy số sau đây: Un n x n1

, n 2,3, 4, Tìm limU ?n .

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: f x   x n

−x2−x−1=0 , với n nguyên, n  (1).2+) Ta có: f x’  nx n 1– 2 –1x

Do n  , nên khi 2 x  thì 1 f x ’  0 Vậy f x  là hàm số đồng biến

trên (1;+∞)

Lại có: f  1   ; 2 0 f  2 2 – 7 0n  ( vì n nguyên và n  2 ⇒ n ¿ 3)

Ta có: f    1 f 2  và 0 f x  liên tục, đồng biến nên phương trình f x   0

có nghiệm duy nhất trên

(1;+∞) .

+) Mặt khác với 0  thì x 1 x n x2 ( do n  ) suy ra 2 f x   0 với mọi 0  x 1

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n  2

Gọi x là nghiệm dương duy nhất của phương trình n x n –x2 – –1 0x 

Bây giờ xét dãy U n

20122013

2 2



0

Gọi a là nghiệm của :

12

5,

n n

* Giả sử limu n  a 1 a   Từ   

2 1

5

n n

n

u u

n n

1 2

n n

b) Với dãy ( )x xác định như trên, xét dãy n ( )y n n0 xác định bởi y n x0x1 x n n 0 Chứngminh rằng dãy ( )y n n0có giới hạn hữu hạn khi n   Hãy tìm giới hạn đó.

F a

m

F x

F



,

3 1 2

m

F x

i

m i

i

F x

1 01

u vz x

z





 dần tới u khi n   (do z  ) n 0

Tức là trong trường hợp này

5 1lim

Từ đây ta thu được S u n nu n1S u2 2u n1, 2,3,

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limu  n 0.

1

* 1

1

.1

bằng

1

2

Bài 16. Tìm tất cả các hàm số f :  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:.

( ) 2 n 1

x n

được xác định như sau

Dễ thấy x  n 0, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự.

Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên

Ta chứng minh x n 8,   n *

Thật vậy, với n 1 x1  nên điều cần chứng minh đúng.1 8

Giả sử ta có: x  , với n nguyên dương Ta cần chứng minh n 8 x n1 8

Theo công thức xác định dãy số có:

Do đó x  với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh n 8

xác định bởi

2 1

Xét hai dãy số mới

 

1 2

2 1 1

14:

310:

là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó cógiới hạn hữu hạn limx n 

Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

Cuối cùng ta chứng minh x n a n y n,   (1) bằng phương pháp quy nạp:.n *

Ta có x1a1 y1 và a2x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k,k 2,tức là x ia i y i, i 1, 2, ,k Khi đó.

Từ x n a n y n n, ,n1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lima  n 1

Bài 19. Cho hai dãy số    a n ; b n

n n n

2 1 1

+ Xét hai dãy số mới

 

1 2

2 1 1

14:

310:

là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó cógiới hạn hữu hạn limx n  Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được

- Cuối cùng ta chứng minh x n a n y n,   (1) bằng phương pháp quy nạp:.n *

Ta có x1a1 y1 và a2x2 y2, với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng Giả sử (1) đúng tới k,k 2,tức là x ia i y i, i 1, 2, ,k Khi đó

1lim(2014 )

Bằng phương pháp qui nạp Thật vậy: với n  , ta có 1 1 

k 

1)k 

.Bất đẳng thức cuối này đúng vì:

Với a  thì 1 x n 1, n 1nên nlim x n 1

111

a để dãy số ( ) u có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó n

Bằng quy nạp ta chứng minh được a1u n a,  n 1, 2,3, (H/s trình bày ra).

Như vậy dãy ( )u n tăng knn, bị chặn trên bới a , do đó dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn.

Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 thì dãy số ( )a u có giới hạn hữu hạn khi n   và n nlimu n a

n n

Ta xây dựng dãy số như sau 0 0  1 1  2 2  3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

2 3

3 1

l l

(do  

3 2

l 

Tương tự ta chứng minh được dãy a2k1

đơn điệu tăng, hội tụ về

55



+) Nếu

55

a 

ta có dãy

5555

+) Nếu tồn tại n sao cho a a n thì ta có

3, ,

3

x a  f x f a  x a   f x f a   x a  x a 

.Khi đó không tồn tại x n2.

Vậy nếu a a n thì dãy không xác định

+) Nếu

50

5

a

 

thì hai dãy con x2k , x2k1

cùng hội tụ về 0 nên giới hạn của dãy là 0

Nếu a  thì 1 x2 f a a x và hàm số đồng biến nên dãy đơn điệu giảm, bị chặn dưới bởi 1 Khi đó1dãy hội tụ về 1

+) Nếu

5 a 3 ta có 2

5lim

a

(do a  ).1 1Nhận xét: a    n n n, 2

Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Bài 7. Cho p*, a0 và a 1 0 Xét dãy số ( )a n được xác định bởi: 1 1

1( 1)

n p

    (thỏa mãn điều kiện)

Vậy lim

p n

x x

hội tụ và tìm giới hạn của nó

'( ) 0

f x   x x  

Ta có bảng biến thiên của hàm f(x):

+∞ +∞

f(x0)

+ 0

+∞

x00

f(x)

f'(x)

x

.Suy ra  

là dãy giảm Kết hợp với x  với mọi n ta suy ra dãy n 0  x n

1 1limx n  

Bài 9. Tìm tất cả các hằng số c  sao cho mọi dãy số dãy số 0 ( )u n thỏa mãn 1

+ Nếu

10

u

u u

4

x  x 

hay

1.2

Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: u  n 2

Xét tính đơn điệu của dãy  u n

bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, nên  u n

tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn.Giả sử nlimu n a a 2

    

Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n   ta có:

a a  a  a  a   a , vô lý

2) Dãy không bị chặn trên, do  u n

tăng và không bị chặn trên nên

u n

1

2

9( )

9

n n

Bài 12. Cho số thực a, xét dãy số  x n

là dãy Cauchy, nên dãy số đã cho hội tụ

Bài 13. Cho hai dãy số  u n và  v n xác định như sau: u1 1,v12,và

1 1

1,

n  Chứng minh rằng hai dãy  u n

sin 2cos

3 lim

có duy nhất 1 nghiệm thực x thuộc n 0;1 .

b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy  x n

Hướng dẫn giải

a) Ta có Q n 0 Q n 1 Q n 22   Q n n 2 0

.nên trong mỗi khoảng 0;1

,     2 2

1;4 , , n1 ;n

có 1 nghiệm của phương trình Q n x  0

Mặt khác, ta có detQ n x  nên đa thức n Q n x

có duy nhất 1 nghiệm x thuộc khoảng n 0;1  .

có nghiệm không là nghiệm của Q x n 

nên nghiệm của phương trình Q n x  là nghiệm0của phương trình:

Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy ( )u n tăng Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn L thì

.Cộng vế với vế của 2014 bất đẳng thức cùng chiều, ta được:

n  nên suy ra d  Mặt khác dãy A  x n

gồm toàn số nguyên nên công sai d cũng là số

nguyên Vậy A nguyên (đpcm)

Bài 18. Cho dãy số  x n

k k

  

Bài 21. Cho dãy số    u n ; v n

được xác định như sau

2 2 1

   

2 1

2 2

2 11

2lim n 2 1

Như vậy a    (điều phải chứng minh) n n n, 2

11

n

n

n n

n a

n n a

n n i

a

a a

a a

Bài 23. Cho trước số thực dương  và xét dãy số dương  x n thỏa mãn   1

1

1

1

n n

x x

  

   

vớimọi n  * Chứng minh rằng dãy  x n hội tụ và tìm giới hạn của nó.

+∞

x00

f(x)

f'(x)

x

.Suy ra  

là dãy giảm Kết hợp với x  với mọi n ta suy ra dãy n 0  x n

1 1limx n  

Bài 24. Cho dãy số thực  u n

Chuyển qua giới hạn ta được:

Bài 25. Cho dãy số thực  x n xác định bởi:

n

x x

11

x x

2 2 2

1 2

lim

n n

n n

n n n

xác định bởi

1

2 1

7, 1, 2,3,

n n

Từ limx n  a a 1

Bài 27. Cho dãy số  x n

, xác định bởi:

1 1

12014

Hướng dẫn giải

Xét hàm số

2014( ) 1

là dãy đơn điệu tăng và bị chặn, còn dãy x 2n

là dãy đơn điệu giảm và bị chặn, nên các dãy x2n1

20141

n n

Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình.

Suy ra dãy  x n tăng và không bị chặn trên nên limx  n

a 

thì

10,2

n

x   n

.Vậy

là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn

Giả sử limx n x x( 0), ta có phương trình:

 phương trình g x   0

có nghiệm duy nhất x  0Vậy limx  n 0

Bài 31. Cho hai dãy số dương  a n n 0, b n n 0

  xác định bởi: a0  3,b0  và 2

1 1

111

a để dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn khi n   và tính giới hạn đó n

Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 u n a,  n 1, 2,3,

Như vậy dãy ( )u tăng knn, bị chặn trên bới n a, do đó dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn n

Kết luận: Với điều kiện a 1 2014 thì dãy số a ( )u n có giới hạn hữu hạn khi n   và nlimu n a

1

.1

 2 2 4

n k

k

u u

 g x g 0 0 Do đó g x 

luôn đồng biến và liên tục với mọi x   phương trình 0 g x   0 cónghiệm duy nhất x  0

Vậy limx  n 0.