Phương pháp chứng minh hình học không gian lớp 11

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌCI.Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: ♦Phương pháp1: Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC

I.Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:

♦Phương pháp1: Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường

thẳng đó không nằm trong mặt phẳng và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt phẳng.

a // b







Ví dụ: Cho tứ diện ABCD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AD.Chứng minh MN // (BCD).

Giải: Trong tam giác ABD có:

M trung điểm của AB

N trung điểm của AD

Nên MN là đường trung bình của

tam giác ABD

Do đó MN // BD

Mà BD ⊂ (BCD)

MN ⊄(BCD)

Vậy MN // (BCD)

♦Phương pháp2: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) ta chứng minh đường

thẳng a nằm trong mặt phẳng (Q) mà (Q) // (P)

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M; N tuỳ ý trên mặt phẳng (ABCD).

Chứng minh MN // mặt phẳng (A’B’C’D’)

(ABCD) //(A 'B'C'D ')

MN //(A 'B'C'D')





⇒

♦Phương pháp 3: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh

đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một đường thẳng b.

♦Phương pháp 4: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh

đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có điểm chung cùng vuông góc với một mặt phẳng (Q).

♦Phương pháp 5: Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P), ta chứng minh

đường thẳng a song song với đường thẳng b mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a và (P) không có điểm chung)

II.Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song:

♦Phương pháp 1: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng

song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

a // b

a (P)

c // a // b

b (Q) (P) (Q) c





⊂ ⇒ 



∩ = 

♦Phương pháp2:Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng

(Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a

(P) // a

(P) (Q) b







♦Phương pháp 3: Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần

lượt theo hai giao tuyến a và b thì a//b.

(P) //(Q)

(R) (Q) b







Q

b a

P

♦Phương pháp 5: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì

giao tuyến của chúng(nếu có) song song với đường thẳng đó.

(P) // a

(P) (Q) b



 ⇒





III.Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song:

♦Phương pháp 1 : Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa

hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

Nếu a // (Q)

b// (Q)

a,b ⊂ (P)

a cắt b

Thì (P) // (Q)

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD,AC cắt BD tại O.Gọi M,N lần lượt là

trung điểm của SC,CD.Chứng minh (MNO) // (SAD)

Chứng minh:

Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD

Nên MN // SD

Mà SD ⊂ (SAD) Và MN ⊄ (SAD)

Vậy MN // (SAD)

Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAC

Nên OM // SA

Mà SA ⊂ (SAD)Và OM ⊄ (SAD)

Vậy OM // (SAD)

Ta có

MN //(SAD)

OM //(SAD)











nên (MNO) // (SAD)

♦Phương pháp 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng vuông góc một đường

thẳng a thì chúng song song với nhau.

♦Phương pháp 3 : Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng vuông góc một mặt

phẳng(R) thì chúng song song với nhau.

♦Phương pháp 4: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng song song một mặt

phẳng(R) thì chúng song song với nhau.

P

Q

R

IV Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:

♦Phương pháp 1:Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P),ta chứng minh

đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P)





∩ = 

♦Phương pháp 2: Sử dụng tính chất:d // ∆,mà∆ ⊥ (P) thì d ⊥(P)

♦Phương pháp 3:Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo

giao tuyến x, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P) mà vuông góc với giao tuyến x thì vuông góc với mặt phẳng (Q)

♦Phương pháp 4:Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng

thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

(P) (Q) a





♦Phương pháp 5:Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, đường thẳng a vuông

góc với mặt phẳng này thì nó vuông góc với mặt phẳng kia.

(P) //(Q)



♦Phương pháp 6:Sử dụng tính chất:Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b,mà đường

thẳng a vuông góc mặt phẳng (P) thì đường thẳng b cũng vuông góc với mặt phẳng (P).

a // b



V Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

♦Phương pháp 1:Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta chứng minh mặt phẳng

này chứa một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia



♦Phương pháp 2: Sử dung tính chất:

(P) //(Q)



♦Phương pháp 3:Sử dụng tính chất: (P) ⊥d , (Q) // d hoặc chứa d thì (P) ⊥(Q)

VI Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

♦Phương pháp 1: Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta chứng minh đường

thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia

d (P)

⇒ ⊥



♦Phương pháp 2:Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P), mà đường thẳng d

vuông góc mặt phẳng (P), thì d vuông góc với đường thẳng a.

VII.Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

♦Phương pháp 1: Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

(SAC) và (SBD)

Giải: Trong mặt phẳng (ABCD):

AC cắt BD tại O

Ta có O∈AC, AC⊂ (SAC)

O∈BD, BD⊂ (SBD)

Nên O là điểm chung của hai mặt phẳng

(SAC) và (SBD)

Mà S là điểm chung của hai mặt phẳng

(SAC) và (SBD)

Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)

♦Phương pháp 2: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng

song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

a // b

c // a // b

(P) (Q) c







Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành,M thuộc SA.Tìm giao tuyến của hai mặt

phẳng (MCD) và (SAB

Giải: Ta có AB // CD

Hai mặt phẳng (SAB) và (MCD)

lần lượt chứa hai đường thẳng AB//CD

thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua điểm M song song

với AB cắt SB tại N

♦Phương pháp3:Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng

(Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a

(P) // a

(P) (Q) b







Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD (AB//CD), M thuộc cạnh AD Mặt phẳng (P)

qua M song song với SA và AB Xác đinh giao tuyến của mặt phẳng (P) với (SBC)

Giải:Gọi N:P;Q lần lượt là trung điểm của mặt phẳng (P) với SD;

SC và BC

Ta có

(P) // SA

(P) (SAD) MN







(P) // AB

(P) (ABCD) MQ







Hai mặt phẳng (P) và (SCD) lần lượt chứa MN // DC, nên giao tuyến của chúng là NP song song với CD

Ta có điểm P∈(P) và P∈(SBC)

Q∈(P) và Q∈(SBC)

Vậy PQ là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SBC)

♦Phương pháp 4 : Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần

lượt theo hai giao tuyến a và b thì a//b.

(P) //(Q)

(R) (Q) b







Q

b a

P