Kỹ thuật tính tích phân lớp 12

TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: ∫ +− − 5 3 2 23 12 dx xx x ∫ ++ b a dx bxax ))(( 1 ∫ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 1 1 ∫ + 1 0 3 2 )13( dx x x ∫ ++ 1 0 22 )3()2( 1 dx xx ∫ + − 2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x ∫ − +− ++− 0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx ∫ − 3 2 22 4 )1( dx x x ∫ + − 1 0 2 32 )1( dx x x n n ∫ ++ − 2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x ∫ + 2 1 4 )1( 1 dx xx ∫ + 2 0 2 4 1 dx x ∫ + 1 0 4 1 dx x x dx xx ∫ +− 2 0 2 22 1 ∫ + 1 0 32 )1( dx x x ∫ +− 4 2 23 2 1 dx xxx ∫ +− ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx ∫ + − 2 1 4 2 1 1 dx x x ∫ + 1 0 3 1 1 dx x ∫ + +++ 1 0 6 456 1 2 dx x xxx ∫ + − 1 0 2 4 1 2 dx x x ∫ + + 1 0 6 4 1 1 dx x x IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: xdxx 4 2 0 2 cossin ∫ π ∫ 2 0 32 cossin π xdxx dxxx ∫ 2 0 54 cossin π ∫ + 2 0 33 )cos(sin π dxx ∫ + 2 0 44 )cos(sin2cos π dxxxx ∫ −− 2 0 22 )coscossinsin2( π dxxxxx ∫ 2 3 sin 1 π π dx x ∫ −+ 2 0 441010 )sincoscos(sin π dxxxxx ∫ − 2 0 cos2 π x dx ∫ + 2 0 sin2 1 π dx x ∫ + 2 0 2 3 cos1 sin π dx x x ∫ 3 6 4 cos.sin π π xx dx ∫ −+ 4 0 22 coscossin2sin π xxxx dx ∫ + 2 0 cos1 cos π dx x x ∫ − 2 0 cos2 cos π dx x x ∫ + 2 0 sin2 sin π dx x x ∫ + 2 0 3 cos1 cos π dx x x ∫ ++ 2 0 1cossin 1 π dx xx ∫ − 2 3 2 )cos1( cos π π x xdx ∫ − ++ +− 2 2 3cos2sin 1cossin π π dx xx xx ∫ 4 0 3 π xdxtg dxxg ∫ 4 6 3 cot π π ∫ 3 4 4 π π xdxtg ∫ + 4 0 1 1 π dx tgx ∫ + 4 0 ) 4 cos(cos π π xx dx ∫ ++ ++ 2 0 5cos5sin4 6cos7sin π dx xx xx ∫ + π 2 0 sin1 dxx ∫ ++ 4 0 13cos3sin2 π xx dx ∫ + 4 0 4 3 cos1 sin4 π dx x x ∫ + ++ 2 0 cossin 2sin2cos1 π dx xx xx ∫ + 2 0 cos1 3sin π dx x x ∫ − 2 4 sin2sin π π xx dx ∫ 4 0 2 3 cos sin π dx x x ∫ + 2 0 32 )sin1(2sin π dxxx ∫ π 0 sincos dxxx ∫ − 3 4 3 3 3 sin sinsin π π dx xtgx xx ∫ ++ 2 0 cossin1 π xx dx ∫ + 2 0 1sin2 π x dx ∫ 2 4 53 sincos π π xdxx ∫ + 4 0 2 cos1 4sin π x xdx ∫ + 2 0 3sin5 π x dx ∫ 6 6 4 cossin π π xx dx ∫ + 3 6 ) 6 sin(sin π π π xx dx ∫ + 3 4 ) 4 cos(sin π π π xx dx ∫ 3 4 6 2 cos sin π π x xdx dxxtgxtg ) 6 ( 3 6 π π π ∫ + ∫ + 3 0 3 )cos(sin sin4 π xx xdx ∫ − + 0 2 2 )sin2( 2sin π x x ∫ 2 0 3 sin π dxx ∫ 2 0 2 cos π xdxx ∫ + 2 0 12 .2sin π dxex x dxe x x x ∫ + + 2 0 cos1 sin1 π ∫ + 4 6 2cot 4sin3sin π π dx xgtgx xx ∫ +− 2 0 2 6sin5sin 2sin π xx xdx dxxx ∫ − 2 0 2 cos)12( π ∫ π 0 2 cossin xdxxx ∫ 4 0 2 π xdxxtg ∫ π 0 22 sin xdxe x ∫ 2 0 3sin cossin 2 π xdxxe x ∫ + 4 0 )1ln( π dxtgx ∫ + 4 0 2 )cos2(sin π xx dx ∫ −+ − 2 0 2 )cos2)(sin1( cos)sin1( π dx xx xx V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: ∫ b a dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: +) R(x, xa xa + − ) §Æt x = a cos2t, t ] 2 ;0[ π ∈ +) R(x, 22 xa − ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos +) R(x, n dcx bax + + ) §Æt t = n dcx bax + + +) R(x, f(x)) = γβα +++ xxbax 2 )( 1 Víi ( γβα ++ xx 2 )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = γβα ++ xx 2 , hoÆc ®Æt t = bax + 1 +) R(x, 22 xa + ) §Æt x = tgta , t ] 2 ; 2 [ ππ −∈ +) R(x, 22 ax − ) §Æt x = x a cos , t } 2 {\];0[ π π ∈ +) R ( ) 1 2 i n n n x x x; ; ; Gäi k = BCNH(n 1 ; n 2 ; ; n i ) §Æt x = t k 1. ∫ + 32 5 2 4xx dx 2. ∫ − 2 3 2 2 1xx dx 3. ∫ − +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx 4. ∫ + 2 1 3 1xx dx 5. ∫ + 2 1 2 2008dxx 6. ∫ + 2 1 2 2008x dx 7. ∫ + 1 0 22 1 dxxx 8. ∫ − 1 0 32 )1( dxx 9. ∫ + + 3 1 22 2 1 1 dx xx x 10. ∫ − + 2 2 0 1 1 dx x x 11. ∫ + 1 0 32 )1( x dx 12. ∫ − 2 2 0 32 )1( x dx 13. ∫ + 1 0 2 1 dxx 14. ∫ − 2 2 0 2 2 1 x dxx 15. ∫ + 2 0 2cos7 cos π x xdx 16. ∫ − 2 0 2 coscossin π dxxxx 17. ∫ + 2 0 2 cos2 cos π x xdx 18. ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 19. ∫ + 7 0 3 2 3 1 x dxx 20. ∫ − 3 0 23 10 dxxx 21. + 1 0 12x xdx 22. ++ 1 0 2 3 1xx dxx 23. ++ 7 2 112x dx 24. dxxx + 1 0 815 31 25. 2 0 5 6 3 cossincos1 xdxxx 26. + 3ln 0 1 x e dx 27. +++ 1 1 2 11 xx dx 28. + 2ln 0 2 1 x x e dxe 29. 1 4 5 2 8412 dxxx 30. + e dx x xx 1 lnln31 31. + + 3 0 2 35 1 dx x xx 32. dxxxx + 4 0 23 2 33. ++ 0 1 3 2 )1( dxxex x 34. + 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x 35. + 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos dx x tgx x x 36. + 2ln 0 3 )1( x x e dxe 37. + 3 0 2cos2 cos x xdx 38. + 2 0 2 cos1 cos x xdx 39. dx x x + + 7 0 3 3 2 40. + a dxax 2 0 22 VI. MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: += aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2 3 ; 2 3 ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x2cos22 , Tính: 2 3 2 3 )( dxxf +) TÝnh ∫ − + + 1 1 2 4 1 sin dx x xx Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã: ∫ − a a dxxf )( = 0. VÝ dô: TÝnh: ∫ − ++ 1 1 2 )1ln( dxxx ∫ − ++ 2 2 2 )1ln(cos π π dxxxx Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: ∫ − a a dxxf )( = 2 ∫ a dxxf 0 )( VÝ dô: TÝnh ∫ − +− 1 1 24 1xx dxx 2 2 2 cos 4 sin − + − ∫ x x dx x π π Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã: ∫∫ = + − aa a x dxxfdx b xf 0 )( 1 )( (1 ≠ b>0, ∀ a) VÝ dô: TÝnh: ∫ − + + 3 3 2 21 1 dx x x ∫ − + 2 2 1 5cos3sinsin π π dx e xxx x Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; 2 π ], th× ∫∫ = 2 0 2 0 )(cos)(sin ππ dxxfxf VÝ dô: TÝnh ∫ + 2 0 20092009 2009 cossin sin π dx xx x ∫ + 2 0 cossin sin π dx xx x Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: ∫∫ = ππ π 00 )(sin 2 )(sin dxxfdxxxf VÝ dô: TÝnh ∫ + π 0 sin1 dx x x ∫ + π 0 cos2 sin dx x xx Bµi to¸n 6: ∫∫ =−+ b a b a dxxfdxxbaf )()( ⇒ ∫∫ =− bb dxxfdxxbf 00 )()( VÝ dô: TÝnh ∫ + π 0 2 cos1 sin dx x xx ∫ + 4 0 )1ln(4sin π dxtgxx Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×: ∫∫ = + TTa a dxxfdxxf 0 )()( ⇒ ∫∫ = TnT dxxfndxxf 00 )()( VÝ dô: TÝnh ∫ − π 2008 0 2cos1 dxx C¸c bµi tËp ¸p dông: 1. ∫ − + − 1 1 2 21 1 dx x x 2. ∫ − +−+− 4 4 4 357 cos 1 π π dx x xxxx 3. ∫ − ++ 1 1 2 )1)(1( xe dx x 4. ∫ − − + 2 2 2 sin4 cos π π dx x xx 5. ∫ − + − 2 1 2 1 ) 1 1 ln(2cos dx x x x 6. dxnx)xsin(sin 2 0 ∫ + π 7. ∫ − + 2 2 5 cos1 sin π π dx x x 8. 1 )1(1 cot 1 2 1 2 = + + + ∫∫ ga e tga e xx dx x xdx (tana>0) VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1. ∫ − − 3 3 2 1dxx 2. ∫ +− 2 0 2 34 dxxx 3. ∫ − 2 0 2 dxxx 4. ∫ − 2 2 sin π π dxx 5. ∫ − − π π dxxsin1 6. ∫ −+ 3 6 22 2cot π π dxxgxtg 7. ∫ 4 3 4 2sin π π dxx 8. ∫ + π 2 0 cos1 dxx 9. ∫ − −−+ 5 2 )22( dxxx 10. ∫ − 3 0 42 dx x 11. ∫ − − 3 2 3 coscoscos π π dxxxx