Các phương pháp tính giới hạn của hầm số

1 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XYZ TRƯỜNG THPT ABC  CHUYÊN ĐỀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ NĂM HỌC: 2011 - 2012 NĂM HỌC: 2011 - 2012 3 PHẦN LÝ THUYẾT CƠ BẢN PHẦN LÝ THUYẾT CƠ BẢN 4 1. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định lí 1: (Tính duy nhất của giới hạn) Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi hoặc 0 x x → x → ±∞ thì giới hạn đó là duy nhất duy nhất . . Định lí 2: (Các phép toán về giới hạn của hàm số) Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi thì: x a → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) lim lim lim ) lim . lim . lim lim ) lim lim 0 lim ) lim lim lim 0 x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a a f x g x f x g x b f x g x f x g x f x f x c g x g x g x d f x f x f x λ µ λ µ → → → → → → → → → → → → → ± = ±     =     = ≠ = ≥ 5 2. NGUYÊN LÝ KẸP GIỮA 2. NGUYÊN LÝ KẸP GIỮA DẠNG 1: Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) được xác định tại mọi lân cận của điểm (có thể trừ ra điểm ). Nếu: 0 x 0 x a) Với mọi thuộc lân cận đó và 0 x x ≠ ( ) ( ) ( ) .f x g x h x ≤ ≤ b) Nếu thì ( ) ( ) 0 0 lim lim x x x x f x h x L → → = = ( ) 0 lim . x x g x L → = DẠNG 2: Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) được xác định tại mọi . Nếu: x ∈ ¡ a) Với mọi có ( ) ( ) ( ) .f x g x h x ≤ ≤ x ∈ ¡ b) Nếu thì ( ) ( ) lim lim x x f x h x L →±∞ →±∞ = = ( ) lim . x g x L →±∞ = 6 3. QUY TẮC LÔPITAN 3. QUY TẮC LÔPITAN Nếu hai hàm số f(x), g(x) có đạo hàm (khả vi) ở lân cận 0 ,x ( ) ( ) 0 0 0f x g x = = và ở lân cận đồng thời ( ) ' 0g x ≠ 0 ,x ( ) ( ) 0 ' lim ' x x f x A g x → = thì ( ) ( ) 0 lim . x x f x A g x → = 7 Bài toán 1 Bài toán 1 TÍNH GIỚI HẠN DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DẠNG CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 0 0 I. PHƯƠNG PHÁP. Với giới hạn dạng: ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → với f(x), g(x) là các hàm đa thức nhận làm nghiệm. 0 x x = Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 2 2 0 0 0 lim lim lim lim 0 x x x x x x k k k k x x k k x x f x f x f x g x x x g x g x f x f x f x g x g x g x → → → → − = = = − = = + > 8 II. VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: 2 1 1 0 ) lim 1 0 x x a x → −    ÷ −   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 2 1 x x x x x x → → − + = = + = + = − 3 2 4 3 2 1 2 0 ) lim 0 2 x x x b x x x x → + −    ÷ − + + −   9 CHÚ Ý CHÚ Ý  Nếu tam thức có hai nghiệm ( ) 2 f x ax bx c = + + 1 2 ,x x thì ( ) ( ) ( ) 1 2 .f x a x x x x = − −  Phép chia đa thức cho ( ) 3 2 P x ax bx cx d = + + + theo sơ đồ Hocnơ sau đây: ( ) 0 x x − 0 x 0 ax b + a b c d a 2 0 0 ax bx c + + 0 Khi đó: ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 .P x x x ax ax b x ax bx c   = − + + + + +   10 CHÚ Ý CHÚ Ý 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 a b a b a b a b a b a ab b a b a b a ab b − • − = + − • − = + + + • + = − + [...]...  − cot x ÷ x→0  sin 2 x  ( HD :14 ) ( HD : −1) ( HD : 3 2 ) ( HD : 0 ) 12 Bài toán 2 0 TÍNH GIỚI HẠN DẠNG 0 CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI ƠNG PHÁP Với giới hạn dạng: lim x→ x0 f ( x) − a g ( x) ( f ( x0 ) = a; g ( x0 ) = 0 ) 13 Bài toán 2 0 TÍNH GIỚI HẠN DẠNG 0 CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI Khi đó ta thực hiện phép nhân liên hợp f ( x ) + a, ta được: f (... −1 1   HD : − ÷ 4  ( a > 0) 1    HD : ÷ 2a   3   HD : ÷ 2  18 Bài toán 3 0 TÍNH GIỚI HẠN DẠNG 0 CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CHỨA CĂN THỨC BẬC BA ƠNG PHÁP Với giới hạn dạng: lim x→ x0 3 f ( x) − a g ( x) ( 3 f ( x0 ) = a; g ( x0 ) = 0 ) 19 Bài toán 3 0 TÍNH GIỚI HẠN DẠNG 0 CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CHỨA CĂN THỨC BẬC BA Khi đó thực hiện phép nhân liên hợp 3 f 2 ( x ) + 3 f ( x ) + a...  HD : − ÷ 3  ( HD : 0 ) 24 Bài toán 4 0 TÍNH GIỚI HẠN DẠNG 0 CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CHỨA CĂN THỨC BẬC CAO I PHƯƠNG PHÁP Với giới hạn dạng: n 1 + ax − 1  0  lim  ÷ x→ 0 x 0 t = n 1 + ax , ta được: Đặt ẩn phụ: n 1 + ax − 1 t −1 a a lim = lim n = lim n−1 n− 2 = x→ 0 t →1 t − 1 t →1 t x + t + + 1 n 25 a III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau: 3 1− x −1  0  a ) lim  ÷ x→0 x... 2a.g1 ( x0 ) 1   14 CHÚ Ý Phương pháp được mở rộng cho các giới hạn: 1) lim x→ x0 2) lim x→ x0 3) lim x→ x0 f ( x) − a g ( x) − b ( f ( x0 ) = a; g ( x0 ) = b ) f1 ( x ) − f 2 ( x ) ( f1 ( x0 ) = f 2 ( x0 ) ; g ( x0 ) = 0 f1 ( x ) − f 2 ( x ) ( f1 ( x0 ) = f 2 ( x0 ) ; g1 ( x0 ) = g 2 ( x0 ) g ( x) g1 ( x ) − g 2 ( x ) ) 15 ) III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau: x +8 −3  0 a ) lim... x ( ) ÷   −1 1 = lim =− 2 x→0 3 3 1− x) + 3 1− x +1 ( x→0 26 III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau: 3 1− x −1  0  a ) lim  ÷ x→0 x 0 t = 3 1 − x ,ta được: Cách 2 Đặt 3 1− x −1 t −1 −1 1 lim = lim = lim =− 3 2 x→0 t →1 1 − t t →1 1 + t + t x 3 27 III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4: Tính các giới hạn sau: 5 5x + 1 − 1  0  b) lim  ÷ x→0 x 0 t = 5 5 x + 1, ta được: Đặt 5 5x + 1 − 1 t... x0 ) g1 ( x ) − g 2 ( x ) x→ x0 ) g1 ( x ) ± g 2 ( x ) 3 ) 21 ) III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau: 3 4x − 2  0  a ) lim  ÷ x →2 x − 2  0  = lim 4x − 8  ( x − 2)   ( )  4 x + 2 4 x + 4  4 1 = lim = 2 x →2 3 4x + 23 4x + 4 3 x →2 ( 3 2 3 ) 22 III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau: 3 x −1  0  b) lim 3  ÷ x→1 x − 2 + 1  0   ( x − 1)   = lim x→1 ( = lim x→1... 2 ( x ) + 3 f ( x ) + a2  ( x − x ) g ( x ) 0 1     f1 ( x0 ) f1 ( x ) = lim = 2 x→x0  3 2 f ( x ) + 3 f ( x ) + a 2  g1 ( x ) 2a + a  g1 ( x0 )       x→x0 20 CHÚ Ý Phương pháp được mở rộng cho các giới hạn: f ( x) + a ( 3 f ( x0 ) = − a; g ( x0 ) = 0 3 f ( x) ± a g ( x) ± b 3 x→ x0 3 ( f ( x0 ) = ma; 3 g ( x0 ) = m b 3 f ( x) ± a ( 3 f ( x0 ) = ma; g ( x0 ) = b 1) lim 3 g ( x) x→ x0... Tính các giới hạn sau: x +8 −3  0 a ) lim 2  ÷ x→1 x + 2 x − 3  0  x −1 = lim x→1 x + 8 + 3 ( x − 1) ( x + 3) ( = lim x→1 ( ) 1 1 = x + 8 + 3 ( x + 3) 24 ) 16 III VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau: x +1 −1 b) lim x→0 3 − 2 x + 9 0  ÷ 0 ( ) = lim x→0 −2 x ( x + 1 + 1) x 3 + 2x + 9 = lim 3 + 2x + 9 x→0 −2 ( 3 =− 2 x +1 +1 ) 17 BÀI TẬP TỰ LÀM 2x −1 − x 1) lim x→1 x −1 2) lim x...II VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: x −1  0  ( x − 1) ( x + 1) = lim x + 1 = 1 + 1 = 2 a ) lim ( )  ÷ = lim x→1 x − 1  0  x→1 x→1 x −1 2 x3 + x 2 − 2 0 b) lim 4  ÷ x→1 x − x3 + x 2 + x − 2  0  = lim x→1 ( x − 1) . TÍNH GIỚI HẠN DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DẠNG CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 0 0 I. PHƯƠNG PHÁP. Với giới hạn dạng: ( ) ( ) 0 lim x x f x g x → với f(x), g(x) là các. toán 2 TÍNH GIỚI HẠN DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DẠNG CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 0 0 I. PHƯƠNG PHÁP. Với giới hạn dạng:. 3 Bài toán 3 TÍNH GIỚI HẠN DẠNG TÍNH GIỚI HẠN DẠNG CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC ĐẠI SỐ CHỨA CĂN THỨC BẬC BA CHỨA CĂN THỨC BẬC BA 0 0 I. PHƯƠNG PHÁP. Với giới hạn dạng: