gioi han day so boi duong hoc sinh gioi toan pho thong
Trang 1WWW.VIETMATHS.COM
WWW.VIETMATHS.COM
Gioi han cua dãy sô ( bôi dưỡng HSG
Trang 2§2 GIỚI HẠN CUA DAY SO
1 Dãy số {z„} gọi là có giới hạn bằng ⁄ khi „—> +œ và kí hiệu là L= lim u, =a, n>+o nếu như với mọi £ >0, tồn tại số nguyên duong n, sao cho với mọi ? > mạ, ta có :_ H„ —d|<£ 2 Giả sử tồn tại lim u, =a; lim v„=b, thi: ?#”+œ #n+œ a) lim (u,+v,)= lim „+ lim v,=ath; n—>+00 n-»>+o0 n-> +0 b) lim (u,-v, ) = lim u, lim v, =ab; n+ n->+œ n-»+œ u lim u, c)Néu b#0, thi lim -*#=”ˆ”—= a FO y, lim v, 5b n>+0 3 Nếu u, Sv,, Vn Và tồn tại : a= lim u,; b= lim v,,thi a<b n> +00 n~»+œ 4 a) Nếu {u,} là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M, thì tồn tại giới hạn hữu hạn : L= lim w„ và L<M n> +00 b) Néu {u,} là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi m, thì tồn tại giới hạn hữu hạn : L= lim u,, va L2m 4 n->+œ 5 (Nguyên lí kẹp")
Néu v,<u,<w, Wn va tén tại các giới hạn hữu hạn lim v,, lim w,, ` n->+© n-+œ
Ngoaira lim v, = lim w, =a
nN >+o0 n>+oœ
Khiđó lim u, =a
n—>+œ
Trang 3Chương 2.- GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BÀII — Xét dãy số {z„} xác định như sau: Chứng minh rằng dãy {u„} có giới hạn và hãy tim lim uw, n-po Bài giải Ta có : 2 i -M“ +3u, +] Hạ Hy) =u, + = =! = * (1) 3+„„ 3+H,
Bay gid ta ching minh rang u, > với moi n=0, 1, 2, (2) (2) được chứng minh bằng quy nạp như sau :
Trang 4Vậy (2) cũng đúng với k+l Theo nguyên lí quy nạp suy ra (2) đúng với
Trang 5BÀI2 Day s6 {z„} xác định như sau: „<1 3 tu n+l = 5! ;n=1,2, - 1 Hãy tìm giới hạn sau : L= lim u, n—>+œ Bài giải
Ta thấy với mọi n>2, thì -1<u„, <0 Từ đó suy ra nếu đặt dãy {u,} có
Trang 6Lap lai bất đẳng thức (*) m lần ta đi đến :
Trang 7Dễ thấy : 1 Sis Vi = mee ce 5 Trong (1) lần lượt thay È = 1, 2, , +1 ta có : _ >22-2I 1 eee pin > an -2Vn+1 n+l Cong từng vế các bất đẳng thức trên, ta có : 1 1 1 l+—=+ +—=+ T7 2Nn+1>2Vn+2~2jn+1~2 ” ị vs 1 ©l+-=+ +—= -2ln+l>2————=-2>-2 % re Ten Vnt+2+Vn+1 =u, >-2, Vn=0, 1, 2
Trang 81 1 1 1 1 1 1 va =o tpt + —<l+—+— z†+-r†-''+— * tu ]!, 21 n 2 22 23 , 2m ( ) 1 11 1 1727 1) | Do 1+—+— + + 2 ; 2 2” p2—Bna[1-4) <2-94, <2, vneN, ji 2” , 2
Day {u,} 1a don diéu tang và bị chặn trên bởi 2 Suy ra tôn tại giới hạn hữu
han lim u, Dé 1a d.p.c.m n»+œ
3 Ta sử dụng kết quả đã biết sau : "Nếu z là số hữu tỉ đương, thì l+r <3", Xét dãy u„ -(1+ a )(1+ n° (+2) I! 2! n! R6 rang {u,} 1a day đơn điệu tăng Theo nhận xét trên ta có : 1 + 1+— <3! JL! 14 <32! - 2! I 1+-L <3" n! Nhân các bất đẳng thức trên vế theo ye, ta đi đến Tay t
Trang 9Vậy u, nate Ị tepid 1 _ (*) It 2! n2 2 2 2ml 15 | ¬ =—2=2ÍI-;]<2=w <2, VneN 2 ii 2" 2 Dãy {u } là đơn điệu tăng và bi chặn trên bởi 2 Suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn lim u, D6 1a d.p.c.m n>+œ Do tated — 2 2 3 Ta sử dụng kết quả đã biết sau : "Nếu r là số hữu tỉ duong, thi 1+r-<3”", Xét day u, “(ở A )(+z}-(144)) I! 2! n! R6 rang {u,} 14 day đơn điệu tăng Theo nhận xét trên ta có : 1 4 I+—<3" v1! 1 + 1+— <3?! 2! 1 1+-L <3" nỉ Nhân các bất đẳng thức trên vế theo vế, ta đi đến a 1
w, <3!" ?! "5" (do mọi thừa số đêu dương)
Trang 10BÀI4 — Dấy số {z„} xác định như sau : u, =1 2 Hi “+, ¡ với n= TL, 2, 2005 Tìm giới hạn sau: lim [Heat a } motel Uy Ug na, -_ Bài giải y2 Từ hệ thức đã cho, ta có : w„.¡ — H„ =——”— ; VỚI = Ì, 2, 2005 hay ° =2005{ J )sv6ines 2,0 Uns} Uu, Hàn Trong đẳng thức trên lần lượt cho n=1, 2, ,k rồi cộng k đẳng thức trên vế theo vế, ta có : Mtge He = 2008{ l )=2005{1- I } ~ () Hy Uy Uy Uy Ug] -— Mười Theo công thức xác định dãy {u,}, hiển nhiên ta có : Ì=uM, <I; < <H,„ <H„„¡ <
Vậy {u,} la day đơn điệu tăng Có hai khả năng sau xảy ra :
Trang 11Đó là điêu vô Ii vi {u,} là đấy đơn điệu tăng và „ =1
2 Nếu {u„Ì khơng bị chặn trên Do {„} là dãy đơn điệu tăng, nên ta có : lim w„ =+œ n->+o0 Vì thế từ (1) có: lim [iif 200s k>+0\ by Mạ Ug BAIS Day s6 {u,} thoả mãn các điều kiện sau : 0<, <1 1 Una, (1- k n)> a với moi n=1, 2, Tim giới hạn sau: L= lim u, n>+œ Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức Có- -s¡ cho hai số & u,,,; Và 1—u,„ và kết hợp với giả thiết ta có : ”„ +(L—,)>2 (áo (1-u,) >22=I
—= „Vi >H„, Vn=ÏT, 2,
Vay {u,} là day đơn điệu tăng Ngoài ra theo giả thiết thứ nhất thì {u,} bi
Trang 12BÀI 6 Hạ a + =1+uuy u, 3 Vi moin=1, 2, Dat $=S Tìm lim S, k=l Mu n->+œ Dãy số {u,}, véi moin=1, 2, xác định như sau : Bài giải
TY u,,, =l+u,u, u, voi i=1, 2, suy ra:
Uj, ~L= UU, U; = H, (M2 H, _ +1-1)
Trang 13hay
n—y+œ
Vì lẽ ấy từ (3) có : lim §„ =2
Chú ý : 1 Do uy =1 + ; uy =T+ mức =1+u(L+im,)> +,
Tương tự có u, >1+u Vw=2,3, Vì thế mư, ư„ >(I+,)"”
2 Ta có bài toán tương tự sau :
Trang 14Kết hợp với w =1 ta có w„ >3”'” với mọi n Do đó lim novo Mười + =0 Kết hợp với (2) suy ra lịm v„ = ; nwo BÀI7 Gidsit a>b>0 Lap hai day s6 sau day {u,}, {v,}: uj =a;v,=b; 4 _U, tv, ¬ 2H„V„ n+) 2 2’ net ~ với n=l, 2 U, + V, Chimg minh rang lim u, = fim V„ = Jab n—>+œ N+ Bài giải
-Từ cách xác định dãy ta suy ra với mọi ø = Ì, 2, thì „,¡V„.¡ = M„V„
Vì lẽ đó với mọi ø = l, 2, , thì u,v, =ab | (1)
Trang 15Từ (3) và theo giả thiết quy nạp (xem (2)), ta có : 2" att Vn Vast -(4 ie M = (4)
Hư TA nVz¿i a+xlab
Từ (4) suy ra (2) đúng với mọi ø = Í, 2, Do z>b >0, nên w +vị >0, vì thế : U, =1⁄L—¬ >0 và Vv, = 2w = 2h > 0 | Utv, uty, Từ đó bằng quy nap dé dang suy ra u, > 0, v, > 0 véi moi n=1, 2, ‹ u,+v, 2U,V,
Ta có ‘ Unsl Vie = 2 uty,
(u, Vụ ý —4u,v, (u, — Ỷ = = ; >0 2(u,+v,) 2(u, +v, ) (do u,+v, >0, Vn) Nói cách khác „„ > v„ với mọi n =1,2, (5) Ta có „ =- _¬ — (do v, <u) = Uy < Uy
Từ đó kết hợp với (5) và dùng quy nạp suy ra {u,} la day don diéu giam
Mat khéc day nay bi chặn đưới bởi 0, vì thế tồn tại giới hạn hữu hạn
i, = lim u, | (6)
n>+0
Do u,v, =ab véi moi n, ma {u,} 1a day don diéu giam, nén {v, }- 1a day
don diéu tang (chú ý u, >0, v, >0, Vn)
Do u,v, >v? (vi u, >v,),nén v, <Vab voi moi n=1, 2, Vay {v,} la day
don diéu tang va bi chan trén bởi Vab , nên cũng tồn tại giới hạn hữu han
I,= lim vụ n+œ | (2)
Trang 16a— 2b at+Jab Từ đó theo (2) suy ra: lim [aie ye =0, hay lim (u,-Vab)=0 Do n—œ 2" <1, nên im | =0 n5 Mà TAJH„V, nro Vì lẽ đó dẫn dén lim u,=Vab | (8) ao nok tt 2u,v Từ công thức xác định dẫy : v„., =————, ; u,+v, "kết hợp với (6) và (7), suy ra :
l= lim v,,,=2 lim 15 =2-12_, nto © A>tOUu +V, bth | (9)
Do /, = lim u, = Jab (xem @), nên từ ừ (9) có :
nooo
` 2b Jab
` : |, +Vab-
Rõ ràng b >b>0 (vi b=v, <v, <w; < ), nén từ (10) đi đến :
I, +Vab =2Vab => 1, = Jab
Trang 18
BÀI 9
như sau :
uy =a;v,=b;w,=c
Trang 19Từ (2), (3) và (4), suy ra :
lim „y = Ÿabc (5)
Bây giờ kết hợp (2), (3) và (5), ta thu được :
lim u, = lim v„= lim w„ =Đabc n—>+0 đ~>+œ n+œ
Trang 20
Vì lim „=0, nên với mọi e > 0, tồn tại nọ sao cho với mọi 0> ứạ ta có N>+0 |B, |< Như vậy với mọi ø > mạ, thì : A +B, + + B,, + Brot tot B, =| | Ấn ¬ \s „|Ư¡+8,+ -+ Bry + B,,+1 eee (Ba | n | n n , |, +8; +-:-+ Ø | _n- |B +B, ++ 8 Từ đó đi đến : |x,| <| — “Ì+z e <| ere LIÊN: n n n Từ bất đẳng thức trên, theo định nghĩa giới hạn suyra lim x„ =0 n—»+œ Tương tựcó lim y„= lim z„=0 n+œ n>+0 Vì vậy tir (1) suy ra lim w, =ab n->+œ Đó là đ.p.c.m
BÀI 11 Cho trước hai số ø, đ Lập hai dãy số {z„}, {v„}, nñ=0,1,2,
như sau : ưạ = ; vụ =ổ;
> v, = Bu,_, + AV,_1
` Với mọi nø =l, 2, , thì u, = Au,_, -Bv,_, 3 v, & day A va B là hai số cố định sao cho A* +B? <1 Chứng minh rằng lim uw, = lim v, =0 n—.œ ¡n->œ Bài giải Đưa vào xét dãy số {Wa} n=0,1,2, như sau : Ww, =u tye, | (1)
Khi d6 tir (1) c6 wy = up +v2 =a? + B? | (2)
w, = ur +vP = (Au, — Bvạ Ỷ +(Bup + Avy Ỷ
=(ø°+8?)(A? +8?) | 3)
100
Trang 21Từ (2), (3) và bằng quy nạp suy ra: w, = (a? + Ø?)(A? + B2)” (4)
Do A? +B? <1, nén tit (4) suy ra lim w, = 0 Vì lẽ đó từ (1) suyra lim „„= lim v, =0 n—+œ n+œ Đó là đ.p.c.m BÀI 12 Cho hai dãy số dương {u,} ; {v,} x4c dinh nhu sau : 42 Mu, =vị =—— 2 = Un, n+ị — * Ave 1 V.=—— _ 1— 4F Với n=1,2, Tìm các giới hạn lim „ và lim v, Bai gidi — Ta có nhận xét sau đây : Với mọi n =1, 2, thi ur + v=] (1)
(1) được chứng minh bằng quy nạp như sau :
Trang 222 12 => (up, + Ve 1)+ 16 uM eo — LOU pa Mery + LOVE, Mpg = O (2 2 2.2 (2 2 o (ura, FV — 1)+ 1ỐMy.1Vị„, (z¿., + Vp 1) =0 = (ues + Vb ~ 1)(I62, vi + 1) =0 | (2) Tit (2) suy ra uz,, +7, =1
Vậy (1) cũng đúng khi ø=&k+l Theo nguyên lí quy nạp, suy ra (1) đúng
với mọi n Do „ >0, v„ >0 với mọi nở, nên ta có :_ Vy 1 Vaal = in aa, > Vv, a VY Be (3) Nhu vay day {v,} là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 1, nên tồn tại giới hạn B= limy, (4) nøœ u Tương tự ta có : Ung =o <u, 4v TÏ (vi theo (3) ta có v„.¡ > z => 4y?,,-1>1)
Trang 23Chú ý rằng (7) mâu thuẫn với (3) Vậy trường hợp này không thể xảy ra
2 Do vay từ (6) suy ra œ =0 Mặt khác vì với mọi m ta có : „2 +v2 =],
nên lim („2 +v2)=1= ø? + Ø? =1 (8)
Từ z=0, Ø8>0 và do (8) đi đến Ø = 1
Tóm lại ta đã thu được kết quả sau : lim.u„ =0 và lim v, =1
n¬œ n—>œ
Chú ý : Ta có thể giải bài toán trên bằng cách khác như sau :
Sau khi đã chứng minh được hệ thức : Với mọi ø = l, 2,
H2+v?=
thì có thể dat u, =sina,, v, =cosa, Theo công thức truy hồi ta có : sing =U = Hạ = SIn đ„ +h ntl TÔ Ay =1 4cos? @,,,-1 — _ COSØ, COS đu vị 1-4sin* a@,,, 75 _ sing, sina, SỈ ØZ„„¡ = = h " 2(1+cos2a,,,)-1 2cos2a,,,+1 ay _ cosa, cosa, cos Ons! 1-2(1-cos2a,,,) 2cos2a,,,-1 - b sin đ„„¡ COS2Ø„.¡ +sinz„.¡ = sinø,
Trang 25Lập luận tương tự, và có : »—v, l5 =(V5 T1" wager a] - NG, »=s1 5+ 5-0"), Rõ ràng ta có : ”„ =2Ì(2+1Ÿ +(J2-1) ]‹ws , vì thế: Vì thế 2lu, < fiat | ~ - (2) | | > | Tương tự ta có : (*) = 2|(8Ÿ -(wZ-Ÿƒ Ì› Wey 2" ag V2 +1) <3b, (3) 8 Và hién nhién v, <u,, nén ta di dén dãy bất đẳng thức sau với mọi n=1, 2, ¬ " _ Ỷ 5 jeu 2+1) <4, <3, <2 +l (4) Chú ý rằng với mọi >0 thì lim alg =1, va do đó từ (4) theo nguyện, M no
kep" suy ra:
Trang 26Từ đó lim %/u,u, u, = lim 2" aut = lim 2Ív„ lim fA _"n->© no n~>œ n—>œ = (7) 2" ty, = 2 nf Theo ©) thi: lim | = lim 2U,V_ - 3 J2 2 hh 2" ly, = = lim ‘V2 “him nim 1 v2 +1) = (V2 +1) =3+2V2 | (8) L1 _ | lim 2 2m) =] (9)
Do dé tir (8), (9) di đến : lim nai „=3+242
Trang 27Từ đó bằng quy nạp dễ dang suy ra: u, = cos do dé v, =4"(1-u,)=4" a sin ntl a lim v, = lim (4 2sin? } im |—2—| — n~+œ n->+0 VINH n—+œ a 2 , 2ml Đặt y„ = 2m: và y„ >0 khi > +œ, ta có : sin y Ÿ lim vy, ac R (1) n>+0 2 |l»yạ>0 Yn 2 Áp dụng công thức : lim = “=1, nên từ ( Ụ suyra lim v, = ¬ x¬0 nto Theo trên, ta có : w„ sus ni @ a a 2" sin — cos— cos —— 2 = , % 4 (2) 2” sin — 2" , Dùng liên tiếp công thức sin2x = 2sin xcosx, từ (2) suy ra: a sina ina 2” _ sina = >> lim w, = 1 a n—>+0 n> +00 2” sin — a n a sing (do = +0 khi n> +0) = lim w, = , 2” n—+œ Qa
BAI15 Giả sử phương trình ax? +hx+c=0 (a#0) c6 hai nghiệm phan
Trang 28108 Bài giải Gọi xạ, x; là hai nghiệm phân biệt của phương trình ax?+bx+c= 0, với [xi] Sle] Từ công thức xác định day, v6i moi n=1, 2, ., ta thu được : Hạ (au,_, +b)+c =0 b\,c_ = U, ——" +a * Áp dụng định lí Vi-ét, ta có : Uy [ pay ~ (1 +2) | 41% = 0 €> (thy = Xq) (Up — Xa) + Xp (Uy Xa) — 1 (My — Xp) =O Xét các khả năng sau : 1 Nếu œ =x;, tỨc uy =X) Trong (1) thay ø =1, và có —x, (w, — x; ) = 0 Do x, #0, suy ra — x; =0>1, = Xp
Từ đó suy ra trong trường hợp này ta có :
Trang 31hay hay hay Khi đó tacó : (1+ l )< I " I m+k m+k m+k Mệnh đề : Với 0 < x <1, ta có bất đẳng thức sau : In(x + 1)<x<-In(1—x)
(Xem chứng minh mệnh đề ở cuối bài)
Trang 32Từ đó ƒ'Œ)>0 với mọi 0<r<1 (ƒ'0) chỉ bằng 0 khi =0) Vậy ƒ) là 'hàm đồng biến trên [0 ; 1] - Do0<x<I=/(0)<ƒŒ) hay >0<x-In(l+x) => In(l+x) <x Phần cờn lại của mệnh đề chứng minh hoàn tồn tương tự Bài tốn được giải hoàn toàn
BÀI 17 Xétphương trình (với >2): x°—x”—x—l=0
1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên ø > 2, thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất x„ ˆ
2) Xét dãy số sau đây : u„ =n(x, ~1), n=2, 3, Tim lim u, n—aœ Bài giải 1 Xét phương trình ƒ(x)= x”—x7~x—1=0, (1) với n nguyén, n> 2 Taco f'(x)=nx"! -2x-1 Do n>2, nén khi x>1, thi f’(x)>0 Vay f(x) là hàm đồng biến khi x>l ss Ta có: ƒ(1)=-2<0; ƒ@)=2"—7>0 (vì nø nguyên, ø >2 => n >3) | Ta co : ƒ(ƒ)<0, mà ƒ(z) là hàm liên tục, nên phương trình ƒ(+)=0 có ít nhất một nghiệm trong (1; 2) Mặt khác vì ƒ(x) là hàm đồng biến khi x >l, nên nếu phương trình ƒ(x)=0 có nghiệm khi x >I, thì ƒ(x) có
nghiệm duy nhất trên (1; +) | |
Kết hợp lại ta thấy ƒ(x)=0 có nghiệm duy nhất trên (1; +œ) Rõ ràng 'nghiệm duy nhất này là nghiệm dương Mặt khác với 0 < x < I, thì
Trang 33Từ đó suy ra ƒ(x)<0 với mọi 0< x <1
Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi ứ nguyên, ø >2 Đó là đ.p.c.m
2 Gọi x„ là nghiệm dương duy nhất của phương trình x"— +7 -x-1=0
(theo phần I)) Bay gid xét day sau {u,},n=3, 4, , oday u, =n(x,-1) Ta có : x7 —x¿ —x„—1=0 hay x„ =Qlx2+x„ +1 ‹ (2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có : x tx, tlt leet] , Van tayt l= latte t) Led <— $$ (3) | mle 1 f |
Trang 34x, 71
Như vậy kết hợp với (5), ta có : lim ne In Xn =1 và lim In(x? no +x, +1) =1In3 Từ đó theo (6) suy ra: lim-u, = lim n(x, -1)=1n3 -
n¬œ n¬œ
BÀI 18 Dấy số {z,},ø=0,1,2, xác định như sau :
(wn /
4, ,, =U, +SinH, với n= 0, 1, 2, Tim lim u,
no
Bài giải
Xét hai trường hợp sau :
1 Nếu a= kZz (kZ.) Khi đó theo công thức xác định dãy, tạ có : Hị = Hạ +Sin Hạ = kZ
Tir dé bang quy nap dé dang suy ra u, =k với mọi n =0, 1, 2, Như vậy
trong trường hợp này, ta có : lim w„ = kZ
h¬œ
2 Nếu a#kz (keZ) Xét hàm số ƒ(x)= x+sinx, xel Lúc này dãy
{u„} được xác định như sau : - ` uy =a
Uns =F (u,), Voi n= 0, 1, 2,
- Tacó ƒ'(x)=l+cosx>0, VxelR Vậy ƒ(+z) là hàm đồng biến trên R, do đó {u,} là dãy đơn điệu Lại có hai khả năng sau :
Trang 35Từ đó dễ dàng suy ra Uy <u <u, <u; < Vay day {u,} 18 don điệu tăng Ta chứng minh tiếp rang 2k <u, <(2k+1)z véi moi n=0,1, (1)
(1) duge chứng minh bằng quy nạp như sau :
+ (1) hiển nhiên đúng khi n=0, vì „y =ø mà 2kz <ø<(2k+1)z: + Giả sử (1) đã đúng đến ø= m, tức là có 2kZ <u„ ee Do f(x) là hàm đồng biến trên R, nên có : | ƒ(kz)< ƒ(„)< ƒ(k+1)z) Ƒ (2) Do ƒ(2kz)=2kz +sin (2kz) = 2kz £(@k+1)z)=(2k+1)z +sin[2k+1)z]=(2k+1)z ƒ(„)= MU
nên thay vào (2) và có : 2kZ.< w„ a <(2k+1)z
Vậy (I) cũng đúng với n=m+l Từ đó suy ra (1) đúng với mọi n=0,1,2, Như thế {u,} 1a day đơn điệu tăng và bị chặn trên bai (2k +1)z,
nên tồn tại giới hạn : /= lim u, ne
Vì 2kz <u, <(2k+1)z với mọi n=0, 1, 2,
2kz <1<(2k+1)z Mặt khác do :
d=Uy <u <u, < nénlaicé 12a
Do ø>2kZ, nên 2Èz <l<(2k+)z | (3)
Vì tồn tại giới hạn lim u, (=1), và do
Uns) =u, +sinu, với mọi n=0, l, 2, ta có :
ral Une) = | lim u, + lim (sinu,) ˆ (4)
n->oO oO n->o
Do tính liên tục của hàm y =sin x, nên lim (sinu n= sin/ lim u, = sin nwo neo
Bay gid tir (4) c6 1=/+sin/, hay sin/=0 ~ | (5)
Trang 36Kết hợp (2) và (5), đi đến /=(2k+1)z
_ Trong trường hợp 2k <a<(2k+1)z, ta có : limu, =(2k+1)z
n¬œ
- Nếu (2t-l)z<a<2kz (khi đó sina<0) Chứng minh tương tự như
phần trên ta có {u n} là dãy đơn điệu giảm (chú ý là uy >u,) va bi chan duéi bédi (2k-1)z, vay t6n tai / = lim u, ¡„¬œ Lập luận như trên có : lim uv, = =(2k- 1)Z, nếu (2k—1)z<a<2kz, ke Z, _ Chú ý rằng : k, nếu # =&Z 2| z7 |xsn|=]= (2+1), nếu 2k <a<(2k+1)z 2z — a (2k —1), nếu (2k—1)z<a<2kz
ở đây [œ], sgnø, (œ} tương ứng là các hàm phần nguyên, hàm dấu và hàm phần
Trang 37~ Nếu ø=kz, thì =Š, - 2x 2 - Có hai khả năng xảy ra a a a d + Nếu k=2m => —=m >|—|=m, và —)=0 => —¡=0 Vậ m 2z m [| my | sen | y a a 2| — |+ —)=2m+0=k FA san =| 7 + Nếu k=2m+1=>z—=m+2 Zt 2 Laem taela eae >| |=m 3 j= — > sgni— p= 2Z 2z) 2 2Z Lúc này 2| | sen Fa =2m+1l=k 22 27;
Tóm lại ta đã chứng minh xong công thức tính
2 B +sgn | da néu trong bai
27 20
2n+l
BAI19 1) Cho phương trình : x?”*!= x+1,
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình đã cho
có duy nhất một nghiệm thực gọi là „
2) Xét dãy {u„}, n =1, 2, với u„ được xác định trong cau 1 Tim lim u, ne Bài giải 1 Xét phương trình x2"! = x +1 | — Viết lại (1) dưới dạng sau : xG2“~1)=1 _ (2) _Xét các khả năng sau :
a) Nếu x<-I, thì x°">1= VT(2)<0, vay (2) khong có nghiệm x <-I
b) Nếu 0< x<Ì, thïỉ x”” <1= VT(2)<0, vậy (2) cũng không có nghiệm
0<x<tl SỐ
Trang 38c) Nếu -l<x<0, thì xz””!<0<x+l, vậy (2) không có nghiệm với -l<x<0 d) Néu x21 Dua vao xétham sO: f(x) =27""!-x-1, tacé: -_#Œ)=(n+1)x?"~I, Dễ thấy ƒ'(+)>0 khi x>1 Mặt khác ƒ(1)=—1<0; ƒ(2)=2”"'~3>0 với mọi 0 =1,2, ƒ (x) lại là hàm liên tục, nên tổn tại duy nhất nghiệm u„ với M„>Ì Tóm lại ta đã chứng minh được kết quả sau : Với mọi n=l,2, , phương 2n+l trình x =x+Ì
có duy nhất nghiệm u,, trong d6 u, >1
Trang 39BÀI 20 - Dãy số {z„} được xác định như sau : Uy =Mị =Ï
Uns =u, + u,_, » n=l, 2,
Chứng minh rằng day {u,} c6 gidi-han va hay tinh: L= lim u, n-> +00 | Bai gidi Dễ thấy w„ >0, Vn=0,1,2, Ta cÓ ứạ = vjtạ + xạ =2 =2 tị < tạ, l sa Vn=l,2, | (a) Thật vậy theo trên thì (1) đúng khi ø = l: Giả sử (1) đã đúng khi n < k
Xét khi m= k+1 Theo công thức truy hồi xác định dãy, thì : My = fu, + fa1 Skat + fit, = Mao:
Vay (1) cing dting voi n=k+1 Theo nguyên lí quy nap thi (1) đúng với
mọi n=1, 2, Nhu thé {u,} 1a day đơn điệu tăng
Mặt khác khi n 23, tacé: u, =.fu,, +fu, <2Ju,
; =>H,< 4u,
Ta sẽ chứng minh rằng u, <u
Do u, >0>4u, <4 a
“Vay {u,} là dãy các số dương đơn điệu tăng và bi chặn trên bởi 4, nên tồn
Trang 40BÀI 21 Cho ¿ là số thực cho trước Dãy số {z„Ì xác định như sau : Hạ =a Ue =|u, -2"| ;n=0, 1, 2, Chứng minh rằng tổn tại giới hạn hữu hạn lim wu, va hay tim ñ=>+œ giới hạn này Bài giải
Xét hai trường hợp sau đây :
1 Nếu 2> 2 hoặc z < 0 Ta sẽ chứng minh rằng với mọi ø = l, 2, ., thì
wu, > 2m, (1)
Thật vậy khi ø=1, ta có : „, =|sạ—2°|=|a—ll>1 (đồ z>2 hoặc a<0)