Các dạng toán về tích phân và ứng dụng 12

WWW.ToanCapBa.Net NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN § 1.NGUYÊN HÀM 1) Khái niệm nguyên hà m và tích phân bất định.  F’(x) = f(x) thì ta gọi F(x) là nguyên hàm của f(x)  Tập hợp các nguyên hàm của f(x) gọi là tích phân bất định của f(x) và ký hiệu là: = + ò ( ) ( )f x dx F x C 2) Bảng các nguyên hàm cơ bản: Nguyên hàm của hàm cơ bản Nguyên hàm của các hàm hợp = + ò dx x C kdx kx C= + ò 1 ( 1) 1 a a a a + = + ¹ - + ò x x dx C 1 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ax b ax b dx C a a a a a + + + = + ¹ - + ò ln= + ò dx x C x 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ò 2 1 =- + ò dx C x x 2 1 ( )( ) dx C a ax bax b =- + ++ ò 2= + ò dx x C x 2 = + + + ò dx ax b C a ax b = + ò x x e dx e C 1 + + = + ò ax b ax b e dx e C a (0 1) ln x x a a dx C a a = + < ¹ ò (0 1) ln + + = + < ¹ ò px q px q a a dx C a p a cos sin= + ò xdx x C 1 cos( ) sin( )+ = + + ò ax b dx ax b C a sin cos=- + ò xdx x C 1 sin( ) cos( )+ =- + + ò ax b dx ax b C a 2 tan cos = + ò dx x C x 2 1 tan( ) cos ( ) = + + + ò dx ax b C a ax b 2 cot sin =- + ò dx x C x 2 1 cot( ) sin ( ) =- + + + ò dx ax b C a ax b 3) Các tính chất cơ bản: + ( ) ( ) ' ( )= ò f x dx f x + ( ) ( )= ò ò af x dx a f x dx + [ ( ) ( )] ( ) ( )± = ± ò ò ò f x g x dx f x dx g x dx + ( ) ( ) ( ) ( )= + Þ = + ò ò f t dt F t C f u du F u C WWW.ToanCapBa.Net 1 WWW.ToanCapBa.Net 4) Các phương pháp tìm nguyên hàm: 1- Phương pháp đổi biến: [ ] ( ) ( ) '( )= ò ò f x dx g u x u x dx Đặt ( ) '( )= Þ =u u x du u x dx ( ) ( ) ( )Þ = = + ò ò f x dx g u du G u C 2- Phương pháp nguyên hàm từng phần: ( ) ( ). '( )= ò ò f x dx u x v x dx Đặt ( ) '( ) '( ) ( ) u u x du u x dx dv v x dx v v x ì ì = = ï ï ï ï Þ í í ï ï = = ï ï î î ( ) ( ). ( ) ( ). '( )Þ = - ò ò f x dx u x v x v x u x dx Lưu ý: + ( ). '( ) ò v x u x dx đơn giản hơn ( ). '( ) ò u x v x dx + Nếu ( ). '( ) ò v x u x dx vẫn còn dạng nguyên hàm từng phần thì tiếp tục thao tác trên như sau: 1 1 '( ) ( ) u u x dv v x dx ì = ï ï í ï = ï î  BÀI TẬP Dạng 1: Dạng cơ bản Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau: a/. 4 2 ( - 3 1)+ + ò x x x dx b/. 3 2 ( -3 )x x dx x + ò c/. 2011 (2 1)+ ò x dx d/. 3 1 dx x + ò e/. 2 5 dx x- ò f/. 2 (3 2 ) dx x- ò g/. 3 (2 )+ ò x x dx h/. 3 1+ + ò x x dx x i/. (2sin 3cos ) x x dx+ ò j/. cos3 ò xdx k/. sin(2 ) 3 p + ò x dx l/. 2 2 (3sin ) cos x dx x - ò m/. - 2 (2 ) sin x x e e dx x + ò ; n/. 2 cos ( 2 ) 2 dx x- ò p ; p/. 3 2- ò x e dx ; q/. 2 1- ò x x dx e Dạng 2: Biến đổi về dạng cơ bản Bài 1: Tính : a/. 2 3 1 - + ò x dx x b/. 2 2 4 5 2 - + - ò x x dx x c/. 3 2+ ò x dx x d/. 2 2 2 ( 1)+ ò x dx x e/. (1 )(1 2 )+ - ò dx x x f/. 2 4- ò dx x g/. 2 3 2- + ò dx x x h/. ( ) 2 2 - dx x a x a ≠ ± ∫ i/. ( - )( ) dx a x x α β − ∫ Bài 2: Tính : a/. sin 3 cos5 ò x xdx ; b/. sin sin 3 ò x xdx ; c/. 2 sin 2 ò x dx ; d/. 4 sin ò xdx e/. 2 tan ò xdx ; f/. 1 sin 1 cos + + ò x dx x ; g/. 2 2 sin cos ò dx x x ; h/. 2 2 cos2 sin cos ò xdx x x WWW.ToanCapBa.Net 2 WWW.ToanCapBa.Net Dạng 3: Phương pháp đổi biến Loại 1: f(x) là đa thức Bài 3: Tính : I 1 = 5 (3 )- ò x x dx ; I 2 = 2 3 2011 (3 )- ò x x dx I 3 = 2 4 (5 )- ò x x dx I 4 = 3 2 2 (1 )+ ò x x dx Loại 2: f(x) là phân thức Bài 4: Tính : I 1 = 3 2 3- ò dx x I 2 = 2 2 3 3 5 - + - - ò x dx x x I 3 = 2 2 1 5 6 - - + ò x dx x x I 4 = 2 1 4 4 x dx x x + - + ò I 5 = 2 2 (1 ) x dx x+ ò I 6 = 3 4 5 (6 5) x dx x + ò I 7 = 3 2 3 ( 1) x dx x + ò ; I 8 = 3 2 2 3 ( 2) ( 1) x x dx x - + ò ; I 9 = 2 2 2 1 ( 1) x dx x - + ò ; I 10 = 2 2 ( 1) 1 x x dx x + - ò Loại 3: f(x) là hàm vô tỉ. Bài 5: Tính : I 1 = 2 1 x dx x + ò I 2 = 1 dx x- ò I 3 = (1 ) dx x x- ò I 4 = 2 5x x dx+ ò I 5 = 2 5x xdx- ò I 6 = 3 2 3 . 1x x dx+ ò I 7 = 1 xdx x+ ò ; I 8 = 2 2 ( 2) 1 x x dx x - + ò ; I 9 = 2 2009 dx x + ò ; I 10 = 2 ( 0) dx a x a > ± ò Loại 4: f(x) là biểu thức chứa hàm ( )u x e Bài 6: Tính : I 1 = 3cos sin ò x e xdx ; I 2 = tan 2 cos x e dx x ò ; I 3 = 2 - ò x xe dx ; I 4 = 2 3 2 ( 5) x x e e dx+ ò I 5 = 1+ ò x dx e ; I 6 = 2 x x e dx e + ò ; I 7 = 2 x x dx e e - + + ò ; I 8 = x x dx e e - - ò Loại 5: f(x) là biểu thức chứa hàm ln( ( ))u x Bài 7: Tính : I 1 = ln x dx x ò I 2 = ln dx x x ò I 3 = 4 (ln )x dx x ò I 4 = 2 ln 2 x dx x + ∫ WWW.ToanCapBa.Net 3 WWW.ToanCapBa.Net Loại 6: f(x) là hàm số lượng giác. Bài 8: Tính : I 1 = cot ò xdx I 2 = tan ò xdx I 3 = 3 cos sin ò x xdx I 4 = 2 1 1 sin ò dx x x I 5 = 2 sin cos ò x dx x I 6 = 3 2 sin cos ò x dx x I 7 = 3 2 sin cos ò x dx x I 8 = 3 4 sin cos ò x dx x I 9 = 3 sin ò xdx I 10 = sin ò dx x I 11 = 3 sin ò dx x I 12 = 2 cos sin ò dx x x I 13 = 3 4 sin cos ò x xdx I 14 = 4 4 sin cos ò x xdx ; I 15 = sin 2cos 1- ò x x dx I 16 = cos sin sin cos + - ò x x dx x x I 17 = ( ) 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos ¹ + ò x x dx a b a x b x Dạng 4: Nguyên hàm từng phần Loại 1 : sin( ) ( ). cos( ) ax b ax b P x ax b dx e +   +   +       ∫ Bài 9: Tính : I 1 = ò x xe dx I 2 = - ò x xe dx I 3 = 2 ( 2 1)+ - ò x x x e dx I 4 = cos ò x xdx I 5 = (1 )cos- ò x xdx I 6 = 2 sin ò x dx x I 7 = cos ò xdx I 8 = sin(2 1)+ ò x x dx I 9 = 2 sin ò x xdx Loại 2: ln ( ) ( ). log ( ) é ù ê ú ê ú ë û ò a u x P x dx u x Bài 10: Tính : I 1 = ln ò xdx I 2 = ln( 1)+ ò x x dx I 3 = 1 ln 1 + - ò x x dx x I 4 = 2 ln ò x xdx I 5 = 2 ln( 1 )+ + ò x x dx I 6 = 2 ln(sin ) cos ò x dx x Loại 3: sin cos x x e dx x       ∫ Bài 11: Tính : WWW.ToanCapBa.Net 4 WWW.ToanCapBa.Net I 1 = sin ò x e xdx I 2 = 2 sin ò x e xdx I 3 = 2 cos ò x e xdx Dạng 5: Tìm nguyên hàm khi biết 1 giá trị hàm số Bài 12: Tìm ( ) ( )= ò F x f x dx biết: a/. 2 1 7 ( ) 2, (2) 3 f x x F x = - + = ; b/. 3 2 ( ) 4 3 2, ( 1) 3f x x x F= - + - = c/. 3 2 2 3 3 1 1 ( ) , (1) 3 2 1 x x x f x F x x + + - = = + + ; d/. 2 ( ) tan , ( ) 4 4 p p = =f x x F e/. 2 ( ) , ( 1) 2, (1) 4 b f x ax F F x = + - = = §2.TÍCH PHÂN Định nghĩa : ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a= = - ò Tính chất 1: ( ) 0 a a f x dx = ò Tính chất 2: ( ) - ( ) b a a b f x dx f x dx= ò ò Tính chất 3: . ( ) ( )= ò ò b b a a k f x dx k f x dx Tính chất 4: [ ( ) ( )] ( ) ( )± = ± ò ò ò b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx Tính chất 5: ( ) ( ) ( ) ( ) , ;= + Î ò ò ò b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a b Tính chất 6: Nếu: ( ) 0, [ ; ]³ " Îf x x a b thì: ( ) 0³ ò b a f x dx Tính chất 7: Nếu: ( ) ( ), [ ; ]f x g x x a b³ " Î thì: ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ≥ ∫ ∫ Tính chất 8 : Nếu: ( ) , [ ; ]£ £ " Îm f x M x a b thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − ≤ ≤ − ∫ Tính chất 9: Cho t biến thiên trên đoạn [a;b] thì ( ) ( ) t a G t f x dx= ò là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0  BÀI TẬP Loại 1: Tích phân cơ bản Bài 1: Tính : WWW.ToanCapBa.Net 5 WWW.ToanCapBa.Net I 1 = 3 2 1 ( 2 3)- - ò x x dx I 2 = 16 1 ò xdx I 3 = 2 1 1 3 æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø ò e dx x x I 4 = 1 0 1 dx x + ò I 5 = 2 2 1 (2 1) dx x- ò I 6 = 8 3 2 1 1 4 3 æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø ò x dx x I 7 = 0 cos ò xdx p I 8 = 2 0 sin 2 6 æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø ò x dx p p I 9 = 6 0 cos3xdx π ∫ I 10 = 3 2 0 cos ò dx x p I 11 = 3 2 6 2 sin ò dx x p p I 12 = 1 2 0 ò x e dx I 13 = 4 4 0 (3 )- ò x x e dx I 14 = 1 2 0 3 ( ) 1 + + ò x e dx x ; I 15 = ( ) 1 2 0 sin x e x dx π π − ∫ Loại 2: Biến đổi về cơ bản Bài 2: Tính :: I 1 = 2 2 3 1 2- ò x x dx x I 2 = 2 1 2 5 7+ - ò e x x dx x I 3 = 1 1 2 1 2 - + + ò x dx x I 4 = 1 2 1 2 3 2 - + + + ò x x dx x I 5 = 1 3 0 ( 1) - + ò x x dx I 6 = 4 2 2 1 æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø ò x dx x I 7 = 2 1 2 ( 1)+ ò dx x x I 8 = 1 1 2 ( 2)( 3) - - + ò dx x x I 9 = 4 2 3 3 2- + ò dx x x I 10 = π/4 0 sin3 .sin 5x xdx ò I 11 = / 2 /2 cos .cos3x xdx p p- ò ; I 12 = / 4 2 0 cos ( ) 4 x dx p p - ò I 13 = + ò p 3 2 0 4sin 1 cos x dx x I 14 = 3 8 2 2 8 sin cos dx x x ò p p ; I 15 = 3 4 2 2 4 cos2 sin cos xdx x x ò p p I 16 = 2 0 1 cos dx x+ ò p I 17 = 2 0 1 sin dx x+ ò p I 18 = ln2 2 1 0 1 + + ò x x e dx e Loại 3: Tích phân ( ) b a f x dx ò Bài 3: Tính : I 1 = 2 2 1x dx - - ò I 2 = 0 2 3 4 4x x dx - + + ò I 3 = 0 2 1 2 3x x dx - + - ò I 4 = 2 2 0 x x dx − ∫ ; I 5 = 2 0 sin x dx ò p ; I 6 = 2 3 tan x dx ò p p WWW.ToanCapBa.Net 6 WWW.ToanCapBa.Net I 7 = ∫ + π 0 cos1 dxx ; I 8 = 2 0 1 sin2 p + ò xdx ; I 9 = 3 2 2 6 tan cot 2 p p + - ò x x dx §3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Dạng 1: Phương pháp đổi biến số loại 1 (lượng giác hóa) Phương pháp: Tính + Đặt ( ) '( )x t dx t dt ϕ ϕ = ⇒ = + Đổi cận : a b ì = Þ = ï ï í ï = Þ = ï î x a t x b t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a f x dx g t dt G t G G β β α α β α ⇒ = = = − ∫ ∫ CÁC DẤU HIỆU Dấu hiệu Cách chọn 2 2 -a x x = asint, 2 2 p p - £ £t x = acost, 0 p£ £t 2 2 -x a sin = a x t , [ ; ] \{0} 2 2 t π π ∈ − cos = a x t , [0; ] \{ } 2 p pÎt 2 2 +a x x = atant, 2 2 t π π − < < x = acott, 0 p< <t Bài 4: Tính J 1 = 2 2 0 4 - x dx ò J 2 = 1 2 2 0 1- dx x ò J 3 = 2 2 2 0 - a dx a x ò J 4 = ( ) 2 2 2 0 , 0 a x a x dx a- > ò J 5 = 2 2 2 0 4-x x dx ò J 6 = 2 2 0 4 - dx x x+ ò J 7 = 2 3 2 1 3 4-9 dx x ò J 8 = 4 2 2 4- ò x dx J 9 = 1 2 0 1 dx x+ ò J 10 = 3 2 2 1 1x dx x + ò J 11 = 2 2 0 a dx x a+ ò J 12 = 1 2 0 1 dx x x+ + ò J 13 = 1 2 3 0 ( 1)+ ò dx x J 14 = - + + ò 1 2 1 1 xdx x x J 15 = 1 3 8 2 0 ( 1) x dx x + ò WWW.ToanCapBa.Net 7 WWW.ToanCapBa.Net J 16 = + + + + + ò 1 4 2 2 0 2 2 1 x x x dx x x ; J 17 = 0 sin 4 1 sin+ ò x dx x p ; J 18 = 2 0 sin 1 cos+ ò x x dx x p Dạng 2: Phương pháp đổi biến số loại 2 . Phương pháp: Tính [ ] ( ) ( ) . '( ) b b a a f x dx g u x u x dx = ∫ ∫ + Đặt ( ) '( )= Þ =u u x du u x dx + Đổi cận : 1 2 ( ) ( ) ì = Þ = ï ï í ï = Þ = ï î x a u u a x b u u b [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) ( ) u b b b u b u a a a u a f x dx g u x u x dx g u du G u ⇒ = = = ∫ ∫ ∫  BÀI TẬP Loại 1: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC Bài 5: Tính : I 1 = 1 3 0 (2 1)x dx+ ò ; I 2 = ( ) 2 2 0 1x x dx+ ∫ ; I 3 = ( ) 1 2011 0 -1x x dx ∫ ; I 4 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx- ò Loại 2: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 1 ( )1 ln | |; ( ) (1 ) ax bdx dx ax b ax b a ax b a a a a - + = + = + + - ò ò Bài 6: Tính : I 1 = 2 1 3 1 2- ò dx x ; I 2 = ( ) 1 3 0 1+ ò dx x ; I 3 = 1 2 3 0 (1 )+ ò xdx x ; I 4 = 1 2 3 0 2 1+ ò x dx x I 5 = 2 2 1/ 2 (1 3 ) ( 1) - + ò x dx x ; I 6 = 1 3 0 2 (1 ) xdx x+ ò ; I 7 = ( ) ( ) 1 3 0 3 1 1 + + ò x dx x ; I 8 = 1 2013 2 1008 0 (1 )+ ò x dx x I 9 = 1 2 2 100 0 (1 )- ò x dx x ; I 10 = 2 2012 2012 1 1 (1 ) + - ò x dx x x ; I 11 = 3 1 2 3 0 (1 ) x dx x+ ò ; I 12 = 7 1 4 2 0 (1 ) x dx x+ ò ; 1 1 2 1 2 2 1 ln ( )( ) ( ) x x dx a x x x x a x x x x - = - - - - ò Bài 7: Tính : I 1 = ( ) ( ) 5 3 2 1- + ò dx x x ; I 2 = 12 2 10 2 1 2 x dx x x + + − ∫ ; I 3 = 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + ∫ I 4 = dx x xx ∫ − − 1 0 2 4 )1( ; I 5 = ( ) 4 2 1 1+ ò dx x x ; I 6 = 2 5 1 ( 1)+ ò dx x x WWW.ToanCapBa.Net 8 WWW.ToanCapBa.Net I 7 = 2 10 2 1 ( 1) dx x x + ò ; I 8 = 2 2 2 0 ( 1)( 4) dx x x- + ò ; I 9 = 2 2 2 1 7 12 x dx x x- + ò ; I 10 = 1 2 2 0 ( 2011)( 2012) xdx x x+ + ò ; I 11 = 1 4 2 0 3 2 xdx x x− + ∫ ; I 12 = 2 3 2 1 ( 1) 6 x dx x x x + + − ∫ ; I 13 = 3 3 2 1 (7 15) 2 5 x dx x x x − − + ∫ ; I 14 = 1 2 6 3 0 2 x dx x x− − ∫ ; I 15 = 6 5 4 1 6 0 2 1 x x x x dx x + + + + + ò I 16 = 0 3 2 1 5 14 4 4 x dx x x x - - - - + ò ; I 17 = 2 1 3 2 0 5 8 4 x dx x x x+ + + ò ; I 18 = 1 2010 2012 0 ( 1) ( 2) x dx x + + ò ; 1 ; , 1 ( ) (1 ) n n q p n dx p q x x x + + Î + ò ¢ Bài 8: Tính : I 1 = 2 2 1 ( 1)+ ò dx x x ; I 2 = 2 5 3 1 + ò dx x x ; I 3 = 3 2 2 1 2 ( 1)+ ò dx x x I 4 = 1 2 2 0 ( 1)+ ò xdx x ; I 5 = 6 2 2 2 4 1 1 1 + + + ò x dx x ; I 6 = 6 2 2 2 4 1 1 1 + - + ò x dx x ; I 7 = 6 2 2 2 4 1 1 + + ò x dx x ; I 8 = 6 2 2 4 1 1 + + ò dx x ; I 9 = 2 5 8 1 2 1 x x dx x - + ò ; I 10 = - + ò 2 2 3 1 1 x dx x x ; Loại 3: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 3.1 Dạng + é ù ê ú Î Î ê ú ë û ò ¢ ¢,q p n-1 mn n q x x ;(a+ bx ) dx;m,n,p đặt: p n q t = (a+bx ) Bài 9: I 1 = 2 1 2+ ò x dx I 2 = 3 0 3 - 4 4- x dx x ò I 3 = 1 2 0 1x x dx+ ò I 4 = 4 0 1 25 3 dx x- ò I 5 = 1 2 0 2 xdx x - + ò I 6 = 1 2 1 2 1 1 x dx x x - + + + ò I 7 = 9 3 1 . 1- ò x xdx I 8 = 1 2 8 0 . 1- ò x xdx I 9 = 1 2 2 3 1 2 (1 ) - - ò x dx I 10 = 3 3 2 0 1x x dx+ ò I 11 = 3 2 3 0 (1 )+ ò x dx x I 12 = 2 2 4 1 1 x dx x + ò WWW.ToanCapBa.Net 9 WWW.ToanCapBa.Net Bài 10: I 1 = 1 0 . 1x xdx− ∫ ; I 2 = 1 3 2 0 1x x dx− ∫ ; I 3 = ∫ + 1 0 3 1 xx dx ; I 4 = 1 3 3 2 0 . 1x x dx+ ∫ ; I 5 = 1 4 0 . 1x xdx− ∫ ; I 6 = 2 1 1 5 x x dx x - - ò ; I 7 = 3 5 2 0 . 1x x dx+ ∫ ; I 8 = 1 15 8 0 . 1 3x x dx+ ∫ ; I 9 = 2 2 2 2 1 1 x dx x x − − + + ∫ ; I 10 = 3 7 0 3 2 1 x dx x+ ∫ ; I 11 = 2 3 1 1 x dx x + ∫ ; I 12 = 3 1 2 0 1 x dx x x+ + ò ; I 13 = 1 0 2 1 xdx x + ò ; I 14 = 7 3 3 0 ( 1) 3 2 x dx x + + ∫ ; I 15 = 4 2 7 9 dx x x + ò ; I 16 = 1 3 3 4 0 1 1 x dx x+ + ∫ I 17 = 6 2 2 1 4 1 dx x x+ + + ∫ ; I 18 = 10 5 2 1 dx x x- - ò ; I 19 = 1 0 2 1 1 2 1 x dx x + + + ∫ ; I 20 = 3 0 3 3 1 3 x dx x x − + + + ∫ ; I 21 = ∫ + + 1 0 1 1 dx x x ; I 22 = 1 0 1 1 dx x x+ + + ∫ I 23 = 1 2 1 1 1 dx x x - + + + ò ; I 24 = ( ) 0 3 2 2 2 1 . 1 (4 4 )x x x x x dx - + + - + ò 3.2 Dạng é ù æ ö æ ö ê ú ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ê ú ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø ê ú ë û ò 1 s 1 s m m n n ax+ b ax + b R x, , , dx cx + d cx + d đặt { } 1 2 , , , k s ax b t k BSCNN n n n cx d + = = + Bài 11: I 1 = + - ò 2 1 1 1 xdx x ; I 2 = 1 0 1 3 dx x x+ + + ò ; I 3 = 0 3 1 1 1 1 1 x dx x - - + + + ò ; I 4 = 63 2 3 0 2 1 2 1 dx x x+ + + ò ; I 5 = 6 2 2 3 4 1 (1 ) xdx x x + - ò ; I 6 = ( ) 4 13 5 2 3 x dx - - - ò ; I 7 = 1 10 0 1 xdx x + ò ; I 8 = 1 2 1 4 1 1 1 x dx x x + - ò ; I 9 = 1 0 1 1 x dx x - + ò ; I 10 = 5 2 1 1 1 1 x x dx x x + - - + + - ò ; I 11 = 2 1 3 0 1 1 x x dx x + + + ò ; 3.3 Dạng ( ) ò 2 R x, ax + bx+ c dx WWW.ToanCapBa.Net 10 [...]... x + 1) cos x dx x sin x + cos x 0 4 D2011 I = 0 4x 1 dx 2x + 1 + 2 C2010 3 B2011 I = 1 + x sin x dx 2 0 3 x dx D 2 012 I = 0 4 x + 3x 2 + 2 1 cos x 2 2x + 1 C2011 I = 1 x(x + 1) dx 4 3 1 + ln( x + 1) dx A, A1 2 012 I = x2 1 2 x 1 dx x +1 0 B 2 012 I = x(1 + s in2x)dx 0 3 C 2 012 I = WWW.ToanCapBa.Net 0 29 x dx x +1 ... x cos3 x sin x dx 6 4 cos2 I9 = ũ 1 + sin x x dx 2 0 p 12 2 I11 = ũ sin3 xdx 0 2 I6 = ũ 1 + 4sin3x cos3 xdx 0 I7 = ũ sin 2 x p -p I5 = ũ x.sin 2 xdx I3 = ũ cos4 x.sin xdx ũ tan xdx p p p/ 2 4 I12 = ũ 0 0 dx cos 2 3 x(1 + tan 3x) 2.Tớnh: p 4 I1 = ũ 0 p 8 dx 2 cos x 1 + tgx ; I2 = ũ0 p 2 2 cos x dx ; 3 + 2sin x I3 = cos 2 xdx ; 2 x.cos 2 x ũ sin p 12 p 6 dx I4 = ũ sin 2 x.cos2 x ; p 8 p 2 I7 = ũ cot g... nờn s dng khi t = ớùù 0; 6 ; 4 ; 3 ; ý v hm j (t ) liờn ù ù ợ ỵ Phng phỏp 1: (Lng giỏc húa) t u = x+ b 2a ( , Phng phỏp ) tc trờn on tng ng ca bin t Bi 12: 1 I1= 0 x 2 2 1 x 2 dx ; 2 I2= 0 2 I4 = x x 2 1 ; 2 I5 = ũ 0 3 1 I7= ũ0 x (t +1) - 1 I12 = ũ dt 2 2 8 3 a n 2 0 2 ũ 1 2 (t + 2t + 5) ; x ( x 2 - 2)5 n- 1 dx a 2 - x 2n 3 ; x2 2 1 I11= ũ0 ( x + 7) 1 2 - 1 1 I15= ũ dx ; 2 x 3x - 2 x - 1 (1 -... ; b/ CM: 5.a/.CM: ũ0 p 2 6.a/ Tớnh:I1= ũ0 1 2 dx 2 012 1- x sin2xdx ; 1+ sin4 x 200 ũ 100 e- x2 dx Ê 0,01 1 b/ CM: ũ e1+x 2 dx > 4 + p 0 4 1 4.a/ CM: ex > 1 + x, " x ạ 0 ; 1 Ê 2 I(t) v chng minh: Ê p ; 4 1 b/ CM: ũ0 p 2 I2= ũ0 cos px dx Ê ln2 1+ x sin2xdx 1+ cos4 x WWW.ToanCapBa.Net 22 WWW.ToanCapBa.Net p 2 sin x cosxdx p > 4 4 (1+ sin x)(1+ cos x) 12 b/ CM: ũ 0 ln xdx x 2 7.a/ Tớnh:I = 1 ; b/ J(t)... Tớnh I2 ; 2n 2 ln x t J (t) = 1 dx, t > 1 , ữ x t tớnh J(t) theo t ,suy ra lim v tỡm bđln 2 J b/ Chng minh: In < p 12 n 0 a/ Tỡm h thc liờn h gia In+1 v In; b/ CM: In+1 Ê In , nlim In = 0 đƠ dx 11 Cho I n =ũ (1+ x2)n , n ẻ Ơ a/ Tỡm h thc liờn h gia In-1 v In ; b/ Tớnh I3 1 12 Tớnh lim ũ xn (1+ e- x )dx 0 e 13 Cho I n = ũ (ln x)n dx, n ẻ Ơ 1 a/ Tớnh I1 ; 14 Cho b/ Tỡm h thc liờn h gia In-1 v In... ln3 e x + 2e x 3 ln 2 ; 2e3 x + e 2 x 1 I12 = e3 x + e2 x e x + 1 dx ; dx ; 0 0 3.Tớnh: e ln2 xdx I1 = ũ x 1 e I4 = ũ ( 1 + ln x ) e ; 1 e e 2 x 1 I2 = ũ dx 2 ln xdx I10 = ũ x 1 ũ ( 1 + ln x ) e ln x 3 1 + ln 2 xdx e e ; I11= ũ 1 1 e ln x I16 = ũ 1 3 2 1 + ln xdx x ln x I19= x(2 + ln x)2 dx ; 1 e e e ; I9 = ũ 1 cos(ln x ) dx x e 2 + ln x dx ; 2x e2 ; I12 = ũ 1 ln 4 xdx x dx I22= ũ x ln x.ln ex... 2 xdx ; 2 x.cos 2 x ũ sin p 12 p 6 dx I4 = ũ sin 2 x.cos2 x ; p 8 p 2 I7 = ũ cot g 2 0 xdx ; p 2 I16 = ũ0 0 p 2 I19 = ũ ũ 0 p I9 = ũ0 x 1 + cos 2 x ; cos 4 xdx ; p sin 4 xdx ; I11 = ũ0 4 tan 6 xdx ; I12 = p dx sin 3 xdx 1 + cos 2 x 4 cos3 x p 4 sin 3 x dx ; cos 2 x I15= ũ0 I14 = ũ0 2 1 + sin x dx ; ; I17 = ũ0 2p 1 + sin x dx ; I18= sin 4 x dx ; 1 + cos 2 x p 3 p 6 p 2 0 2 dx cos 4 x p ũ I6 = ũ 1 +... = ũ (tgx + tg 3 x)dx ; I13 = ũ0 4 sin 4 x ; p 4 0 sin x + cos x p 2 0 I10 = ũ0 ũ I5 = ũ sin x - cos x p 4 p 6 p 4 p 2 dx ; cos x.sin 4 x cos xdx ; 7 + cos 2 x p p 4sin 3 xdx I20 = ũ0 4 1 + cos 4 x ; p 12 p 4 I23 = ũ cos x + sin x 3 + sin 2 x sin xdx I21 = ũ0 2 cos2 x + 3 ; dx ; p 2 I24= ũ WWW.ToanCapBa.Net 0 cos 2 x.dx sin x + 3 cos x 15 I22 = WWW.ToanCapBa.Net p 2 3 I25= ũ 4sin xdx 1 + cos x 0 p 3... 6 p 2 1 dx 2 ; I24= ũcos 2 x(sin 4 x + cos 4 x)dx ; 0 6 p 3 2 2 I26= ũ p 6 p 2 ; I29= ũ 0 dx I21= ũ 4 sin 3 x.cos5 x ; ; I20= 6 sin xdx p 3 2 2 sin 2 x + sin x dx ; 1 + 3cos x p 2 4 I23= sin x dx I12= ũ sin 2 x cos 4 x ; I17= ũ tan x dx ; cos 2 x sin 3 x - sin x cot xdx ; sin 3 x p 3 1 2sin2 x dx ; 1 + sin 2 x p 6 sin 2 x cos x dx ; 1 + cos x cos3 x I22= ũ sin2 x dx ; p p 3 dx ; 2 cos 2 x p 2... = ũ0 ( sin x + cos x + 2) 2 dx ; p I7 = ũ0 2 sin 2 x ( 1 + sin 2 x )dx ; I8 = ũ0 4 1 + tgx ; sin 3 xdx I9 = ũ 3sin 4 x - sin 6 x - 3sin 2 x ; p 2 I10 = ũ sin 0 p 2 I11 = ũ 0 sin xdx 1 + sin 2 x p 2 ; I12 = ũ 0 sin x ữdx 4 sin 2 x + 2 ( 1 + sin x + cos x ) 0 4 I13 = ; Dng 3: I14 = 2 cos xdx x - 5sin x + 6 3sin x + 4cos x 3sin 2 x + 4cos 2 x p 2 ; dx ; sin x - cos x +1 ũ sin x + 2cos x +3 dx ; . x g x dx f x dx g x dx + ( ) ( ) ( ) ( )= + Þ = + ò ò f t dt F t C f u du F u C WWW .ToanCapBa. Net 1 WWW .ToanCapBa. Net 4) Các phương pháp tìm nguyên hàm: 1- Phương pháp đổi biến: [ ] ( ) ( ). sin 1 cos + + ò x dx x ; g/. 2 2 sin cos ò dx x x ; h/. 2 2 cos2 sin cos ò xdx x x WWW .ToanCapBa. Net 2 WWW .ToanCapBa. Net Dạng 3: Phương pháp đổi biến Loại 1: f(x) là đa thức Bài 3: Tính : I 1 . = ln x dx x ò I 2 = ln dx x x ò I 3 = 4 (ln )x dx x ò I 4 = 2 ln 2 x dx x + ∫ WWW .ToanCapBa. Net 3 WWW .ToanCapBa. Net Loại 6: f(x) là hàm số lượng giác. Bài 8: Tính : I 1 = cot ò xdx I 2 = tan ò xdx I 3