Các dạng toán thường gặp về vec to trong không gian của thầy Nguyễn Đình Sỹ

Định nghĩa Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng .Ký hiệu , chỉ rõ véc tơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B.Véc tơ còn được ký hiệu : * Các khái niệm về giá của véc tơ,độ

Chương III

VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

§1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa

Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng Ký hiệu , chỉ rõ véc tơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B.Véc tơ còn được ký hiệu :

* Các khái niệm về giá của véc tơ,độ dài của véc tơ, sự cùng phương ,cùng hướng của hai véc

tơ ,véc tơ -không ,sự bằng nhau của hai véc tơ được định nghĩa tương tự như trong mặt

phẳng

1 Phép cộng ,phép trừ véc tơ trong không gian *

Phép cộng và phép trừ hai hay nhiều véc tơ trong

không gian ,được định nghĩa tương tự như phép

cộng và phép trừ hai véc tơ trong mặt phẳng

Phép cộng véc tơ trong không gian cũng có các

tính chất như phép cộng véc tơ trong mặt

phẳng Khi cộng véc tơ trong không gian ta vẫn có

thể áp dụng quy tắc 3 điểm ,quy tắc HBH,như đối

với véc tơ trong mặt phẳng

Ví dụ : Cho tứ diện ABCD

1 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD Chứng tỏ rằng

2.Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi

Với mọi điểm P

Bài giải :

1 Sử dụng quy tắêcba điểm :

Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có :

NH

KI

Tương tự ,trong tam giác DMC với GN là trung tuyến ta có :

Từ đó ,lấy (1) cộng với (2) :

Mạt khác với một điểm P bất kỳ ,ta xét các tam giác PAB ;PCD và PMN Thứ tự có các đườngtrung tuyến PM,PN và PG Áp dụng quy tắc trung tuyến ta có 3 kết quả sau

Hay :

* Quy tắc hình hộp :

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh xuất phát từ

đỉnh A là AB,AD,AA' và có đường chéo AC' Khi đó

ta có quy tắc hình hộp là :

3 Phép nhân véc tơ với một số

* Các kết quả trong mặt phẳng đều áp dụng cho trong không

gian

Ví dụ1 : Cho tứ diện ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC G là

trọng tâm của tam giác BCD.Chứng minh rằng :

Bài giải :

Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G là trọng tâm thì :

Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết quả của ví dụ 1)

b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết quả sau :

II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC TƠ

1 Khái niệm đồng phẳng của ba véc tơ trong không gian

* Trong không gian cho ba véc tơ Nếu từ một điểm O bất kỳ ta vẽ

,khi đó có thể xảy ra hai trường hợp :

 Trường hợp OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt phẳng ,khi đó ta nói rằng ba véc

tơ không đồng phẳng

 Trường hợp OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng ,thì khi đó ta nói ba véc tơ

đồng phẳng Trong trường hợp này giá của ba véc tơ luôn song song với một mặt phẳng

2 Định nghĩa

Trong không gian ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng song song với một mặt phẳng

* Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh

Bài giải : Gọi P,Qlần lượt là trung điểm của AC

và BD Ta có PN // MQ và PN=MQ=1/2 AD

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình

hành mp(MNPQ) chứa đường thẳng MN và //

với các đường thẳng AD và BC

Vậy suy ra ba đường thẳng MN,AD,BC cùng //

với mặt phẳng Do đó ba véc tơ

Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm

của AB và CD Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy

bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng

Bài giải :

A

AM

N

PQC

yM'

BO

N

PQCB

AM

N

PQC

C

AM

N

PQCB

Ta có : Theo kết quả của ví dụ 1 :

Mặt khác theo giả thiết :

Chứng tỏ M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng ( do đồng phẳng )

Định lý 2:

* Trong không gian cho ba véc tơ không đồng

phẳng Khi đó với mọi véc tơ ,ta đều chọn

được một bộ ba số m,n,p sao cho : +n

Ngoài ra bộ ba số m,n,p là duy nhất

* Chứng minh định lý dựa vào hình vẽ bên

Ví dụ 5 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Có ,

Gợi I là trung điểm củaBC'.Hãy biểu thị véc tơ AI theo ba véc tơ

NQ

C

DN

A

PB

M

QC

DN

CD

CD

C'B'

Do I là trung điểm của BC' nên AI là trung tuyến của tam giác ABC',cho nên theo quy tắc trung tuyến ta có :

BÀI TẬP TRONG HH-11-CƠ BẢN ( Trang 91-HH11-CB) Bài 2 Cho hình hộp ABCD ,A'B'C'D' Chứng minh rằng

Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD của HBH

Xét hai tam giác SAC và SBD ,chúng có chung đường trung tuyến SO Theo tính chất của đường trung tuyến : :

Bài 4 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh rẳng :

A

DB'

Bài gi ả i

Bài 5 Cho tứ diện ABCD Hãy xác định hai điểm E và F sao cho

Bài giai :

a)Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD Theo tính chất của trọng tâm tam giác với một điểm

A tuỳ ý ta có :

Chứng tỏ E nằm trên đường thẳng AG và độ dài của AE =3AG

b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD Thì :

Vậy : F nằm trên đường thẳng đi qua A // với Ị và có độ dài bằng hai lần độ dài của IJ

Cách khác :

Với E là đỉnh thưc tư của HBH ABGC và E là đỉnh thứ

tư của hình bình hành AGED Hay nói một cách khác Elà một đỉnh của hình hộp coa ba cạnh là AB,AC,AD

Tương tự ,G là đỉnh thứ 4 của hình bình hành ABGC ,còn F là đỉnh thứ 4 của hình bình hành ADGF (cách xác định chúng như hình vẽ )

Bài 6 Cho tứ diện ABCD.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chưng minh rằng :

A

B

C

DM

F

Bài giải :

Theo giả thiết ,nếu G là trọng tâm tam giac ABC thì :

Do (1)

Bài 7 Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là trung

đoạn của đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian Chứng minh rằng :

`

Bài giải : a) Nếu M và N là trung điểm của AC và BD F là trung điểm của MN thì :

b) Theo quy tắc ba điểm :

Bài 8 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có : Hãy phân tích (biểu thị ) các véc tơ ,theo các véc tơ

Bài giải :Theo hình vẽ thì :

Bài 9 Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).Trên SA lấy điểm M sao

cho ,và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho Chứng minh ba véc tơ

đồng phẳng

AB

C

A'B'

C'

Bài giải : Đặt : Khi đó ta biểu diễn ba véc tơ theo ba véc tơ

Ta có

Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng

Bài 10 Cho hình hộp ABCDEFGH;, Gọi K là giaođiểm của AH và DE ,I là giao của BH và

DF Chứng minh ba véc tơ đồng

phẳng

Bài giải :

ba véc tơ theo ba véc tơ Vì

vậy ta có :

Thay (2) và (3) vào (1),ta có : Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng

TRONG HH-11-NÂNG CAO (Trang 91) Bài 2 Cho hình chóp S,ABCD

a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì Điều ngược lại có đúng hay không ?

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi

Bài giải :

a) Nếu ABCD là hình bình hành thì gọi O là giao hai đường chéo AC và BD thì :

Ngược lại ,từ giả thiết :

Chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng

b) Từ (1) suy ra hệ thức véc tơ :

B

A

CD

E

EF

GH

K

I

Bài 3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác

ABC và A'B'C' I là giao điểm của đường thẳng AB' và A'B Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG' song song nhau

Bài giải :

Gọi M và N thứ tự là trung điểm của hai cạnh BC và

B'C'

GI và véc tơ CG' theo ba véc tơ

Từ (2) chứng tỏ hai véc tơ cùng phương Nhưng vì hai véc tơ không có chung gốc nên hai giá của hai véc tơ này // nhau ,nghĩa là ta có GI // CG'

Bài 4 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M,N thứ tự là trung điểm của CD và DD'; G và G'

lần lượt là trọng tâm của tứ diện A'D'MN và BCC'D' Chứng minh rằng đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau ?

Bài giải :

Nếu G và G'là trọng tâm của các tứ diện

A'D'MN và BCC'D' thì với một điểm A bất kỳ

A'

B'C'

D'

M

N

Từ (*) ba véc tơ đồng phẳng Nhưng hai véc tơ thuộc mặt phẳng

(ABB'A') ,còn véc tơ không thuộc mặt phẳng này Vì vậy // với mặt phẳng (ABB'A')

Bài 5 Trong không gian cho tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng nếu một điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x,y,z mà x+y+z=1

b) Ngược lại ,nếu có một điểm O trong không gian sao cho ,trong đó x+y+z=1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC)

Bài giải :Nếu M thuộc mặt phẳng (ABC) thì ba véc tơ đồng phẳng Nghĩa là tồn tại hai số p,q sao cho : Do đó với một điểm O bất kỳ

Nếu đặt :

Thì :

Và :

Ngược lại : Nếu ,và x+y+z=1 thì : x=1-y-z thay vào ta có :

Chứng tỏ ba véc tơ , đồng phẳng Nhưng ba véc tơ này chung gốc là A ,cho nên Mthuộc mặt phẳng (ABC)

Bài 6.Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC sao cho

SA=aSA' , SB=bSB' ,SC=cSC' ,trong đó a,b,c là các số thay đổi Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3

Theo kết quả bài 5 ,để mp(ABC) đi qua G thì :

MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG SÁCH BÀI TẬP CỦA HAI BAN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Bài 1 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Xét các điểm M và N thuộc các đường thẳng A;C và C'D

a) Hãy biểu thị các véc tơ qua các véc tơ

b) Xác định các số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD'

Bài giải :a) Từ giả thiết :

C'

D'N

b)Nếu MN song song với BD' thì tồn tại hai số p sao cho :

Theo tính chất bằng nhau của các véc tơ ta có hệ :

* Chú ý : Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng thì

Với một điểm O bất kỳ ta có :

Nếu đặït 1-k=m ,k=n ;thì m+n=1-k+k=1 và

Các em hãy chú ý đến thứ tự của A,B,C trong công thức

I Trong BTGT -11-Nâng cao Bài 1 (tr-113) Cho tứ diện ABCD ,M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho

, Các điểm I,J,K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho Chứng minh các điểm I,J,K thẳng hàng

Bài giải :Ta áp dụng công thức (1)

A

B

C

DM

N

I

K

J

Từ (5) ta có :

Chứng tở I,J,K thẳng hàng

Bài 2(tr-114-BTGT11-NC)

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh CA và DC' sao cho

Xác định m để các đường thẳng MN và BD' song song nhau Khi

M

Bài 3 (tr114-BTGT11-NC).Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'.Gọi I,J lần lượt là trung điểm của

BB' và A'C'.Điểm K thuộc B'C' sao cho Chứng minh rằng bốn điểm A,I,J,K cùng thuộc một mặt phẳng

Bài giải :

Ta có :

Từ (*) chứng tỏ A,I,J,K cùng thuộc một mặt phẳng

Bài 5 (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng m ,các góc tại A

bằng Gọi P và Q là các điểm xác định bởi Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB' Tính độ dài của đoạn thẳng PQ ?

Đặt :

( Do các cạnh của hình hộp bằng m ).Theo giả thiết :

P,A,D' thẳng hàng và A là trung điểm của PD' Tương

tự C' là trung điểm của QD Để chứng minh đường

thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB' thì trước tiên ta

đi biểu diễn các véc tơ theo ba véc tơ

Ta có ,từ giả thiết :

Chứng tỏ đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB' ( ba điểm P,M,Q thẳng hàng )

Tính độ dài PQ?

Bài 7( Trng 114-BTHH 11-NC).Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Gọi M,N lần lượt là các

a) Chứng minh MN song song với mp(A'BC)

b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A'C ,chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD'và DB ?

Q

Chứng tỏ MN// với mặt phẳng (A'BC).

b) Nếu MN//A'C thì tồn tại một số p sao cho :

Do đó ta có hệ :

Với : ,thì

Chứng tỏ MN vuông góc với AD' và DB

Bài 9 (tr-114-BTHH11-NC)Cho hình tứ diện ABCD;I và J lần lượt là trung điểm của AB và

CD ;M là điểm thuộc AC sao cho và N là điểm thuộc BD sao cho

Chứng minh rằng các điểm I,J,M,N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi

Bài giải :Nếu bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng ,thì :

Từ giả thiết :

DA

A'

D'D

Với (*) ta tính theo ba véc tơ :

Do đó :

Từ (*),ta có :

Bài 12.(tr115-BTHH 11-NC).Cho hai đường thẳng d và d' cắt ba mặt phẳng song song tại

A,B,C và A',B'C' Với một điểm O bất kỳ trong không gian ,đặt

Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng

Bài giải :

Theo định lý Ta -Lét trong không gian

Do vậy với một điểm O bất kỳ ta có :

Bài 14 (tr-115-BTHH 11-NC).Cho tứ diện ABCD.Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc

AB,BC,CD,DA sao cho

Hãy xác định k để bốn điểm P,Q,M,N cùng nằm trên một mặt phẳng

Bài giải :

Từ (1) ,(2) (3) và (4) ta có :

Để bốn điểm P,Q,M,N thuộc một mặt phẳng thì tồn tại hai số

p và q sao cho :

Vậy với k=1/2 thì bốn điểm P,Q,M,N thuộc một mặt phẳng

MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG BÀI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

Bài toán 1.

Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ( hoặc : đường thẳng AB đi qua điểm C ,hoặc điểm

C thuộc đường thẳng AB )

Phương pháp giải :

1 Tìm được một số k sao cho

2 Hoặc với một điểm O tuỳ ý và một số thực k,l

sao cho

Ví dụ1 : Bài1 (tr-113) Cho tứ diện ABCD ,M và N

là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho

, Các điểm I,J,K lầnlượt thuộc AD,MN,BC sao cho

Chứng minh cácđiểm I,J,K thẳng hàng

Bài giải :

Ta áp dụng công thức (1)

Từ (5) ta có :

Chứng tỏ I,J,K thẳng hàng

Ví dụ 2 : Bài 5 (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng m ,các

góc tại A bằng Gọi P và Q là các điểm xác định bởi Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB' Tính độ dài của đoạn thẳng PQ ?

Bài giải :

m ).Theo giả thiết : P,A,D' thẳng hàng và A là trung điểm của PD' Tương tự C' là trung điểm

A

B

C

DM

QP

D

C'D'

Q

của QD Để chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB' thì trước tiên ta đi biểu diễn các véc tơ theo ba véc tơ .

Ta có ,từ giả thiết :

Chứng tỏ đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB' ( ba điểm P,M,Q thẳng hàng )

Tính độ dài PQ?

Ví dụ 3: Bài 12.(tr115-BTHH 11-NC).

Cho hai đường thẳng d và d' cắt ba mặt phẳng song song tại A,B,C và A',B'C' Với một điểm

thẳng hàng

Bài giải :

Theo định lý Ta -Lét trong không gian

Do vậy với một điểm O bất kỳ ta có :

Phương pháp giải :

*Trên đường thẳng a tìm được một véc tơ nào đó : ,trên đường thẳng b tìm được một véc tơ nào đó : sao cho : , thì kết luận a//b

Ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1:

*Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C' I là giao điểm của đường thẳng AB' và A'B Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG' song song nhau

Bài giải :

Gọi M và N thứ tự là trung điểm của hai cạnh BC và

B'C'

GI và véc tơ CG' theo ba véc tơ

Từ (2) chứng tỏ hai véc tơ cùng phương Nhưng vì hai véc tơ không có chung gốc nên hai giá của hai véc tơ này // nhau ,nghĩa là ta có GI // CG'

Ví dụ 2:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Xét các điểm M,N lần lượt tuộc các đường thẳng A'C'

Đặt :

a) Hãy biểu thị các véc tơ : và qua các véc tơ ?

b) Xác định các số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD'?

Bài giải :a) Từ giả thiết :

b) Vì BD' và C'D là hai đường thẳng chéo nhau N thuộc đường thẳng C'D nên đường thẳng MN khơng thể trùng với đường thẳng BD' Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD' khi

Ví dụ 3 : Bài 2(tr-114-BTGT11-NC) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Các điểm M,N lần lượt

thuộc các cạnh CA và DC' sao cho .Xác định m để các đường thẳng

,BC=c

Bài giải Đặt : Ta biểu biễn các véc tơ theo các véc

tơ : Do đó

DC

D'N

MBA

A'

DC

D'NM

Theo tính chất bằng nhau của hai véc tơ ,ta có hệ sau :

Bài toàn 3;

1 Chứng minh một điểm O thuộc mp(ABC) hay mặt phẳng (ABC) đi qua điểm O

2 Chứng minh đường thẳng a // với mp(ABC)

Phương pháp giải :

Đối với dạng 1: Ta có các bước giải sau

B

CA'

D'N

1 Tìm một điểm M bất kỳ và ba số thực x,y,z sao cho :

2 Để có kết quả trên ,ta thường chọn bộ véc tơ cơ sở ,sau đó biểu diễn các véc tơ

theo ba véc tơ cơ sở Sau đó đưa chúng về dạng (*),rồi kết luận

Đối với dạng 2: Ta có các bước giải sau :

1 Trên đường thẳng a ,chọn một véc tơ ,bất kỳ nào đó

2 Trong hình đã cho ,chọn bộ véc tơ cơ sở Sau đó hãy biểu diễn các véc tơ , , theo ba véc tơ cơ sở

3 Tìm hai số k,l sao cho : +l (*) Nếu tìm được thì kết luận chúng đồng phẳng ( hay chúng // nhau )

4 Để có kết quả trên ,ta phải dựa vào cách phân tích véc tơ sao cho chúng có dạng (*) ( Hướng dẫn mẫu một ví dụ cho HS nắm được phương pháp làm )

Ví dụ minh hoạ :

Ví dụ 1.

Cho hình hộp ABCDEFGH;, Gọi K là giaođiểm của AH và DE ,I là giao của BH và

DF Chứng minh ba KI // với mp(ACAF)

Bài giải :

theo ba véc tơ Vì vậy ta có :

Thay (2) và (3) vào (1),ta có :

Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng Hay KI song

song với mp(ACGF)

Ví dụ 2 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M,N thứ tự là

trung điểm của CD và DD'; G và G' lần lượt là trọng tâm

của tứ diện A'D'MN và BCC'D' Chứng minh rằng đường

thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau ?

Bài giải :

B

A

CD

E

EF

GH

K

I

CD

A'

B'C'

D'

M

N