Các phương pháp tìm giới hạn của hàm số của thầy Nguyễn Đình Sỹ

Phương pháp tìm giới hạn của hàm số MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT HÀM SỐ I. Tóm tắt lý thuyết 1. Giới hạn hữu hạn • Cho khoảng K chứa điểm x 0 và hàm số y=f(x) xác đònh trên K hoặc trên K\ {x 0 }. khi và chỉ khi với dãy số ( bất kỳ ,x n \{x 0 } và x n ,ta có limf(x n )=L . • Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (x o ;b) . khi và chỉ khi với dãy số (x n ) bất kỳ x 0 <x n <b và x n , ta có limf(x)=L . • Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;x 0 ). , khi và chỉ khi với dãy số (x n ) bất kỳ , a<x n <x 0 và x n , ta có limf(x n )=L . • Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (a;+∞) . , khi và chỉ khi với dãy (x n ) bất kỳ ,x n >a và x n , thì limf(x n )=L • Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng (-∞;a) . , khi và chỉ khi với dãy số (x n ) bất kỳ ,x n <a và thì limf(x n )=L. 2. Giới hạn ở vô cực • Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên khoảng(a;+∞) . , khi và chỉ khi với dãy số (xn) bất kỳ , xn>a và ,ta có limf(xn)=-∞ . • Cho K là khoảng chứa điểm x0 và hàm số y=f(x) xác đònh trên K hoặc trên K\ {x0}. .khi và chỉ khi với mọi dãy số bất kỳ (xn) ,xn thuộc K\{x0} và x n , ta có limf(xn)=+∞ . Chú ý : f(x) có giới hạn +∞ ,khi và chỉ khi -f(x) có giới hạn -∞ 3.Các giới hạn đặc biệt Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 1 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Với k là một số nguyên dương 4. Đònh lý về giới hạn hữu hạn * Đònh lý 1 a) Nếu và , thì • • • • b) Nếu f(x)≥ 0 và , thì L ≥ 0 và Đònh lý 2 5. Quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) . L>0 +∞ +∞ -∞ -∞ L <0 +∞ -∞ -∞ +∞ Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 2 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số b) Quy tắc tìm giới hạn của thương Dấu của g(x) L ±∞ Tuỳ ý 0 L>0 0 + +∞ - -∞ L <0 0 + -∞ - +∞ B. Phương pháp tìm giới hạn của hàm số I. Thông thường ta áp dụng các quy tắc và đònh lý về giới hạn của hàm số là ta tìm được ngay giá trò của giới hạn . Ví dụ , Tìm các giới hạn sau Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 3 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số II. Một số dạngvô đònh thường gặp và cách biến đổi . 1. Để tính . Ta làm như sau: • Phân tích tử và mẫu thành nhân tử . Sau đó giản ước nhân tử chung : • Nếu u(x) và v(x) chứa biến số dưới dấu căn ,thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp ,trước khi phân tích chúng thành tích để giản ước . • Một số biểu thức liện hợp thường dùng : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 4 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số * Chú ý : Trong (**) nếu A(x0)=B(x0)=0 ,ta lại phân tích tiếp chúng thành : * Khi u(x) hoặc v(x) chứa căn thức cùng bậc : Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp ( như đã cho ở trên ) Sau đó rút gọn làm xuất hiện thừa số chung . Giản ước thừa số chung ,sẽ mất dạng vô đònh Ví dụ1 . ( Bài 4.57-tr-143-BTGT11-NC). Tìm các giới hạn sau Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 5 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Vì , thì x+2<0 ,cho nên Ví dụ 2 ( Bài 4.59-tr144-BTGT11-NC) Tìm các giới hạn sau Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 6 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 2. Để tìm giới hạn :(Dạng : ) Ta có thể làm như sau : • Chia tử và mẫu cho , với n là số mũ cao nhất của biến số x ( hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử x n ,rồi giản ước ). • Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn thức ,thì đưa x k ra ngoài dấu căn ( với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho luỹ thừa của x . • - Chú ý đến cận : Khi x nghóa là x>0 ; còn x , nghóa là x<0 • - Giống như đối với dạng , hoặc ta phân tích thành nhân tử ,hoặc ta nhân liên hợp ,hoặc ta đưa x ra ngoài dấu căn thức ( phải chú ý đến cận mà bỏ dấu trò tuyệt đối ) Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 7 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví dụ 1. (Bài 32-tr159-GT11-NC) Tìm các giới hạn sau Bài giải : Ví dụ 2. (Bài 44-tr167-GT11NC) Tìm các giới hạn sau Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 8 Phng phỏp tỡm gii hn ca hm s Vớ duù 3. Tỡm caực giụựi haùn sau : + 2 2 x 3x(2x 1) 1. lim (5x 1)(x 2x) + + + + 2 x x x 1 2. lim x x 1 + 2 3 2 3 lim 3 1 x x x x x + + + + + + 2 2 x x x 2 3x 1 4. lim 4x 1 1 x ứ giaỷi: . ( ) ( ) ( ) ữ = = = + + + ữ ữ 2 2 2 2 x x x 1 3 2 3 2x 1 3x(2x 1) 6 x 1. lim lim lim 1 2 5x 1 x 2 5 (5x 1)(x 2x) 5 1 x x + + + + = = + + + + 2 2 x x 2 1 1 x x 1 x x 2. lim lim 0 1 1 x x 1 1 x x Nguyn ỡnh S -K-T : 02403833608 Trang 9 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số → −∞ → −∞ → −∞ − + − − + − + = = = −   − −  ÷   2 3 3 1 2 1 2 3 2 1 3 lim lim lim 1 1 3 1 3 3 3 x x x x x x x x x x x x x x →± ∞ →± ∞   + + + +  ÷ >  + + + +    = = − <    + + −  + + −  ÷   2 2 2 x x 2 1 2 1 x 1 x 3 4 khi x 0 x x 2 3x 1 x x x 2 4. lim lim khi 0 1 1 4x 1 1 x 3 x 4 x 1 x x Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau →−∞ + + − 3 3 2 2 1. lim 2 2 x x x x x →−∞ + + + + − 3 3 2 2 3 2 2 3 2 ( 2 ) 2 2 lim 3 2 x x x x x x x x x →−∞ − + − 2 3 2 3. lim 3 1 x x x x x →+∞ + − + + − x (x x x 1)( x 1) 4. lim (x 2)(x 1) Bài giải : →−∞ →−∞   + +  ÷ + +   = = −   −  ÷   3 3 3 2 2 1 1 2 1. lim lim 1 1 2 2 2 1 x x x x x x x x x x →−∞ →−∞       + + + +  ÷    + + + +   = = − − 2 2 3 3 33 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1 1 1 ( 2 ) 2 2 lim lim 1 2 3 2 3 x x x x x x x x x x x x x x Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 10 [...]... các giới hạn sau Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 20 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví dụ 2 Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài giải : Vậy : III.Phần bài tập tự luyện Bài 1 Tìm các giới hạn sau Bài 2 Tìm các giới hạn sau Bài 3 Tìm các giới hạn sau Bài 4 Tìm các giới hạn sau Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 21 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Bài 5 Tìm giới hạn của. .. : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 22 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Với : Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau Bài giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 23 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví dụ 3 Tìm các giới hạn sau Bài giải Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 24 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số * Chú ý : Có thể sử dụng một số kết quả sau để tìm giới hạn Kết quả 1 Tìm giới. .. dụng cách phân tích trên để giải ( Thông qua ví dụ : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 ) Trang 15 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1 Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài giải : Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 16 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví dụ 3 Tìm các giới hạn sau Bài giải : Ví dụ 4 Tìm các giới hạn sau Bài giải : Nguyễn. .. tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 18 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví dụ1: minh hoạ ( ĐH-SP II-99) Tìm giới hạn sau : Bài giải : Ta có : • Đặt : • Đặt : • Vậy : Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau Bài giải : Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 19 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số 6 Phần nâng cao Áp dụng giới hạn : • Nếu giới hạn đã cho chứa các. .. giới hạn sau Từ phân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1) (1) Cho nên : Ví dụ Tìm giới hạn sau Bài giải : Do (1) Kết quả 2 Tìm giới hạn sau Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 25 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví dụ 1: Bài giải : Ví dụ 2 : Bài giải : Một số bài tập tự luyện Bài 1 Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài 2 Tìm giới hạn của các hàm số sau Bài 3 Tìm giới hạn của. .. hạn của các hàm số sau III Sử dụng đònh nghóa đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số • Theo đònh nghóa đạo hàm : "Cho hàm số y= f(x) có D=(a;b)x0 là một giá trò thuộc D Giới hạn của tỷ số Gọi là giá trò đạo hàm của hàm số tại điểm x0 • Nếu hàm số f=f(x) tồn tại đạo hàm tại điểm x0 : f'(x0)≠ 0 , thì : • Một số công thức tính đạo hàm cần biết : Ví dụ áp dụng Ví dụ 1 (ĐH-Thuỷ lợi -KA-2001) .Tìm giới hạn sau... Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 17 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Ví dụ 5 Tìm giới hạn sau : Giải : Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1 Khi đó 5 Để tìm giới hạn : Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số ( với căn có chỉ số cao hơn 3- từ 4 trở đi ) • Ta đổi biến số bằng cách đặt u= • Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp dụng các. .. hàm số lượng giác , bằng cách biến đổi lượng giác ,ta biến đổi hàm số cần tìm giới hạn sao cho sử dụng được giới hạn trên • Nếu hàm số tìm giới hạn chứa hỗn hợp cả cằn thức +lượng giác ,hay đa thức với lượng giác thì ta phải thêm hay bớt hoặc tách giới hạn đó thành hai giới hạn sao cho hai giới hạn này có thể tìm được ngay bằng các đònh lý và quy tắc tìm giới hạn đã biết Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1 Tìm. .. giới hạn của các hàm số sau Bài 3 Tìm giới hạn của các hàm số sau Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 26 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Bài 4 Tìm giới hạn của các hàm số sau BÀI TẬP THAM KHẢO - ĐỂ LUYỆN TẬP Bài 1 Dùng đònh nghóa, CMR: a) lim(2x + 3) = 7 x →2 x +1 b) lim 2(x − 1) = 1 x →3 x 2 − 3x + 2 = −1 c) lim x →1 x −1 Bài 2 Tìm các giới hạn sau 3 2 a) lim(x + 5x + 10x) x →0 2x 2 + 3x +... hạn của các hàm số sau Bài giải : Ví dụ 3 ( Bài 40-tr166-GT11-NC)1 Tìm các giới hạn sau Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 Trang 13 Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Bài giải : Bài tập tự luyện Tính các giới hạn sau: 2 e) x lim∞( x + x − x) →+ 2 h) lim ( x − 2 x + 4 − x ) x → ±∞ 2 l) x lim∞ (2x − 1 − 4x − 4x − 3) →± Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT : 02403833608 2 g) xlim ( x − 3 x + 2 − x) → −∞ 2 k) lim x