Một số phương pháp tính giới hạn dãy số

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

Trang | MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ

1 Dạng 1: Tính giới hạn dãy đa thức Phƣơng pháp:

- Bước 1: Đặt lũy thừa bậc cao n làm nhân tử chung - Bước 2: Sử dụng quy tắc nhân giới hạn để tính giới hạn Ví dụ: Tính giới hạn limn3n2 n 1

Ta có: limn3 n2 n 1 limn3 1 12 13

n n n

 

         

 

2 Dạng 2: Tính giới hạn dãy số hữu tỉ Phƣơng pháp:

- Bước 1: Chia tử mẫu cho lũy thừa bậc cao tử mẫu

- Bước 2: Tính giới hạn tử mẫu áp dụng quy tắc tính giới hạn thương để tính giới hạn Ví dụ: Tính giới hạn lim2

1

n n

 

Ta có:

1

2

lim lim

1

1 1

n n

n

n

 

  

 

3 Dạng 3: Giới hạn dãy số chứa thức Phƣơng pháp:

- Bước 1: Xét xem sử dụng phương pháp dạng có dùng khơng +) Nếu ta dùng phương pháp dạng

+) Nếu không ta chuyển qua bước đây:

- Bước 2: Nhân, chia với biểu thức liên hợp thích hợp đưa dạng Ví dụ: Tính giới hạn lim n2 2nn

Ta có:

 

lim n 2nn    

 

2

2

2

lim

2

n n n n n n

n n n

   

   

2

2

2 lim

2

n n n

n n n

 



 

2 lim

2 n

n n n



 

2

lim

1

1

n

  

  

Trang | Phƣơng pháp:

- Bước 1: Chia tử mẫu cho lũy thừa với số lớn - Bước 2: Sử dụng nhận xét limqn 0 với q 1

Ví dụ:

2

2 5 1

lim lim

2.3 3.5 3 2.0 3

2 3.1

n n n

n

n n

    

      

    

   

5 Dạng 5: Tính giới hạn chứng minh dùng định nghĩa Phƣơng pháp:

Sử dụng định lý kẹp: Cho ba dãy số      un , vn , w n Nếu un vn wn,n limun limwn  L limvn L

Ta thường sử dụng phương pháp cho việc tính giới hạn dãy số có chứa sin, cos Ví dụ: Tính limsin 3n

n

Ta có: sin 3n 1 sin 3n

n n n



     

Mà lim 0; lim

n n

   

   

    nên

sin

lim n

n 

6 Bài tập

Câu Tính giới hạn dãy số

1

2

2

n

n k

k

k u



  .:

A  B  C D 1

Hƣớng dẫn giải Chọn C

Ta có: 1 12 11 11

2 2 2

n n n n

n

u  u        

 

1

1

lim

2 n 2n n

n

u  u

    

Câu Tính giới hạn dãy số 2

1

n n

k

n u

n k







 .:

A  B  C D 1

Trang |

Ta có: 2 2 2 21

1 1

n n

n n n

n u n u

n n n n n

 

     

   

2

1 lim

1

n n

n

u u

n

     



Câu Tính giới hạn dãy số

2 n

n

u  q q  nq với q 1.:

A  B  C

 2

1 q

q

 D  2

1 q

q



Hƣớng dẫn giải Chọn C

Ta có:

n n

n n

u qu  q q q  q nq 

1

1 (1 )

1

n n n

q

q u q nq

q





   

 Suy lim  2

1

n

q u

q





Câu Biết  

3 3

3

1

lim ,

1

n a

a b

n b

     

 Giá trị

2

2a b là:

A 33 B 73 C 51 D 99

Hƣớng dẫn giải Chọn D

Câu Tính giới hạn dãy số 1

2 2 ( 1)

n

u

n n n n

   

     :

A  B  C D 1

Hƣớng dẫn giải Chọn D

Ta có: 1

(k1) k k k1 k  k1

Suy 1 lim

1

n n

u u

n

   



Câu Tính giới hạn dãy số

3 3

3

( 1)

3

n

n n

u

n n

   



  :

A  B  C 1

9 D 1

Trang | Chọn C

Ta có:

2

3 3 ( 1)

1

3 n n

n   

     

 

Suy

2

( 1)

lim

3(3 2)

n n n n u u n n      

Câu Cho số thực a,b thỏa a 1;b 1 Tìm giới hạn

2 lim          n n

a a a

I

b b b

A  B  C 1

1

 

b

a D 1

Hƣớng dẫn giải Chọn C

Ta có 1, ,a a2, ,a cấp số nhân công bội n a

1 1         n n a

a a a

a Tương tự 1         n n b

b b b

b

Suy lim

1 1 1 lim 1           n n a b a I b a b

( Vì a 1,b1 liman1limbn10)

Câu Cho dãy số (un) xác định bởi:

0 2011 n n n u u u u       

 Tìm

3

limun

n

A  B  C D 1

Hƣớng dẫn giải Chọn C

Ta thấy un 0, n Ta có: 3

1

3 n n n n u u u u

     (1)

Suy ra: 3 3

1 3

n n n

u u   u u  n (2)

Từ (1) (2), suy ra:

 

3 3

1 3 2

0 0

1 1

3

3 3

n n n

u u u

u n u n n n

         

Trang | Do đó: 3

0

1

1 1

3

3

n n

n

k k

u u n

k k

 

      (3)

Lại có: 2

1

1 1 1

1 2

1.2 2.3 ( 1)

n

k k n n n

       



 2

1

1

2

n n

k k

n n

k k

 

 

 

Nên: 3

0

2

3

9

n

n

u  nu u  n 

Hay

3 3

0 2

3

9

n

u u u

n n n n n

     

Vậy

3

limun n 

Câu Cho dãy số  un xác định

 

1

1

2 n n

u

n u  nu n

 

    

 Tính limu n

A limun 1 B limun 4 C limun 3 D limun 0 Hƣớng dẫn giải

Chọn A

Câu 10 Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi:

1

1

1

1

,

n

n

u

u n

u



   

  

 

Tìm kết limu n

A 0 B 1 C 1 D 1 Hƣớng dẫn giải

Chọn B

Ta có: 1 1; 2 2; 3 3; 4 4; 5 5.;

2

u  u  u  u  u 

Dự đoán

1

n

n u

n



 với

*

n

Dễ dàng chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp Từ lim lim lim 1

1

1

n

n u

n

n

  

Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia