Các phương pháp tìm giới hạn của hàm số của thầy Nguyễn Đình Sỹ

Thông thường ta áp dụng các quy tắc và định lý về giới hạn của hàm số là ta tìm được ngay giá trị của giới hạn... Sau đó giản ước nhân tử chung :  Nếu ux và vx chứa biến số dưới dấu căn

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ

I Tóm tắt lý thuyết

1 Giới hạn hữu hạn

 Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0} khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ ,xn \{x0} và xn

,ta có limf(xn)=L

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (xo;b) khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ x0<xn<b và xn , ta có limf(x)=L

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x0) , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , a<xn<x0 và xn , ta có limf(xn)=L

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;+∞) , khi và chỉkhi với dãy (xn) bất kỳ ,xn>a và xn , thì limf(xn)=L

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞;a) , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ ,xn<a và thì limf(xn)=L

2 Giới hạn ở vô cực

 Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng(a;+∞) , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn>a và ,ta có limf(xn)=-∞

 Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x0} .khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) ,xn thuộc K\{x0} và xn , ta có limf(xn)=+∞

Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞

3.Các giới hạn đặc biệt

Với k là một số nguyên dương

4 Định lý về giới hạn hữu hạn

5 Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương

B Phương pháp tìm giới hạn của hàm số

I Thông thường ta áp dụng các quy tắc và định lý về giới hạn của hàm số là ta tìm được ngay giá trị của giới hạn

Ví dụ , Tìm các giới hạn sau

Bài giải :

II Một số dạngvô định thường gặp và cách biến đổi

 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử Sau đó giản ước nhân tử chung :

 Nếu u(x) và v(x) chứa biến số dưới dấu căn ,thì có thể nhân tử và mẫu với biểuthức liên hợp ,trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước

 Một số biểu thức liện hợp thường dùng :

* Chú ý : Trong (**) nếu A(x0)=B(x0)=0 ,ta lại phân tích tiếp chúng thành :

* Khi u(x) hoặc v(x) chứa căn thức cùng bậc :

Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp ( như đã cho ở trên )

Sau đó rút gọn làm xuất hiện thừa số chung

Giản ước thừa số chung ,sẽ mất dạng vô định

Ví dụ1 ( Bài 4.57-tr-143-BTGT11-NC).

Tìm các giới hạn sau

Bài giải :

Vì , thì x+2<0 ,cho nên

Ví dụ 2 ( Bài 4.59-tr144-BTGT11-NC)

Tìm các giới hạn sau

Bài giải :

2 Để tìm giới hạn :(Dạng : )

Ta có thể làm như sau :

 Chia tử và mẫu cho , với n là số mũ cao nhất của biến số x ( hay phân tích tửvà mẫu thành tích chứa nhân tử xn ,rồi giản ước )

 Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức ,thì đưa xk ra ngoài dấu căn ( với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho luỹ thừa của x

 - Chú ý đến cận : Khi x nghĩa là x>0 ; còn x , nghĩa là x<0

 - Giống như đối với dạng , hoặc ta phân tích thành nhân tử ,hoặc ta nhân liên hợp ,hoặc ta đưa x ra ngoài dấu căn thức ( phải chú ý đến cận mà bỏ dấu trị tuyệt đối )

Ví dụ 1 (Bài 32-tr159-GT11-NC)

Tìm các giới hạn sau

Bài giải :

Ví dụ 2 (Bài 44-tr167-GT11NC)

Tìm các giới hạn sau

Bài giải :

Ví dụ 3 Tìm các giới hạn sau :

  



2 2 x

Ví dụ 4 Tìm các giới hạn sau

t t lim 1 2 2 1 khi : t x ; khix ,t

1

t t t

Bài tập tự luyện

Tìm các giới hạn sau:

(2x 3) (4x 7)lim

3x 1

 



l) lim 2 3 2

4x 2x 1 2 x o) lim

9x 3x 2x p)

2 2 x

Dạng vô định   và dạng 0.∞

Ví dụ 1 Tìm giới hạn của các hám số sau

3 lim ( x x x)

Bài giải :

Ví dụ 3 ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1

.Tìm các giới hạn sau

Bài giải :

Bài tập tự luyện

Tính các giới hạn sau:

v) xlim ( x 12 3x 1)3

     w) xlim (  3 x32 1x  x2 3 )x

4 Để tìm giới hạn

Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số

 Khéo léo thêm và bớt vào tử số hay mẫu số ( có chứa căn không cùng chỉ số ) một số hợp lý ( thường là thêm vào số x0)

 Tách giới hạn đã cho thành hai giới hạn mà sao cho mỗi giới hạn chỉ chứa căn thức có cùng chỉ số và áp dụng các định lý ,hoặc quy tắc tìm giới hạn đã biết

 Chẳng hạn ,ta tìm :

 Chú ý : Đôi khi ta phải thêm ,bớt một đại lượng h(x) sao cho h(x0)=c Sau đó áp dụng cách phân tích trên để giải ( Thông qua ví dụ : )

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 Tìm giới hạn của các hàm số sau

Bài giải :

Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau.

Bài giải :

Ví dụ 3 Tìm các giới hạn sau

Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1 Khi đó

5 Để tìm giới hạn :

Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số ( với căn có chỉ số cao hơn 3- từ 4 trở đi )

 Ta đổi biến số bằng cách đặt u=

 Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp dụng các định lý và quy tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay

Ví dụ1: minh hoạ ( ĐH-SP II-99).

Tìm giới hạn sau :

Bài giải :

Ta có :

 Đặt :

 Đặt :

 Vậy :

Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau

Bài giải :

6 Phần nâng cao Áp dụng giới hạn :

 Nếu giới hạn đã cho chứa các hàm số lượng giác , bằng cách biến đổi lượng giác ,ta biến đổi hàm số cần tìm giới hạn sao cho sử dụng được giới hạn trên

 Nếu hàm số tìm giới hạn chứa hỗn hợp cả cằn thức +lượng giác ,hay đa thứcvới lượng giác thì ta phải thêm hay bớt hoặc tách giới hạn đó thành hai giới hạn sao cho hai giới hạn này có thể tìm được ngay bằng các định lý và quy tắc tìm giới hạn đã biết

Ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1 Tìm các giới hạn sau

Bài 1 Tìm các giới hạn sau

Bài 2 Tìm các giới hạn sau

Bài 3 Tìm các giới hạn sau

Bài 4 Tìm các giới hạn sau

Bài 5 Tìm giới hạn của các hàm số sau

III Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số

 Theo định nghĩa đạo hàm : "Cho hàm số y= f(x) có D=(a;b)x0 là một giá trị thuộc D Giới hạn của tỷ số

Gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0

 Nếu hàm số f=f(x) tồn tại đạo hàm tại điểm x0 : f'(x0)≠ 0 , thì :

 Một số công thức tính đạo hàm cần biết :

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1 (ĐH-Thuỷ lợi -KA-2001).Tìm giới hạn sau

Bài giải :

Với :

Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau

Bài giải

Ví dụ 3 Tìm các giới hạn sau

Bài giải

* Chú ý : Có thể sử dụng một số kết quả sau để tìm giới hạn

Kết quả 1 Tìm giới hạn sau

Từ phân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1) (1) Cho nên :

Một số bài tập tự luyện Bài 1 Tìm giới hạn của các hàm số sau

Bài 2 Tìm giới hạn của các hàm số sau

Bài 3 Tìm giới hạn của các hàm số sau

Bài 4 Tìm giới hạn của các hàm số sau

BÀI TẬP THAM KHẢO - ĐỂ LUYỆN TẬP

.Bài 1 Dùng định nghĩa, CMR:

sin x lim x

tgx lim

72 lim

1

x

x x

18 x x 4

27 x lim 2 33

x 2

2x 12 x lim



 

  t) limx 1 3 x 7 2

 





 



 r)lim 3 3 2 2

 Giới hạn một bên

1 Tìm các giới hạn sau







 d)lim1 1

1

x

x x

2

3 3 lim 2

x

k)

2

3 3

1 cos2x lim

x 2

2 2

Giới hạn hàm lượng giác

1 Tính các giới hạn sau:

a) xlim0sin5x

3x

1 cos2x lim

2 3 2 lim

x

4)

6 lim 3

1 5 lim

x

Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư.

1)

2 5 3

10 3 lim 2

x 2)

a x

a

x n n a

x 





lim

3) 2

1

) (

) ( lim

a x

a x na a

1 lim

x n x

1

lim

x x

h

3 3 0

3

15 2 lim

x

10)

5

15 2 lim

6 ) 5 (

1 lim

2 3

x x

x x

4 3 lim 2

6 5 lim 2

6

2 3 lim 2

2 3

x

16)

3 2

1 lim 2

2 3

4)

2

1 5 3 lim

x

x 6 3 3

1 lim

2 1

x

1 1

1 lim

2 0

10)

4 10 2

3 lim

2 4

2 3

1

1 3 2 lim 2

x

16)

2

58 3 lim

3 2

1 lim 2

lim

x

x x

x

a x a

7)

2 3

2 4

2 3

x

x x

x

3 3

lim

3 1 4

2 lim

1 lim

x

4)

2 3

1 lim

2 3

2 4

lim

2 2 0

x

3 0

8 1

2

lim   

 (§HQG – K A 97) 2)

2 3

2 4

2 3

x

3)

1

7 5

x

4)

2 3

2 4

2 3

2 3

1

5 7 lim

2 3

x

6)

x

x x

x

3 0

5 8 4 3 lim   

x

x x

x

7 1 2 1 lim3

x x

3 2

1

; 1 3

2

x x

x x

0

; 1 2

x x

x

x x

x x

1 0

; 0

;

2 2

x x

x

x x

x o

2

; )

(

2

x x mx

2

; 6 5 )

(

2

x mx

x x

x x

3 1

; 5

6

1

; )

3 2

( 5

x x

x x

x x

x

f T×m limx1 f(x); limx3 f(x)

10)

3 4

1 lim 2

x x

Chó ý: Khi x  - hoÆc x  + mµ chia cho x th× ph¶i chó ý tíi dÊu.

3

6 6 2

1 3 lim

x x

x x

1 2

2 3 3 2

x x x

x

x x x

x

x n

nx x

x

!

sin

2 sin sin

x 0 sin3

sin tan

lim 

a x

a x

lim

9)

b x

b x

c x

x x

x

x sin

cos 1 lim

3 0



c x

c x

lim

14) limsin2 2 sin2 2

a x

a x

x sin

3 sin 5

lim

1

x x

x

3 cos 2 cos cos

sin sin

2 2 sin lim

x

a x

a x

tan tan

2 2 tan

lim

x

a x

a x

tan sin

bx ax

x

22) lim0cos cos2 .cos

x

cx bx ax

lim

x

x x

x sin

1 1

a

x

) cos(

) cos(

sin cos

x tan2 .tan 4

lim 4

tan tan

tan

lim

x

a x

a x a

x

x x x

x sin 11

7 cos 5 cos 1

2 sin sin

lim

x

x x

x

x x

0

2

cos lim

cos 2 2 lim

47) lim0cos3 cos25 .cos7

x

x x

x x x

x x

x tan sin

sin tan

x

x sin

2 cos 1 lim

2 0



3 4

) 1 sin(

ax

ax x

x 1 cos

sin lim

x sin

5 sin 7

sin lim