Các dạng toán thường gặp về véc tơ trong không gian Thầy Sỹ

Véc tơ trong khơng gian §1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN . I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Đònh nghóa Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng .Ký hiệu , chỉ rõ véc tơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B.Véc tơ còn được ký hiệu : * Các khái niệm về giá của véc tơ,độ dài của véc tơ, sự cùng phương ,cùng hướng của hai véc tơ ,véc tơ -không ,sự bằng nhau của hai véc tơ được đònh nghóa tương tự như trong mặt phẳng . 1. Phép cộng ,phép trừ véc tơ trong không gian * Phép cộng và phép trừ hai hay nhiều véc tơ trong không gian ,được đònh nghóa tương tự như phép cộng và phép trừ hai véc tơ trong mặt phẳng . Phép cộng véc tơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng véc tơ trong mặt phẳng .Khi cộng véc tơ trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc 3 điểm ,quy tắc HBH,như đối với véc tơ trong mặt phẳng . Ví dụ : Cho tứ diện ABCD 1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD .Chứng tỏ rằng 2.Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi Với mọi điểm P Bài giải :1. Sử dụng quy tắêcba điểm : Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có : Tương tự : 2. Trong tamgiác AGB có GM là trung tuyến,cho nên,theo tính chất của véc tơ trung tuyến ta có Tương tự ,trong tam giác DMC với GN là trung tuyến ta có : Từ đó ,lấy (1) cộng với (2) : Mạt khác với một điểm P bất kỳ ,ta xét các tam giác PAB ;PCD và PMN .Thứ tự có các đường trung tuyến PM,PN và PG .Áp dụng quy tắc trung tuyến ta có 3 kết quả sau . , , A B C D M NH K I Véc tơ trong khơng gian Hay : * Quy tắc hình hộp : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB,AD,AA' và có đường chéo AC' .Khi đó ta có quy tắc hình hộp là : 3. Phép nhân véc tơ với một số . * Các kết quả trong mp đều áp dụng cho trong không gian . Ví dụ1 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC .G là trọng tâm của tam giác BCD.Chứng minh rằng : Bài giải :Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G là trọng tâm thì : Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết quả của ví dụ 1). b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết quả sau : , , II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC TƠ 1. Khái niệm đồng phẳng của ba véc tơ trong không gian * Trong không gian cho ba véc tơ . Nếu từ một điểm O bất kỳ ta vẽ ,khi đó có thể xảy ra hai trường hợp : • Trường hợp OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt phẳng ,khi đó ta nói rằng ba véc tơ không đồng phẳng . • Trường hợp OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng ,thì khi đó ta nói ba véc tơ đồng phẳng . Trong trường hợp này giá của ba véc tơ luôn song song với một mặt phẳng 2. Đònh nghóa Trong không gian ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng song song với một mặt phẳng . * Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng . Bài giải : Gọi P,Qlần lượt là trung điểm của AC và BD .Ta có PN // MQ và PN=MQ=1/2 AD. Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành .mp(MNPQ) chứa đường thẳng MN và // với các A B C D A' D' C' B' A A M N P Q C A M N P Q C B A M N P Q C B Véc tơ trong khơng gian đường thẳng AD và BC .Vậy suy ra ba đường thẳng MN,AD,BC cùng // với mặt phẳng .Do đó ba véc tơ đồng phẳng . 3. Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng Đònh lý 1: Trong không gian cho hai véc tơ và đều khác véc tơ không và không cùng phương ,với một vec tơ .Khi đó ba véc tơ gọi là đồng phẳêng khi và chỉ khi có cặp số m,n sao cho . Ngoài ra cặp số m,n là duy nhất . Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy P và Q sao cho . Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng . Bài giải :Ta có : Theo kết quả của ví dụ 1 : . Mặt khác theo giả thiết : Chứng tỏ M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng ( do đồng phẳng ). Đònh lý 2: * Trong không gian cho ba véc tơ không đồng phẳng . Khi đó với mọi véc tơ ,ta đều chọn được một bộ ba số m,n,p sao cho : +n . Ngoài ra bộ ba số m,n,p là duy nhất . * Chứng minh đònh lý dựa vào hình vẽ bên y M' B C NN A P B M Q C D N y A B C D D' x y z A B D D' Véc tơ trong khơng gian Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Có , . Gợi I là trung điểm của BC'.Hãy biểu thò véc tơ AI theo ba véc tơ . Bài giải :Ta có Do I là trung điểm của BC' nên AI là trung tuyến của tam giác ABC',cho nên theo quy tắc trung tuyến ta có : BÀI TẬP TRONG HH-11-CƠ BẢN Bài 2. Cho hình hộp ABCD ,A'B'C'D'. Chứng minh rằng Bài giải :Theo tính chất của hình hộp ta có các cặp véc tơ bằng nhau sau : , , Do vậy : ( Từ (2) và (3).) Bài 3. Cho hình bình hành ABCD . Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa HBH. Chứng minh rằng : . Bài giải : Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD của HBH. Xét hai tam giác SAC và SBD ,chúng có chung đường trung tuyến SO. Theo tính chất của đường trung tuyến : : Bài 4. Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Chứng minh rẳng : x D B' A B B C D C' B' A' D' Véc tơ trong khơng gian Bài gi ả i Bài 5. Cho tứ diện ABCD .Hãy xác đònh hai điểm E và F sao cho Bài giai :a)Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Theo tính chất của trọng tâm tam giác với một điểm A tuỳ ý ta có : Chứng tỏ E nằm trên đường thẳng AG và độ dài của AE =3AG . b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD .Thì : Vậy : F nằm trên đường thẳng đi qua A // với Ị và có độ dài bằng hai lần độ dài của IJ Cách khác : Với E là đỉnh thưc tư của HBH ABGC và E là đỉnh thứ tư của hình bình hành AGED. Hay nói một cách khác E là một đỉnh của hình hộp coa ba cạnh là AB,AC,AD . Tương tự ,G là đỉnh thứ 4 của hình bình hành ABGC ,còn F là đỉnh thứ 4 của hình bình hành ADGF. (cách xác đònh chúng như hình vẽ ) Bài 6. Cho tứ diện ABCD.Gọi G là trọng tâm tg ABC .Cm rằng : Bài giải :Theo giả thiết ,nếu G là trọng tâm tam giac ABC thì : A B C D M N A B C D G E E F Véc tơ trong khơng gian Do (1). Bài 7. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là trung đoạn của đoạn thẳng MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian .Chứng minh rằng : ` Bài giải : a) Nếu M và N là trung điểm của AC và BD . F là trung điểm của MN thì : b) Theo quy tắc ba điểm : Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có : . Hãy phân tích (biểu thò ) các véc tơ ,theo các véc tơ . Bài giải :Theo hình vẽ thì : Bài 9. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).Trên SA lấy điểm M sao cho ,và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng . Bài giải : Đặt : . Khi đó ta biểu diễn ba véc tơ theo ba véc tơ . Ta có Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng. A B C A' B' C' Véc tơ trong khơng gian Bài 10. Cho hình hộp ABCDEFGH;, Gọi K là giaiểm của AH và DE ,I là giao của BH và DF. Cm ba véc tơ đồng phẳng . Bài giải :Đặt : . Hãy biểu diễn ba véc tơ theo ba véc tơ . Vì vậy ta có : Thay (2) và (3) vào (1),ta có : Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng. TRONG HH-11-NÂNG CAO (Trang 91) Bài 2. Cho hình chóp S,ABCD. a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì . Điều ngược lại có đúng hay không ? b) Gọi O là giao điểm của AC và BD .Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi . Bài giải :a) Nếu ABCD là hình bình hành thì gọi O là giao hai đường chéo AC và BD thì : Ngược lại ,từ giả thiết : . Chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng . b) Từ (1) suy ra hệ thức véc tơ : Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C'. I là giao điểm của đường thẳng AB' và A'B .Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG' song song nhau . Bài giải :Gọi M và N thứ tự là trung điểm của hai cạnh BC và B'C' . Đặt . Ta biểu diễn hai véc tơ GI và véc tơ CG' theo ba véc tơ . B A C D E E F G H K I I G G' A B C A' B' C' Véc tơ trong khơng gian Từ (2) chứng tỏ hai véc tơ cùng phương .Nhưng vì hai véc tơ không có chung gốc nên hai giá của hai véc tơ này // nhau ,nghóa là ta có GI // CG'. Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của CD và DD'; G và G' lần lượt là trọng tâm của tứ diện A'D'MN và BCC'D'. Chứng minh rằng đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau ? Bài giải :Đặt : . Ta hãy biểu diễn các véc tơ : ,theo ba véc tơ . Nếu G và G'là trọng tâm của các tứ diện A'D'MN và BCC'D' thì với một điểm A bất kỳ thì : Từ (*) ba véc tơ đồng phẳng .Nhưng hai véc tơ thuộc mặt phẳng (ABB'A') ,còn véc tơ không thuộc mặt phẳng này .Vì vậy // với mặt phẳng (ABB'A'). Bài 5. Trong không gian cho tam giác ABC. A B C D A' B' C' D' M N Véc tơ trong khơng gian a) Chứng minh rằng nếu một điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì có ba số x,y,z mà x+y+z=1 sao cho ,với mọi điểm O. b) Ngược lại ,nếu có một điểm O trong không gian sao cho ,trong đó x+y+z=1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Bài giải :Nếu M thuộc mặt phẳng (ABC) thì ba véc tơ đồng phẳng .Nghóa là tồn tại hai số p,q sao cho : . Do đó với một điểm O bất kỳ . Nếu đặt : Thì : Và : Ngược lại : Nếu ,và x+y+z=1 thì : x=1-y-z thay vào ta có : Chứng tỏ ba véc tơ , đồng phẳng .Nhưng ba véc tơ này chung gốc là A ,cho nên M thuộc mặt phẳng (ABC). Bài 6.Cho hình chóp S.ABC .Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC sao cho SA=aSA' , SB=bSB' ,SC=cSC' ,trong đó a,b,c là các số thay đổi .Chứng minh rằng mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3. Bài giải :Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì : Và : Tương tự ta có : Vậy : Theo kết quả bài 5 ,để mp(ABC) đi qua G thì : MỘT SỐ BÀI TẬP TRONG SÁCH BÀI TẬP CỦA HAI BAN CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xét các điểm M và N thuộc các đường thẳng A;C và C'D sao cho (với k,l đều khác 1). Véc tơ trong khơng gian Đặt . a) Hãy biểu thò các véc tơ qua các véc tơ . b) Xác đònh các số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD' . Bài giải :a) Từ giả thiết : Nên : Tương tự , b)Nếu MN song song với BD' thì tồn tại hai số p sao cho : Theo tính chất bằng nhau của các véc tơ ta có hệ : * Chú ý : Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng thì B A C D A' B' C' D' N [...]... với dạng 1: Ta có các bước giải sau 1 Tìm một điểm M bất kỳ và ba số thực x,y,z sao cho : 2 Để có kết quả trên ,ta thường chọn bộ véc tơ cơ sở ,sau đó biểu diễn các véc tơ theo ba véc tơ cơ sở Sau đó đưa chúng về dạng (*),rồi kết luận Đối với dạng 2: Ta có các bước giải sau : 1 Trên đường thẳng a ,chọn một véc tơ ,bất kỳ nào đó 2 Trong hình đã cho ,chọn bộ véc tơ cơ sở Sau đó hãy biểu diễn các véc tơ. .. ,thì : Đặt : Ta biểu diễn các véc tơ theo ba véc tơ Từ giả thiết : Với (*) ta tính theo ba véc tơ Do đó : Từ (*),ta có : : Véc tơ trong khơng gian Bài 12.(tr115-BTHH 11-NC).Cho hai đường thẳng d và d' cắt ba mặt phẳng song song tại A,B,C và A',B'C' Với một điểm O bất kỳ trong không gian ,đặt Chứng minh ba điểm I,J,K thẳng hàng Bài giải :Theo đònh lý Ta -Lét trong không gian Do vậy với một điểm O... Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG' song song nhau Bài giải :Gọi M và N thứ tự là trung điểm của hai cạnh A C BC và B'C' G Đặt Ta biểu diễn hai véc tơ GI và véc tơ CG' theo ba véc tơ I A' B G' B' C' Từ (2) chứng tỏ hai véc tơ cùng phương Nhưng vì hai véc tơ không có chung gốc nên hai giá của hai véc tơ này // nhau ,nghóa là ta có GI // CG' Ví dụ 2:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Xét các điểm M,N... Bài 2(tr-114-BTGT11-NC) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh CA và DC' sao cho Xác đònh A M m để các đường thẳng MN và BD' song song nhau Khi B ấy ,tính MN biết và C BA=a,BB'=b ,BC=c Bài giải N A' Đặt : biễn các véc tơ D D' Ta biểu theo các véc tơ : Do đó B' C' Véc tơ trong khơng gian Theo tính chất bằng nhau của hai véc tơ ,ta có hệ sau : Bài toàn 3; 1 Chứng minh một điểm... I,J,K thẳng hàng Bài 2(tr-114-BTGT11-NC)Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh CA và DC' sao cho Xác đònh m để các đường thẳng MN và BD' song song nhau Khi ấy ,tính MN biết Bài giảiĐặt : Do đó Ta biểu biễn các véc tơ và BA=a,BB'=b ,BC=c theo các véc tơ : Véc tơ trong khơng gian Theo tính chất bằng nhau của hai véc tơ ,ta có hệ sau : A D M B C N A' B' D' C' Bài 3 (tr114-BTGT11-NC).Cho... Bài giải : Đặt : tơ : C Ta hãy biểu diễn các véc ,theo ba véc tơ G A B M D C A' N D' B' C' Nếu G và G'là trọng tâm của các tứ diện A'D'MN và BCC'D' thì với một điểm A bất kỳ thì : Từ (*) ba véc tơ (ABB'A') ,còn véc tơ đồng phẳng Nhưng hai véc tơ không thuộc mặt phẳng này Vì vậy thuộc mặt phẳng // với mặt phẳng (ABB'A') Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABC Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC... minh rằng AM BN C' Véc tơ trong khơng gian Bài giải :Đặt Ta đi biểu thò hai véc tơ : , theo ba véc tơ Từ (1) và (2) ,ta xét tích vô hướng Do đó : AM BN MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO * Chú ý : Khi nói m chia đoạn AB theo tỷ số k ,nghóa là ta có đẳng thức véc tơ : Học sinh chú ý đến thứ tự của các diểm A,B,C khi viết đẳng thức véc tơ Bài 1 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a... ABCD.Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA sao cho Hãy xác đònh k để bốn điểm P,Q,M,N cùng nằm trên một mặt phẳng Bài giải :Đặt : Ta biểu diễn các véc tơ theo ba véc tơ A M Q Từ (1) ,(2) (3) và (4) ta có : B N C P D Véc tơ trong khơng gian Để bốn điểm P,Q,M,N thuộc một mặt phẳng thì tồn tại hai số p và q sao cho : Vậy với k=1/2 thì bốn điểm P,Q,M,N thuộc một mặt phẳng MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP... Ta có : Ta biểu diễn ba véc tơ theo ba véc tơ Véc tơ trong khơng gian A B C A' I J B' C' Từ (*) chứng tỏ A,I,J,K cùng thuộc một mặt phẳng Bài 5 (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng m ,các góc tại A bằng Gọi P và Q là các điểm xác đònh bởi Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB' Tính độ dài của đoạn thẳng PQ ? Bài giải :Đặt : P ( Do các cạnh của hình hộp... này // nhau ,nghóa là ta có GI // CG' Ví dụ 2:Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Xét các điểm M,N lần lượt tuộc các đường thẳng A'C' và C'D sao cho a) Hãy biểu thò các véc tơ : (k,l đều khác 1)Đặt : và qua các véc tơ ? b) Xác đònh các số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD'? Véc tơ trong khơng gian Bài giải :a) Từ giả thiết : b) Vì BD' và C'D là hai đường thẳng chéo nhau N thuộc đường thẳng C'D . Véc tơ trong khơng gian §1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN . I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TO N VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Đònh nghóa Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng. phép cộng và phép trừ hai véc tơ trong mặt phẳng . Phép cộng véc tơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng véc tơ trong mặt phẳng .Khi cộng véc tơ trong không gian ta vẫn có thể áp. hai véc tơ được đònh nghóa tương tự như trong mặt phẳng . 1. Phép cộng ,phép trừ véc tơ trong không gian * Phép cộng và phép trừ hai hay nhiều véc tơ trong không gian ,được đònh nghóa tương