PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1 Bài 2. Giới hạn của hàm số Phương pháp giải bài tập: Bài tập mẫu: Bài 1. Cho hàm số 2 2 1 x x y x     . Dùng định nghĩa chứng minh rằng 1 lim ( ) 3 x f x   . Giải: Hàm số y=f(x) xác định trên   \ 1 .R Giả sử (x n ) là dãy số bất kì 1 n x  và 1 n x       2 2 1 2 lim ( ) lim lim lim 2 3 1 1 n n n n n n n n n n n n x x x x f x x x x                Bài 2. Cho hàm số nếu 0 ( ) . 2 nếu 0 x x y f x x x         Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y=f(x) khơng có giới hạn khi 0x  Giải :     1 1 Xét dãy 0 0 1 lim ( ) lim 0 (1) 1 Xét dãy khi ; 0 1 lim ( ) lim 2 2 (2) Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi 0 n n n n n n n n n x n n f x n x n x n f x n x                                           BÀI TẬP ÁP DỤNG: Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn: Phương pháp: 1.   0 0 0 lim ( ) ( ), \ , lim lim ( ) n n n n x x n n f x L x x K x x x f x L           2. Để chứng minh hàm số f(x) khơng có giới hạn khi 0 x x ta thực hiện:  Chọn hai dãy số khác nhau (x n ) và (y n ) thỗ mãn: x n , y n thuộc tập xác định của hàm số và khác x 0  0 0 lim , lim n n n n x x y x          Chứng minh lim lim hoặc một trong hai n n n n f x f y    giới hạn đó khơng tồn tại www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2 Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau : 2 3 3 2 3 2 5 9 1 ) lim 6 ) lim 3 1 3 1 ) lim 4 ) lim 3 1 x x x x x a b x x x x c d x x                    Bài 2. 1. Cho hàm số 2 2 neáu 0 ( ) 1 neáu 0 x x f x x x          . a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi 0x  . b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên. 2. Cho hàm số 2 1 ( ) sinf x x  . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi 0x  . Bài 3. a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x   b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a) Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng   ;a . Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu lim ( ) vaø lim ( ) thì lim ( ) ( ) . x x x f x L g x M f x g x L M       Bài tập mẫu: Bài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:   2 1 3 2 2 4 1 2 2 1 )lim 2 1 ) lim 3 3 1 ) lim ) lim 1 4 4 )lim 2 2 x x x x x x a x b x x x c d x x x e x                Giải: Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện: 1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x 0 thì   0 0 lim ( ) x x f x f x   2. Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn  www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3       2 1 3 2 2 4 4 4 2 1 )lim 2 1 2 1 1 3 1 1 3 1 1 ) lim 3 3 3 3 3 )Ta coù: lim 3 1 0 vaø lim 4 0 neân lim 4 1 ) lim 1 x x x x x x a x x b x x c x x x x d x                                  2 2 4 0 )lim 0 2 2 4 x x e x      Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:     2 2 2 2 3 3 2 3 3 ) lim 2 4 ) lim 4 1 2 2 15 )lim )lim 2 2 x x x x a x x b x x x x c d x x x              Đáp số: 2 2 2 ) 14 4 1 ) lim 4 1 lim 4 1 11 ) ) 4 x x a x x b x x x x c d              Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau: 2 2 2 3 6 ) ( ) khi x 3 1 ) ( ) 4 2 5 khi x ) ( ) 3 6 1 khi x 15 ) ( ) khi x 2 2 15 ) ( ) khi x 2 2 x x a y f x x b y f x x x c y f x x x x d y f x x x d y f x x                                 Đáp số: ) 3 ) ) ) )a b c d e        www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 4 Bài tập mẫu: Bài 1. Tính giới hạn sau: 2 1 lim 1 x x x x    Giải :   2 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 1 x x x x x x x x x x           Bài 2. Tính giới hạn sau: 2 2 4 lim 7 3 x x x     Giải:            2 2 2 2 2 2 7 3 4 lim lim 2 7 3 lim 2 7 3 4.6 24 x x x x x x x x x x x                            Bài tập áp dụng: Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau:   3 2 3 2 2 1 0 1 3 2 3 4 2 2 1 1 1 1 2 3 1 ) lim ) lim ) lim 1 2 1 5 3 1 2 4 ) lim )lim 8 9 2 x x x x x x x x x x x a b c x x x x x x x x x d e x x x x                        Đáp số: 4 1 ) ) 3 )2 ) ) 5 3 5 a b c d e  Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau: Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 0 Phương pháp: 1. Nhận dạng vô định 0 0 : 0 0 0 ( ) lim khi lim ( ) lim ( ) 0 ( ) x x x x x x u x u x u x v x      2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim vaø tính lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o x x x x x x x x x x A x u x A x A x v x x x B x B x B x         3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước. www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 5 2 2 5 2 2 3 3 5 2 5 4 5 4 4 2 ) lim ) lim )lim 5 7 3 5 2 4 1 1 )lim ) lim )lim 4 1 3 3 2 2 x x x x x x x x x x a b c x x x x x x x x d e f x x x                           Đáp số: 1 9 1 ) 24 ) 2 5 ) ) ) 16 ) 3 8 6 a b c d e f  Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau: 3 0 1 2 2 2 0 0 2 3 3 1 0 3 2 2 3 0 1 3 3 1 ) lim ) lim 1 1 1 9 16 7 ) lim ) lim 7 5 2 1 8 ) lim )lim 1 5 7 1 2 )lim ) lim 1 1 x x x x x x x x x x a b x x x x x x x x c d x x x x x x x e f x x x x x g h x x                                     Đáp số: 1 7 7 11 5 3 ) ) 3 ) 1 ) ) ) ) ) 24 12 12 12 2 3 2 2 a b c d e f g h   Bài 1. Tính các giới hạn của hàm số sau: 2 3 0 0 0 2 0 0 0 tan sin 1 sin2 cos2 1 cos 2 )lim ) lim ) lim 1 sin2 cos2 sin sin3 1 cos5 cos7 cos12 cos10 )lim )lim )lim 1 2cos cos8 cos6 sin 11 x x x x x x x x x x x a b c x x x x x x x x x x d e f x x x x                 Đáp số: 1 37 11 ) ) 1 )4 ) 3 ) ) 2 121 7 a b c d e f   Bài 2. Tính các giới hạn sau: Dạng 4: Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định 0 0 ) Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí: 0 0 ( ) 0 ( ) 0 sin sin ( ) ( ) lim 1 hoaëc lim ( ) 0 lim 1; lim 1 ( ) sin ( ) x x u x u x x u x u x u x x u x u x          www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 6     0 1 2 0 0 4 4 0 0 2 3 2 1 0 2 3 2 )lim cot )lim sin2 tan 1 98 1 cos3 cos5 cos7 )lim tan2 tan )lim 4 83 sin 7 sin sin cos sin 1 ) lim )lim 1 1 2 1 1 cos )lim )lim sin x x x x x x x x x x a x b x x x x x c x x d x x x x e f x x x x g h x                                                     3 2 cos sin x x x  Đáp số: 7 1 1 )0 ) ) )1 ) 4 )1 )1 ) 12 2 12 a b c d e f g h  Bài tập mẫu: Bài 1. Tính giới hạn sau: 3 3 2 3 5 lim 6 x x x x x    Giải: 3 2 3 2 5 3 3 5 1 lim lim 1 2 6 6 x x x x x x x x         Bài 2. Tính giới hạn sau: Dạng 5: Dạng vô định   Phương Pháp: 1. Nhận biết dạng vô định   0 0 0 0 0 ( ) lim khi lim ( ) , lim ( ) ( ) ( ) lim khi lim ( ) , lim ( ) ( ) x x x x x x x x x x x u x u x v x v x u x u x v x v x               2. Chia tử và mẫu cho n x với n là số mũ cao nhất của biến x ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử n x rồi giản ước) 3. Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x k ra ngoài dấu căn ( Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 7         2 2 2 2 2 4 2 4 2 lim 4 2 lim lim 4 2 4 2 1 1 lim 4 1 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                       Bài tập áp dụng : Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau:         2 3 3 2 3 4 2 2 2 2 1 2 2 3 1 5 3 2 3 4 ) lim ) lim 1 2 1 1 7 5 1 4 1 ) lim ) lim 2 3 3 13 1 3 2 3 1 ) lim ) lim 2 3 4 1 1 3 2 x x x x x x x x x x a b x x x x x x x x x c d x x x x x x e f x x x x x                                               Đáp số: 2 2 2 2 1 ) 2 ) 0 ) ) 2 2 3 khi : lim = 4 4 1 1 ) 2 3 2 khi : lim =- 3 4 1 1 1 ) 5 x x a b c d x x x x x x e x x x x x x f                              Bài 2. Tính các giới hạn sau:     5 2 3 3 7 2 2 2 4 2 2 3 3 1 1 2 1 2 3 ) lim ) lim 9 3 2 3 4 1 9 1 4 2 1 ) lim ) lim 1 4 1 2 7 5 2 3 ) lim ) lim 3 13 1 x x x x x x x x x x a b x x x x x x x x x x c d x x x x x x x x e f x x x                                   Đáp số: www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 8 )3 ) 32 )5 khi ; 1 khi )1 khi ; 1 khi 1 1 ) khi ; khi 3 3 )1 khi ; 1 khi a b c x x d x x e x x f x x                      Bài tập 1: Tìm các giớí hạn của hàm số sau:           2 0 2 3 2 1 3 2 2 2 3 1 1 ) lim 1 ) lim 4 2 1 ) lim 2 3 4 4 3 ) lim 1 1 ) lim 2 1 7 3 ) lim 1 1 x x x x x x a b x x x x x x c x x x d x x e x x x x f x x                                        Đáp số: 1 ) 1 ) )khi : : 4 ;khi : : )0 4 5 5 )khi : : ;khi : : ) 0 2 2 a b c x ÑS x ÑS d e x ÑS x ÑS f             Bài tập 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau:       2 2 2 2 3 3 2 2 ) lim 1 ) lim 8 3 4 3 ) lim ) lim x x x x a x x x b x x x x c x x x x d x x x x                         Đáp số: Dạng 6. Dạng vô định ;0.    Phương pháp: 1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp 2. Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức. 3. Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định ;0.    hoặc chuyển về dạng vô định 0 ; 0   www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 9       3 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 1 1 ) khi ; khi ; )2 khi ; 2khi 2 2 ) lim lim 1 1 5 lim 3 2 6 1 1 ) lim lim lim x x x x x x a x x b x x c x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x d x x x x x x x x                                                               1 1 1 1 1 1 1 1 2 x x x       Bài tập mẫu: Bài 1. Tính giới hạn : 2 2 sin2 3 cos2 lim 3 6 x x x x x     Giài: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta nhaän thaáy: -2 sin2 3 cos2 2 2 sin2 3 cos2 2 Vaäy 3 6 3 6 3 6 2 1 2 2 1 Maø lim lim lim 6 3 3 6 3 6 3 sin2 3 cos2 1 Vaäy lim 3 3 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                              Bài 2. Tìm 2 0 1 lim sin x x x  Giải: Dạng 7: Giới hạn kẹp Phương pháp:   0 0 ( ) ( ) ( ), \ ,h x f x g x x K x x K     và 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x h x g x L f x L        www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 10   2 2 2 2 2 0 0 2 0 1 Ta nhaän thaáy : sin lim lim 0 1 Vaäy lim sin 0 x x x x x x x x x x x           Bài tập áp dụng: Bài tập1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:   2 2 2 0 2 sin 5 os2 1 ) lim )lim os 3 1 ) lim os 1 x x x x x c x a b x c x x x x c c x x x           Đáp số: ) 0 ) 0 ) 0a b c Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 2 3 2 2 5cos sin ) lim ) lim 1 2 1 sin2 2 os2 ) lim 1 x x x x x x x a b x x x c x c x x          Đáp số: ) 0 ) 0 )0a b c Bài tập mẫu: Bài 1. a) Cho hàm số 2 2 2 3 neáu 3 ( ) 1 neáu =3 3-2 neáu 3 x x x f x x x x           Tính 3 3 3 lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( ) x x x f x f x f x      b) Cho hàm số 3 3 3 ( ) 1 2 6 . Tính lim ( ); lim ( ); lim ( ) x x x f x x f x f x f x         Giải: Dạng 8: Giới hạn một bên Phương pháp:   0 0 0 lim ( ) , , lim lim ( ) n n n n n n x x f x L x x x b x x f x L               0 0 0 0 0 0 lim ( ) , , lim lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) n n n n n n x x x x x x x x f x L x a x x x x f x L f x f x L f x L                      www.VNMATH.com